Печать страницы - Помощь по математике (анализ)

Название: Помощь по математике (анализ)
Отправлено: RawonaM от октября 25, 2010, 11:56

Я вот подумал, тут ведь есть люди, понимающие хорошо в математике, то почему бы этим не воспользоваться :)

Непонятно только, как вводить формулы. На сайте универа пользуются одной утилитой, которая только в IE работает. Это негуманно.

В общем, у меня всегда были загвоздки с тригонометрией, вот как раз ломаю голову над двумя задачками с тригонометрическими функциями:

ЦитироватьНайти M>0 такой, чтобы при х>M было верно
(6x² - 7sin(x)) / (3x + 1)

Тут интуитивно понятно, что если взять любой большой М (например 10000), то это будет верно. А вот как это математически доказать? Ведь -7<=7sin(х)<=7, а значит однозначно поставить знак больше или меньше невозможно.

ЦитироватьНайти все возможные значения х:
|sin(x)|<=sin(2x)

Эта задача тоже интуитивнo понятна, если нарисовать два графика, но рассчеты получаются какие-то удивительные.
Я начал так:
в тех отрезках, где sin(x)>0 будет верно, что
sin(x)<=sin2x=2sin(x)cos(x) =>
cos(x)>=1/2
Что совершенно не соответствует тому, что я вижу на графике! Где я ошибся?

Название: Помощь по математике
Отправлено: taqseem от октября 25, 2010, 12:40

Цитата: RawonaM от октября 25, 2010, 11:56

ЦитироватьНайти все возможные значения х:
|sin(x)|<=sin(2x)
Эта задача тоже интуитивная понятна, если нарисовать два графика, но рассчеты получаются какие-то удивительные.
Я начал так:
в тех отрезках, где sin(x)>0 будет верно, что
sin(x)<=sin2x=2sin(x)cos(x) =>
cos(x)>=1/2
Что совершенно не соответствует тому, что я вижу на графике! Где я ошибся?

обе функции с периодом pi, поетому достаточно рассмотреть их на этом интервале. из графика видно, что sin(2x) идёт "круче" до 60 градусов, где обе функции пересекаются, т.е. там где cos(x)>=1/2 (0<=х<=2/3pi) и находится область ваших решений. непонятно, что вас тут смутило.

Название: Помощь по математике
Отправлено: taqseem от октября 25, 2010, 12:43

Цитата: RawonaM от октября 25, 2010, 11:56
ЦитироватьНайти M>0 такой, чтобы при х>M было верно
(6x² - 7sin(x)) / (3x + 1)

сорри, возможно, я просто не догнал, верно что? я не вижу никакого условия в математической записи проблемы.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от октября 25, 2010, 12:49

Цитата: taqseem от октября 25, 2010, 12:43
Цитата: RawonaM от октября 25, 2010, 11:56
ЦитироватьНайти M>0 такой, чтобы при х>M было верно
(6x² - 7sin(x)) / (3x + 1)

сорри, возможно, я просто не догнал, верно что? я не вижу никакого условия в математической записи проблемы.

Ой, пропустил: должно быть так: (6x² - 7sin(x)) / (3x + 1) > 1000

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от октября 25, 2010, 12:59

Цитата: taqseem от октября 25, 2010, 12:40
обе функции с периодом pi, поетому достаточно рассмотреть их на этом интервале. из графика видно, что sin(2x) идёт "круче" до 60 градусов, где обе функции пересекаются, т.е. там где cos(x)>=1/2 (0<=х<=2/3pi) и находится область ваших решений. непонятно, что вас тут смутило.

Все-все, понял свою ошибку, спасибо :) Иногда бывает переклинивает на простых вещах.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от октября 25, 2010, 13:20

Цитировать
Найти M>0 такой, чтобы при х>M было верно
(6x² - 7sin(x)) / (3x + 1) > 1000

Если надо хотя бы одно такое число M найти, то задача очень простая: достаточно взять M = 1000, тогда при x > M имеем

(6x² - 7sin(x)) / (3x + 1) >= (6x² - 7) / (4x) = 3/2 x - 7/(4x) >= 3/2 * 1000 - 7/4 > 0

(не очень элегантно, но проходит). На самом деле выражение, стоящее в левой части исходного неравенства, обращается в 1000 при x = 500.3314106... (это число можно вычислить только приближённо) а при бóльших x выражение больше 1000, поэтому в качестве M можно взять произвольное число, >= 500.3314106... В принципе, это не так сложно обосновать, если надо.

Название: Помощь по математике
Отправлено: taqseem от октября 25, 2010, 13:24

Цитата: RawonaM от октября 25, 2010, 12:49
Цитата: taqseem от октября 25, 2010, 12:43
Цитата: RawonaM от октября 25, 2010, 11:56
ЦитироватьНайти M>0 такой, чтобы при х>M было верно
(6x² - 7sin(x)) / (3x + 1)

сорри, возможно, я просто не догнал, верно что? я не вижу никакого условия в математической записи проблемы.
Ой, пропустил: должно быть так: (6x² - 7sin(x)) / (3x + 1) > 1000

оба решения не точные, но дают хорошую апприксимацию

способ первый : принимая во внимание, что max[sin(x)]=1, запишем уравнение в виде

6х^2 - 7 > 3000х + 3000

один корень х1~-1, другой - х2~501, т.е. для х>502 условие выполнено

способ второй: глядя на уравнение, сразу ясно, что речь идёт о больших числах (х>>1), поэтому пренебрегая 7sin(x) в числителе и 1 в знаменателе, запишем

6х^2/3х > 1000, откуда х>500

думаю, так.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от октября 25, 2010, 13:27

Цитировать
Найти все возможные значения х:
|sin(x)|<=sin(2x)

Нас в школе такое учили «методом интервалов» решать. Подождите чуть, напишу.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от октября 25, 2010, 13:36

Цитата: taqseem от октября 25, 2010, 13:24
способ второй: глядя на уравнение, сразу ясно, что речь идёт о больших числах (х>>1), поэтому пренебрегая 7sin(x) в числителе и 1 в знаменателе, запишем

6х^2/3х > 1000, откуда х>500

Вот я так изначально и сделал, но мне кажется это не проходит. Как доказать, что этими числами можно пренебречь?

Цитата: Квас от октября 25, 2010, 13:20
3/2 x - 7/(4x) >= 3/2 * 1000 - 7/4 > 0

Тут не понял. Может вы имели в виду:
3/2x - 7/(4x) >= 3/2 * 1000 - 7/4*1000 > 1000
?

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от октября 25, 2010, 13:39

Цитата: taqseem от октября 25, 2010, 13:24
х>>1

А что это значит?

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от октября 25, 2010, 13:39

Цитата: RawonaM от октября 25, 2010, 13:36
Цитата: Квас от Сегодня в 14:20
Цитировать3/2 x - 7/(4x) >= 3/2 * 1000 - 7/4 > 0
Тут не понял. Может вы имели в виду:
3/2x - 7/(4x) >= 3/2 * 1000 - 7/4*1000 > 1000

Чтобы уменьшить разность, увеличиваем вычитаемое (дробь). Чтобы увеличить дробь, уменьшаем знаменатель: 4x >= 4, так как во всяком случае x >= 1. Так что у меня всё верно.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от октября 25, 2010, 13:42

Цитата: taqseem от октября 25, 2010, 13:24
способ первый : принимая во внимание, что max[sin(x)]=1, запишем уравнение в виде

6х^2 - 7 > 3000х + 3000

один корень х1~-1, другой - х2~501, т.е. для х>502 условие выполнено

Вот, тут тоже кое что неясно. Если условие выполнено для х~501, то стопроцентов для всех х>501 оно будет выполняться? Почему? Давно математикой не занимался :(

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от октября 25, 2010, 13:44

Цитата: Квас от октября 25, 2010, 13:39
Цитировать
Цитировать3/2 x - 7/(4x) >= 3/2 * 1000 - 7/4 > 0
Тут не понял. Может вы имели в виду:
3/2x - 7/(4x) >= 3/2 * 1000 - 7/4*1000 > 1000
Чтобы уменьшить разность, увеличиваем вычитаемое (дробь). Чтобы увеличить дробь, уменьшаем знаменатель: 4x >= 4, так как во всяком случае x >= 1. Так что у меня всё верно.

А-а, теперь ясно. А зачем "> 0"? Ведь в условии >1000.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от октября 25, 2010, 13:46

Цитата: RawonaM от октября 25, 2010, 13:44
А-а, теперь ясно. А зачем "> 0"? Ведь в условии >1000.

Ага, прошу прощения.

Название: Помощь по математике
Отправлено: taqseem от октября 25, 2010, 13:48

Цитата: RawonaM от октября 25, 2010, 13:39
Цитата: taqseem от октября 25, 2010, 13:24
х>>1
А что это значит?

это значит "много больше"

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от октября 25, 2010, 13:51

Цитата: taqseem от октября 25, 2010, 13:48
Цитировать
Цитироватьх>>1
А что это значит?
это значит "много больше"

Что, реально есть такое обозначение? И как много это должно быть?

Название: Помощь по математике
Отправлено: taqseem от октября 25, 2010, 13:52

Цитата: RawonaM от октября 25, 2010, 13:42
Цитата: taqseem от октября 25, 2010, 13:24
способ первый : принимая во внимание, что max[sin(x)]=1, запишем уравнение в виде

6х^2 - 7 > 3000х + 3000

один корень х1~-1, другой - х2~501, т.е. для х>502 условие выполнено
Вот, тут тоже кое что неясно. Если условие выполнено для х~501, то стопроцентов для всех х>501 оно будет выполняться? Почему? Давно математикой не занимался :(

если корни найдены, то неравенство можно записать как (х-х1)*(х-х2)>0, в нашем случае оно принимает вид (х+1)(х-501)>0, откуда видно, что для для х>0 оно выполняется всегда, когда х>501

Название: Помощь по математике
Отправлено: taqseem от октября 25, 2010, 13:55

Цитата: RawonaM от октября 25, 2010, 13:51
Цитата: taqseem от октября 25, 2010, 13:48
Цитировать
Цитироватьх>>1
А что это значит?
это значит "много больше"
Что, реально есть такое обозначение? И как много это должно быть?

конечно есть. я его не сейчас придумал. что значит много больше вы решаете сами. ну, напримет, 2 порядка величины - это много больше.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от октября 25, 2010, 13:56

Цитата: Квас от октября 25, 2010, 13:39
Чтобы увеличить дробь, уменьшаем знаменатель: 4x >= 4, так как во всяком случае x >= 1.

Хотя трудно сказать, почему я x единицей оценивал, а не через M. :donno: RawonaM, у вас лучше.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от октября 25, 2010, 13:59

Цитата: taqseem от октября 25, 2010, 13:55
что значит много больше вы решаете сами.

Технарь? ;) В математике «много больше» подразумевает какой‐нибудь предельный переход.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от октября 25, 2010, 14:06

Цитата: Квас от октября 25, 2010, 13:27
Нас в школе такое учили «методом интервалов» решать. Подождите чуть, напишу.

Хотя тут это из пушки во воробьям. Так как период pi, то рассматриваем на [0, pi], и модуль пропадает. Так что к предложению taqseem‐а ничего интересного прибавить нельзя.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от октября 25, 2010, 14:15

Цитата: Квас от октября 25, 2010, 14:06
Так как период pi, то рассматриваем на [0, pi], и модуль пропадает.

Не совсем понял. Надо ведь еще и [-pi, 0] или [pi, 2pi], они же отличаются от [0, pi].

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от октября 25, 2010, 14:24

Цитата: RawonaM от октября 25, 2010, 14:15
ЦитироватьТак как период pi, то рассматриваем на [0, pi], и модуль пропадает.
Не совсем понял. Надо ведь еще и [-pi, 0] или [pi, 2pi], они же отличаются от [0, pi].

Пардон, глупость сказал. Действительно, получается только один отрезок.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от октября 25, 2010, 14:42

Всем спасибо за помощь. :)

При возникновении вопросов в будущем буду писать сюда :)

Название: Помощь по математике
Отправлено: taqseem от октября 25, 2010, 15:55

Цитата: Квас от октября 25, 2010, 13:59
Цитата: taqseem от октября 25, 2010, 13:55
что значит много больше вы решаете сами.

Технарь? ;) В математике «много больше» подразумевает какой‐нибудь предельный переход.

верно. про большие и малые "О" вы, конечно, же знаете.

http://en.wikipedia.org/wiki/Big_O_notation (http://en.wikipedia.org/wiki/Big_O_notation)

а какой у вас бэкграунд? я - инженер-физик, порядком заржавевший, правда, вне академичаской среды.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от октября 25, 2010, 17:09

Цитата: taqseem от октября 25, 2010, 15:55
я - инженер-физик, порядком заржавевший, правда, вне академичаской среды.

:UU:
У меня самый настоящий «форграунд» — математик, м. н. с. Правда, с диссером всё не разделаюсь...

Название: Помощь по математике
Отправлено: taqseem от октября 25, 2010, 17:17

Цитата: Квас от октября 25, 2010, 17:09
:UU:

Cin Cin!

:UU:

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от октября 25, 2010, 17:44

Цитата: taqseem от октября 25, 2010, 15:55
Цитировать
Цитироватьчто значит много больше вы решаете сами.
Технарь? ;) В математике «много больше» подразумевает какой‐нибудь предельный переход.
верно. про большие и малые "О" вы, конечно, же знаете.

(wiki/en) Big_O_notation (http://en.wikipedia.org/wiki/Big_O_notation)

Пытался понять, как это связано с цитатой, не получилось...
Биг О даже я знаю. В информатике им измеряют сложность алгоритма. :)

Название: Помощь по математике
Отправлено: arseniiv от октября 25, 2010, 18:26

Там что, ≫ через O определяется? Мне кажется, самый удобный способ определить ≫ — связать его с ≈. Например, так:

a ≈ a + b ⇔ a ≫ b

По сути ведь, вроде, в таких ситуациях этот знак и используется!

Offtop

Spoiler: Не в обиду сказано ⇓⇓⇓

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от октября 25, 2010, 18:34

Offtop

Цитата: arseniiv от октября 25, 2010, 18:26
RawonaM, вы теперь всё лето будете умирать от жары, всю зиму путешествовать, а кто будет чинить ЛФ? ;D

Че-то наоборот получилось. Я все лето путешествовал, чтобы не умирать от жары

Цитата: arseniiv от октября 25, 2010, 18:26
Мне кажется, самый удобный способ определить ≫ — связать его с ≈.

А ≈ есть в математике? Когда-то я написал такое в задании, мне проверяющий написал "Что это за волны? В математике нет значения для волн".

Название: Помощь по математике
Отправлено: taqseem от октября 25, 2010, 18:36

Цитата: arseniiv от октября 25, 2010, 18:26
Там что, ≫ через O определяется? Мне кажется, самый удобный способ определить ≫ — связать его с ≈. Например, так:
a ≈ a + b ⇔ a ≫ b
По сути ведь, вроде, в таких ситуациях этот знак и используется!

возможно, я тут не прав, но если мы станем определять "много больше" через "приблизительно", мы далеко не уедем. попробую проэкстаполировать

- а что такое приблизительно?

- ну, это когда разность много меньше, т.е. (a+b)-a << a

и круг замкнулся.

Название: Помощь по математике
Отправлено: arseniiv от октября 25, 2010, 19:03

Ну так можно любые вещи друг через друга поопределять, а не только эти две. Просто мне показалось, что ≈ более общее понятие.

RawonaM, не помню, как, его обычно вроде и не определяют.

Квас придёт и нас рассудит. Надеюсь.

Offtop

Цитата: RawonaM от октября 25, 2010, 18:34
Че-то наоборот получилось. Я все лето путешествовал, чтобы не умирать от жары

Сейчас уже давно не лето! ;D Когда почините PNG?

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от октября 25, 2010, 19:29

Знаки ≈ и >> в основном встречаются в естественных науках, а в самой математике они малоупотребительны и не имеют устоявшегося значения. Но при желании в понятия «приблизительно равно» или «много больше» можно вложить точный смысл. Например, можно считать, что a много больше b, если b = o(a), и что a ≈ b, если a = γb, где γ → 1 (при b <> 0 это эквивалентно условию a/b → 1). Тогда формула cos x ≈ 1 - x^2/2 (x →0) получает строгий смысл.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от октября 25, 2010, 19:30

Цитата: arseniiv от октября 25, 2010, 19:03
ЦитироватьЧе-то наоборот получилось. Я все лето путешествовал, чтобы не умирать от жары
Сейчас уже давно не лето! ;D Когда почините PNG?

Мы же это уже проходили. Это у вас не лето. А тут еще лето в самом разгаре. Впрочем, последние пару дней полегчало. Только в Эйлате +35. C PNG там недолго разбираться, но щас времени нет. Может быть на днях сделаю.

Название: Помощь по математике
Отправлено: arseniiv от октября 25, 2010, 20:01

Цитата: RawonaM от октября 25, 2010, 19:30
Мы же это уже проходили. Это у вас не лето. А тут еще лето в самом разгаре.

А, ну да, забыл.

Цитата: Квас от октября 25, 2010, 19:29
Тогда формула cos x ≈ 1 - x^2/2 (x →0) получает строгий смысл.

Кстати, мы таких штук не писали, а использовали эквивалентность f(x) ∼ g(x) бесконечно малых («при x → 0» в этой записи подразумевалось). Зато у нас была формула (впрочем, никуда она не делась) f(x + Δx) ≈ f(x) + f′(x) Δx.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Bhudh от октября 25, 2010, 20:20

Ну, последняя-то формула ещё в школьных началах проходится...

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от октября 25, 2010, 20:22

Цитата: arseniiv от октября 25, 2010, 20:01
Кстати, мы таких штук не писали, а использовали эквивалентность f(x) ∼ g(x) бесконечно малых («при x → 0» в этой записи подразумевалось).

Кажется, мы тоже. Указывать, к чему стремится x, требует занудность. Но эквивалентность бесконечно малых — это тоже, мне кажется, больше методическое понятие. То есть для перваков. :)

Цитата: arseniiv от октября 25, 2010, 20:01
f(x + Δx) ≈ f(x) + f′(x) Δx.

Хех. Лаплас, что ли? :green: Всё прогрессивное человечество не морочит голову и пишет h.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от октября 25, 2010, 20:32

Цитата: arseniiv от октября 25, 2010, 20:01
Кстати, мы таких штук не писали, а использовали эквивалентность f(x) ∼ g(x) бесконечно малых

Вводить специальный значок излишне, потому что хватает o-символики. Которая к тому же точнее, так как эквивалентность бесконечно малых подразумевает только f(x) = g(x) + o(x) (если x → 0), а o-символика позволяет единообразно оперировать и с малыми высших порядков. Наверно, знак эквивалентности здесь используют, чтобы студенты обратили внимание на эквивалентность.

Название: Помощь по математике
Отправлено: arseniiv от октября 25, 2010, 20:41

Цитата: Bhudh от октября 25, 2010, 20:20
Ну, последняя-то формула ещё в школьных началах проходится...

Интересные у тебя школьные начала! Хотя, я, в принципе, не помню.

Цитата: Квас от октября 25, 2010, 20:22
Хех. Лаплас, что ли? :green: Всё прогрессивное человечество не морочит голову и пишет h.

Ну, можно и h. Кстати, кто первый начал использовать h в этом смысле?

Цитата: Квас от октября 25, 2010, 20:22
Но эквивалентность бесконечно малых — это тоже, мне кажется, больше методическое понятие. То есть для перваков. :)

Да, действительно, оно нам не встречалось дальше.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Ильич от октября 25, 2010, 22:07

Цитата: RawonaM от октября 25, 2010, 11:56
ЦитироватьНайти M>0 такой, чтобы при х>M было верно
(6x² - 7sin(x)) / (3x + 1) > 1000

Поиски минимального M, обладающего требуемым свойством, про которое тут писали, это другая задача. И ответ, даже если его найти, в этой другой задаче не может быть выражен комбинацией употребляемых в учебном процессе функций. Поэтому, рекомендую забыть об этом поиске.

Цитата: RawonaM от октября 25, 2010, 11:56Тут интуитивно понятно, что если взять любой большой М (например 10000), то это будет верно.

Это и есть решение. Осталось его правильно записать. Это сделал Квас. Хоть и назвал это не слишком элегантным решением, но это решение.

ЦитироватьНайти все возможные значения х:
|sin(x)|<=sin(2x)

Никто не написал ответ.
pi * n <= x <= pi/3 + pi * n, где n любое целое число.

Название: Помощь по математике
Отправлено: taqseem от октября 25, 2010, 23:17

Цитата: Ильич от октября 25, 2010, 22:07
Никто не написал ответ.
pi * n <= x <= pi/3 + pi * n, где n любое целое число.

как так никто? Ильич написал! надо было написать "никто кроме меня".

cheers!

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от октября 25, 2010, 23:28

Цитата: Ильич от октября 25, 2010, 22:07
Никто не написал ответ.

Я написал у себя в решении :) Ответ не важен, важно направить в нужное русло :)

Цитата: Ильич от октября 25, 2010, 22:07
Поиски минимального M, обладающего требуемым свойством, про которое тут писали, это другая задача.

Этого и не требовалось.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Ильич от октября 26, 2010, 00:10

Цитата: RawonaM от октября 25, 2010, 23:28Я написал у себя в решении :) Ответ не важен, важно направить в нужное русло :)

Это верно в любом случае, потому что оформить решение можно многими разными способами, а мы не знаем требований ваших проверяющих. Если возможно, поясните, так сказать, контекст. Где, для кого эти задачки.
Но, если у Вас там на самом деле математика, то некоторые очевидные детали могут оказаться важными и необходимыми в записи доказательства.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от октября 26, 2010, 00:50

Цитата: Ильич от октября 26, 2010, 00:10
Если возможно, поясните, так сказать, контекст. Где, для кого эти задачки.
Но, если у Вас там на самом деле математика

На самом деле математика: курс математического анализа. Это пока так, разминка, для того чтобы память освежить.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Ильич от октября 26, 2010, 01:00

Цитата: RawonaM от октября 26, 2010, 00:50
На самом деле математика: курс математического анализа.

По нашим реалиям курс математического анализа это уже серьёзно. А вот вроде бы то же самое под названием высшая математика в макаронно-сверлильном, увы, нет.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Bhudh от октября 26, 2010, 21:34

Учитывая, что RawonaM получал почти математическое образование (:green:), для него это разминка.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от октября 26, 2010, 21:38

Цитата: Bhudh от октября 26, 2010, 21:34
Я помню твоё замечание в 3-игрых шахматах

А я не помню... :what:

Название: Помощь по математике
Отправлено: Bhudh от октября 26, 2010, 21:39

«Пришлось перечитать учебник по [какой-то там, забылось] геометрии.»

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от октября 26, 2010, 21:48

Цитата: Bhudh от октября 26, 2010, 21:39
«Пришлось перечитать учебник по [какой-то там, забылось] геометрии.»

По аналитической. Точнее по линейной алгебре. Но математического образования я никогда не получал. А учиться никогда не поздно. :yes:

Кстати и правда, чтобы интереснее и эффективнее училась математика, можно взять какую-нибудь задачу типа написать трехмерный алгоритм какой-то, а для этого нужна математическая основа :)

Название: Помощь по математике
Отправлено: Bhudh от октября 26, 2010, 21:53

Цитата: RawonaMНо математического образования я никогда не получал.

А я и написал «почти» ;).

Цитата: RawonaMможно взять какую-нибудь задачу типа написать трехмерный алгоритм какой-то

Я когда-то самостоятельно вывел формулу нормали ::), точнее даже, использовал её в формуле эволюты. Правда, в 2D...

Название: Помощь по математике
Отправлено: Марбол от октября 26, 2010, 22:06

Здравствуйте!

Смотрите, я составляю комплексный потенциал в виде U+Vi=Qcosф*lnZ, где U - потенциальная функция, V - функция тока, Z - комплексное переменное, Q - обильность источника; ф=arg(Z). Соответственно, U=Qcosф*lnR, V=Qфcosф, где обозначено R=|Z|. Обратите внимение уже на функцию тока при V=a=const: это два пучка прямых фi=const возле направлений ф=+п/2, -п/2 и заодно с ними два луча в промежутке (п/2, =п/2).
Перейдём к скоростям: dU/dR=Qcosф/R - радиальная составляющая; по-моему, линии её постоянного значения соответствуют пучку окружностей в правой полуплоскости, проходящих через 0 касательно к прямой ф=+,-п/2. (dU/dф)/R=-Qsinф/R*lnR - тангенциальная составляющая; по-моему, линии её постоянного значения состоят из вложенных друг в друга овалов в секторе (0<ф<п; 1<R<+inf) и овалов, имеющих общую точку 0, в секторе (0<ф<п; 0<R<1). То есть линии равной радиальной скорости не перпендикулярны линиям равной тангенциальной скорости??

Название: Помощь по математике
Отправлено: Марбол от октября 28, 2010, 16:10

Здравствуйте!

Написанный мной потенциал, кто бы мог подумать, не отвечает условиям Коши-Римана:
dU/dR=Q/R*cosф,
1/R*dV/dф=Q/R*(cosф-фsinф)<>dU/dR;
1/R*dU/dф=-Q/R*lnR*sinф,
-dV/dR=-0<>1/R*dU/dф, - так что пусть идёт лесом. Но, конечно же, его можно исправить в этом отношении.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от октября 31, 2010, 23:51

(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Cmathop%7B%5Clim%7D%5Climits_%7Bx%20%5Cto%20%5Cinfty%7Dx(%5Csqrt%7Bx%5E2%2B1)%20-%20x)%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D)
Нужно сказать верно или неверно. Я думаю, что верно, но доказать не могу.

Не могу понять хотя б примерно в какую сторону копать, в 12 ночи голова ваще не варит :(

П.С. Нашел классный способ вводить формулы (http://www.sitmo.com/latex/)!

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от ноября 1, 2010, 00:10

Вот еще:
(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Cmathop%7B%5Clim%7D%5Climits_%7Bx%20%5Cto%204%7D(%5Cfrac%7B%5Csqrt%7Bx%7D%7D%7Bx-4%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7Bx%7D-2%7D)%3D%5Cinfty)

Знаю, что неверно, но как это показать фиг знает.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Ильич от ноября 1, 2010, 00:34

Цитата: RawonaM от октября 31, 2010, 23:51Нашел классный способ вводить формулы (http://www.sitmo.com/latex/)!

Ну так напишите свою формулу без ошибок.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Ильич от ноября 1, 2010, 00:44

Цитата: RawonaM от ноября 1, 2010, 00:10
Вот еще:
(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Cmathop%7B%5Clim%7D%5Climits_%7Bx%20%5Cto%204%7D(%5Cfrac%7B%5Csqrt%7Bx%7D%7D%7Bx-4%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7Bx%7D-2%7D)%3D%5Cinfty)

Знаю, что неверно, но как это показать фиг знает.

Сложим дроби. Под знаком предела стоит (-2/(х-4)). Предел слева плюс бесконечность, предел справа минус бесконечность.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Тайльнемер от ноября 1, 2010, 05:43

Цитата: RawonaM от октября 31, 2010, 23:51
(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Cmathop%7B%5Clim%7D%5Climits_%7Bx%20%5Cto%20%5Cinfty%7Dx(%5Csqrt%7Bx%5E2%2B1)%20-%20x)%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D)

Равонам, у вас скобки расставлены как-то странно. Видимо, должно быть так:
(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Cmathop%7B%5Clim%7D%5Climits_%7Bx%20%5Cto%20%5Cinfty%7Dx%5Cleft(%20%5Csqrt%7Bx%5E2%2B1%7D-x%20%5Cright)%3D%5Cfrac12)
Да?

Название: Помощь по математике
Отправлено: Тайльнемер от ноября 1, 2010, 07:17

Если так, тогда:

(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=120&eq=%5Clim_%7Bx%5Cto%2B%5Cinfty%7Dx%5Cleft(%5Csqrt%7Bx%5E2%2B1%7D-x%5Cright)%20%3D%20%5Cleft(%5Clim_%7Bx%5Cto%2B0%7D%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5Csqrt%7Bx%5E2%2B1%7D-x%5E2%7D%20%5Cright)%5E%7B-1%7D%20%3D)
(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=120&eq=%3D%20%5Cleft(%5Clim_%7Bx%5Cto%2B0%7D%20%5Cfrac%7Bx%5Csqrt%7Bx%5E2%2B1%7D%2Bx%5E2%7D%7Bx%5E2%5Cleft(x%5E2%2B1%5Cright)-x%5E4%7D%20%5Cright)%5E%7B-1%7D%20%3D%20%5Cleft(%5Clim_%7Bx%5Cto%2B0%7D%20%5Cfrac%7Bx%5Csqrt%7Bx%5E2%2B1%7D%2Bx%5E2%7D%7Bx%5E2%7D%20%5Cright)%5E%7B-1%7D%20%3D)
(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=120&eq=%3D%20%5Cleft(1%2B%5Clim_%7Bx%5Cto%2B0%7D%20%5Cfrac%7B%5Csqrt%7Bx%5E2%2B1%7D%7D%7Bx%7D%20%5Cright)%5E%7B-1%7D%20%3D%20%5Cleft(1%2B%5Csqrt%7B%5Clim_%7Bx%5Cto%2B0%7D%20%5Cfrac%7Bx%5E2%2B1%7D%7Bx%5E2%7D%7D%20%5Cright)%5E%7B-1%7D%20%3D)
(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=120&eq=%3D%20%5Cleft(1%2B%5Csqrt%7B1%7D%20%5Cright)%5E%7B-1%7D%20%3D%202%5E%7B-1%7D%20%3D%20%5Cfrac%201%202)

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от ноября 1, 2010, 09:20

sitmo — в закладки! :=

Та же идея, что у Тайльнемера:
(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=70&eq=%5Clim_%7Bx%5Cto%2B%5Cinfty%7D%20x%20%5Cleft(%20%5Csqrt%7Bx%5E2%2B1%7D%20-%20x%20%5Cright)%20%0A%3D%5Clim_%7Bx%5Cto%2B%5Cinfty%7D%20%5Cfrac%7Bx%20%5Cleft(%20%5Csqrt%7Bx%5E2%2B1%7D%20-%20x%20%5Cright)%5Cleft(%5Csqrt%7Bx%5E2%2B1%7D%20%2B%20x%5Cright)%7D%7B%5Csqrt%7Bx%5E2%2B1%7D%20%2B%20x%20%7D%3D%5C%5C%0A%3D%5Clim_%7Bx%5Cto%2B%5Cinfty%7D%20%5Cfrac%7Bx%5Cleft(%20%5Cleft(%20x%5E2%2B1%5Cright)-x%5E2%5Cright)%7D%7B%5Csqrt%7Bx%5E2%2B1%7D%20%2B%20x%20%7D%3D%5Clim_%7Bx%5Cto%2B%5Cinfty%7D%20%5Cfrac%7Bx%7D%7B%5Csqrt%7Bx%5E2%2B1%7D%20%2B%20x%20%7D%20%3D%20%5Clim_%7Bx%5Cto%2B%5Cinfty%7D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B1%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5E2%7D%7D%20%2B1%20%7D%20%3D%20%5Cfrac12)
Приём называется «умножение на сопряженное», то есть на выражение с радикалом, но с другим знаком, чтобы воспользоваться «разностью квадратов». Но это школьный уровень. Продвинутый первокурсник может решить с помощью формулы Тейлора:
(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=80&eq=%5Clim_%7Bx%5Cto%2B%5Cinfty%7D%20x%20%5Cleft(%20%5Csqrt%7Bx%5E2%2B1%7D%20-%20x%20%5Cright)%20%3D%20%5Clim_%7Bx%5Cto%2B%5Cinfty%7D%20x%5E2%20%5Cleft(%20%5Csqrt%7B1%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5E2%7D%7D%20-1%20%5Cright)%20%3D%5C%5C%3D%20%20%5Clim_%7Bx%5Cto%2B%5Cinfty%7D%20x%5E2%20%5Cleft(%5Cleft(1%20%2B%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2x%5E2%7D%20%2B%20o%5Cleft(%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5E2%7D%5Cright)%20%5Cright)-1%20%5Cright)%3D%20%5Clim_%7Bx%5Cto%2B%5Cinfty%7D%20%5Cleft(%5Cfrac12%20%2B%20o(1)%5Cright)%20%3D%20%5Cfrac12)

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от ноября 1, 2010, 09:39

Цитата: Тайльнемер от ноября 1, 2010, 05:43
Цитата: RawonaM от октября 31, 2010, 23:51
(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Cmathop%7B%5Clim%7D%5Climits_%7Bx%20%5Cto%20%5Cinfty%7Dx(%5Csqrt%7Bx%5E2%2B1)%20-%20x)%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D)
Равонам, у вас скобки расставлены как-то странно. Видимо, должно быть так:
(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Cmathop%7B%5Clim%7D%5Climits_%7Bx%20%5Cto%20%5Cinfty%7Dx%5Cleft(%20%5Csqrt%7Bx%5E2%2B1%7D-x%20%5Cright)%3D%5Cfrac12)
Да?

Да, благодарю :yes:

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от ноября 1, 2010, 11:55

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от ноября 1, 2010, 12:09

Цитата: Ильич от ноября 1, 2010, 00:44
Сложим дроби. Под знаком предела стоит (-2/(х-4)). Предел слева плюс бесконечность, предел справа минус бесконечность.

Спасибо, разобрался :)

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от ноября 1, 2010, 12:14

(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=70&eq=%5Clim_%7Bx%5Cto%2B%5Cinfty%7D%20x%20%5Cleft(%20%5Csqrt%7Bx%5E2%2B1%7D%20-%20x%20%5Cright)%20%0A%3D%5Clim_%7Bx%5Cto%2B%5Cinfty%7D%20%5Cfrac%7Bx%20%5Cleft(%20%5Csqrt%7Bx%5E2%2B1%7D%20-%20x%20%5Cright)%5Cleft(%5Csqrt%7Bx%5E2%2B1%7D%20%2B%20x%5Cright)%7D%7B%5Csqrt%7Bx%5E2%2B1%7D%20%2B%20x%20%7D%3D%5C%5C%0A%3D%5Clim_%7Bx%5Cto%2B%5Cinfty%7D%20%5Cfrac%7Bx%5Cleft(%20%5Cleft(%20x%5E2%2B1%5Cright)-x%5E2%5Cright)%7D%7B%5Csqrt%7Bx%5E2%2B1%7D%20%2B%20x%20%7D%3D%5Clim_%7Bx%5Cto%2B%5Cinfty%7D%20%5Cfrac%7Bx%7D%7B%5Csqrt%7Bx%5E2%2B1%7D%20%2B%20x%20%7D%20%3D%20%5Clim_%7Bx%5Cto%2B%5Cinfty%7D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B1%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5E2%7D%7D%20%2B1%20%7D%20%3D%20%5Cfrac12)
А отсюда случайно не следует ли, что и при х в минус бесконечность тоже предел = 1/2?

Название: Помощь по математике
Отправлено: Тайльнемер от ноября 1, 2010, 14:36

Цитата: RawonaM от ноября 1, 2010, 12:14
А отсюда случайно не следует ли, что и при х в минус бесконечность тоже предел = 1/2?

Нет.
(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=120&eq=%5Cfrac%7Bx%7D%7B%5Csqrt%7Bx%5E2%2B1%7D%2Bx%7D%3D%0D%0A%5Cbegin%7Bcases%7D%0D%0A%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B1%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5E2%7D%7D%2B1%7D%2C%26x%5Cgeqslant%200%5C%5C%0D%0A%5Cfrac%7B1%7D%7B-%5Csqrt%7B1%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5E2%7D%7D%2B1%7D%2C%26x%5Cleqslant%200%0D%0A%5Cend%7Bcases%7D)
Поэтому предел при x → −∞ равен −∞

Название: Помощь по математике
Отправлено: Тайльнемер от ноября 1, 2010, 14:46

Цитата: RawonaM от ноября 1, 2010, 11:55
(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=120&eq=%5Clim_%7Bx%5Cto%2B%5Cinfty%7Dx%5Cleft(%5Csqrt%7Bx%5E2%2B1%7D-x%5Cright)%20%3D%20%5Cleft(%5Clim_%7Bx%5Cto%2B0%7D%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5Csqrt%7Bx%5E2%2B1%7D-x%5E2%7D%20%5Cright)%5E%7B-1%7D%20%3D)
А это вы как сделали? Я такого не знаю, вроде бы...
+0 это 0 имеется в виду?

«+0» — это опечатка, извините. Там везде x → +∞.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от ноября 1, 2010, 21:10

Опять вечер и опять вдруг становится много чего непонятно...
Смотрите, известно, что:
(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Cmathop%7B%5Clim%7D%5Climits_%7Bx%20%5Cto%200%7D%5Cfrac%7Bsin%20x%7D%7Bx%7D%3D1)

Тогда выходит, что если например x=ay, а любое число, то:
(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Cmathop%7B%5Clim%7D%5Climits_%7By%20%5Cto%200%7D%5Cfrac%7Bsin%20ay%7D%7Bay%7D%3D1)

Почему когда я рисую на графическом калькуляторе sin(2x)/2x, там четко видно, что предел в нуле? Как это возможно?

Название: Помощь по математике
Отправлено: arseniiv от ноября 1, 2010, 21:11

Цитата: RawonaM от октября 31, 2010, 23:51
П.С. Нашел классный способ вводить формулы!

А mathURL (http://mathurl.com) видали? Возможно, это немного не то, но он хранит все эти формулы у себя, а картинка имеет простую маленькую ссылочку.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от ноября 1, 2010, 21:21

(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Cmathop%7B%5Clim%7D%5Climits_%7Bx%20%5Cto%20%5Cinfty%7D%5Cfrac%7Bsin(ax)%7D%7Bax%7D%3D0)
Верно ли?
Без а так очевидно верно. А уж после последнего примера, я уж не знаю.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от ноября 1, 2010, 21:24

Цитата: arseniiv от ноября 1, 2010, 21:11
ЦитироватьП.С. Нашел классный способ вводить формулы!
А это mathURL[/utl] видали? Возможно, это немного не то, но он хранит все эти формулы у себя, а картинка имеет простую маленькую ссылочку.

Плохое решение. Рано или поздно эти ссылки работать не будут. Сколько памяти он тратит просто так?
Лучше закодировать формулу прямо в ссылку и на ходу генерировать картинку, как там. Иногда мне даже не нужно ходить на тот сайт, я просто сам ссылку редактирую и все.

Название: Помощь по математике
Отправлено: arseniiv от ноября 1, 2010, 21:29

Цитата: RawonaM от ноября 1, 2010, 21:24
Лучше закодировать формулу прямо в ссылку и на ходу генерировать картинку, как там. Иногда мне даже не нужно ходить на тот сайт, я просто сам ссылку редактирую и все.

А, вот там как (я только в закладки доабвил, чтобы потом разбираться). Ну да. Но, думаю, оба подхода имеют область применимости и область неприменимости.

Цитата: RawonaM от ноября 1, 2010, 21:21
(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Cmathop%7B%5Clim%7D%5Climits_%7Bx%20%5Cto%20%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B%5Csin%20ax%7D%7Bax%7D%3D0)
Верно ли?
Без а так очевидно верно. А уж после последнего примера, я уж не знаю.

Верно, но я уже забыл пределы (это плохо, конечно, но это свойство моей памяти, хотя со справочником, а иногда и просто с интуицией получается правильно; так что знаю, что пишу :eat: ;D), у нас щас кратные интегралы.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Ильич от ноября 1, 2010, 21:32

Цитата: RawonaM от ноября 1, 2010, 21:10
Почему когда я рисую на графическом калькуляторе sin(2x)/2x, там четко видно, что предел в нуле? Как это возможно?

Где-то ошибаетесь. Может быть, скобки не поставили sin(2x)/(2x)

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от ноября 1, 2010, 21:47

Цитата: Ильич от ноября 1, 2010, 21:32
ЦитироватьПочему когда я рисую на графическом калькуляторе sin(2x)/2x, там четко видно, что предел в нуле? Как это возможно?
Где-то ошибаетесь. Может быть, скобки не поставили sin(2x)/(2x)

Действительно, так и есть. Спасибо, а то думал я уже с ума схожу :)

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от ноября 1, 2010, 21:51

(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Cmathop%7B%5Clim%7D%5Climits_%7Bx%20%5Cto%200%7D(%5Csqrt%5B3%5D%7Bx-8%7D%2B2)sin(1%2Fx))
Как можно высчитать такой предел? Или доказать его несуществование, хотя по-моему он вполне существует себе.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Bhudh от ноября 1, 2010, 22:00

http://www.wolframalpha.com/input/?i=lim (((x-8)^(1/3)+2)sin(1/x)) (http://www.wolframalpha.com/input/?i=lim+%28%28%28x-8%29%5E%281%2F3%29%2B2%29sin%281%2Fx%29%29)

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от ноября 1, 2010, 22:29

Если написать \sin (с пробелом в конце), то получится красивый синус.

Цитата: RawonaM от ноября 1, 2010, 21:51
Как можно высчитать такой предел?

Первый множитель стремится к 0, второй ограничен: произведение бесконечно малой на ограниченную есть бесконечно малая.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от ноября 1, 2010, 22:41

Цитата: RawonaM от ноября 1, 2010, 21:47
Спасибо, а то думал я уже с ума схожу

Знакомо: то ли автор книги (компьютер, преподаватель...) с ума сошёл, то ли ты, и третьего не дано. ;D

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от ноября 1, 2010, 22:42

Цитата: Bhudh от ноября 1, 2010, 22:00
wolframalpha.com

Классная штука!

Цитата: Квас от ноября 1, 2010, 22:29
ЦитироватьКак можно высчитать такой предел?
Первый множитель стремится к 0, второй ограничен: произведение бесконечно малой на ограниченную есть бесконечно малая.

Спасибо. Что-то никак я не вникну в эти пределы... Беспредел...

Название: Помощь по математике
Отправлено: Ильич от ноября 1, 2010, 22:43

Цитата: RawonaM от ноября 1, 2010, 21:51
(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Cmathop%7B%5Clim%7D%5Climits_%7Bx%20%5Cto%200%7D(%5Csqrt%5B3%5D%7Bx-8%7D%2B2)sin(1%2Fx))
Как можно высчитать такой предел? Или доказать его несуществование, хотя по-моему он вполне существует себе.

-(x-8)^1/3-2<=((x-8)^1/3+2)sin(1/x)<=(x-8)^1/3+2
То есть, функцию, которая стоит под знаком предела ограничим снизу и сверху, заменив синус на -1 и +1 соответственно.
Предел самой левой части неравенства очевиден. Это 0. Справа так же. То есть пределы ограничивающих функций существуют и равны нулю. Тогда и функция в средней части неравенства тоже имеет тот же предел 0.
В России эта теорема всегда называлась теоремой о двух милиционерах. Если известно, что два милиционера идут в отделение, то и пьяный, которого они ведут и который болтается между ними, тоже придёт в отделение.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от ноября 1, 2010, 22:54

(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Cmathop%7B%5Clim%7D%5Climits_%7Bx%20%5Cto%20%5Cpi%2F2%7D%5Carctan%20(%5Ctan%20x)%20%3D%20%5Cpi%2F2)
Это вроде должно быть верно. Но у меня тут есть некоторые сомнения, развейте пожалуйста.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от ноября 1, 2010, 22:56

Цитата: Ильич от ноября 1, 2010, 22:43
В России эта теорема всегда называлась теоремой о двух милиционерах. Если известно, что два милиционера идут в отделение, то и пьяный, которого они ведут и который болтается между ними, тоже придёт в отделение.

У нас в учебнике эта теорема называется мишпат (теорема) сендвича, бутерброда тобто. Я думаю что это передрано с английского.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от ноября 1, 2010, 22:57

Цитата: RawonaM от ноября 1, 2010, 22:42
Что-то никак я не вникну в эти пределы... Беспредел...

Ограниченность — это уже «на смекалку», так что не переживайте.

Учебников по матанализу много, но есть среди них особенные. Шилов, «Математический анализ. Функции одного переменного» — это хорошо написанная книга для вдумчивого студента‐математика. Это не общеобразовательный учебник, а дополнительное чтение, там много тонкостей, «идеологии». Может, кому пригодится:
http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/mathematics/calculus.htm

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от ноября 1, 2010, 22:59

Цитата: Ильич от ноября 1, 2010, 22:43
-(x-8)^1/3-2<=((x-8)^1/3+2)sin(1/x)<=(x-8)^1/3+2
То есть, функцию, которая стоит под знаком предела ограничим снизу и сверху, заменив синус на -1 и +1 соответственно.
Предел самой левой части неравенства очевиден. Это 0. Справа так же. То есть пределы ограничивающих функций существуют и равны нулю. Тогда и функция в средней части неравенства тоже имеет тот же предел 0.

Прикольное решение. Блин, сколько ж надо перерешать, чтобы сразу видеть эти все трюки...

Название: Помощь по математике
Отправлено: Bhudh от ноября 1, 2010, 23:01

http://www.wolframalpha.com/input/?i=lim (arctan(tan(x)) (http://www.wolframalpha.com/input/?i=lim+%28arctan%28tan%28x%29%29)

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от ноября 1, 2010, 23:05

Цитата: Квас от ноября 1, 2010, 22:57
Учебников по матанализу много, но есть среди них особенные. Шилов, «Математический анализ. Функции одного переменного» — это хорошо написанная книга для вдумчивого студента‐математика.

Мне жутко интересно, но времени не хватает даже на наш штатный учебник проучить как следует... Может надо перереспределить время как-то...
У меня есть пару учебников на русском языке, один из них лекции Босса, другой курс Тер-Крикорова и Шабунина. Я их даже не открывал еще. Они чего-то стоят?

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от ноября 1, 2010, 23:07

Цитата: RawonaM от ноября 1, 2010, 22:54
Это вроде должно быть верно.

Предел не существует. Есть односторонние: если (http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=x%5Cto%20%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%20-%200), то (http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Cmathop%7B%5Cmathrm%7Btg%7D%7D%20%20x%20%5Cto%20%2B%20%5Cinfty), поэтому (http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Cmathop%7B%5Crm%20arctg%7D%20(%20%5Cmathop%7B%5Crm%20tg%7D%20x)%20%5Cto%20%5Cfrac%20%5Cpi%202), если же (http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=x%20%5Cto%20%5Cfrac%20%5Cpi%202%20%2B%200), то (http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Cmathop%7B%5Crm%20tg%7D%20x%20%5Cto%20-%5Cinfty), поэтому (http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Cmathop%7B%5Crm%20arctg%7D%20(%20%5Cmathop%7B%5Crm%20tg%7D%20x)%20%5Cto%20-%5Cfrac%20%5Cpi%202)

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от ноября 1, 2010, 23:12

Цитата: RawonaM от ноября 1, 2010, 23:05
лекции Босса и курс Тер-Крикорова и Шабунина. Я их даже не открывал еще. Они чего-то стоят?

Я их не знаю. У нас трёхтомник Кудрявцева пользовался авторитетом, а в начале хорошо читать Фихтенгольца. Кстати, Фихтенгольца рекомендую: написано очень подробно и хорошим языком, читать приятно.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от ноября 1, 2010, 23:15

Цитата: RawonaM от ноября 1, 2010, 22:59
Блин, сколько ж надо перерешать, чтобы сразу видеть эти все трюки...

Демидовича знаете? Очень помогает. Я, помню, интегралы хорошо считать научился: начал их решать подряд, и когда исписал тетрадь, всё стало ОК. ;D Ссылка на Демидовича на той же странице есть.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от ноября 1, 2010, 23:32

Цитата: Квас от ноября 1, 2010, 23:15
Я, помню, интегралы хорошо считать научился: начал их решать подряд, и когда исписал тетрадь, всё стало ОК.

Да, это точно, чем больше решаешь, тем ближе дело стремится к ОК. ОК это предел :)
Интересно, а насколько с возрастом теряются способности к математике? Я помню как я в детсве щелкал эту всю математику-шматематику, щас так не проходит, напоминаю себе своих по тогдашним меркам тупых одноклассников и одногруппников.

Цитата: Квас от ноября 1, 2010, 23:15
Демидовича знаете? Очень помогает.

Надо взглянуть.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от ноября 1, 2010, 23:43

Цитата: RawonaM от ноября 1, 2010, 23:32
Интересно, а насколько с возрастом теряются способности к математике?

Не замечал такого эффекта. :)

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от ноября 1, 2010, 23:47

Цитата: Квас от ноября 1, 2010, 23:43
ЦитироватьИнтересно, а насколько с возрастом теряются способности к математике?
Не замечал такого эффекта. :)

Так вы и не можете заметить, потому что, полагаю, все основы математики вы уже давно освоили и сравнивать вам не с чем :)

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от ноября 2, 2010, 10:37

(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Cmathop%7B%5Clim%7D%5Climits_%7Bx%20%5Cto%20%5Cpm%5Cinfty%7D%20%5Cfrac%7Ba%7D%7Bx%7Dfloor(%5Cfrac%7Bx%7D%7Ba%7D))
Как с этим разобраться? Не нашел обозначение floor на sitmo.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от ноября 2, 2010, 10:46

floor(x) — это целая часть, то есть наибольшее целое, не превосходящее x?

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от ноября 2, 2010, 10:50

Цитата: Квас от ноября 2, 2010, 10:46
floor(x) — это целая часть, то есть наибольшее целое, не превосходящее x?

Да. Как это по-русски зовется?

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от ноября 2, 2010, 10:54

Я кажется понял как! Надо разложить это на сендвич (двух ментов) и тогда вроде как видно.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от ноября 2, 2010, 10:57

(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=1%3Da%2Fx*x%2Fa%5Cle%5Cfrac%7Ba%7D%7Bx%7Dfloor(%5Cfrac%7Bx%7D%7Ba%7D)%20%3C%20(x%2Fa%2B1)a%2Fx%3Da%2Fx%2B1)
Очевидно, что обе крайние стороны стремятся к одному при х в бесконечность, значит и колбаса к одному. Верно?

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от ноября 2, 2010, 11:00

Цитата: RawonaM от ноября 2, 2010, 10:57
Очевидно, что обе крайние стороны стремятся к одному при х в бесконечность, значит и колбаса к одному. Верно?

Из этого выходит, что и х в минус бесконечность тоже предел равен одному, не так ли?

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от ноября 2, 2010, 11:06

Цитата: RawonaM от ноября 2, 2010, 10:50
Как это по-русски зовется?

Целая часть, а обозначается обычно [ x] или E(x) (от entier).

А предел — с помощью теоремы о двух милиционерах. Предположим, что a > 0. Пусть (http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=x%20%5Cto%2B%20%5Cinfty). Так как
(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=x%20%5Cto%20%2B%5Cinfty%5Bimg%5D,%20%D1%82%D0%BE%D0%B3%D0%B4%D0%B0%3Cbr%20/%3E%5Bimg%5Dhttp://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Cfrac%20xa%20-1%20%20%3C%20E%5Cleft(%5Cfrac%20xa%20%5Cright)%20%5Cleqslant%20%5Cfrac%20xa)
то
(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=1%20-%5Cfrac%20ax%20%20%3C%20%5Cfrac%20ax%20E%5Cleft(%5Cfrac%20xa%20%5Cright)%20%5Cleqslant%201)
По теореме о двух милиционерах средний член стремится к 1.

Если (http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=x%20%5Cto%20-%20%5Cinfty), то идея та же, но меняется знак неравенства. Для отрицательных a всё аналогично, потому что имеет значение только знак отношения x/a. Можно было бы вообще заменить x/a = t.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от ноября 2, 2010, 11:10

Цитата: Квас от ноября 2, 2010, 11:06
Целая часть, а обозначается обычно или E(x) (от entier).

А квадратными скобками не обозначают? Как тут например: http://www.wolframalpha.com/input/?i=limit ((2/x)*floor(x/2)) as x->-infinity (http://www.wolframalpha.com/input/?i=limit+%28%282%2Fx%29*floor%28x%2F2%29%29+as+x-%3E-infinity)

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от ноября 2, 2010, 11:11

Собственно, я припоздал, но не пропадать же красоте (формулам).

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от ноября 2, 2010, 11:12

Цитата: RawonaM от ноября 2, 2010, 11:10
А квадратными скобками не обозначают?

Да‐да, у меня буллет сделался просто на месте [х]. :)

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от ноября 2, 2010, 11:17

Цитата: Квас от ноября 2, 2010, 11:06
Если (http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=x%20%5Cto%20-%20%5Cinfty), то идея та же, но меняется знак неравенства.

Вот это не понял... Почему меняется знак? Ведь неравенства те же для всех чисел: x<=[х]<x+1. И каков результат при минус бесконечность? -1 или 1?

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от ноября 2, 2010, 11:19

Цитата: Квас от ноября 2, 2010, 11:11
Собственно, я припоздал, но не пропадать же красоте (формулам).

Это я поспешил похоже с вопросом... Но не пропадать, у вас все так разложено по полочкам, что это в любом случае полезно :)

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от ноября 2, 2010, 11:21

Ну, во-первых, х-1 < [х] <= x. А знак меняется, когда делим на отрицательное x. Предел равен 1.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от ноября 2, 2010, 11:30

Цитата: Квас от ноября 2, 2010, 11:21
Ну, во-первых, х-1 < [х] <= x.

Почему же? Это вы верхнуюю целую часть обозначили, а не нижнюю. Floor это нижняя, верхняя это ceiling.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от ноября 2, 2010, 11:34

Цитата: Квас от ноября 2, 2010, 11:21
А знак меняется, когда делим на отрицательное x. Предел равен 1.

Все-таки не вкурил. Зачем нам делить на что-то? Вот смотрите:
(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=1%3D%5Cfrac%7Ba%7D%7Bx%7D%5Cfrac%7Bx%7D%7Ba%7D%5Cle%5Cfrac%7Ba%7D%7Bx%7DE(%5Cfrac%7Bx%7D%7Ba%7D)%20%3C%20(%5Cfrac%7Bx%7D%7Ba%7D%2B1)%5Cfrac%7Ba%7D%7Bx%7D%3D1%2B%5Cfrac%7Ba%7D%7Bx%7D)
Разложили начальную формулу на ментов, какая разница к чему стремятся иксы? Где вообще мы тут делим на х?

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от ноября 2, 2010, 11:40

Цитата: RawonaM от ноября 2, 2010, 11:30
ЦитироватьНу, во-первых, х-1 < [х] <= x.
Почему же? Это вы верхнуюю целую часть обозначили, а не нижнюю. Floor это нижняя, верхняя это ceiling.

Извините, вы правы, это я перепутал :)

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от ноября 2, 2010, 11:46

Ça ne fait rien. :)

У нас неравенство
t-1 < [t] <= t
Если его поделить на t < 0, то получается
1-1/t > [t]/t >= 1.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от ноября 2, 2010, 11:56

Цитата: Квас от ноября 2, 2010, 11:46
У нас неравенство
t-1 < [t] <= t
Если его поделить на t < 0, то получается
1-1/t > [t]/t >= 1.

А зачем нам делить?

Я вроде как без всякого деления к тому же самому прихожу:
(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=f(x)%3D%5Cfrac%7Ba%7D%7Bx%7DE(%5Cfrac%7Bx%7D%7Ba%7D))
Раскладываем:
(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=1-%5Cfrac%7Ba%7D%7Bx%7D%3Cf(x)%5Cle1)

По-моему я нигде не делил. Отсюда в какую бы бесконечность х не стремился а/х будет 0. Чего не хвататет в моем решении?

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от ноября 2, 2010, 11:59

Ну или умножить, одно и то же: знак неравенства меняется. Ведь если a/x < 0, то 1-a/x > 1.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от ноября 2, 2010, 12:20

Цитата: Квас от ноября 2, 2010, 11:59
Ну или умножить, одно и то же: знак неравенства меняется. Ведь если a/x < 0, то 1-a/x > 1.

Понятно. Тогда надо отдельно рассматривать положительные а и отрицательные...

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от ноября 6, 2010, 11:52

Требуется доказать по определению эпсилон-дельта, без дополнительных теорем:
(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Cmathop%7B%5Clim%7D%5Climits_%7Bx%20%5Cto%20%5Cfrac%7B2%7D%7B%5Cpi%7D%7D%20E(%5Csin%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D)%20%3D%200)

Вроде кажется что просто, но я крутил-крутил, запутался. В округе пи/2 целая часть синуса будет 0 и, казалось бы, все дела, но формально ниче у меня не получилось. Оставлю на потом, может выйдет.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от ноября 6, 2010, 12:29

Цитата: RawonaM от ноября 6, 2010, 11:52
В округе пи/2 целая часть синуса будет 0 и, казалось бы, все дела

Именно что. Для произвольного (http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Cvarepsilon%20%3E%200) положим (http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Cdelta%20%3D%201%2F%5Cpi) и все дела. Но если не лень набирать, вы приведите свои выкладки: интересно посмотреть.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от ноября 6, 2010, 12:41

Цитата: Квас от ноября 6, 2010, 12:29
Цитата: RawonaM от ноября 6, 2010, 11:52
В округе пи/2 целая часть синуса будет 0 и, казалось бы, все дела

Именно что. Для произвольного (http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Cvarepsilon%20%3E%200) положим (http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Cdelta%20%3D%201%2F%5Cpi) и все дела. Но если не лень набирать, вы приведите свои выкладки: интересно посмотреть.

Да, я уже разобрался, там действительно все просто как с обычной постоянной функцией. :)
Я просто зачем-то все усложнил сначала, потом запутался. Вот в итоге как я сделал:
Для любого эпсилона возьмем дельту<2/пи, тогда 0<х<4/пи, а для этих значений 0<sin(1/x)<1 => [sin(1/x)]=0<эпсилон.
Это ведь легитимное доказательство?

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от ноября 6, 2010, 12:57

Да, доказательство проходит, только добавить, что это для значений x <> 2/пи.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от ноября 6, 2010, 13:22

Цитата: Квас от ноября 6, 2010, 12:57
Да, доказательство проходит, только добавить, что это для значений x <> 2/пи.

Действительно, спасибо :)

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от ноября 9, 2010, 23:13

В общем, пробился довольно долго над головоломкой как доказать, что для любого х>0 верно (http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Csin%20(%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D)%20%3C%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D).

Считаю нерациональным дальше тратить на это время. Чувствую, что это очень легкая задача, но раз не идет так идет, подскажите. :) Мне кажется, что это в принципе то же самое, что доказать, что (http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Csin%20(x)%20%3C%20x), но какое доказательство проще я не знаю.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от ноября 9, 2010, 23:16

Цитата: RawonaM от ноября 9, 2010, 23:13
Мне кажется, что это в принципе то же самое, что доказать, что

Конечно! Одно неравенство превращается в другой заменой переменной.

Наверно, проще доказать второе: оно без дробей. Можно рассмотреть функцию
f(x) = x - sin x
и доказать, что f(x) > 0 при x > 0. Для этого можно взять производную и убедиться, что при x > 0 эта функция возрастает; а f(0) = 0.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от ноября 9, 2010, 23:20

Цитата: Квас от ноября 9, 2010, 23:16
Для этого можно взять производную

Это пока запрещено, до этого не дошли.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Bhudh от ноября 9, 2010, 23:50

Вах. Производная-то чужая, сказалы нэ брать!

Название: Помощь по математике
Отправлено: Ильич от ноября 10, 2010, 01:29

Без картинки не получается. Самое трудное здесь - понять, что такое X, то есть, угол.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от ноября 10, 2010, 08:19

Цитата: Ильич от ноября 10, 2010, 01:29
Без картинки не получается. Самое трудное здесь - понять, что такое X, то есть, угол.

Да я рисовал картинку, не помогло :( Просто в дебри какие-то уводит.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Ильич от ноября 10, 2010, 08:43

Цитата: RawonaM от ноября 10, 2010, 08:19Да я рисовал картинку, не помогло :( Просто в дебри какие-то уводит.

Не понял, так с моей картинкой, точнее, с пояснениями, которые там написаны, доказательство стало понятно?

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от ноября 10, 2010, 09:12

Цитата: Ильич от ноября 10, 2010, 08:43
ЦитироватьДа я рисовал картинку, не помогло :( Просто в дебри какие-то уводит.
Не понял, так с моей картинкой, точнее, с пояснениями, которые там написаны, доказательство стало понятно?

Теперь вникнул, вроде понятно. Надо только сформулировать более конкретно.
x=AB/R - это определение угла в радианах.
sin(x)=AC/R - по определению синуса.
AB>AC. Тогда без проблем.

Но есть у меня ощущение, что от нас требуется алгебраическое доказательтсво.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Ильич от ноября 10, 2010, 12:21

Цитата: RawonaM от ноября 10, 2010, 09:12
Цитата: Ильич от ноября 10, 2010, 08:43
ЦитироватьДа я рисовал картинку, не помогло :( Просто в дебри какие-то уводит.
Не понял, так с моей картинкой, точнее, с пояснениями, которые там написаны, доказательство стало понятно?
Теперь вникнул, вроде понятно. Надо только сформулировать более конкретно.
x=AB/R - это определение угла в радианах.
sin(x)=AC/R - по определению синуса.
AB>AC. Тогда без проблем.

Но есть у меня ощущение, что от нас требуется алгебраическое доказательтсво.

Ладно, RawonaM, раньше Вы писали, что Вам только идея нужна.
Что касается алгебраического доказательства, то это о чём? Есть такая наука, алгебра называется. Так в ней синусы не изучаются. Есть школьная тригонометрия, в ней нет сравнений аргументов и значений тригонометрических функций.
Как Вы собираетесь определить синус? Можно дать "алгебраическое" определение sin x = Im(exp(ix)). Оно Вам надо? А если синус это отношение противолежащего катета к гипотенузе, то вот Вам уже школьная геометрия: катет, гипотенуза.
Удачи.
P.S. В моем предыдущем сообщении одного не хватает: замечания, что достаточно рассматривать x<= 1.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от ноября 10, 2010, 13:36

Цитата: Ильич от ноября 10, 2010, 12:21
Ладно, RawonaM, раньше Вы писали, что Вам только идея нужна.

Да, и я ее получил, спасибо за помощь. ;up:

Название: Помощь по математике
Отправлено: arseniiv от ноября 10, 2010, 16:44

RawonaM, попробуйте через ряд Маклорена! :D Там уж сразу видно, что к чему.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от ноября 10, 2010, 16:50

Цитата: arseniiv от ноября 10, 2010, 16:44
Там уж сразу видно, что к чему.

Ну да, сразу видно. :P Это его надо под условия признака Лейбница подгонять и знать оценку остаточного члена в признаке Лейбница.

Название: Помощь по математике
Отправлено: arseniiv от ноября 10, 2010, 16:55

Зачем? Ведь x⁻⁵ — бесконечно малая относительно x⁻³!

(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Csin%20x%20%3D%20x%20-%20%5Cfrac%20%7Bx%5E3%7D%206%20%2B%20O(x%5E5))

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от ноября 10, 2010, 17:05

Ну, асимптотически вы доказали, при малых x. А дальше что?

Название: Помощь по математике
Отправлено: arseniiv от ноября 10, 2010, 17:07

Аэээ...

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от ноября 10, 2010, 21:20

Вот вторая часть головоломки:

(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Csup%20%5C%7Bx%20%5Csin%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D%20%7C%20x%3E0%5C%7D%3D1)

Очевидно, что все значения функции ниже одного, но напрямую доказать, что это супремум, у меня не получается. С другой стороны, если доказать, что (http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Cmathop%7B%5Clim%7D%5Climits_%7Bx%20%5Cto%20%5Cinfty%7D%20x%20%5Csin%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D), то из определения предела можно также доказать и наличие значений функции в области супремума. Но как доказать, что именно это предел, я не знаю, не получается. Прямое (эпсилон-дельта) доказательство предела приводит к тем же самым (тупиковым) рассчетам, что и доказательство супремума.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от ноября 10, 2010, 21:29

Первый замечательный предел знаком?
(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Clim_%7Bt%5Cto0%7D%5Cfrac%7B%5Csin%20t%7D%7Bt%7D%20%3D%201)
Очень помогает с синусами. В нашем случае:
(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=x%20%5Csin%20%5Cleft%20(%20%5Cfrac1x%20%5Cright)%20%3D%20%20%5Cfrac%7B%5Csin%20%5Cleft%20(%20%5Cfrac1x%20%5Cright)%7D%7B%5Cleft(%5Cfrac1x%5Cright)%7D%20%5Cto%201%20%5Cqquad%20(x%20%5Cto%20%5Cinfty)%20)

Кстати, я не люблю знак предела. Пишешь lim и думаешь: существует он или нет... Стрелки интуитивнее.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от ноября 10, 2010, 22:05

Цитата: Квас от ноября 10, 2010, 21:29
Первый замечательный предел знаком?
(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Clim_%7Bt%5Cto0%7D%5Cfrac%7B%5Csin%20t%7D%7Bt%7D%20%3D%201)
Очень помогает с синусами.

Да, знаком, я вот и думал, могу я его тут притулить или нет, но не притулил...
ОК, спасибо, дальше я справлюсь :)

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от ноября 10, 2010, 22:26

Цитата: RawonaM от ноября 10, 2010, 21:20
супремиума

Кстати, это «супремум», без «и». В книгах я не припомню; по‐моему, это жаргон. Причём математики не знают латыни и ударение делают на Е, а по идее — на первый слог. Я обычно говорю «верхняя грань», потому что короче, чем «точная верхняя границы».

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от ноября 10, 2010, 22:57

Цитата: Квас от ноября 10, 2010, 22:26
Цитироватьсупремиума
Кстати, это «супремум», без «и».

Я уже успел поправиться, пока вы писали. :)

Цитата: Квас от ноября 10, 2010, 22:26
В книгах я не припомню; по‐моему, это жаргон. Причём математики не знают латыни и ударение делают на Е, а по идее — на первый слог. Я обычно говорю «верхняя грань», потому что короче, чем «точная верхняя границы».

Да я вообще понятия не имел, как это по-русски выразить, так сказал, чтобы было ясно. На иврите ужасные термины придумали. Дословно что-то типа "блокировщик снизу/сверху/верхний/нижний". Для супремум/инфимум используются ивритские слова, для других блокировщиков арамейские. Классное поле для запутывания.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от ноября 13, 2010, 14:17

(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Cmathop%7B%5Clim%7D%5Climits_%7Bx%20%5Cto%200%7D%5Cfrac%7B%5Csqrt%5B3%5D%7Bx%2B1%7D-1%7D%7Bx%7D)
Как такую штуку вычислять? Какой трюк, избавляет от кубических корней? :)

Название: Помощь по математике
Отправлено: GaLL от ноября 13, 2010, 14:30

Можно воспользоваться правилом Лопиталя.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от ноября 13, 2010, 14:32

Цитата: GaLL от ноября 13, 2010, 14:30
Можно воспользоваться правилом Лопиталя.

С Лопиталем еще не общался, но Гугл сказал, что Лопиталь с производными работает, а тут надо бы без производной это сделать, чисто руками.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от ноября 13, 2010, 14:52

Цитата: RawonaM от ноября 13, 2010, 14:17
Как такую штуку вычислять? Какой трюк, избавляет от кубических корней?

Тоже умножить числитель и знаменатель на сопряжённое, чтобы получить разность кубов по формуле
(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=a%5E3%20-%20b%5E3%20%3D%20(a-b)(a%5E2%2Bab%2Bb%5E2))
В данном случае применить для
(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=a%20%3D%20%5Csqrt%5B3%5D%20%7B1%2Bx%7D%2C%20%5Cquad%20b%20%3D%201.)

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от ноября 13, 2010, 15:34

ОК, получилось, спасибо :)

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от ноября 14, 2010, 21:31

Надо решить:
(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Cmathop%7B%5Clim%7D%5Climits_%7Bx%20%5Cto%200%7D%5Cfrac%7B%5Csin%203x%7D%7B4x%7D)

Раскладываем на левый и правый предел, это левый:
(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Cmathop%7B%5Clim%7D%5Climits_%7Bx%20%5Cto%200-%7D%5Cfrac%7B%5Csin%203x%7D%7B4x%7D%3D%5Cmathop%7B%5Clim%7D%5Climits_%7Bx%20%5Cto%200-%7D%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D%20*%20%5Cmathop%7B%5Clim%7D%5Climits_%7Bx%20%5Cto%200-%7D%5Cfrac%7B%5Csin%203x%7D%7B3x%7D%20%3D%20-%5Cinfty)
Так же получаем правый +бесконечность. Итого нет предела.

Гиде ошибка??

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от ноября 14, 2010, 21:36

Цитата: RawonaM от ноября 14, 2010, 21:31
Гиде ошибка??

Арифметическая:
(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Cfrac%7B%5Csin%203x%7D%7B4x%7D%20%3D%20%5Cfrac%2034%20%5Cfrac%7B%5Csin%203x%7D%7B3x%7D%20%5Cto%20%5Cfrac%2034%20%5Ccdot%201%20%3D%20%5Cfrac34)

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от ноября 14, 2010, 21:39

Цитата: Квас от ноября 14, 2010, 21:36
ЦитироватьГиде ошибка??
Арифметическая:

Тьфу блин, савсем крыша поехала :) Пасибо :)

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от декабря 4, 2010, 14:49

Такой вопрос: для функции f(x)=|x| в точке х=0 нет производной. Но ведь касательная же есть или ее тоже нет? Вроде как графически очевидно, что касательная это f(x)=0, то почему бы не определить производную как среднее между "правой и левой производной" (т.е. для f(x)=x и f(x)=-x, тогда f'(x)=(1-1)/2=0)? Есть такие теории?

Название: Помощь по математике
Отправлено: arseniiv от декабря 4, 2010, 16:53

Найдите касательную правильно! ;) Касательная — это предел секущей.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от декабря 4, 2010, 17:00

Цитата: arseniiv от декабря 4, 2010, 16:53
Найдите касательную правильно! ;) Касательная — это предел секущей.

А секущая это что такое? Так значит касательная есть и она не 0?

Название: Помощь по математике
Отправлено: Bhudh от декабря 4, 2010, 17:01

Цитата: RawonaMВроде как графически очевидно, что касательная это f(x)=0

:what:
Касательная к углу?‥

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от декабря 4, 2010, 17:15

Цитата: Bhudh от декабря 4, 2010, 17:01
ЦитироватьВроде как графически очевидно, что касательная это f(x)=0
:what:
Касательная к углу?‥

То есть нету касательной? Вы меня щас запутаете в корне :)

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от декабря 4, 2010, 17:16

А почему собственно и не касательная к углу? Касательная к прямой есть, а к углу нет?

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от декабря 4, 2010, 17:22

Цитата: RawonaM от декабря 4, 2010, 14:49
Такой вопрос: для функции f(x)=|x| в точке х=0 нет производной. Но ведь касательная же есть или ее тоже нет?

Касательной нет.

Основное в понятии касательной — это то, что она плотно прижимается к кривой (или поверхности). Говоря строгим языком, расстояние от точки кривой до касательной есть бесконечно малая высшего порядка по сравнению с расстоянием до точки касания. То есть, например, мы отодвигаемся по кривой на 1 мм, а оказываемся от касательной на расстоянии всего 0,001 мм.

А ваша интуиция ближе к понятию «опорная прямая». Такие прямые рассматривают в теории выпуклых фигур: фигур имеет с опорной прямой общие точки, но лежит по одну сторону от этой прямой. Например, прямые, содержащие стороны выпуклого многоугольника, являются опорными, а через вершины многоугольника можно провести бесконечно много опорных прямых.

Опорная прямая — понятие глобальное (относится ко всей фигуре), а касательная — локальное (определяется поведением кривой вблизи точки касания), и в понятие касательной заложена определённая инфинитезимальность.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Bhudh от декабря 4, 2010, 17:24

Цитата: RawonaMКасательная к прямой есть, а к углу нет?

Так касательная к прямой равна ей же.
А как ты предел секущей (прямой проходящей через 2 точки графика) к углу построишь? Это только если считать, что с двух сторон две разные (противоположные) касательные.
Что противоречит правилу, что касательная — одна.

Цитата: Квасфигур имеет с опорной прямой общие точки

:up: Классное слово!

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от декабря 4, 2010, 17:33

Квас, спасибо, буду переваривать :)

Цитата: Bhudh от декабря 4, 2010, 17:24
А как ты предел секущей (прямой проходящей через 2 точки графика) к углу построишь? Это только если считать, что с двух сторон две разные (противоположные) касательные.

Вот я в эту сторону и думал, что можно определить касательную как среднее между касательными с двух сторон:

Цитата: RawonaM от декабря 4, 2010, 14:49
Вроде как графически очевидно, что касательная это f(x)=0, то почему бы не определить производную как среднее между "правой и левой производной" (т.е. для f(x)=x и f(x)=-x, тогда f'(x)=(1-1)/2=0)? Есть такие теории?

Да, правильно Квас написал, я больше понимал касательная как "опорная прямая". Собственно до сих пор не очень понимаю разницу.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от декабря 4, 2010, 17:34

Т.е. опорная прямая и касательная всегда совпадают в тех точках, где касательная существует?

Название: Помощь по математике
Отправлено: arseniiv от декабря 4, 2010, 17:40

Секущая — просто прямая, проходящая через две какие-то не равные точки прямой. Получение касательной (правильным способом) к кривой в точке B показано ниже. Предел последовательности секущих A₁B, A₂B, A₃B при A_i → B — искомая касательная. С модулем дело в том, касательная существует слева и справа, но они не равны. Левая производная |x| равна −1, а правая +1, но доопределение её в нуле каким бы то ни было значением сделает её уже другой функцией.

Ой, Квас ответил уже. Ну тогда дополню на вот это:

Цитата: RawonaM от декабря 4, 2010, 17:33
Да, правильно Квас написал, я больше понимал касательная как "опорная прямая". Собственно до сих пор не очень понимаю разницу.

Квас упомянул, что касательная локальна. Действительно, возьмём касательную к синусоиде в точке где-нибудь около одного из максимумов/минимумов. Она будет пересекать синусоиду в довольно большом числе точек, тем большем, чем ближе точка, к которой строим касательную, к экстремуму. (А касательная к экстремуму пересекает синусоиду вообщзе в бесконечном числе точек, но это тут не при чём, и даже исключение к написанному дальше.) Во всех этих точках касательная к синусоиде будет отличаться от касательной к выбранной точке, т. е. ко всем остальным точкам кривой касательная к одной не обязана быть касательной. Опроная прямая так не может.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от декабря 4, 2010, 17:42

Цитата: RawonaM от декабря 4, 2010, 17:34
Т.е. опорная прямая и касательная всегда совпадают в тех точках, где касательная существует?

Необязательно. Кривая может переваливаться с одной стороны касательной на другую: например, график y = x^3 в нуле.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Bhudh от декабря 4, 2010, 17:46

Цитата: КвасКривая может переваливаться

Я думал, это называется «перегиб», а не «перевал»...

Название: Помощь по математике
Отправлено: arseniiv от декабря 4, 2010, 17:46

Цитата: RawonaM от декабря 4, 2010, 17:34
Т.е. опорная прямая и касательная всегда совпадают в тех точках, где касательная существует?

Ещё пример. Найдём касательную в нуле к x³. Это 3 ⋅ 0² = 0, и она делит кубическую параболу на две части, расположенные по разные стороны от касательной. А опроных прямых, если не ошибусь, она вообще не имеет.

Тфу, ну что за одинаковые мысмли!

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от декабря 4, 2010, 17:49

Цитата: Квас от декабря 4, 2010, 17:42
ЦитироватьТ.е. опорная прямая и касательная всегда совпадают в тех точках, где касательная существует?
Необязательно. Кривая может переваливаться с одной стороны касательной на другую: например, график y = x^3 в нуле.

А опорная всегда с одной стороны? В y = x^3 в нуле есть опорная?

Название: Помощь по математике
Отправлено: Bhudh от декабря 4, 2010, 17:51

Тебя перерезать — то, чем перерезали, будет опорой?

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от декабря 4, 2010, 18:02

Цитата: RawonaM от декабря 4, 2010, 17:49
А опорная всегда с одной стороны?

Опорная с одной, да.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от декабря 4, 2010, 22:05

Как одним словом назвать отрезок/интервал/полуинтервал? Есть у них собирательное название?

В общем, есть некий такой отрезок/интервал/полуинтервал I.
Есть также с>0.

Верно ли, что если f(x) равномерно непрерывна на I и для любого х из I верно f(x)>=c, то 1/f(x) равномерно непрерывна?

Если c = 0 то очевидно, что неверно (например f(x)=x на интервале (0,1)). А вот для с>0 не могу разобраться.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от декабря 4, 2010, 23:01

Цитата: RawonaM от декабря 4, 2010, 22:05
Как одним словом назвать отрезок/интервал/полуинтервал? Есть у них собирательное название?

Промежуток.

Любопытная задача. В принципе, решить можно в лоб. Берём (http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Cvarepsilon%20%3E%200). Далее, берём (http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=x_1%2C%20x_2%20%5Cin%20I) и пытаемся оценить
(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Cleft%20%7C%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bf(x_1)%7D%20-%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bf(x_2)%7D%20%5Cright%7C)
сверху так, чтобы эта величина оказалась меньше (http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Cvarepsilon) коль скоро разность (http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%7C%20x_1%20-%20x_2%7C) достаточно мала. Конечно, по дороге придётся воспользоваться равномерной непрерывностью f(x).

Если не получится, то я напишу решение: сложность не в выкладках, а в самом ходе мысли. А если получится, то напишите сами: поглядим, как вы усвоили логику анализа. ;)

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от декабря 5, 2010, 00:31

Цитата: Квас от декабря 4, 2010, 23:01
Если не получится, то я напишу решение: сложность не в выкладках, а в самом ходе мысли. А если получится, то напишите сами: поглядим, как вы усвоили логику анализа. ;)

Что-то в полпервого ночи с приступом пылевой аллергии, да еще бесит этот латекс-редактор, плохо логика анализа поддается :(
На самом деле у меня все вроде вышло, только формально записать не получается, надо на свежую голову. Т.е. там если взять эпсилон/с², то сходится, поэтому и нельзя чтобы с=0.
Если будет не лень, завтра попробую записать.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от декабря 5, 2010, 00:56

Нет же! Похоже это будет верно только при с>=1. Если с меньше, то не верно.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от декабря 5, 2010, 01:02

Всё почти правильно. Тогда я сам запишу.

Пусть (http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Cvarepsilon%20%3E%200). Для произвольных (http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=x_1%2C%20x_2%20%5Cin%20I) имеем
(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Cleft%20%7C%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bf(x_1)%7D%20-%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bf(x_2)%7D%20%5Cright%20%7C%20%3D%20%5Cfrac%7B%7C%20f(x_1)%20-%20f(x_2)%20%7C%7D%7B%7Cf(x_1)%7C%7C%20f(x_2)%7C%7D%20%5Cleqslant%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bc%5E2%7D%20%7C%20f(x_1)%20-%20f(x_2)%20%7C%20%5Cqquad%20(*))
Выберем (http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Cdelta%20%3E%200) такое, что
(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%7Cf(x_1)%20-%20f(x_2)%7C%20%3C%20%5Cvarepsilon%20c%5E2)
для всех (http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=x_1%2C%20x_2%20%5Cin%20I), таких, что (http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%7Cx_1%20-%20x_2%7C%20%3C%20%5Cdelta). Тогда для любых таких (http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=x_1), (http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=x_2) согласно оценке (*) имеем
(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Cleft%20%7C%20%5Cfrac1%7Bf(x_1)%20%7D%20-%20%5Cfrac1%7Bf(x_2)%7D%20%5Cright%20%7C%20%3C%20%5Cvarepsilon,)
что и доказывает равномерную непрерывность функции 1/f. (http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Cblacksquare)

Очень часто в анализе получается, что изложение доказательства или решения идёт в точности в обратном порядке по сравнению с получением этого доказательства/решения. В данном случае я написал более по-человечески, сразу взяв быка за рога: nervus probandi здесь — получить оценку разности. Однако можно было бы начать так: для данного (http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Cvarepsilon%20%3E%200) выберем (http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Cdelta%20%3E%200), такое, что
(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%7Cf(x_1)%20-%20f(x_2)%7C%20%3C%20%5Cvarepsilon%20c%5E2)
для всех (http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=x_1%2C%20x_2%20%5Cin%20I), таких, что (http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%7Cx_1%20-%20x_2%7C%20%3C%20%5Cdelta)... Такой выбор дельта, мягко говоря, неочевиден, и неподготовленного читателя может ввести в ступор, однако логически решение будет безупречно. (Всё же хорошим тоном считается избегать немотивированных сложных выражений типа \varepsilon c^2 в начале рассуждения.)

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от декабря 5, 2010, 01:11

Ой, пока вы писали я тоже тут пытался изложить... Ну в общем, все равно запостю:

Коротко так: из равномерной непрерывности f(x) выходит, что для любого епсилона есть дельта .......... — (http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%7Cf(a)-f(b)%7C%3C%5Cvarepsilon).

Если 1/f(x) непрерывно равномерна, то .................... (http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%7C%5Cfrac%7B1%7D%7Bf(a)%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7Bf(b)%7D%7C%3D%20%5Cfrac%7B%7Cf(a)-f(b)%7C%7D%7B%7Cf(a)f(b)%7C%7D%3C%5Cfrac%7B%5Cvarepsilon%7D%7Bc%5E2%7D%3C%5Cvarepsilon).
А это могет быть iff c>=1.

Правильно? Извините, нет сил воевать с латексом и писать все четко и формально :)

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от декабря 5, 2010, 01:14

Все, мой моск на сегодня отказывается принимать информацию. Спасибо за объяснение, завтра буду разбираться :)

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от декабря 5, 2010, 01:23

Вот, у вас совершенно прекрасно записано (единственно подозрительна формулировка «если 1/f равномерно непрерывна»: мы же это вроде доказываем). Только не требуется неравенство (http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Cfrac%20%5Cvarepsilon%7Bc%5E2%7D%20%3C%20%5Cvarepsilon): достаточно заметить, что величина (http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%20%5Cvarepsilon%2F%7Bc%5E2%7D%20) может быть сколь угодно мала. Халмош вами гордится. ;up: (Математик, написал статью «Как писать математические тексты».)

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от декабря 5, 2010, 09:24

У математиков нет такой приметы, что нельзя на ночь оставлять задачи недопонятыми/недорешаными, а то всю ночь будет мучать? Вот я всю ночь и всю дорогу на работу с этой задачей в голове :)
Но в итоге я все понял, осенило меня на двух перекрестках от работы. :) Спасибо за помощь :)

Квас, где вы такой квадрат красивый взяли? И вообще, вы так наловчились этим редактором пользоваться, завидую :) Меня не устраивает, что он не визуальный. Неудобно жуть. :(

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от декабря 5, 2010, 10:55

Цитата: RawonaM от декабря 5, 2010, 09:24
У математиков нет такой приметы, что нельзя на ночь оставлять задачи недопонятыми/недорешаными, а то всю ночь будет мучать?

Сестра‐психолог сказала бы: «Гештальт не выполнен». :)

Цитата: RawonaM от декабря 5, 2010, 09:24
Квас, где вы такой квадрат красивый взяли? И вообще, вы так наловчились этим редактором пользоваться, завидую :) Меня не устраивает, что он не визуальный. Неудобно жуть. :(

(Доволен и болтает.) Он и в юникоде есть наверняка, но я по‐ТеХовски \blacksquare. Люблю его использовать для конца доказательства, хотя, может быть, для экономии чернил лучше просто \square. А формул я уже километр набрал. :)

Цитата: RawonaM от декабря 5, 2010, 09:24
всю дорогу на работу

В воскресенье?! :o

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от декабря 5, 2010, 11:11

Цитата: Квас от декабря 5, 2010, 10:55
Цитироватьвсю дорогу на работу
В воскресенье?! :o

Ви што, забыли где я живу? :)
У нас выходной в субботу, воскресение — первый рабочий день недели.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Ильич от декабря 5, 2010, 11:25

Цитата: RawonaM от декабря 5, 2010, 11:11
воскресение — первый рабочий день недели.

Осталось только узнать, как часто Вы воскресаете или умираете.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от декабря 5, 2010, 11:27

Цитата: RawonaM от декабря 5, 2010, 11:11
У нас выходной в субботу

О д и н д е н ь ?! :o

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от декабря 5, 2010, 11:33

Цитата: Квас от декабря 5, 2010, 11:27
ЦитироватьУ нас выходной в субботу
О д и н д е н ь ?! :o

Ну пятница полувыходной (т.е. после обеда), во многих местах в пятницу вообще не работают. У меня два выходных, пят-суб.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от декабря 5, 2010, 11:45

Цитата: RawonaM от декабря 5, 2010, 11:33
У меня два выходных, пят-суб.

И то слава богу.

(Суббота — евреям, пятница — мусульманам: Святая Земля, как вы думали. ::))

Название: Помощь по математике
Отправлено: Тайльнемер от декабря 5, 2010, 12:44

Цитата: RawonaM от декабря 5, 2010, 09:24И вообще, вы так наловчились этим редактором пользоваться

(http://lingvowiki.info/wiki/images/2/2c/Sm_laugh.svg)

Название: Помощь по математике
Отправлено: Bhudh от декабря 5, 2010, 12:44

Цитата: КвасОн и в юникоде есть наверняка

А как же!‥

⬛■▘◼▝￭◾▪⬝

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от декабря 5, 2010, 13:04

Цитата: Тайльнемер от декабря 5, 2010, 12:44

Цитата: RawonaM от декабря 5, 2010, 09:24И вообще, вы так наловчились этим редактором пользоваться
(http://lingvowiki.info/wiki/images/2/2c/Sm_laugh.svg)

Долго думал, что вы хотели этим сказать, пока не сделал цитировать. Не видно СВГ ваших :( Не стоит их использовать в таком виде.

А что, вы легко пользуетесь тем редактором тоже? Мне б такой визуальный, как офисный equation editor, было бы удобнее на порядок.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от декабря 9, 2010, 00:03

Сижу туплю уже целый час. Объясните чё за хрень...

Нужно доказать по определению: (http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Cmathop%7B%5Clim%7D%5Climits_%7Bx%20%5Cto2%7D%20%5Csqrt%7B3x-2%7D%20%3D%202)

Делаем питуах:
(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%7C%5Csqrt%7B3x-2%7D-2%7C%5Cle%5Csqrt%7B3x-2%7D%2B2%5Cle(3x-2)%2B2%5Cle3x)

Т.е. нужно найти, чтобы х был меньше (http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Cvarepsilon%2F3) (что-то тут уже плохо пахнет...)

Вычислим х:
(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=0%3C%7Cx-2%7C%3C%5Cdelta%20%5Cleftrightarrow%20x%3C%5Cdelta%2B2)

Подберем дельту к эпсилону:
(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=3x<3(%5Cdelta%2B2)%3C%5Cvarepsilon%20%5Cleftrightarrow%20%5Cdelta%3C%5Cfrac%7B%5Cvarepsilon%7D%7B3%7D-2)

И что за фигня? Как дельта может быть отрицательным??

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от декабря 9, 2010, 00:12

Цитата: RawonaM от декабря 9, 2010, 00:03
питуах

А что значит это замечательное слово?

В любом случае, сам питуах совсем не в ту степь. По идее корень стремится к 2 тогда и только тогда, тогда корень минус 2 стремится к 0, а вы разность оцениваете суммой, то есть фактически четвёркой! Грубовато и, конечно, не проходит.

Сейчас чего-нибудь напишу.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от декабря 9, 2010, 00:22

Цитата: Квас от декабря 9, 2010, 00:12
Цитироватьпитуах
А что значит это замечательное слово?

Я в три часа ночи подзабываю языки... питуах это развитие, что ли. Не знаю как по-росыйску.

Цитата: Квас от декабря 9, 2010, 00:12
В любом случае, сам питуах совсем не в ту степь. По идее корень стремится к 2 тогда и только тогда, тогда корень минус 2 стремится к 0, а вы разность оцениваете суммой, то есть фактически четвёркой! Грубовато и, конечно, не проходит.

А в чем проблема? По треугольному неравенству модуль разности или суммы меньше/равен сумме слагаемых, 2 у нас положительное и корень положительный, то есть можно снять модуль вообще. Че-то не пойму...

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от декабря 9, 2010, 00:23

И иксы у нас больше сколько там надо. 2/3 что ли.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от декабря 9, 2010, 00:27

Цитата: RawonaM от декабря 9, 2010, 00:22
питуах это развитие, что ли. Не знаю как по-росыйску.

Короче, в данном случае — цепочка оценок, если я верно понял.

Цитата: RawonaM от декабря 9, 2010, 00:22
А в чем проблема?

Слишком грубо. Вам надо доказать, что разность мала, а вы пишите ... < 4. Ведь x к двум стремится!

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от декабря 9, 2010, 00:35

Цитата: Квас от декабря 9, 2010, 00:27
ЦитироватьА в чем проблема?
Слишком грубо. Вам надо доказать, что разность мала, а вы пишите ... < 4. Ведь x к двум стремится!

Не понимаю этого слова в математике :) Неравенства верны или нет?

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от декабря 9, 2010, 00:39

На всякий случай заспойлерю.

Spoiler: Решение ⇓⇓⇓

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от декабря 9, 2010, 00:42

Мне главное понять, что я не по алгоритму делал.

Ладно, ложусь спать, уже 40 минут после графика, завтра будет разбитый день если еще задержусь. Я на эту фигну два часа потратил :( Если я это не могу решить, то увольняюсь с математиков нафиг.

Спасибо за помощь, спокойной ночи.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Bhudh от декабря 9, 2010, 00:43

Тоже спокойноночю. (http://www.kolobok.us/smiles/light_skin/hi.gif) (http://www.kolobok.us/smiles/light_skin/lazy.gif)

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от декабря 9, 2010, 00:47

Цитата: RawonaM от декабря 9, 2010, 00:35
Неравенства верны или нет?

Верны (с несущественной оговоркой, что (http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Csqrt%7B3x-2%7D%20%3C%203x%20-%202) при x > 1), но нам с того не жарко, ни холодно.

Цитата: RawonaM от декабря 9, 2010, 00:35
Не понимаю этого слова в математике

«Грубо» — значит существуют более сильные оценки (в смысле логики: которые из вашей не следуют).

У вас примерно так. Имеются десять стульев. Можно ли будет рассадить всех гостей?
Хорошая оценка: не знаю, сколько придёт, но не больше 6 человек. В любом случае рассядутся.
Плохая оценка: сто человек точно не придут, а сколько — не знаю. Здесь ничего определённого сказать нельзя. Придётся дополнительно поработать: выяснять, кто придёт, кто нет. Может, и стульев занять.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от декабря 9, 2010, 00:49

Цитата: RawonaM от декабря 9, 2010, 00:42
Если я это не могу решить, то увольняюсь с математиков нафиг.

Ни-ни! Я после своих студентов с вами просто душой отдыхаю. ;up:

Всем спокойной ночи. Кстати, хорошая идея!

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от декабря 9, 2010, 12:22

Дал на работе трем инженерам, никто не решил. Полегчало. ;D

Название: Помощь по математике
Отправлено: Ильич от декабря 9, 2010, 22:28

Пусть задан ε>0. Положим δ=(2/3) ε.
Тогда при Abs(x-2) < δ
Abs( sqrt(3x-2)-2) = Abs( (3x-2-4)/(sqrt(3x-2) + 2)) = Abs(3(x-2)/(sqrt(3x-2)+2)) <= Abs(3(x-2)/2) = (3/2) Abs(x-2) < (3/2) δ = ε

В этой теме уже говорили: избавляйтесь от квадратных корней умножением на сопряженное. В моё время это в средней школе проходили.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от декабря 9, 2010, 23:06

Спасибо, Ильич, это то, что я искал :) Лишний раз повторить не повредит. А что в школе проходили, я уже давно забыл, это ж когда было. Тем более, что я последние классы бездельничал вообще.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от декабря 11, 2010, 20:30

Подскажите, как доказать равномерную непрерывность функции корня. Делаю питуах:
(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%7C%5Csqrt%20x%20-%20%5Csqrt%20y%7C%5Cle%5Cfrac%7B%7Cx-y%7C%7D%7B%5Csqrt%20x%20%2B%20%5Csqrt%20y%7D)

Дальше не знаю даже примерно как оценить знаменатель.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от декабря 11, 2010, 20:50

Хорошая задача! Получить оценку вида
(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Cleft%7C%20%5Csqrt%7Bx%7D%20-%20%5Csqrt%7By%7D%20%5Cright%20%7C%20%5Cleqslant%20C%20%7C%20x%20-%20y%7C)
действительно не удастся. (Кстати, почему? Потому что это означало бы ограниченность роста корня, а у нуля он растёт очень быстро.) А попробуйте оценить (http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Cleft%7C%20%5Csqrt%7Bx%7D%20-%20%5Csqrt%7By%7D%20%5Cright%20%7C) через (http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%20%5Csqrt%7B%7Cx%20-%20y%7C%7D%20).

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от декабря 11, 2010, 21:00

Цитата: Квас от декабря 11, 2010, 20:50
(Кстати, почему? Потому что это означало бы ограниченность роста корня, а у нуля он растёт очень быстро.)

Значит можно получить такое значение при x>=1? :)
Если да, то на отрезке [0,1] функция равномерно непрерывна по Кантору, от одного и дальше отсюда, поэтому, объединив отрезки, и для любого х>0 :)

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от декабря 11, 2010, 21:10

Цитата: RawonaM от декабря 11, 2010, 21:00
Значит можно получить такое значение при x>=1? :)
Если да, то на отрезке [0,1] функция равномерно непрерывна по Кантору, от одного и дальше отсюда, поэтому, объединив отрезки, и для любого х>0 :)

Ага, работает. А для x >= 1 работает ваш питуах: корни в знаменателе оцениваются единицей.

А я думал надо по определению.

(Кстати, слову «питуах» я уже научил студентов. :yes:)

Название: Помощь по математике
Отправлено: arseniiv от декабря 11, 2010, 21:13

:E:

(А я так и не понял, он как-то особо определяется или алиас?)

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от декабря 11, 2010, 21:13

Цитата: Квас от декабря 11, 2010, 21:10
А я думал надо по определению.

Да это я сам себе задачу придумал...

Щас попробую по определению с вашей подсказкой.

Цитата: Квас от декабря 11, 2010, 21:10
(Кстати, слову «питуах» я уже научил студентов. :yes:)

Глобализация, однако :)

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от декабря 11, 2010, 21:15

А вы где ударение ставите? А то я знаю, что у русскоязычных есть тенденция ставить его не туда, где надо :)

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от декабря 11, 2010, 21:29

Цитата: RawonaM от декабря 11, 2010, 21:15
А вы где ударение ставите?

:-\ Не задумался почему-то. Я на последний слог поставил.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от декабря 11, 2010, 21:38

Цитата: Квас от декабря 11, 2010, 21:29
ЦитироватьА вы где ударение ставите?
:-\ Не задумался почему-то. Я на последний слог поставил.

Мои подозрения подтвердились. Более-менее все бы так поставили, так что ваше чувсто языка в порядке. ;D
На самом деле «питУах».

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от декабря 11, 2010, 21:38

Что-то не идет у меня, ваша подсказка только вызывает недоумение, куда бы ее притулить... :what:

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от декабря 11, 2010, 21:50

Цитата: RawonaM от декабря 11, 2010, 21:38
На самом деле «питУах».

Ужас! Ладно, студентов ещё не поздно переучить.

Цитата: RawonaM от декабря 11, 2010, 21:38
Что-то не идет у меня, ваша подсказка только вызывает недоумение, куда бы ее притулить... :what:

Лично я попробовал оценить дробь
(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Cfrac%7B%5Csqrt%7Bx%7D%20-%20%5Csqrt%7By%7D%7D%7B%5Csqrt%7Bx-y%7D%7D)
(без ограничения общности считаем x > y), что не вызвало особых проблем.

Вообще, задача по смыслу затрагивает условия Липшица и Гёльдера, но не хочу вас пугать. :)

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от декабря 11, 2010, 22:21

Цитата: Квас от декабря 11, 2010, 21:50
Лично я попробовал оценить дробь
(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Cfrac%7B%5Csqrt%7Bx%7D%20-%20%5Csqrt%7By%7D%7D%7B%5Csqrt%7Bx-y%7D%7D)
(без ограничения общности считаем x > y), что не вызвало особых проблем.

Я не вижу принципиальной разницы между этим и тем, с чего я начал. Хожу кругами, все те же выражения получаются.

Цитата: Квас от декабря 11, 2010, 21:50
Вообще, задача по смыслу затрагивает условия Липшица и Гёльдера, но не хочу вас пугать. :)

Это мы не проходили, но Липшиц же вроде как раз то, что вы выше сказали это не выполняется тут на всем отрезке.

Может быть поэтому у нас в учебнике этого доказательства нет. Там в качестве упражнения есть доказательство равномерности (http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Csqrt%7Bx%5E2%2B1%7D), что делается без запинки по определению. А вот просто корня нет, я искал-искал, решил сам попробовать.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от декабря 11, 2010, 23:32

Цитата: RawonaM от декабря 11, 2010, 22:21
Я не вижу принципиальной разницы между этим и тем, с чего я начал.

Если разность |x - y| мала, то величина (http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Csqrt%7B%7Cx%20-%20y%7C%7D) гораздо больше (примерно в бесконечное число раз), чем |x - y|. Поэтому если не удаётся оценить через разность, то вполне может получиться оценка через корень из неё.

Если я не ошибся, то в нашем случае будет
(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%7C%5Csqrt%7Bx%7D%20-%20%5Csqrt%7B%20y%7D%20%7C%20%5Cleqslant%20%5Csqrt%7B%7Cx%20-%20y%7C%7D)
(домножил числитель и знаменатель на сопряжённое к разности и на корень, стоящий в знаменателе). Это значит, что в определении равномерной непрерывности достаточно взять (http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Cdelta%20%3D%20%5Csqrt%20%5Cvarepsilon).

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от декабря 16, 2010, 23:09

Вернулся с мидтерм экзамена :) Ощущения, что сделал все хорошо, правда из-за ограничения времени (три часа) не успел все перепроверить и дописать-исправить, но я надеюсь сделают скидку на это. Сто точно не будет, но по большому счету оценка должна быть хорошая, тьфу-тьфу-тьфу, тук-тук-тук чтоб не сглазить. Если будет плохая, то буду проверять, зачем нужно мыло к веревке. ;D
Если интересно, могу запостить.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от декабря 16, 2010, 23:59

Цитата: RawonaM от декабря 16, 2010, 23:09
Вернулся с мидтерм экзамена

Я ещё удивлялся: чем мотивирован интерес к анализу? А сейчас в квадрате. Кто взрослых людей заставляет экзамены сдавать? :o

Цитата: RawonaM от декабря 16, 2010, 23:09
Если интересно, могу запостить.

А что же!

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от декабря 17, 2010, 00:14

Цитата: Квас от декабря 16, 2010, 23:59
Кто взрослых людей заставляет экзамены сдавать? :o

Это Вы на кого намекаете про взрослых людей? :negozhe:

Цитата: Квас от декабря 16, 2010, 23:59
ЦитироватьЕсли интересно, могу запостить.
А что же!

Завтра :)

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от декабря 17, 2010, 00:16

Цитата: RawonaM от декабря 17, 2010, 00:14
Это Вы на кого намекаете про взрослых людей?

А по фото я бы вам семнадцать лет не дал. :donno:

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от декабря 17, 2010, 00:17

Цитата: RawonaM от декабря 17, 2010, 00:14
Завтра :)

Ол райт. Пятница — хороший день!

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от декабря 17, 2010, 08:54

Цитата: Квас от декабря 17, 2010, 00:16
ЦитироватьЭто Вы на кого намекаете про взрослых людей?
А по фото я бы вам семнадцать лет не дал. :donno:

Стареем :(
А на самом деле-то, вроде как всему миру известно, что учиться никогда не поздно. В израильских университетах учатся люди всех возрастов, я особо от других студентов не отличаюсь.
Заметьте, что у нас инфимум возрастов в универе где-то 21 (впрочем, есть те, что отсрочку от армии получили, могут быть даже 18). Можно сказать это достаточно исключительная ситуация, если человек получает магистра раньше 26 лет.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от декабря 17, 2010, 10:15

Страницы.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Тайльнемер от декабря 17, 2010, 10:19

А помимо матана у вас какие ещё предметы? И что за факультет?

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от декабря 17, 2010, 10:21

Первый вопрос, обязательный, нужно ответить на три из четырех пунктов, доказать или опровергнуть:
1.алеф: даны ф и г в окрестностях х0, если лим... то лим... или лим...
бет: дана ф на Р... если лим... то ф=2
гимель: функц... равномерно непрерывна на интервале
далет: ф непрерывна в Р и получает местный минимум в х0.
если для любого х!=х0 верно ф(х)!=ф(х0), ф получает минимум в Р.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от декабря 17, 2010, 10:24

Цитата: Тайльнемер от декабря 17, 2010, 10:19
А помимо матана у вас какие ещё предметы? И что за факультет?

А я еще не решил :) Для всех факов (инженерных и точных) начальные предметы одинаковые, так что можно пока об этом не думать.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от декабря 17, 2010, 16:37

Потрясающе! На иврите математика совсем непонятная! Беглый просмотр слова «питуах» не выявил. :(

Судя по формулам, делалось в ворде. Интересно, как израильтяне укрощают ТеХ?

RawonaM, ну расскажите вкратце, как вы в студенты заделались. И почему у вас нет аналитической геометрии и алгебры? Или потом будет? Кстати, анализ без дифуров — деньги на ветер. ;)

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от декабря 17, 2010, 17:42

Цитата: Квас от декабря 17, 2010, 16:37
Судя по формулам, делалось в ворде. Интересно, как израильтяне укрощают ТеХ?

В Ворде стопудово. Кто такой ТеХ я не знаю, поэтому не могу сказать, как его укрощают :( Читал на сайте Техниона, что предложение магистрского тезиса надо обычно подавать в ЛаТеХе, впервые сталкиваюсь с такой дискриминацией.

Цитата: Квас от декабря 17, 2010, 16:37
RawonaM, ну расскажите вкратце, как вы в студенты заделались.

Ну вкратце расскажу, но какбе я бы не хотел официально считаться студентом, потому что не люблю обязательств. Всем известно, что у Равонама семь пятниц на неделе. Сегодня я студент, завтра я решу, что я уже не хочу быть студентом, так что это все вилами по воде. :)

Короче, в Израиле есть т.н. Открытый университет (Университа Птуха, дальше просто Птуха), где проходит только заочное обучение и нет никаких требований к кандидатам. По-моему единственное требование — 7 лет школы или что-то типа этого. Но и этого никто не проверяет.
Все студенты оцениваются по реальным результатам. Т.е. просто все лишние отпадают в процессе обучения, поэтому и не нужно их изначально ограничивать. Это кстати происходит и в обычных очных универах, где на инженерных специальностях после первого курса остается что-то типа половины, а после второго еще половина отваливается, но в обычных универах места ограничены по понятным причинам.

Идея учиться в Птухе пришла мне еще три года назад и тогда я начал линейную алгебру, введение в информатику и еще пару курсов, но потом перешел на новую работу и вообще все не клеилось и я решил оставить учебу. Только Введение в информатику сдал, с совсем не удовлетворящей меня оценкой (83), на экзамен по линейной алгебре я пошел через два месяца после конца семестра без подготовки, и естественно провалил. Однако материал я теоретически знаю (во время семестра я его хорошо щелкал, меньше 95 по домашним заданиям не получал), просто надо освежить в памяти и я думаю я смогу сдать, но т.к. прошло три года, мне пока что не разрешили только пересдать экзамен, говорят чтобы я курс снова брал.

Ну и потом, я смотрю разные возможные варианты учебы, может не обязательно делать полностью все курсы для степени, если у меня уже есть степень, хотя и совсем из другой области. Кроме того, есть возможность перейти в любой другой универ на очное образование после базовых курсов (алгебра, матан и еще парочку), если соответствуешь их требованиям (обычно требуется средний балл по этим курсам 85-90).

Хотя учеба в Птухе мне больше нравится и материал там изучается подробнее и глубже, есть полный порядок в плане учебных материалов: присылают посылку со всеми книгами домой. Сам выбираешь какие курсы, сколько курсов в каком порядке и через какие промежутки ты их учишь, главное чтобы при выборе курса выполнялись его предварительные требования (например для линейной алгебры 2 требуется чтобы уже была изучена линейная алгебра 1, что логично).

Ты не привязан к месту, учиться можно с любого места на земном шаре. Если находишься в Израиле, то раз в две недели по каждому курсу можешь посещать типа туториалы такие, где решаются задачи и можно задать вопросы. Учебные центры есть по всей стране. Экзаменационные центры тоже по всей стране раскиданы, где хочешь экзаменоваться туда и приходишь. Если учишься из-за границы, экзамен проходит в ближайшем посольстве или в культурном центре Израиля. Все это дает огромную гибкость и приоритет над традиционными универами.

Цитата: Квас от декабря 17, 2010, 16:37Кстати, анализ без дифуров — деньги на ветер. ;)

Так это ж меньше половины половины курса. :) Т.е., до конца семестра еще много времени и потом еще вторая часть курса будет, хотя я лучше в следующем семестре возьму дискретную математику и теорию вероятности, наверное. Линейную алгебру и матан буду уже летом или следующей осенью доделывать, если за это время не стукнет новая моча в голову...

Название: Помощь по математике
Отправлено: arseniiv от декабря 17, 2010, 17:56

Offtop

А я сегодня вроде как автомат по матем. логике приобрёл. Можно было бы раньше, но одну контрольную пропустил по производным правилам вывода, вот и написал сегодня. (http://www.kolobok.us/smiles/standart/dance3.gif)

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от декабря 17, 2010, 18:18

Ну ничего себе чего! Движуха... :)

Кстати, вопрос умудрённого человека: ПтУха или ПтухА?

arseniiv, ;up:

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от декабря 17, 2010, 18:31

Цитата: Квас от декабря 17, 2010, 18:18
Кстати, вопрос умудрённого человека: ПтУха или ПтухА?

ПтухА :)
Это все тот же корень ПТХ "открывать".
Питуах это открытие-разработка, что-то типа того.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от декабря 17, 2010, 18:35

Надо же, у меня такое ощущение, что этот анализ длится целую вечность, а я всего лишь прошел 1-5 части из 12, правда и 6-7 уже прочитал, но оно не отложилось, ибо я сосредоточился на 3-5 чтобы экзамен сдать. На этих выходных отдыхаю от анализа, делаю работу по другому курсу. Легкий, но, зараза, нудноватый и бесящий, ибо на С делать прикладные программы — извращенство.

Название: Помощь по математике
Отправлено: arseniiv от декабря 17, 2010, 19:14

Spoiler ⇓⇓⇓

Название: Помощь по математике
Отправлено: Ильич от декабря 17, 2010, 23:33

Очень любопытно было посмотреть на листочки с заданиями.
Когда я читаю подобный текст в русском или английском варианте, то всё читаю слева направо: и текст, и формулы.
А здесь идешь по тексту справа налево, потом прыжок к началу формулы, которую читаешь слева направо, потом опять прыжок к началу формулы и продолжаешь движение по тексту справа налево.
Интересно, таблица умножения в начальных классах в Израиле выглядит так:
2х2=4 (читаем слева направо),
или так:
4=2х2 (читаем справа налево)?

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от декабря 17, 2010, 23:59

Цитата: Ильич от декабря 17, 2010, 23:33
Очень любопытно было посмотреть на листочки с заданиями.
Когда я читаю подобный текст в русском или английском варианте, то всё читаю слева направо: и текст, и формулы.
А здесь идешь по тексту справа налево, потом прыжок к началу формулы, которую читаешь слева направо, потом опять прыжок к началу формулы и продолжаешь движение по тексту справа налево.

Сначала это любопытно, потом привыкаешь. Но вот писать на бумаге бесит страшно! Я уже говорил. Нужно отмерять влево так, чтоб выражение влезло, если не влезло, то тебе хана... На экзамене типекс не рекомендуется (в моем родном универе было запрещено по правилам). Поэтому если ты не влез, то либо сползаешь под строку либо зачеркиваешь и начинаешь попытку нубмер цвай.

Цитата: Ильич от декабря 17, 2010, 23:33
Интересно, таблица умножения в начальных классах в Израиле выглядит так:
2х2=4 (читаем слева направо),
или так:
4=2х2 (читаем справа налево)?

Нет, формулы всегда слева направо. Только если у меня не влазит из-за того, что плохо отмерял и не рассчитал, то иногда приписываю слева что по идее должно быть справа.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от декабря 18, 2010, 21:47

Как попроще доказать, что периодическая функция равномерно непрерывна? Ломал я голову, крутил-крутил.
Если я докажу, что в каждом периоде она непрерывна, то этого недостаточно (впрочем, этого доказывать не надо, по Кантору само выходит). "Склеить" бесконечное количество отрезков тоже не катит. Надо доказывать, что и через границу периода (условно 0+эн), она равномерно непрерывна. Короче, слишком длинно и муторно выходит, да и не ясно как это делать. Какие будут соображения? :)

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от декабря 18, 2010, 21:53

Если T — период, то можно для эпсилона взять дельту, соответствующую отрезку [0, 2T], причём пусть также дельта < T. Тогда если есть x_1 и x_2, расстояние между которыми меньше дельта, то добавив нужное число периодов можно уложить их оба на [0, 2T].

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от декабря 18, 2010, 22:08

Цитата: Квас от декабря 18, 2010, 21:53
Если T — период, то можно для эпсилона взять дельту, соответствующую отрезку [0, 2T], причём пусть также дельта < T. Тогда если есть x_1 и x_2, расстояние между которыми меньше дельта, то добавив нужное число периодов можно уложить их оба на [0, 2T].

А зачем тогда 2Т? Чтобы с границей не разбираться отдельно?

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от декабря 18, 2010, 22:32

Цитата: RawonaM от декабря 18, 2010, 22:08
А зачем тогда 2Т? Чтобы с границей не разбираться отдельно?

Ага.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от декабря 18, 2010, 23:24

Спасибо :)

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от декабря 20, 2010, 09:30

На следующий семестр возьму дискретную математику, тервер, а вот третий курс думаю логику или цифровые системы. Не знаю, потяну ли я три математических курса, хотя они и не такой сложности как матан. Компьютерные курсы фигня, они почти не занимают времени.

Подсчитал, что если запал у меня не пропадет, то за чуть меньше, чем два года, получу диплом.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от декабря 20, 2010, 11:23

О, дискретку подтянуть! Нам только про ДНФ рассказывали, нудновато было.

Название: Помощь по математике
Отправлено: arseniiv от декабря 20, 2010, 18:03

Про ДНФ на дискретке???

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от декабря 20, 2010, 18:16

Цитата: arseniiv от декабря 20, 2010, 18:03
Про ДНФ на дискретке???

Ага, про дизъюнктные нормальные: совершенная, ДНФ Квайна и тому подобная муть. Графов не было. :( Я так понимаю, дискретке лучше компьютерщиков обучают.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от декабря 20, 2010, 18:21

Описание курса впечатляет. Теория графов есть.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от декабря 20, 2010, 23:59

Еще вспомнил один интересный факт об ивритоязычной математике, раз тут школьную таблицу умножения упомянули.
В израильских школах плюс пишут не перекрещивающийся: длинная горизонтальная полоса и короткая вертикальная до нее, не ниже. Говорят это сохранившееся табу на изображение христианского креста, не знаю правда ли. В старших классах так сильно за этим не следят, в универе и подавно, но у некоторых на всю жизнь остается. Порой случайно на доске напишут так, что хвостик торчит после горизонтальной черты, так стирают его.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Тайльнемер от декабря 21, 2010, 01:08

Цитата: RawonaM от декабря 20, 2010, 23:59
плюс пишут не перекрещивающийся: длинная горизонтальная полоса и короткая вертикальная до нее, не ниже. Говорят это сохранившееся табу на изображение христианского креста

(http://lingvowiki.info/wiki/images/5/5a/Sm_eek.svg)

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от декабря 21, 2010, 10:43

Да не видно свг этих...

Название: Помощь по математике
Отправлено: Тайльнемер от декабря 21, 2010, 10:58

Offtop

Буду тогда писать так:

Spoiler ⇓⇓⇓

Код Выделить

[img width=60 alt=Злостный фоерфуксер, сноси свой Фоерфукс и ставь нормальный бройзер!]http://lingvowiki.info/wiki/images/5/5a/Sm_eek.svg[/img]

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от декабря 21, 2010, 11:00

Цитата: Тайльнемер от декабря 21, 2010, 10:58
Буду тогда писать так:

Так этого тоже не видно. Только гадать приходится, зачем Тайльнемер процитировал сообщение и ничего своего не написал.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от декабря 21, 2010, 11:01

В эксплорере хотя бы плейсголдер с крестиком стоит.

Название: Помощь по математике
Отправлено: antbez от декабря 21, 2010, 11:03

Цитировать
В израильских школах плюс пишут не перекрещивающийся: длинная горизонтальная полоса и короткая вертикальная до нее, не ниже. Говорят это сохранившееся табу на изображение христианского креста, не знаю правда ли.

:???

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от декабря 21, 2010, 11:04

А почему все-таки в ФФ не видно? Поддержка же есть...

Название: Помощь по математике
Отправлено: antbez от декабря 21, 2010, 11:09

Кстати, вы не напишите или не дадите ссылку на основные маттермине в иврите (начиная с арифм-ых действий)?

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от декабря 21, 2010, 11:12

Цитата: antbez от декабря 21, 2010, 11:09
Кстати, вы не напишите или не дадите ссылку на основные маттермине в иврите (начиная с арифм-ых действий)?

Неоригинально, но вполне отвечает на запрос: (wiki/he) סימון_מתמטי (http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%A1%D7%99%D7%9E%D7%95%D7%9F_%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99)
:)

Название: Помощь по математике
Отправлено: antbez от декабря 21, 2010, 11:16

תודה עכשיו אקרא

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от декабря 21, 2010, 22:28

Квас, выручайте снова... Все задание сделал, но один вопрос, который по-идее самый легкий, не пойму как делать, потерял полтора часа уже.
f(x) = { (http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Cfrac%7Bx%5E2-a%7D%7Bx-1%7D) для x<1
(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Cfrac%7Bb%7D%7Bx%5E2%7D) для x>=1

Надо найти значения a и b для которых при х=1:
1) функция непрерывна
2) функция гзира, тобто ее можно обрезать ("произвести?"), т.е. производибельная.

Крутил-крутил, не нашел примеров, как с этим бороться, ниче не вышло. Дайте подсказку, что с этим делать :)

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от декабря 21, 2010, 22:41

(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=f(x)%3D%0A%5Cbegin%7Bcases%7D%0A%5Cfrac%7Bx%5E2%20-%20a%7D%7Bx-1%7D%2C%20%26%20x%20%3C%201%5C%5C%0A%5Cfrac%7Bb%7D%7Bx%5E2%7D%2C%20%26%20x%20%5Cgeqslant%201%0A%5Cend%7Bcases%7D)8)

Для непрерывности надо чтобы односторонние пределы были равны значению функции в точке. Функция непрерывна справа при любом b, потому что совпадает с элементарной. А предел слева конечен только при a = 1. При этом значении a находим b так, чтобы пределы были равны между собой.

2) не понял. Если имеется в виду дифференцируемость ( = существование производной), то она является более сильным условием, чем непрерывность, а непрерывность имеет место только при a = 1, b = 2, дифференцируемости при этом нет.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от декабря 21, 2010, 22:46

Цитата: Квас от декабря 21, 2010, 22:41
А предел слева конечен только при a = 1.

И как вы к этому дошли?.. :what:

Цитата: Квас от декабря 21, 2010, 22:41
2) не понял. Если имеется в виду дифференцируемость ( = существование производной), то она является более сильным условием, чем непрерывность, а непрерывность имеет место только при a = 1, b = 2, дифференцируемости при этом нет.

Ну да, нужно найти такие значения (т.е. подмножество значений для непрерывности), где функция будет диффиринцируема.

П.С. Искал-искал на ситмо как сделать сплит-функцию, не нашел. :(

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от декабря 21, 2010, 22:54

Цитата: RawonaM от декабря 21, 2010, 22:46
И как вы к этому дошли?.. :what:

Знаменатель стремится к 0, поэтому единственный шанс пределу быть конечным — если числитель стремится к 0, что имеет место только при а = 1. И тогда, к счастью,
(x^2 - 1)/(x-1) = x+1 → 2 (x → 1)

Цитата: RawonaM от декабря 21, 2010, 22:46
Цитата: Квас от Сегодня в 23:41
Цитировать2) не понял. Если имеется в виду дифференцируемость ( = существование производной), то она является более сильным условием, чем непрерывность, а непрерывность имеет место только при a = 1, b = 2, дифференцируемости при этом нет.
Ну да, нужно найти такие значения (т.е. подмножество значений для непрерывности), где функция будет диффиринцируема.

Значит, таких вообще нет. Потому что мы можем рассматривать только a = 1, b = 2, а в этом случае предела
(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Clim_%7Bh%20%5Cto%200%7D%20%5Cfrac%7Bf(1%2Bh)%20-%20f(1)%7D%7Bh%7D)
не существует (односторонние пределы разные).

Цитата: RawonaM от декабря 21, 2010, 22:46
П.С. Искал-искал на ситмо как сделать сплит-функцию, не нашел. :(

Прошу:

Код Выделить


f(x)=
\begin{cases}
\frac{x^2 - a}{x-1}, & x < 1\\
\frac{b}{x^2}, & x \geqslant 1
\end{cases}

Окружение \begin{cases}...\end{cases} отвечает за общее оформление (фигурная скобка, выравнивание); & разделяет элементы столбца, \\ — конец строки. Если будете использовать в ТеХе: нужно подключить пакет amsmath.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от декабря 21, 2010, 23:01

Цитата: Квас от декабря 21, 2010, 22:54
Значит, таких вообще нет.

Меня терзают сомнения.
Обычно у таких задач решение типа для 0<а<1 - непрервына и 1/2<а<1 - дифференцируема.
Как-то странно, чтобы дали такую задачу с одиним значением и то не дифференцируется...

Точно вы нигде не ошиблись? Ну ладно, попробую разобраться дальше.

Цитата: Квас от декабря 21, 2010, 22:54
Знаменатель стремится к 0, поэтому единственный шанс пределу быть конечным — если числитель стремится к 0, что имеет место только при а = 1.

А доказательство простое есть?? Такой теоремы нет, значит доказывать надо. Мне это совершенно не очевидно как-то.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от декабря 21, 2010, 23:07

Цитата: RawonaM от декабря 21, 2010, 23:01
А доказательство простое есть??

Если предел числителя отличен от 0, а предел знаменателя равен 0, то дробь стремится к бесконечности. Чего тут доказывать? В принципе, это должно быть свойство бесконечно больших или бесконечно малых.

Цитата: RawonaM от декабря 21, 2010, 23:01
Точно вы нигде не ошиблись?

Неточно. Для начала проверьте, правильно ли я условие переписал.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от декабря 21, 2010, 23:14

Цитата: Квас от декабря 21, 2010, 23:07
Если предел числителя отличен от 0, а предел знаменателя равен 0, то дробь стремится к бесконечности. Чего тут доказывать?

Но из этого же не следует, что если числитель ноль и предел знаменателя ноль, то предел существует. А доказывать от нас требуют вообще самые простые вещи, если они не доказаны в книге и не на что сослаться, уже сколько баллов потерял по мелочам...

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от декабря 21, 2010, 23:15

Цитата: Квас от декабря 21, 2010, 23:07
ЦитироватьТочно вы нигде не ошиблись?
Неточно. Для начала проверьте, правильно ли я условие переписал.

Все верно.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от декабря 21, 2010, 23:23

Цитата: RawonaM от декабря 21, 2010, 23:14
Но из этого же не следует, что если числитель ноль и предел знаменателя ноль, то предел существует.

Да, для того чтобы предел числителя был равен 0, необходимо a = 1. Например, так:
a = x^2 - (x^2 - a) → 1 - 0 = 1 ⇒ a = 1.
А дальше подставляем это значение a и убеждаемся, что предел дроби конечен.

Предложение. Если lim f(x) <> 0, lim g(x) = 0, то lim f(x)/g(x) = infty.
Доказательство. Пусть lim f(x) = a eps > 0; выбираем окрестность, в которой |f(x) - a| > |a|/2, |g(x)| < |a|eps /2, тогда в этой окрестности
| f(x) / g(x) | > |a|/2 * 2/(|a|eps) = 1/eps.
Утверждение доказано.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от декабря 21, 2010, 23:24

Цитата: RawonaM от декабря 21, 2010, 23:14
ЦитироватьЕсли предел числителя отличен от 0, а предел знаменателя равен 0, то дробь стремится к бесконечности. Чего тут доказывать?
Но из этого же не следует, что если числитель ноль и предел знаменателя ноль, то предел существует.

Все, вроде понял свою ошибку. Простите, ступил :)
Доказать элементарно путем допущения обратного.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от декабря 21, 2010, 23:27

Цитата: RawonaM от декабря 21, 2010, 23:24
Доказать элементарно путем допущения обратного.

Тьфу, точно.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от декабря 21, 2010, 23:32

Да вроде ошибок нет. Полпервого ночи я больше обычного не доверяю своему устному счёту, но комп подтверждает. И при единственном значении параметров, при котором она непрерывна, график имеет чёткий излом, производной нет.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от декабря 21, 2010, 23:33

Похоже все правильно. Значит загводка была в излишней простоте и ошибочных предпосылках. Надо учиться быть роботом. :)

Спасибо! :)

П.С. После курса с меня бутылка. ;D

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от декабря 21, 2010, 23:35

Цитата: Квас от декабря 21, 2010, 23:32
Полпервого ночи я больше обычного не доверяю своему устному счёту, но комп подтверждает. И при единственном значении параметров, при котором она непрерывна, график имеет чёткий излом, производной нет.

Делитесь софтом, я тоже буду в полпервого ночи проверять свою интуицию :)

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от декабря 21, 2010, 23:37

Рад помочь. :)

В качестве софта я юзаю Мэпл (Maple). У вас он там деньги стоит, а у нас халява, как обычно. У меня есть десятый, а в универе валяется новый четырнадцатый. Ну как, презреете копирайт? ;)

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от декабря 21, 2010, 23:47

Цитата: Квас от декабря 21, 2010, 23:37
В качестве софта я юзаю Мэпл (Maple). У вас он там деньги стоит, а у нас халява, как обычно. У меня есть десятый, а в универе валяется новый четырнадцатый. Ну как, презреете копирайт? ;)

Вы что думаете, что я рыжий, платить за то, за что все не платят? :) Я покупал в своей жизни только винду несколько раз, которая вместе с ноутом идет, там выбора не было :)

Как иварг говорит: я знаю, что я неправильно делаю, и при своих детях я так делать не буду. :)

А сколько весит эта софтина?

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от декабря 21, 2010, 23:51

Около 130 Мб.

Кстати, на самом деле я в основном пользуюсь реликтовым Maple 6.0, он совсем лёгкий, но не могу найти дистрибутив. Шестой не открывает документы, сохранённые в десятом.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от декабря 21, 2010, 23:57

А я ж Убунте... он не кроссплатформенный? На вайне обычно графика плохо работает. Но ничего, я поищу в нете потом, уже не сегодня. Спасибо за наводку. Чего ж раньше молчали? Может не было бы лишних вопросов :)

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от декабря 22, 2010, 00:00

Были бы вопросы по мэплу. :) С ним тоже надо учиться работать. Вы выясняйте, как там у вас; если надо — я залью без проблем.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Bhudh от декабря 22, 2010, 00:02

Цитата: КвасС ним тоже надо учиться работать.

Та ладно. Эти внутренние языки программирования, они под копирку...
И без них обойтись можно.
Эх, где мой Maple...:(

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от декабря 22, 2010, 00:07

Цитата: Bhudh от декабря 22, 2010, 00:02
Эх, где мой Maple...:(

У вас‐то хоть Windows? Мало того, что я залить могу, так вам ещё можно и на диске передать. :)

Название: Помощь по математике
Отправлено: Bhudh от декабря 22, 2010, 00:16

Да не, это я так, шуткую. На скачать-то я могу любой найти, да только комп уже тянуть перестаёт. Я больше о дивидишнике жалею, что он не может мой старый диск с матпрограммами открыть.
А на случай вычислений у меня Maxima стоит, почти те же возможности, что и у Maple с Mathematic'ой, но фря.
Да и сайт на Mathematic'е никуда не испарился вроде...

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от декабря 22, 2010, 00:18

Offtop

Bhudh, вы меня пугаете. Я готов дать руку на отсечение, что по образованию вы лингвист или около. Зачем диск с матпрограммами? :o

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от декабря 22, 2010, 00:20

Цитата: Квас от декабря 22, 2010, 00:18
Я готов дать руку на отсечение, что по образованию вы лингвист или около.

Зря вы так с рукой-то...

Все, всем спокойной ночи, у меня 19 минут отклонение от графика. :)

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от декабря 22, 2010, 00:22

Хорошая мысль! Спокойной ночи. :)

Название: Помощь по математике
Отправлено: Bhudh от декабря 22, 2010, 00:25

Цитата: RawonaMЗря вы так с рукой-то...

Админ дело говорит. Он-то знает... ;D

Спокойной ночи всем!

Название: Помощь по математике
Отправлено: Тайльнемер от декабря 22, 2010, 06:40

Цитата: RawonaM от декабря 21, 2010, 22:46
П.С. Искал-искал на ситмо как сделать сплит-функцию, не нашел.

Равонам, вот, возьмите:
http://tex.bog.msu.ru/Lvovskij.pdf
Можете целиком не читать, а искать там только необходимое.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от декабря 22, 2010, 15:23

Цитата: Тайльнемер от декабря 22, 2010, 06:40
ЦитироватьП.С. Искал-искал на ситмо как сделать сплит-функцию, не нашел.
Равонам, вот, возьмите:

Спасибо, щас гляну.

Ищу софт на подобие Мапле, но желательно фри и онлайн.

Первое выдалось вот это:
http://www.sagemath.org/

Кто-нить знаком? В разделе видео есть много материалов.

Название: Помощь по математике
Отправлено: arseniiv от декабря 22, 2010, 19:51

Цитата: RawonaM от декабря 22, 2010, 15:23
Ищу софт на подобие Мапле, но желательно фри и онлайн.

Цитата: Bhudh от декабря 22, 2010, 00:16
А на случай вычислений у меня Maxima стоит, почти те же возможности, что и у Maple с Mathematic'ой, но фря.

Хм-хм.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Вадимий от декабря 22, 2010, 20:06

Мкхм.

У меня вопрос по математике.
Полагаю, по тупости и лёгкости не сравнится с предыдущими.

Но он меня мучает.

Просто ужас.
Доказательство иррациональности корня из двух:

Цитироватьесли корень из двух рационален, то 2=a/b, причём a\b несократимо, a - целое, b - натуральное.
* Поскольку a:b несократима, b обязано быть нечетным.
* Так как a четное (2=a²/b² => a²=2b²), обозначим a = 2y.
* Тогда a² = 4y² = 2b².
* b² = 2y², следовательно, b² четное, тогда и b четно.
* Однако было доказано, что b нечетное. Противоречие.

но ведь сюда можно подставить корень из любого точного квадрата!

Цитироватьесли корень из девяти рационален, то 9=a/b, причём a\b несократимо, a - целое, b - натуральное.
* Поскольку a:b несократима, b обязано не делиться на 9.
* Так как a делится на 9 (9=a²/b² => a²=9b²), обозначим a = 9y.
* Тогда a² = 81y² = 9b².
* b² = 9y², следовательно, b² делится на девять, тогда и b делится на 9
* Однако было доказано, что b не делится на 9. Противоречие.

Ужасно.

Название: Помощь по математике
Отправлено: arseniiv от декабря 22, 2010, 20:16

Вот ты откуда сцитировал? Мне кажется, это неправильное доказательство, потому что, к тому же, корень куда-то потерялся там, или раньше был, но не скопировался? Они, думаю, что-то спутали, потому что первая звёздочка для меня неочевидна, или ночью снова голова не работает.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от декабря 22, 2010, 20:39

Цитата: Вадимий от декабря 22, 2010, 20:06
Полагаю, по тупости и лёгкости не сравнится с предыдущими.

Ну, нормальный вопрос. Хороший, я бы даже сказал, вопрос. ;up:

Ошибка здесь:

Цитировать
Так как a делится на 9 (9=a²/b² => a²=9b²).

Если a² делится на 9, это не значит, что a делится на 9: например, a = 6.

Разница возникла от того, что 2 — простое число, а 9 — составное. Я представляю простые числа как кирпичики, из которых составлены натуральные. Если a состоит из кирпичиков, то a^2 состоит из тех же кирпичиков, но во вдвое большем числе. Поэтому если кирпичик есть в a^2, то он есть и в a. А 9=3*3 — это два кирпича: если они есть в произведении, то не факт, что они оба содержатся в одном множителе.

В доказательство можно подставить любое простое число, будет работать.

Название: Помощь по математике
Отправлено: arseniiv от декабря 22, 2010, 20:49

А что с первой звёздочкой?
Мне вот нравится доказательство, которое встречается почти везде, там сразу избавляются от корня, а потом деления.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от декабря 22, 2010, 20:52

Цитата: arseniiv от декабря 22, 2010, 20:49
А что с первой звёздочкой?

2 = a/b ⇒ a = 2b ⇒ 2 | a
И раз дробь несократима, то 2 не делит b.

Я в доказательство особо не вчитывался.

Название: Помощь по математике
Отправлено: arseniiv от декабря 22, 2010, 20:59

А, ну вот, тут неочевидно. Плохое доказательство, традиционное открытее.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от декабря 22, 2010, 23:13

Хорошо иметь Убунту Софтуаре Центер :)
Есть два интерфейса Максимы на Линух: wx и qt, я поставил на скачку второй.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Вадимий от декабря 23, 2010, 07:07

Цитата: Квас от декабря 22, 2010, 20:39
Цитата: Вадимий от декабря 22, 2010, 20:06
Полагаю, по тупости и лёгкости не сравнится с предыдущими.

Ну, нормальный вопрос. Хороший, я бы даже сказал, вопрос. ;up:

Ошибка здесь:

Цитировать
Так как a делится на 9 (9=a²/b² => a²=9b²).

Если a² делится на 9, это не значит, что a делится на 9: например, a = 6.

Разница возникла от того, что 2 — простое число, а 9 — составное. Я представляю простые числа как кирпичики, из которых составлены натуральные. Если a состоит из кирпичиков, то a^2 состоит из тех же кирпичиков, но во вдвое большем числе. Поэтому если кирпичик есть в a^2, то он есть и в a. А 9=3*3 — это два кирпича: если они есть в произведении, то не факт, что они оба содержатся в одном множителе.

В доказательство можно подставить любое простое число, будет работать.

спасибо!!!

Название: Помощь по математике
Отправлено: Вадимий от декабря 23, 2010, 07:08

кха-ха-ха! (счастливый смех человека, который понял то, что давно силился понять)

а любой точный квадрат - число составное! :E:

ты не представляешь, как ты мне помог!

Название: Помощь по математике
Отправлено: Вадимий от декабря 23, 2010, 07:10

Цитата: arseniiv от декабря 22, 2010, 20:59
А, ну вот, тут неочевидно. Плохое доказательство, традиционное открытее.

В википедии было несколько формулировок, я выбрал ту, в которой формулы не картинками, что-то не скопировал и попытался сам.

Представь, что это доказательство не это, а то, к которому ты привык.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от декабря 23, 2010, 11:56

Цитата: Вадимий от декабря 23, 2010, 07:08
ты не представляешь, как ты мне помог!

(http://www.kolobok.us/smiles/standart/dance4.gif)

Название: Помощь по математике
Отправлено: Вадимий от декабря 23, 2010, 12:02

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от декабря 24, 2010, 18:26

Вот демонстрация плюсов, о которых я говорил.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Вадимий от декабря 24, 2010, 18:35

Offtop

то есть иррационелен корень из числа тогда (но не только тогда), когда, если его разложить в виде произведения степеней простых чисел, то все показатели степеней будут нечётными - я к тому вопросу.

нет, усовершенствовать - иррационален корень из числа тогда и только тогда, когда хотя бы одна из показателей степеней простых чисел при факторизации (или как та ядрёная штука называется) будет нечётной?

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от декабря 24, 2010, 19:01

Цитата: Вадимий от декабря 24, 2010, 18:35
нет, усовершенствовать - иррационален корень из числа тогда и только тогда, когда хотя бы одна из показателей степеней простых чисел при факторизации (или как та ядрёная штука называется) будет нечётной?

Так и есть.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Вадимий от декабря 24, 2010, 19:05

ура. спасибо! надо запомнить...

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от декабря 24, 2010, 19:18

Цитата: Вадимий от декабря 24, 2010, 19:05
ура. спасибо! надо запомнить...

Смысл такой: квадратный корень из натурального числа или извлекается нацело, или иррационален (то же верно для корня любой степени). Ясно, что если извлекается нацело, то исходное число будет полным квадратом, поэтому показатели его простых множителей чётны. А доказать в общем случае можно с помощью несложной алгебраической теоремы: если несократимая дробь p/q (p целое, q натуральное) является корнем многочлена с целыми коэффициентами, то p — делитель свободного члена, q — делитель коэффициента при старшей степени. Эту теорему надо применить к многочлену x^n - a.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Вадимий от декабря 24, 2010, 19:22

Спасибо, но я не знаю даже, что есть корень многочлена.

но я себе это осмыслил уже, спасибо!

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от декабря 24, 2010, 19:25

Цитата: Вадимий от декабря 24, 2010, 19:22
Спасибо, но я не знаю даже, что есть корень многочлена.

Такое число, что если его подставить вместо x, получится 0.

Цитата: Вадимий от декабря 24, 2010, 19:22
но я себе это осмыслил уже, спасибо!

Зато есть повод осмыслить корни многочленов. ;)

Название: Помощь по математике
Отправлено: Вадимий от декабря 24, 2010, 19:26

Цитата: Квас от декабря 24, 2010, 19:25
Такое число, что если его подставить вместо x, получится 0.

Классно! ещё раз спасибо!

щас буду осмыслять...

Название: Помощь по математике
Отправлено: arseniiv от декабря 25, 2010, 13:47

Offtop

(Иными словами, корень многочлена P(x) — корень уравнения P(x) = 0.)

А ещё у корней многочленов бывает кратность... Заинтересовал и буду теперь молчать.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Вадимий от декабря 25, 2010, 14:22

Будешь молчать?!!
:'( ты знаешь, как повысить интерес к воспринимаемой информации :D

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от декабря 25, 2010, 15:41

А у нас на первом курсе была тема «Корни многочленов над полями»...

Название: Помощь по математике
Отправлено: arseniiv от декабря 25, 2010, 18:42

Ой, у нас не так песенно называлось! Да и не над всякими полями было, а только над обычнейшим.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от декабря 26, 2010, 22:09

Для нецелого x верно ли ([х]sin²(pi*x))' = 2pi[х]sin(pi*x) ?
Вроде как по всем правилам производил.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от декабря 26, 2010, 22:12

Ещё на cos(pi*x) умножить. Квадратные скобки — целая часть же?

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от декабря 26, 2010, 22:17

Цитата: Квас от декабря 26, 2010, 22:12
Ещё на cos(pi*x) умножить. Квадратные скобки — целая часть же?

Тьфу, точно, еще косинус в цепочке забыл :)
Да, целая часть. В остальном верно?

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от декабря 26, 2010, 22:19

У меня совсем с тригонометрией туго, ну не могу я запомнить миллионы тождеств :(
Вот это: pi[х]sin(2pi*x)+sin²(pi*x) может быть производной той функции?

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от декабря 26, 2010, 22:25

Цитата: RawonaM от декабря 26, 2010, 22:17
В остальном верно?

Абсолютно. На интервалах непрерывности целая часть — константа, так что просто выносится.

Цитата: RawonaM от декабря 26, 2010, 22:19
Вот это может быть pi[х]sin(2pi*x)+sin²(pi*x) производной той функции?

Не может (например потому, что на pi всё должно умножаться). Ответ можно записать как (http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Cpi%20%5Bx%5D%20%5Csin%202%20%5Cpi%20x), по формуле
(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Csin%202%20x%20%3D%202%20%5Csin%20x%20%5Ccos%20x)

Цитата: RawonaM от декабря 26, 2010, 22:19
ну не могу я запомнить миллионы тождеств :(

Даже ничего не могу посоветовать. :donno:

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от декабря 26, 2010, 22:31

Цитата: Квас от декабря 26, 2010, 22:25
(например потому, что на pi всё должно умножаться).

А это почему?

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от декабря 26, 2010, 22:34

Цитата: RawonaM от декабря 26, 2010, 22:31
А это почему?

Ну pi x мы же в самом конце дифференцируем, значит, pi должно вылезти перед всем выражением, каково бы оно ни было.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от декабря 26, 2010, 22:42

Точно. Спасибо :)

Название: Помощь по математике
Отправлено: arseniiv от декабря 27, 2010, 17:57

Я советую вам таблицы [с формулами [тригонометрическими]] устроить и в них подглядывать. ;D

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от декабря 27, 2010, 18:11

Как их устроить?

Название: Помощь по математике
Отправлено: arseniiv от декабря 27, 2010, 18:19

Были ручные. Начал в последнем классе (там не только тригонометрия, но ещё и производные и некоторые ещё вещи на всякий случай, теоремы синусов и косинусов, например — вдруг склероз придёт!), а потом на анализе дополнил разными интегралами и прочим.

У меня есть азмечательный тонюсенький справочник формул по математике за 5–11 клкл. С него было начальное заполнение, а интегралы из Демидовича приехали.

На форуме dxdy есть некоторая коллекция (http://dxdy.ru/matematicheskie-formuly-f52.html).

Название: Помощь по математике
Отправлено: myst от декабря 27, 2010, 18:36

RawonaM, а ты чёета в тригонометрию ударился? :)

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от декабря 27, 2010, 19:46

Цитата: myst от декабря 27, 2010, 18:36
RawonaM, а ты чёета в тригонометрию ударился? :)

Я в нее не ударялся, это она меня преследует. Анализ спокойно хочется поучить, а тут эти синусы-котангенсы :(

Название: Помощь по математике
Отправлено: Bhudh от декабря 27, 2010, 19:52

Аналичить без них никак :(...

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от декабря 27, 2010, 19:54

Цитата: Bhudh от декабря 27, 2010, 19:52
Аналичить без них никак :(...

Предлагаю их забанить.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от декабря 27, 2010, 19:57

Посмотрел список формул по триге по ссылке. Это издевательство над человечеством :(
Ну не может нормальный человек их просто запомнить. Нужно их научиться выводить из какого-то небольшого конечного множества.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Тайльнемер от декабря 27, 2010, 20:02

Цитата: RawonaM от декабря 27, 2010, 19:46
Анализ спокойно хочется поучить, а тут эти синусы-котангенсы :(

Юзайте вместо них экспоненту. :)

cos φ = (e^iφ + e^−iφ) / 2
sin φ = (e^iφ − e^−iφ) / 2i

e^iφ = cos φ + i sin φ

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от декабря 27, 2010, 20:04

Цитата: Тайльнемер от декабря 27, 2010, 20:02
Юзайте вместо них экспоненту. :)

Умно-умно. Я выучу тригонометрию всем вам на зло и буду тоже над йуолами смеяться. (http://www.kolobok.us/smiles/standart/beee.gif)

Название: Помощь по математике
Отправлено: Тайльнемер от декабря 27, 2010, 20:06

Цитата: RawonaM от декабря 27, 2010, 20:04
йуолами

?

Upd: А! всё, дошло! :)

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от декабря 27, 2010, 20:06

Цитата: Тайльнемер от декабря 27, 2010, 20:02
Юзайте вместо них экспоненту. :)

Это дельно.

Цитата: RawonaM от декабря 27, 2010, 19:57
Нужно их научиться выводить из какого-то небольшого конечного множества.

Это тоже дельно. Многие из них выводятся несложно. Фундамент составляют всего две: основное тождество и косинус разности (они выводятся геометрически).

Название: Помощь по математике
Отправлено: myst от декабря 27, 2010, 20:15

Такэтаж в школе было.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от декабря 27, 2010, 20:27

Косинус и синус — абсцисса и ордината точки на единичной окружности. Косинус — чётная функция, синус, тангенс, котангенс — нечётные.

Основное тригонометрическое тождество — это уравнение единичной окружности, узнаёте?
(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Ccos%5E2%20%5Calpha%20%2B%20%5Csin%20%5E2%20%5Calpha%20%3D%201)

Делим основное тождество на квадрат косинуса или синуса, получаем:
(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=1%20%2B%20%5Cmathop%7B%5Cmathrm%7Btg%7D%7D%5Cnolimits%20%5E2%20%5Calpha%20%3D%20%5Cfrac%201%7B%5Ccos%5E2%20%5Calpha%7D)
(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=1%20%2B%20%5Cmathop%7B%5Cmathrm%7Bctg%7D%7D%5Cnolimits%20%5E2%20%5Calpha%20%3D%20%5Cfrac%201%7B%5Csin%5E2%20%5Calpha%7D)

Косинус разности — это косинус угла между единичными векторами
(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=(%5Ccos%20%5Calpha%2C%20%5Csin%20%5Calpha)%2C%20%E2%80%80(%5Ccos%20%5Cbeta%2C%20%5Csin%20%5Cbeta),)
который, очевидно, равен их скалярному произведению. В формуле косинуса разности безошибочно угадываем это самое произведение:
(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Ccos(%5Calpha%20-%20%5Cbeta)%20%3D%20%5Ccos%20%5Calpha%20%5Ccos%20%5Cbeta%20%2B%20%5Csin%20%5Calpha%20%5Csin%20%5Cbeta)
Заменив бету на минус бету и воспользовавшись чётностью, получаем:
(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Ccos(%5Calpha%20%2B%5Cbeta)%20%3D%20%5Ccos%20%5Calpha%20%5Ccos%20%5Cbeta%20-%20%5Csin%20%5Calpha%20%5Csin%20%5Cbeta)
Формула для синуса суммы выводится с помощью формулы сокращённого умножения, её «дешевле» просто запомнить:
(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Csin(%5Calpha%20%2B%5Cbeta)%20%3D%20%5Csin%20%5Calpha%20%5Ccos%20%5Cbeta%20%2B%20%5Ccos%20%5Calpha%20%5Csin%20%5Cbeta)
Заменяем бету на -бету и пользуемся чётностью:
(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Csin(%5Calpha%20-%5Cbeta)%20%3D%20%5Csin%20%5Calpha%20%5Ccos%20%5Cbeta%20-%20%5Ccos%20%5Calpha%20%5Csin%20%5Cbeta)

Двойной аргумент: альфа + альфа, получаем
(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Csin2%5Calpha%20%3D2%20%5Csin%20%5Calpha%20%5Ccos%20%5Calpha)
(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Ccos2%5Calpha%20%3D%5Ccos%5E2%20%5Calpha%20-%20%5Csin%5E2%20%5Calpha)
С помощью ОТТ из последней формулы получаем ещё две:
(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Ccos2%5Calpha%20%3D2%5Ccos%5E2%20%5Calpha%20-%201%20%3D%201%20-%202%5Csin%5E2%20%5Calpha)
Таким образом, косинус двойного можно выразить через синус, через косинус или как однородный многочлен от синуса и косинуса.

Ну как? Продолжение нужно?

Название: Помощь по математике
Отправлено: myst от декабря 27, 2010, 20:33

Точно в школе было. У меня до сих пор где-то маленькая книжечка с этой фигнёй валяется. Эх, когда-то я щёлкал это, как орехи...

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от декабря 27, 2010, 20:33

Цитата: myst от декабря 27, 2010, 20:15
Такэтаж в школе было.

Я был отличником до 10-го кл и двоешником до 12-го кл. Примерно так. И это было более 11 лет назад, чтоб я еще че-то помнил.

Цитата: Квас от декабря 27, 2010, 20:27
Ну как? Продолжение нужно?

О да!! Спасибо огромное! :)

Название: Помощь по математике
Отправлено: Bhudh от декабря 27, 2010, 20:34

Цитата: mystУ меня до сих пор где-то маленькая книжечка с этой фигнёй валяется.

+1
Нет, +2. Одна с объяснялками, другая с таблицами.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от декабря 27, 2010, 20:41

Цитата: RawonaM от декабря 27, 2010, 20:33
О да!! Спасибо огромное! :)

Je vous en prie. :) Попозже продолжу. Формул многовато: около 40, не считая формул приведения.

Название: Помощь по математике
Отправлено: myst от декабря 27, 2010, 20:48

Неужели в этих ваших интернетах нет справочников по тригонометрии. И ваапще, где пакеты символьной математики и всё такое?

Название: Помощь по математике
Отправлено: arseniiv от декабря 28, 2010, 18:46

Как бы подешевле вывести произведения косинуса на синус и косинуса на косинус с синусом на синус разных углов — через экспоненту или через что-нибудь иное? Я их вечно не помню, остальное ничего так.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от декабря 28, 2010, 18:50

Цитата: arseniiv от декабря 28, 2010, 18:46
Как бы подешевле вывести произведения косинуса на синус и косинуса на косинус с синусом на синус разных углов — через экспоненту или через что-нибудь иное?

Произведение в сумму? Это из формул сложения: берутся их полусуммы.

Mille excuses, сегодня я не в форме; но продолжение будет.

Название: Помощь по математике
Отправлено: arseniiv от декабря 28, 2010, 19:00

Цитата: Квас от декабря 28, 2010, 18:50
Это из формул сложения: берутся их полусуммы.

Это вот не очень удобно, потому что формулы сложения я тоже не помню. ;D

Название: Помощь по математике
Отправлено: Ильич от декабря 28, 2010, 19:33

Цитата: RawonaM от декабря 27, 2010, 20:33
Примерно так. И это было более 11 лет назад, чтоб я еще че-то помнил.

Я закончил среднюю школу примерно 45 лет назад. Но никаких проблем с тригонометрией вроде бы не испытываю. А причину Квас объяснил. Там ничего помнить не требуется. Ну, может быть, кроме теоремы для синуса суммы.
-
Когда я заканчивал среднюю школу, всякие мечты по дальнейшему обучению были. Я выбрал математику, и одна из причин была в том, что в математике практически никакие фактические данные запоминать не нужно. Нужно понять логику. Вот Квас наглядно показывает, как тут в тригонометрии всё завязано. Потому-то он и спрашивает, нужно ли продолжение, а фактически спрашивает, стала ли уже эта логика понятна. Мне тут нечего добавить. Может быть, только то, что основное тождество тригонометрии - это просто теорема Пифагора так здесь выглядит.
-
И ещё про экспоненциальное представление синуса и косинуса. Это не просто какой-то кунстштюк. Дело в том, что любая функция, заданная на всей числовой оси может быть представлена в виде суммы двух функций, одна из которых чётна, а другая нечётна. Так вот синус нечётная, а косинус чётная функции для экспоненты на мнимой оси комплексных чисел. А если экспоненту на обычных, действительных числах рассматривать, то для неё чётной и нечётной будут уже косинус гиперболический и синус гиперболический.
Вообще, математика вот в этой взаимосвязи понятий, их зависимостей и так далее. А вовсе не в дурацких формулах, или, как некоторые думают, в каких-то рассчётах. Хотя некоторые формулы показывают эти самые зависимости, но не в тригонометрии, где кроме определения функций и теоремы Пифагора, вообще ничего нет.

Название: Помощь по математике
Отправлено: myst от декабря 28, 2010, 19:54

Цитата: Ильич от декабря 28, 2010, 19:33
Я закончил среднюю школу примерно 45 лет назад. Но никаких проблем с тригонометрией вроде бы не испытываю.

Цитата: Ильич от декабря 28, 2010, 19:33
Я выбрал математику, и одна из причин была в том, что в математике практически никакие фактические данные запоминать не нужно.

Ещё бы математик испытывал проблемы со школьной тригонометрией. ;D

Название: Помощь по математике
Отправлено: arseniiv от декабря 28, 2010, 21:41

Замечательный ответ, только замечу, что не синус нечётная часть, а умноженный на i. :)
А ещё альтернатива чётной и нечётной частям — формула Эйлера, поскольку она как раз и гласит e^ix = cos x + i sin x, что то же самое абсолютно, но только в компактной записи это будет удобно ниже.

Ой, Тайльнемер уже упомянул её.

А теперь выведем самостоятельно то, что так напугало RawonaM'а:

Цитата: RawonaM от декабря 27, 2010, 20:04
Умно-умно. Я выучу тригонометрию всем вам на зло и буду тоже над йуолами смеяться.

(0) e^ix = cos x + i sin x
Будем подставлять в эту формулу что попало:
(1) e^−ix = cos(−x) + i sin(−x) = cos x − i sin x
Одного раза, думаю, хватит. Теперь сложим (0) и (1):
(2) e^ix + e^−ix = cos x + i sin x + cos x − i sin x = 2 cos x
Интересненько. А если вычесть (1) из (0)?
(3) e^ix − e^−ix = cos x + i sin x − cos x + i sin x = 2i sin x
Из (2) и (3) делениями на 2 и 2i получаются формулы. После некоторой сноровки они легко запомнятся, потому что их, хоть и слегка громоздкий, вид напоминает о чётности и нечётности.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Ильич от декабря 29, 2010, 01:41

Цитата: arseniiv от декабря 28, 2010, 21:41
не синус нечётная часть, а умноженный на i.

Не хотел утяжелять основную мысль.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Ильич от декабря 29, 2010, 09:55

Цитата: myst от декабря 28, 2010, 19:54
Ещё бы математик испытывал проблемы со школьной тригонометрией. ;D

Я математик по образованию, но последние 35 лет математикой не занимался, ни как научный сотрудник, ни как преподаватель.
Тем не менее считаю, что математика кормила меня почти всю жизнь, потому что её изучение прививает и развивает как способности к творчеству, так и к анализу. В чём-то математика ближе к лингвистике, чем к тому, что называют точными науками. Недаром замечательный физик Фейнман писал, что математика вообще не является наукой.
Есть ещё один аспект изучения математики. Это обучение способности отличать правду от правдоподобных рассуждений. Некоторые математики считают, что в этом собственно и состоит вся математика.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от декабря 30, 2010, 08:34

Собрал все теоремы из части по дифференцированию:
Fermat
Rolle
Lagrange
Cauchy
Darboux
L'Hopital

Французы забили патент на дифференциальный счет?

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от декабря 30, 2010, 09:50

Цитата: RawonaM от декабря 30, 2010, 08:34
Французы забили патент на дифференциальный счет?

Ну да. (По‐русски говорят «дифференциальное исчисление».) Французы — молодцы. В анализе всю теорию Коши придумал (включая интеграл Римана ;D). Из колоссов (кроме Ньютона) Вейерштрасс на ум приходит, но это уже позже.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Bhudh от декабря 30, 2010, 20:29

А Чебышёв⁈

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от декабря 30, 2010, 20:37

Честно говоря, историю математики я знаю в основном по названиям теорем. ;) Чебышёв — крупный учёный, но Коши и Вейерштрасс в моих представлениях имеют совсем другой порядок.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Bhudh от декабря 30, 2010, 20:39

(wiki/ru) Многочлены Чебышёва (http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D1%87%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D1%8B_%D0%A7%D0%B5%D0%B1%D1%8B%D1%88%D0%B5%D0%B2%D0%B0)
(wiki/ru) Неравенство Чебышёва (http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%B5%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B5%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE_%D0%A7%D0%B5%D0%B1%D1%8B%D1%88%D0%B5%D0%B2%D0%B0)
(wiki/ru) Неравенство Чебышёва для сумм (http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%B5%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B5%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE_%D0%A7%D0%B5%D0%B1%D1%8B%D1%88%D0%B5%D0%B2%D0%B0_%D0%B4%D0%BB%D1%8F_%D1%81%D1%83%D0%BC%D0%BC)

Название: Помощь по математике
Отправлено: myst от декабря 30, 2010, 20:49

А ещё помню полином Ж(и|е)галкина. :)

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от декабря 30, 2010, 20:51

Цитата: Bhudh от декабря 30, 2010, 20:39
(wiki/ru) Многочлены Чебышёва
(wiki/ru) Неравенство Чебышёва

Ну, это я знаю.

Многочлены Чебышёва — да, используются в теории интерполирования. Однако есть куча именованных систем многочленов: полиномы Лежандра, Эрмита, Лагерра...

Неравенство Чебышёва — это теория вероятностей, (http://www.kolobok.us/smiles/standart/bad.gif).

А неравенства Чебышёва для сумм впервые вижу. Неравенства Коши—Буняковского, Гёльдера, Минковского (в виде неравенства треугольника в функциональных пространствах), даже Юнга (в частном случае, названном в честь Коши: |ab| <= (a^2 + b^2)/2) использую постоянно, а вот неравенство Чебышёва как‐то ни к чему было. :donno:

Название: Помощь по математике
Отправлено: Bhudh от декабря 30, 2010, 21:00

Цитата: Quāsus

Натянутые отношения с тервером?

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от декабря 30, 2010, 21:05

Цитата: Bhudh от декабря 30, 2010, 21:00
Цитата: Quāsus
Натянутые отношения с тервером?

Смайл порвал :E: Тока трохи слишковато ты его натянул, сложно узнать)

Будем подтягивать тервер в следующем семестре вместе. ;D
У меня три курса, иншалла вытяну :)

Название: Помощь по математике
Отправлено: Bhudh от декабря 30, 2010, 21:10

Цитата: RawonaMСмайл порвал

Да вроде растянул только... :what:

Цитата: RawonaMТока трохи слишковато ты его натянул, сложно узнать)

Так я его в 3 этапа... Ты на последний попал.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от декабря 30, 2010, 21:29

Цитата: Bhudh от декабря 30, 2010, 21:00
Натянутые отношения с тервером?

Да не, сдано на пятёрки и забыто. Просто не нравится. «Либо пациент жив, либо пациент мёртв», «отдельная борода науку не интересует». Правда, нарды несколько реабилитировали стохастику в моих глазах: не зря же теория вероятностей начиналась как теория азартных игр.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Тайльнемер от декабря 31, 2010, 07:10

Цитата: myst от декабря 30, 2010, 20:49
А ещё помню полином Ж(и|е)галкина.

Так это ж не из анализа. Это из дискретки.

Название: Помощь по математике
Отправлено: myst от декабря 31, 2010, 09:40

Цитата: Тайльнемер от декабря 31, 2010, 07:10
Так это ж не из анализа. Это из дискретки.

А тут тока из анализа можна? :eat:

Название: Помощь по математике
Отправлено: Тайльнемер от декабря 31, 2010, 10:30

Цитата: myst от декабря 31, 2010, 09:40
А тут тока из анализа можна?

Цитата: RawonaM от декабря 30, 2010, 08:34
Французы забили патент на дифференциальн[ое исчисление]?

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от декабря 31, 2010, 17:39

(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=x%5En%2Bax%5E2%2Bb)
У этого полигнома есть максимум три корня если n нечетный и максимум два — если четный. Верно?

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от декабря 31, 2010, 18:31

Цитата: RawonaM от декабря 31, 2010, 17:39
У этого полигнома есть максимум три корня если n нечетный и максимум два — если четный. Верно?

Корни, насколько понимаю, вещественные интересуют. А кратность учитывается?

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от декабря 31, 2010, 18:52

Цитата: Квас от декабря 31, 2010, 18:31
Корни, насколько понимаю, вещественные интересуют. А кратность учитывается?

В анализе тока вещественными занимаются вроде :)
Как понять кратность?

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от декабря 31, 2010, 18:53

Верно ли это? (http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Cmathop%7B%5Clim%7D%5Climits_%7Ba%20%5Cto%20%5Cinfty%7Df%27(a)%3D0%20%5Crightarrow%20%5Cmathop%7B%5Clim%7D%5Climits_%7Ba%20%5Cto%20%5Cinfty%7Df(a)%3DL)

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от декабря 31, 2010, 18:53

Как двойную стрелку в латексе ставить? Следует, мол.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от декабря 31, 2010, 19:03

Цитата: RawonaM от декабря 31, 2010, 18:52
В анализе тока вещественными занимаются вроде :)

В вещественном — вещественными, в комплексном — комплексными. :) Просто в связи с корнями «основная теорема алгебры» в голову приходит.

Цитата: RawonaM от декабря 31, 2010, 18:52
Как понять кратность?

Интуитивно: несколько совпадающих корней. Например, число 0 является корнем многочлена x^2 кратности 2.

Число c называется k-кратным корнем многочлена f(x) (k >=1), если f(x) делится на (x-c)^k и не делится на (x-c)^{k+1}. Число c является k-кратным корнем тогда и только тогда, когда
(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=f(c)%20%3D%20f'(c)%20%3D%20%5Cldots%20%3D%20f%5E%7B(k-1)%7D(c)%20%3D%200%2C%20%5C%20f%5E%7B(k)%7D(c)%20%5Cneq%200.)

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от декабря 31, 2010, 19:05

Цитата: RawonaM от декабря 31, 2010, 18:53
Верно ли это?

Нет, контрпример — логарифм.

Цитата: RawonaM от декабря 31, 2010, 18:53
Как двойную стрелку в латексе ставить? Следует, мол.

(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5CRightarrow) \Rightarrow

(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5CLeftrightarrow) \Leftrightarrow

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от декабря 31, 2010, 19:10

Цитата: Квас от декабря 31, 2010, 19:03
Просто в связи с корнями «основная теорема алгебры» в голову приходит.

Что это за теорема?
Как я вывел: делаем производную, у производной максимум 1 или 2 корня (нечет-чет). Следовательно, у функции 2 или 3 корня максимально, потому что если бы было больше, то по Роллю было бы больше корней у производной (между каждыми двумя корнями есть корень производной какбе). Такая логика катит?

Цитата: Квас от декабря 31, 2010, 19:03
Интуитивно: несколько совпадающих корней. Например, число 0 является корнем многочлена x^2 кратности 2.

Число c называется k-кратным корнем многочлена f(x) (k >=1), если f(x) делится на (x-c)^k и не делится на (x-c)^{k+1}. Число c является k-кратным корнем, когда

Это что-то слишком сложно, мы такого еще не проходили :)

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от декабря 31, 2010, 19:14

Цитата: Квас от декабря 31, 2010, 19:05
ЦитироватьВерно ли это?
Нет, контрпример — логарифм.

А корень ведь тоже контрпример, не так ли?

Название: Помощь по математике
Отправлено: myst от декабря 31, 2010, 19:17

Я не понял, форум LaTeX понимает?

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от декабря 31, 2010, 19:20

Цитата: myst от декабря 31, 2010, 19:17
Я не понял, форум LaTeX понимает?

Можно сделать легко, чтоб понимал, но какбе нужно ли?

Название: Помощь по математике
Отправлено: myst от декабря 31, 2010, 19:24

Цитата: RawonaM от декабря 31, 2010, 19:20
Можно сделать легко, чтоб понимал, но какбе нужно ли?

Прикрути от вики.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от декабря 31, 2010, 19:26

Цитата: myst от декабря 31, 2010, 19:24
ЦитироватьМожно сделать легко, чтоб понимал, но какбе нужно ли?
Прикрути от вики.

А что там в вики? Зачем вообще это надо? Я могу тэг на ситмо поставить, но ведь неудобно невизуально писать.

Название: Помощь по математике
Отправлено: myst от декабря 31, 2010, 19:43

Видел в конфиге вики упоминание о рендеринге LaTeX'а.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от декабря 31, 2010, 19:44

Цитата: RawonaM от декабря 31, 2010, 19:14
А корень ведь тоже контрпример, не так ли?

Ага.

***

Мне сдаётся, при чётном n может быть до четырёх корней.

Цитата: RawonaM от декабря 31, 2010, 19:10
Как я вывел: делаем производную, у производной максимум 1 или 2 корня (нечет-чет). Следовательно, у функции 2 или 3 корня максимально, потому что если бы было больше, то по Роллю было бы больше корней у производной (между каждыми двумя корнями есть корень производной какбе). Такая логика катит?

Я тоже примерно так рассуждал. Но при чётном n у производной в общем случае 3 корня (ещё 0). И теорема Ролля даёт оценку числа корней, тут всё правильно.

По идее, неплохо было бы привести примеры многочленов с максимальным числом корней, чтобы не возникало вопросов, нельзя ли оценку числа корней улучшить.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от декабря 31, 2010, 19:47

Цитата: RawonaM от декабря 31, 2010, 19:10
Цитата: Квас от Сегодня в 20:03
ЦитироватьПросто в связи с корнями «основная теорема алгебры» в голову приходит.
Что это за теорема?

Каждый многочлен степени >= 1 с комплексными коэффициентами имеет хотя бы один комплексный корень.

Как следствие, комплексный многочлен степени n >= 1 имеет ровно n комплексных корней с учётом кратности.

Название — традиционное, в действительности теорема хотя важная, но далеко не основная. К тому же она не имеет чисто алгебраического доказательства: всегда используются какие-то аналитические рассуждения.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от декабря 31, 2010, 19:48

Цитата: RawonaM от декабря 31, 2010, 19:26
неудобно невизуально писать.

Фсмысле?

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от декабря 31, 2010, 19:56

Цитата: Квас от декабря 31, 2010, 19:44
Но при чётном n у производной в общем случае 3 корня (ещё 0).

Блин, я же неправильно производную вывел. Bolwan!!
Тогда чего тут думать? Утверждение неверно.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от декабря 31, 2010, 19:58

Цитата: Квас от декабря 31, 2010, 19:48
Цитироватьнеудобно невизуально писать.
Фсмысле?

В смысле, что толку писать [latex]\frac{1}{x} ...[/latex] когда ты не видишь, что ты написал? Ну то есть, увидеть можно будет через предпросмотр, но удобно ли это? А так в принципе нет проблем встроить тэг для ситмо в форум.

Название: Помощь по математике
Отправлено: myst от декабря 31, 2010, 20:02

Цитата: RawonaM от декабря 31, 2010, 19:56
Bolwan!!

Снеговик?

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от декабря 31, 2010, 20:03

Вот контрпример с четной степенью:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=x^4-5x^2+5 (http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E4-5x%5E2%2B5)

Название: Помощь по математике
Отправлено: myst от декабря 31, 2010, 20:09

Вольфрам ишо работает?

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от декабря 31, 2010, 20:10

А при нечетном вроде выходит верно, что не больше трех корней. Правильно?

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от декабря 31, 2010, 20:11

Цитата: myst от декабря 31, 2010, 20:09
Вольфрам ишо работает?

А что должно было случиться?

Название: Помощь по математике
Отправлено: myst от декабря 31, 2010, 20:12

Цитата: RawonaM от декабря 31, 2010, 20:11
А что должно было случиться?

Оказался не нужен, и автор «забыл» заплатить хостеру.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от декабря 31, 2010, 20:15

А я не слышал вообще ничего про этот сайт. Он что, известный какбе?

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от декабря 31, 2010, 20:19

Цитата: RawonaM от декабря 31, 2010, 20:10
А при нечетном вроде выходит верно, что не больше трех корней. Правильно?

Ага.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от декабря 31, 2010, 20:54

Если f дифференцируема дважды и в х0 есть локальный максимум, то f'(x0)=0 и f''(x0)<0.

Верно ли? Я считаю, что верно, но боюсь может я чего не учел.

Название: Помощь по математике
Отправлено: myst от декабря 31, 2010, 21:02

Цитата: RawonaM от декабря 31, 2010, 20:15
А я не слышал вообще ничего про этот сайт.

А как ты на него тогда попал? :)

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от декабря 31, 2010, 21:09

Цитата: myst от декабря 31, 2010, 21:02
А как ты на него тогда попал? :)

Бод ссылку давал в этой теме.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от декабря 31, 2010, 21:09

Цитата: RawonaM от декабря 31, 2010, 20:54
Если f дифференцируема дважды и в х0 есть локальный максимум, то f'(x0)=0 и f''(x0)<0.

Наоборот: это достаточное условие, а не необходимое. Пример: f(x) = -x^4, x0 = 0.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от декабря 31, 2010, 21:17

Цитата: Квас от декабря 31, 2010, 21:09
ЦитироватьЕсли f дифференцируема дважды и в х0 есть локальный максимум, то f'(x0)=0 и f''(x0)<0.
Наоборот: это достаточное условие, а не необходимое. Пример: f(x) = -x^4, x0 = 0.

Хм... Получается вторая производная тоже ноль?
По идее если производить до упора, то приходим таки к производной <0, по цепочке можно вывести, что это локальный максимум самой верхней функции?

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от декабря 31, 2010, 21:23

Цитата: RawonaM от декабря 31, 2010, 21:17
По идее если производить до упора, то приходим таки к производной <0, по цепочке можно вывести, что это локальный максимум самой верхней функции?

Контрпример: f(x) = x^3, x = 0. :) Зависит от чётности номера первой ненулевой производной: если номер нечётный, то экстремума нет. Всё становится очевидным, если воспользоваться формулой Тейлора.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от декабря 31, 2010, 21:29

Цитата: Квас от декабря 31, 2010, 21:23
Контрпример: f(x) = x^3, x = 0. :)

Контрпример чего? Так у него и максимума нет и не приходим ни к чему. :)
Тейлора еще не проходили. Блин, хочется уже все знать!

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от декабря 31, 2010, 21:41

Если функция n-1 раз дифференцируема в окрестности точки a, а в самой точке есть n-я производная, то
(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=f(x)%20=%20f(a)%20+%20f'(a)(x-a)%20%2B%20%5Cfrac%7Bf''(a)%7D%7B2!%7D(x-a)%5E2%20%2B%20%5Cldots%20%20%2B%20%5Cfrac%7Bf%5E%7B(n)%7D(a)%7D%7B2!%7D(x-a)%5En%20%2B%20o((x-a)%5En))
Доказательство несложное, фактически из определения производной. (Если n-я производная существует в окрестности, то есть более внятные формулы для остаточного члена.)

Нас интересует, когда первые (n-1) производные обращаются в 0. Из формулы видим, что поведение функции f(x) совпадает с поведением простейшей степенной функции с точностью до бесконечно малой высокого порядка.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от декабря 31, 2010, 21:46

Что-то вставка формулы взбесилась. Плюс потерялся между f(a) и f'(a).

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от декабря 31, 2010, 21:48

Цитата: RawonaM от декабря 31, 2010, 21:29
Контрпример чего? Так у него и максимума нет и не приходим ни к чему. :)

А, погодите.

Цитата: RawonaM от декабря 31, 2010, 21:17
По идее если производить до упора, то приходим таки к производной <0, по цепочке можно вывести, что это локальный максимум самой верхней функции?

А зачем нам верхняя? У нас есть функция, несколько производных которой обращаются в 0, и нам надо понять, что у неё с экстремумами.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Тайльнемер от декабря 31, 2010, 22:06

Цитата: Квас от декабря 31, 2010, 21:41
(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=f(x)%20=%20f(a)%20+%20f'(a)(x-a)%20%2B%20%5Cfrac%7Bf''(a)%7D%7B2!%7D(x-a)%5E2%20%2B%20%5Cldots%20%20%2B%20%5Cfrac%7Bf%5E%7B(n)%7D(a)%7D%7B2!%7D(x-a)%5En%20%2B%20o((x-a)%5En))

У вас в последнем знаменателе опечатка — 2! вместо n!.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от декабря 31, 2010, 23:43

Если f дифференциируема в R и f' монотонна в R, то f' непрерывна.

Насколько я понимаю, это верно, потому что в производной функции не может быть непрерывности первого типа в принципе, если функция дифференцируема на всем R.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от января 1, 2011, 00:04

Цитата: RawonaM от декабря 31, 2010, 23:43
Если f дифференциируема в R и f' монотонна в R, то f' непрерывна.

Насколько я понимаю, это верно, потому что в производной функции не может быть непрерывности первого типа в принципе, если функция дифференцируема на всем R.

Ого! Кажется, верно. Но сначала надо скачать и глянуть Фихтенгольца. Кажется, была теорема Дарбу о том, что производная принимает промежуточные значения; при условии монотонности это означает отсутствие скачков.

А какие это «непрерывности k-го типа»?

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 1, 2011, 00:07

Цитата: Квас от января 1, 2011, 00:04
Ого! Кажется, верно. Но сначала надо скачать и глянуть Фихтенгольца. Кажется, была теорема Дарбу о том, что производная принимает промежуточные значения; при условии монотонности это означает отсутствие скачков.

Да, из Дарбу как раз все эти ограничения выводятся.

Цитата: Квас от января 1, 2011, 00:04
А какие это «непрерывности k-го типа»?

Как это? Есть три типа: устраняемая (пер. мой), первого типа и второго типа. У вас они не так называются? :)

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 1, 2011, 00:09

Тьфу. Имелась в виду не непрерывность, а прерывность как раз первого типа :)

Название: Помощь по математике
Отправлено: Bhudh от января 1, 2011, 00:11

Цитата: RawonaMБод ссылку давал в этой теме.

Что, правда в этой? А я уж и не помню... Хотя... 389 сообщений, немудрено забыть... Хотя помню, что меня на этот сайт myst привёл...

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от января 1, 2011, 00:11

Цитата: RawonaM от января 1, 2011, 00:09
Тьфу. Имелась в виду не непрерывность, а прерывность как раз первого типа :)

Ага! По-русски это разрывы: устранимый разрыв, разрыв первого или второго рода. Кажется, устранимый был частным случаем разрыва первого рода.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 1, 2011, 00:14

Цитата: Квас от января 1, 2011, 00:11
Кажется, устранимый был частным случаем разрыва первого рода.

А у нас первый род определяется как разные односторонние пределы.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от января 1, 2011, 00:16

Цитата: RawonaM от января 1, 2011, 00:14
А у нас первый род определяется как разные односторонние пределы.

Кажется, у нас было условие, что оба конечные. Но, во‐первых, я неточно помню, а во-вторых, преподша могла наврать. Надо глянуть книжку какую-нить.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 1, 2011, 00:20

Цитата: Квас от января 1, 2011, 00:16
ЦитироватьА у нас первый род определяется как разные односторонние пределы.
Кажется, у нас было условие, что оба конечные. Но, во‐первых, я неточно помню, а во-вторых, преподша могла наврать. Надо глянуть книжку какую-нить.

Ну да, оба конечные и разные. Нулевой тип (это я так условно называю устранимую) — это оба конечные и одинаковые. Второй тип — все что не нулевой и не первый.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Bhudh от января 1, 2011, 00:21

Offtop

Quāse, Вы прям кагбутта и не отмечаете... С Новым годом, земляк!

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от января 1, 2011, 00:32

Offtop

Цитата: Bhudh от января 1, 2011, 00:21
Quāse, Вы прям кагбутта и не отмечаете... С Новым годом, земляк!

Отмечаю-отмечаю, просто я вечно трезвый. :dayatakoy: С Новым годом! :=

Название: Помощь по математике
Отправлено: Bhudh от января 1, 2011, 00:37

Offtop

Цитата: Квася вечно трезвый

Ну оно и по нику видно! ;)
Я так же.

Сижу, кагор допиваю... :)

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 1, 2011, 09:32

У меня такая задачка: дан полином четвертой степени (первый коэф 1) и дано, что в точке х0 есть корень и производная не равна нулю. Доказать, что есть по меньшей мере два корня.

Вполне логично и решаемо. Т.к. в точке х0 не локальный минимум или максимум (если бы был, то производная должна быть 0), до нее или после нее функция уходит в минус. Берем любую точку в минусе, при х стремится в плюс-минус бесконечность предел является плюс бесконечностью, значит с обоих сторон от этой точки есть как минимум по одному корню.

Меня смущает, что это несколько неуклюже, есть ощущение, что упустил из виду какую-то важную теорему. Писанины тут слишком много, а баллов за это задание мало, подозрительно. Подскажите :)

Название: Помощь по математике
Отправлено: Тайльнемер от января 1, 2011, 11:11

Цитата: RawonaM от января 1, 2011, 09:32
У меня такая задачка: дан полином четвертой степени (первый коэф 1) и дано, что в точке х0 есть корень и производная не равна нулю. Доказать, что есть по меньшей мере два корня.

Можно так доказать:

Так как у полиномов с вещественными коэффициентами невещественных корней всегда чётное число (комплексно-сопряжённое от корня является корнем той же кратности), то у нашего полинома чётной степени вещественных корней чётное число.
Из условия вещ. корней больше нуля штук, следовательно, их минимум 2 штуки.
А так как производная в x0 не равна нулю, то корень x0 имеет кратность 1, и, следовательно, эти два корня различны.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 1, 2011, 11:21

Цитата: Тайльнемер от января 1, 2011, 11:11
Так как у полиномов с вещественными коэффициентами невещественных корней всегда чётное число (комплексно-сопряжённое от корня является корнем той же кратности), то у нашего полинома чётной степени вещественных корней чётное число.

Спасибо за подсказку, но не проходит :) Потому что мы ни комплексные числа не определяли и нигде у нас еще не доказано, что невещественных корней сколько-то там. :)

Название: Помощь по математике
Отправлено: Тайльнемер от января 1, 2011, 14:37

Извините.
Мне надо было внимательнее читать тему.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Тайльнемер от января 1, 2011, 14:43

Но ваше док-во вполне годное.
Если хотите формальнее, то можно рассмотреть два случая:
1) Пусть f'(x0)<0. тогда сущ. ε, такой что f(x0+ε)<0. Так как lim_{x→+∞} f(x) = +∞, то сущ. δ, такое, что f(δ)>0. Т.к. f — непрерывная функция, она принимает все значения от f(x0+ε) до f(δ) на отрезке [x0+ε, δ], в том числе, 0.

2) Пусть f'(x0)>0. Аналогично, но наоборот.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 1, 2011, 14:55

Цитата: Тайльнемер от января 1, 2011, 14:43
Но ваше док-во вполне годное.
Если хотите формальнее, то можно рассмотреть два случая:

Спасибо :) Мне было интересно есть ли более просто способ, потому что мне кажется что я что-то упустил.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 1, 2011, 18:23

Застрял на самом простом :) Не помню уже: как высчитывается предел x→+∞ такого полинома? Вынос за скобки х^4 не помогает.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от января 1, 2011, 19:00

Цитата: RawonaM от января 1, 2011, 18:23
Застрял на самом простом :) Не помню уже: как высчитывается предел x→+∞ такого полинома? Вынос за скобки х^4 не помогает.

Да вроде очевидно, что предел многочлена совпадает с пределом старшего члена. Если вынести x^4, то в скобках остаётся величина с конечным ненулевым пределом — этого недостаточно?

Какой техникой вы владеете для доказательства бесконечности предела? Можно в знаменатель загнать многочлен, тогда дробь стремится к 0; при больших x знак совпадает со знаком старшего члена.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 1, 2011, 19:23

Цитата: Квас от января 1, 2011, 19:00
Да вроде очевидно, что предел многочлена совпадает с пределом старшего члена. Если вынести x^4, то в скобках остаётся величина с конечным ненулевым пределом — этого недостаточно?

Дык нет же, не получается. Ибо в скобках остается к примеру одно из слагаемых 1/х, у которого нет предела в нуле.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 1, 2011, 19:25

Цитата: Квас от января 1, 2011, 19:00
Какой техникой вы владеете для доказательства бесконечности предела? Можно в знаменатель загнать многочлен, тогда дробь стремится к 0; при больших x знак совпадает со знаком старшего члена.

Не понял какой многочлен загнать в знаменатель можно...

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от января 1, 2011, 19:26

Цитата: RawonaM от января 1, 2011, 19:23
Дык нет же, не получается. Ибо в скобках остается к примеру одно из слагаемых 1/х, у которого нет предела в нуле.

Так мы вроде в бесконечности предел ищем.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от января 1, 2011, 19:28

Цитата: RawonaM от января 1, 2011, 19:25
Не понял какой многочлен загнать в знаменатель можно...

lim p(x) = + \infty эквивалентно тому, что lim 1/p(x) = 0, p(x) > 0. Предел многочлена на бесконечности — настолько просто, что и не знаешь, как обосновать.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 1, 2011, 19:30

Цитата: Квас от января 1, 2011, 19:26
ЦитироватьДык нет же, не получается. Ибо в скобках остается к примеру одно из слагаемых 1/х, у которого нет предела в нуле.
Так мы вроде в бесконечности предел ищем.

Блин, переклинило. :wall: Вопрос снимается. ;D

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 1, 2011, 19:31

Цитата: Квас от января 1, 2011, 19:28
ЦитироватьНе понял какой многочлен загнать в знаменатель можно...
lim p(x) = + \infty эквивалентно тому, что lim 1/p(x) = 0, p(x) > 0. Предел многочлена на бесконечности — настолько просто, что и не знаешь, как обосновать.

Вот-вот, иногда полезно обосновывать простые вещи :)

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 1, 2011, 19:45

Вот еще одна головоломка, сдался. Подскажите как грызть такой предел:
(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Cmathop%7B%5Clim%7D%5Climits_%7Bx%20%5Cto%200%7D%5Cfrac%7B%5Ctan%20x%20-%20x%7D%7Bx%20-%20%5Csin%20x%7D)

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от января 1, 2011, 19:48

Чем можем грызть? Правило Лопиталя? Формула Тейлора?

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 1, 2011, 19:52

Цитата: Квас от января 1, 2011, 19:48
Чем можем грызть? Правило Лопиталя? Формула Тейлора?

Лопиталем нужно бы. Но нам тонко намекнули, что тут подвох и Лопиталем это нерешаемо. А то я мог бы так и неделю лопиталить.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 1, 2011, 19:53

Тейлора не учили.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от января 1, 2011, 20:01

Если Лопиталя соединить с элементарными преобразованиями, то достаточно одного дифференцирования:
(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Clim_%7Bx%20%5Cto%200%7D%20%5Cfrac%7B%5Cmathop%7B%5Crm%20tg%7D%20-%20x%7D%7Bx-%5Csin%20x%7D%20%0A%3D%20%5Clim_%7Bx%20%5Cto%200%7D%20%5Cfrac%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Ccos%5E2%20x%7D%20-%201%7D%7B1-%5Ccos%20x%7D%20%0A%3D%20%5Clim_%7Bx%20%5Cto%200%7D%20%5Cfrac%7B%5Cmathop%7B%5Crm%20tg%5E2%7D%20x%7D%7B2%20%5Csin%5E2%20%5Cfrac%20x2%7D%20)
и далее по первому замечательному.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от января 1, 2011, 20:12

Насчёт тригонометрии я помню обещание. :)

Для сравнения с помощью формулы Тейлора: функции заменяются многочленами.
(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Cmathop%7B%5Crm%20tg%7D%20x%20%3D%20x%20%2B%20%5Cfrac%20%7Bx%5E3%7D3%20%2B%20o(x%5E3)%5C%5C%0A%5Csin%20x%20%3D%20x%20-%20%5Cfrac%20%7Bx%5E3%7D6%20%2B%20o(x%5E3))

Получаем:
(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Clim_%7Bx%5Cto%200%7D%20%5Cfrac%7B%5Cmathop%7B%5Crm%20tg%7D%20x%20-%20x%20%7D%7Bx%20-%20%5Csin%20x%7D%20%3D%20%5Clim_%7Bx%5Cto%200%7D%20%5Cfrac%7B%5Cleft(x%20%2B%20%5Cfrac%20%7Bx%5E3%7D3%20%2B%20o(x%5E3)%5Cright)%20-%20x%7D%7Bx%20-%20%5Cleft(x%20-%20%5Cfrac%20%7Bx%5E3%7D6%20%2B%20o(x%5E3)%5Cright)%7D%3D%5C%5C%0A%3D%20%5Clim_%7Bx%5Cto%200%7D%20%5Cfrac%7B%5Cfrac%20%7Bx%5E3%7D3%20%2B%20o(x%5E3)%7D%7B%5Cfrac%20%7Bx%5E3%7D6%20%2B%20o(x%5E3)%7D%0A%3D%20%5Clim_%7Bx%5Cto%200%7D%20%5Cfrac%7B%5Cfrac%20%7B1%7D3%20%2B%20%5Cfrac%7Bo(x%5E3)%7D%7Bx%5E3%7D%7D%7B%5Cfrac%20%7B1%7D6%20%2B%20%5Cfrac%7Bo(x%5E3)%7D%7Bx%5E3%7D%7D%0A%3D%20%5Cfrac%7B%5Cfrac%20%7B1%7D3%20%2B%200%7D%7B%5Cfrac%20%7B1%7D6%20%2B%200%7D%20%20%3D%202)

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 1, 2011, 21:15

Цитата: Квас от января 1, 2011, 20:01
Если Лопиталя соединить с элементарными преобразованиями, то достаточно одного дифференцирования:
(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Clim_%7Bx%20%5Cto%200%7D%20%5Cfrac%7B%5Cmathop%7B%5Crm%20tg%7D%20-%20x%7D%7Bx-%5Csin%20x%7D%20%0A%3D%20%5Clim_%7Bx%20%5Cto%200%7D%20%5Cfrac%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Ccos%5E2%20x%7D%20-%201%7D%7B1-%5Ccos%20x%7D%20%0A%3D%20%5Clim_%7Bx%20%5Cto%200%7D%20%5Cfrac%7B%5Cmathop%7B%5Crm%20tg%5E2%7D%20x%7D%7B2%20%5Csin%5E2%20%5Cfrac%20x2%7D%20)
и далее по первому замечательному.

Не уверен, что я понял. Первый замечательный - sin(x)/x?

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 1, 2011, 21:16

Вопрос: если у одной функции нет предела, а у другой есть конечный ненулевой предел, их перемножение дает всегда беспредел (фсмысле, отсутствие предела :))? Или может быть и иначе?

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 1, 2011, 21:31

Цитата: RawonaM от января 1, 2011, 21:16
Вопрос: если у одной функции нет предела, а у другой есть конечный ненулевой предел, их перемножение дает всегда беспредел (фсмысле, отсутствие предела :))? Или может быть и иначе?

Хотя это не совсем та проблема, что у меня. Дело такое:
(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Cmathop%7B%5Clim%7D%5Climits_%7Bx%20%5Cto%20k%7D%5Cfrac%7B%5Bx%2F2%5D%5Csin%20%5Cpi%20x%7D%7Bx%20-%20k%7D)
Нужно высчитать пределы для натуральных к. Для нечетных все ясно, а вот с четными непонятно как быть.
Могу ли я посчитать Лопиталем без [x/2], получить конечный предел, и сказать, что раз это умножено на [x/2], у которой нет предела, то предела нет и у произведения?

Мне кажется не могу, но я не вижу, что тут еще можно сделать.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 1, 2011, 21:44

Цитата: RawonaM от января 1, 2011, 21:15
Цитата: Квас от января 1, 2011, 20:01
Если Лопиталя соединить с элементарными преобразованиями, то достаточно одного дифференцирования:
(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Clim_%7Bx%20%5Cto%200%7D%20%5Cfrac%7B%5Cmathop%7B%5Crm%20tg%7D%20-%20x%7D%7Bx-%5Csin%20x%7D%20%0A%3D%20%5Clim_%7Bx%20%5Cto%200%7D%20%5Cfrac%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Ccos%5E2%20x%7D%20-%201%7D%7B1-%5Ccos%20x%7D%20%0A%3D%20%5Clim_%7Bx%20%5Cto%200%7D%20%5Cfrac%7B%5Cmathop%7B%5Crm%20tg%5E2%7D%20x%7D%7B2%20%5Csin%5E2%20%5Cfrac%20x2%7D%20)
и далее по первому замечательному.
Не уверен, что я понял. Первый замечательный - sin(x)/x?

Короче, теперь я уверен, что совсем не понял. Как дальше двигаться, понятия не имею :(

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 1, 2011, 21:45

Цитата: RawonaM от января 1, 2011, 21:44
Цитата: RawonaM от января 1, 2011, 21:15
Цитата: Квас от января 1, 2011, 20:01
Если Лопиталя соединить с элементарными преобразованиями, то достаточно одного дифференцирования:
(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Clim_%7Bx%20%5Cto%200%7D%20%5Cfrac%7B%5Cmathop%7B%5Crm%20tg%7D%20-%20x%7D%7Bx-%5Csin%20x%7D%20%0A%3D%20%5Clim_%7Bx%20%5Cto%200%7D%20%5Cfrac%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Ccos%5E2%20x%7D%20-%201%7D%7B1-%5Ccos%20x%7D%20%0A%3D%20%5Clim_%7Bx%20%5Cto%200%7D%20%5Cfrac%7B%5Cmathop%7B%5Crm%20tg%5E2%7D%20x%7D%7B2%20%5Csin%5E2%20%5Cfrac%20x2%7D%20)
и далее по первому замечательному.
Не уверен, что я понял. Первый замечательный - sin(x)/x?
Короче, теперь я уверен, что совсем не понял. Как дальше двигаться, понятия не имею :(

А-а-а, дошло! Надо подомножить на числитель и знаменатель на (x/2)^2.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от января 1, 2011, 21:47

Цитата: RawonaM от января 1, 2011, 21:15
Первый замечательный - sin(x)/x?

Ага. Первый замечательный равен 1, а второй — 2 с копейками.

Цитата: RawonaM от января 1, 2011, 21:16
Вопрос: если у одной функции нет предела, а у другой есть конечный ненулевой предел, их перемножение дает всегда беспредел (фсмысле, отсутствие предела :))? Или может быть и иначе?

Иначе не может: если a → a0 <> 0, ab → c0, то b = ab/a → c0/a0.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от января 1, 2011, 21:49

Цитата: RawonaM от января 1, 2011, 21:45
Надо подомножить на числитель и знаменатель на (x/2)^2.

Ага! Кстати, можно разложить тангенс на sin/cos и расписать синус двойного, тогда sin^2(x/2) сокращается.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от января 1, 2011, 21:53

Цитата: RawonaM от января 1, 2011, 21:31
Дело такое:

Имеем:
(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Cfrac%7B%5Csin%20%5Cpi%20x%7D%7Bx%20-%20k%7D%20%5Cto%20%5Cpm%201)
(по первому замечательному или по правилу Лопиталя). Значит, если k чётное, то [x/2] не имеет предела, и поэтому всё выражение предела не имеет.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 1, 2011, 21:58

Цитата: Квас от января 1, 2011, 21:53
Значит, если k чётное, то [x/2] не имеет предела, и поэтому всё выражение предела не имеет.

Вот тут и была загвоздка, можно ли такой вывод сделать. Теперь ясно, спасибо :)

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от января 1, 2011, 22:00

Цитата: Квас от января 1, 2011, 21:53
Имеем:

(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Cfrac%7B%5Csin%20%5Cpi%20x%7D%7Bx%20-%20k%7D%20%5Cto%20%5Cpm%20%5Cpi)

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от января 1, 2011, 22:02

Насчёт предела с целой частью: мэпл одобряе.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 1, 2011, 22:05

Цитата: Квас от января 1, 2011, 22:00
Цитата: Квас от января 1, 2011, 21:53
Имеем:

(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Cfrac%7B%5Csin%20%5Cpi%20x%7D%7Bx%20-%20k%7D%20%5Cto%20%5Cpm%20%5Cpi)

Это я высчитал сразу, проблем не возникло.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 1, 2011, 22:06

Цитата: Квас от января 1, 2011, 22:02
Насчёт предела с целой частью: мэпл одобряе.

Как бы мне курс мэпла или максимы пройти...
Я вообще целыми сутками за анализом сижу, нет времени прогами заняться :)

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от января 1, 2011, 22:11

По мэплу поищите Дьяконова. Я думаю, сложностей не будет: синтаксис, основные команды, а остальное — по мере надобности. Например, для линейной алгебры загружаете пакет LinearAlgebra, и список команд вам выдаётся, можно в справку лазить.

Я, кстати, к новому интерфейсу не привык: пользуюсь Classical Worksheet, а в обычном настраиваю себе maple input.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 2, 2011, 20:09

Урааа!!! Получил 91 по мидтерму. (http://www.kolobok.us/smiles/standart/yes2.gif)
Я считаю это отличным результатом, но интересно будет посмотреть статистику для сравнения.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от января 2, 2011, 20:10

:=
От души поздравляю!

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 2, 2011, 20:15

Цитата: Квас от января 2, 2011, 20:10
:=
От души поздравляю!

Спасибо! Результат является результатом вашей помощи тоже. Пользуясь случаем сердечно благодарю за вашу терпеливость и желание помогать. :yes:

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от января 2, 2011, 20:19

:-[ Рад помочь.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 2, 2011, 20:28

Вот что не нравится в открытом университете, так это непрозначность экзаменов. Экзаменационную тетрадь можно увидеть только по заказу за дополнительную плату.
В нашем универе где я учился всегда раздавали тетради и только один препод (по фонетике) не отдавал, а только показывал. Иногда можно было обнаружить ошибку в проверке и повысить оценку.
Еще не нравится, что все тянется несколько долговато и провека экзамена занимает две недели, а проверки работ еще дольше, это несколько затрудняет учебу. Ну и то, что надо слишком заранее записываться на следующий семестр.
Там где я учился запись была прямо перед началом семестра и в течение первых двух недель от начала семестра можно было поменять курсы. Тут же запись заканчивается более чем за два месяца до начала семестра, если позже то взимается дополнительная плата, а также за смену курса вблизи к семестру или в начале семестра надо платить.
В общем, свои плюсы и свои минусы.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от января 2, 2011, 20:39

Цитата: RawonaM от января 2, 2011, 20:28
Экзаменационную тетрадь можно увидеть только по заказу за дополнительную плату.

Евреи... ;D

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 2, 2011, 20:44

Цитата: Квас от января 2, 2011, 20:39
ЦитироватьЭкзаменационную тетрадь можно увидеть только по заказу за дополнительную плату.
Евреи... ;D

Еще хуже. :)

Кстати, вот сейчас в универовской библиотеке ввели опять же за дополнительную плату такую услугу: если нужна какая-то статья из журнала или какие-то страницы из книги, то можно заказать по и-нету и пришлют либо ксерокопию домой либо скан на мыло, ходить никуда не надо.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 2, 2011, 20:44

А ведь анализ ошибок это для меня чуть ли не главнейший источник обучения. В какие-то периоды жизни и единственный :)

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от января 2, 2011, 20:50

Цитата: RawonaM от января 2, 2011, 20:44
Кстати, вот сейчас в универовской библиотеке ввели опять же за дополнительную плату такую услугу: если нужна какая-то статья из журнала или какие-то страницы из книги, то можно заказать по и-нету и пришлют либо ксерокопию домой либо скан на мыло, ходить никуда не надо.

Вот это здорово! ;up:

Цитата: RawonaM от января 2, 2011, 20:44
А ведь анализ ошибок это для меня чуть ли не главнейший источник обучения.

Кстати, да. Работа над ошибками — это святое. Неспроста в школе с ними мучили.

Название: Помощь по математике
Отправлено: myst от января 2, 2011, 21:08

Цитата: RawonaM от января 2, 2011, 20:28
в открытом университете

А что это?

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 2, 2011, 21:22

Цитата: Квас от января 2, 2011, 20:50
ЦитироватьА ведь анализ ошибок это для меня чуть ли не главнейший источник обучения.
Кстати, да. Работа над ошибками — это святое. Неспроста в школе с ними мучили.

Меня всегда удивляли люди, которые не интересовались своими экзаменами, а лишь только результатом. Особенно когда я шел выяснять что-либо у преподавателей, получив 100 или 98, многие не доумевали, интересуясь, мол, «что тебя не устраивает».

В некотором смысле чем выше оценка, тем хуже для обучения, при условии, что ты об этих ошибках заранее не знал. Конечно радует получить 100, но получив такую оценку ничего нового не выучиваешь и это огорчает. Эти мои рассуждения всегда вводили в шок моих однокурсников и одноклассников.

Цитата: myst от января 2, 2011, 21:08
Цитироватьв открытом университете
А что это?

А я писал выше, ищи :)

Название: Помощь по математике
Отправлено: myst от января 2, 2011, 21:46

Цитата: RawonaM от января 2, 2011, 21:22
А я писал выше, ищи :)

Поиск опять сломался. :(

Название: Помощь по математике
Отправлено: Хворост от января 3, 2011, 11:37

Цитата: RawonaM от января 2, 2011, 20:44
Цитата: Квас от января 2, 2011, 20:39
Евреи... ;D
Еще хуже. :)

Хуже???

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от января 3, 2011, 12:26

Надо тригонометрию потихоньку продолжать.

В принципе, всё, что я хотел рассказать, содержится в википедии:
Тригонометрические тождества (http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D1%80%D0%B8%D0%B3%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B5_%D1%82%D0%BE%D0%B6%D0%B4%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0#.D0.9E.D1.81.D0.BD.D0.BE.D0.B2.D0.BD.D1.8B.D0.B5_.D1.82.D1.80.D0.B8.D0.B3.D0.BE.D0.BD.D0.BE.D0.BC.D0.B5.D1.82.D1.80.D0.B8.D1.87.D0.B5.D1.81.D0.BA.D0.B8.D0.B5_.D1.84.D0.BE.D1.80.D0.BC.D1.83.D0.BB.D1.8B) (включая вывод). Поэтому я только кое-что прокомментирую.

***

Формулы тройного угла выводятся несложно, но запоминаются всё равно не ахти. Для синуса я запомнил как-то так: при малых положительных x синусоида почти совпадает с прямой y = x, но идёт ниже, поэтому sin 3x = 3 sin x -..., где ...= 4 sin^3 x. Косинус — похожая формула, только «вывернутая».

***

Мы не маленькие дети, поэтому нам надо сделать отступление о формуле Муавра. Все помнят, что комплексными числами называются агрегаты вида
(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=z%20%3D%20a%20%2B%20ib,)
где a, b — вещественные числа, (http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=i%5E2%20%3D%20-1). Всякое комплексное число z, отличное от 0, может быть записано в тригонометрической форме:
(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=z%20%3D%20r%20(%5Ccos%20%5Cvarphi%20%2B%20i%20%5Csin%20%5Cvarphi))
где
(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=r%20%3D%20%7Cz%7C%3E%200)
— модуль,
(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Cvarphi%20%3D%20%5Carg%20z)
— аргумент. Модуль определяется однозначно (он равен расстоянию на комплексной плоскости от 0 до z), а аргумент — с точностью до слагаемого, кратного 2 pi (он равен углу, который образуют радиус-вектор точки z и положительное направление вещественной оси). Следующие формулы доказываются непосредственным вычислением: если
(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=z_1%20%3D%20r_1(%5Ccos%20%5Cvarphi_1%20%2B%20i%20%5Csin%20%5Cvarphi_1)%5C%5C%0Az_2%20%3D%20r_2(%5Ccos%20%5Cvarphi_2%20%2B%20i%20%5Csin%20%5Cvarphi_2))
то
(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=z_1z_1%20%3D%20r_1r_2(%5Ccos%20(%5Cvarphi_1%2B%5Cvarphi_2)%20%2B%20i%20%5Csin%20(%5Cvarphi_1%2B%5Cvarphi_2))%5C%5C%0A%5Cfrac%7Bz_1%7D%7Bz_1%7D%20%3D%20%5Cfrac%7Br_1%7D%7Br_2%7D(%5Ccos%20(%5Cvarphi_1-%5Cvarphi_2)%20%2B%20i%20%5Csin%20(%5Cvarphi_1-%5Cvarphi_2)))
при умножении модули умножаются, аргументы складываются; при делении модули делятся, аргументы вычитаются. Отсюда следует формула Муавра:
(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=(%20r%20(%5Ccos%20%5Cvarphi%20%2B%20i%20%5Csin%20%5Cvarphi))%5En%20%20%3D%20r%5En%20(%5Ccos%20n%20%5Cvarphi%20%2B%20i%20%5Csin%20n%20%5Cvarphi)%20%5Cqquad%20(n%20%5Cin%20%5Cmathbb%20Z))

Если число cos phi + i sin phi возвести в степень двумя способами: по формуле Муавра и по биному Ньютона, то получатся формулы для любых кратных углов. Например,
(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%20(%5Ccos%20%5Cvarphi%20%2B%20i%20%5Csin%20%5Cvarphi)%5E2%20%20%3D%20%5Ccos%202%5Cvarphi%20%2B%20i%20%5Csin%202%20%5Cvarphi%5C%5C%0A%20(%5Ccos%20%5Cvarphi%20%2B%20i%20%5Csin%20%5Cvarphi)%5E2%20%20%3D%20(%5Ccos%5E2%20%5Cvarphi%20-%20%5Csin%5E2%20%5Cvarphi)%20%2B%202i%20%5Ccos%20%5Cvarphi%20%5Csin%20%5Cvarphi)
Отсюда
(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%20%5Ccos%202%5Cvarphi%20%2B%20i%20%5Csin%202%20%5Cvarphi%20%3D%20(%5Ccos%5E2%20%5Cvarphi%20-%20%5Csin%5E2%20%5Cvarphi)%20%2B%202i%20%5Ccos%20%5Cvarphi%20%5Csin%20%5Cvarphi)
Приравнивая действительную и мнимую части, получаем известные формулы двойного угла.

***

Из формул понижения степени я в жизни только пользовался для второй и иногда (при вычислении интегралов) для третьей, которую каждый раз выводил из формулы тройного угла. Не думаю, что стоит запоминать эти формулы для третьей и более высоких степеней.

***

Введение вспомогательного аргумента.

Рассмотрим выражение
(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=a%20%5Csin%20t%20%2B%20b%20%5Ccos%20t)
в котором хотя бы один коэффициент отличен от 0. Сделаем следующий питуах:
(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=a%20%5Csin%20t%20%2B%20b%20%5Ccos%20t%20%3D%20%5Csqrt%7Ba%5E2%20%2B%20b%5E2%7D%20%5Cleft(%20%5Cfrac%7Ba%7D%7B%5Csqrt%7Ba%5E2%20%2B%20b%5E2%7D%20%7D%20%5Ccos%20t%2B%20%5Cfrac%7Bb%7D%7B%5Csqrt%7Ba%5E2%20%2B%20b%5E2%7D%20%7D%20%5Csin%20t%20%5Cright))
То есть наш героический поступок заключается в том, что мы вынесли за скобку корень. Фокус состоит именно в этом. Внимательно смотря на числа
(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Cfrac%7Ba%7D%7B%5Csqrt%7Ba%5E2%20%2B%20b%5E2%7D%20%7D%2C%5C%20%5Cfrac%7Bb%7D%7B%5Csqrt%7Ba%5E2%20%2B%20b%5E2%7D%20%7D%20)
замечаем, что сумма их квадратов равна 1. Поэтому эти числа (или противоположные к ним) можно принять за синус и косинус некоторого числа phi (неважно, какое именно за синус и за косинус). Тогда в скобках получается одна из формул сложения.

Пример.
(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Csin%20t%20-%20%5Ccos%20t%20%3D%20%5Csqrt%202%20%5Cleft(%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%202%7D%20%5Csin%20t%20-%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%202%7D%20%5Ccos%20t%20%5Cright)%20%3D%5C%5C%0A%3D%20%5Csqrt%202%20%5Cleft(%20%5Ccos%20%5Cfrac%7B%5Cpi%7D4%20%5Csin%20t%20-%20%5Csin%20%5Cfrac%7B%5Cpi%7D4%20%5Ccos%20t%20%5Cright)%20%20%3D%20%5Csqrt%202%20%5Csin%20%5Cleft(t%20-%20%5Cfrac%7B%5Cpi%7D4%5Cright))

Если вспомогательный аргумент не определяется явно, его всегда можно записать через арксинус или арккосинус (учитывая четверть, в которой он лежит).

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от января 3, 2011, 12:28

Школьная мнемоника для выбора знаков в формулах понижения степени: «если синус, значит, минус; если косяк, значит, плюсяк». :green:

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 3, 2011, 22:27

Спасибо, будем штудировать :) Как бы эту ценную информацию вынести куда-то, чтоб не затерялось в длинной теме.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 4, 2011, 20:07

Зря я сетовал на еврейскость университета: получил по почте свою экзаменационную тетрадь. Интересно, файналы тоже пришлют ли...

Проверяли очень даже хорошо, не зацепишься. Впрочем, я и писал хорошо, разве что формулировки и неточности можно подправить, но кто ж на коротком экзамене может сделать все байзебук. :)

Название: Помощь по математике
Отправлено: Вадимий от января 9, 2011, 19:33

А я тут узнал, что простые числа бывают сексуальными (http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%B5%D0%BA%D1%81%D1%83%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8B%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0)! \решил в эту тему сложить, раз уж другой о математике нет\

Название: Помощь по математике
Отправлено: Bhudh от января 9, 2011, 19:48

Хотел 4999! запостить, а форум не даёт... :(

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 9, 2011, 20:24

Цитата: Вадимий от января 9, 2011, 19:33
А я тут узнал, что простые числа бывают сексуальными! \решил в эту тему сложить, раз уж другой о математике нет\

Жениаль :)

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 11, 2011, 22:55

Дана интеграбильная функция f на [a,b]. Если для каждого разделения P верно, что S(P)>0, то интеграл этой функции на этом отрезке больше 0. Верно ли?

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от января 11, 2011, 22:59

В принципе, при предельном переходе строгие неравенства переходят в нестрогие. Надо придумать пример, при котором интеграл всё-таки равен 0. А что вы обозначаете через S(F)?

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 11, 2011, 23:05

Цитата: Квас от января 11, 2011, 22:59
А что вы обозначаете через S(F)?

Если P - деление отрезка (типа 2,3,4 и т.п.), то S(P) это сумма величины (ширины?) каждого суботрезка помноженное на максимум в этом суботрезке (верхняя лесенка, короче).

Цитата: Квас от января 11, 2011, 22:59
Надо придумать пример, при котором интеграл всё-таки равен 0.

Я пытался, не получилось. Ведь при любом делении верхняя площадь должна быть больше нуля, и не получилось у меня сделать, чтобы инфимум верхней площади был 0.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от января 11, 2011, 23:10

Цитата: RawonaM от января 11, 2011, 23:05
Если P - деление отрезка (типа 2,3,4 и т.п.), то S(P) это сумма величины (ширины?) каждого суботрезка помноженное на максимум в этом суботрезке (верхняя лесенка, короче).

По-русски говорят разбиение отрезка, длина отрезка разбиения, если интересно. А эта штука называется верхняя сумма Дарбу.

А если рассмотреть функцию, равную нулю везде, кроме одной точки, в которой она положительна? Вроде это контрпример.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 11, 2011, 23:14

Цитата: Квас от января 11, 2011, 23:10
По-русски говорят разбиение отрезка, длина отрезка разбиения, если интересно.

Да, спасибо :)

Цитата: Квас от января 11, 2011, 23:10
А эта штука называется верхняя сумма Дарбу.

У нас так почему-то не называют. Хотя было бы удобно.

Цитата: Квас от января 11, 2011, 23:10
А если рассмотреть функцию, равную нулю везде, кроме одной точки, в которой она положительна? Вроде это контрпример.

Действительно, похоже так. Я не там искал значит. Спасибо :)

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от января 11, 2011, 23:17

Тогда бонус: если умножать на инфимумы, то называется нижняя сумма Дарбу. :)

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 11, 2011, 23:24

Цитата: Квас от января 11, 2011, 23:17
Тогда бонус: если умножать на инфимумы, то называется нижняя сумма Дарбу. :)

Ну это ж я какбэ догадался бы :)

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 12, 2011, 09:28

Это верно, что любая фукнция интеграла равномерно непрерывна? Ведь ее производная ограничена, а функция с ограниченой производной — равномерно непрерывна.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Lugaru от января 12, 2011, 10:32

arcsin x ~ x как доказать=( Help!!!!

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от января 12, 2011, 13:02

Цитата: RawonaM от января 12, 2011, 09:28
Это верно, что любая фукнция интеграла равномерно непрерывна? Ведь ее производная ограничена, а функция с ограниченой производной — равномерно непрерывна.

В смысле интеграл с переменным верхним пределом? А какое точное условие?

В любом случае, дифференцировать его надо аккуратно: насколько помню, производная совпадает с подынтегральной функцией в точках непрерывности последней.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 12, 2011, 22:36

Цитата: Квас от января 12, 2011, 13:02
В смысле интеграл с переменным верхним пределом? А какое точное условие?

Да не знаю, вот я придумал условие такое. А что все-таки не так? Верно ли, что интеграбильная функция всегда ограничена? Мы ведь не рассматриваем неограниченные функции, у них нельзя найти площадь же.
Верно ли, что функция у которой ограничена производная — равномерно непрерывна? Верно. Значит неопределенный интеграл всегда равномерно непрерывен. По крайней мере для непрерывных фукций точно (потому что для них гарантировано есть «прафункция»).
Где я могу ошибаться?

Цитата: Квас от января 12, 2011, 13:02
В любом случае, дифференцировать его надо аккуратно: насколько помню, производная совпадает с подынтегральной функцией в точках непрерывности последней.

Не понял...

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 12, 2011, 22:43

Как доказать или опровергнуть:
(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Cfrac%7B1%7D%7B10%5Csqrt%7B2%7D%7D%5Cle%5Cint_%7B0%7D%5E%7B1%7D%5Cfrac%7Bx%7D%7B%5Csqrt%7Bx%2B1%7D%7Ddx%5Cle%5Cfrac%7B1%7D%7B10%7D)?

Крутил-крутил, ничего не вышло. Помню что-то подобное на туториале делали, но память уже не торт.
Для начала общее направление подскажите.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от января 12, 2011, 22:49

Цитата: RawonaM от января 12, 2011, 22:36
Верно ли, что интеграбильная функция всегда ограничена?

Да, интегрируемые по Риману ограничены.

Цитата: RawonaM от января 12, 2011, 22:36
Мы ведь не рассматриваем неограниченные функции, у них нельзя найти площадь же.

Иногда можно: y = 1/sqrt(x), x от 0 до 1.

Цитата: RawonaM от января 12, 2011, 22:36
Значит неопределенный интеграл всегда равномерно непрерывен. По крайней мере для непрерывных фукций точно (потому что для них гарантировано есть «прафункция»).

«Прафункция» зовётся первообразной.

Если f(x) — непрерывная функция на [a,b], то она имеет первообразную, которая непрерывна на [a,b] и, следовательно, равномерно непрерывна (теорема Кантора).

Более интересный случай. Пусть f(x) интегрируема на [a,b], и пусть
(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=F(x)%20%3D%20%5Cint%5Climits_a%5Ex%20f(%5Cxi)%5C%2C%20d%5Cxi)
— интеграл с переменным верхним пределом. Тогда, кстати, F'(x) = f(x) в точках непрерывности функции f. Тогда функция F непрерывна на [a,b] и, следовательно, равномерно непрерывна (теорема Кантора). В принципе, это можно показать и непосредственно:
(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=80&eq=%7CF(x_1)%20-%20F(x_2)%20%7C%20%3D%20%5Cleft%7C%20%5Cint%5Climits_%7Bx_1%7D%5E%7Bx_2%7D%20f(%5Cxi)%5C%2C%20d%5Cxi%20%5Cright%7C%20%5Cleqslant%20%5Csup_%7B%5Cxi%20%5Cin%20%5Ba%2Cb%5D%7D%20%7Cf(%5Cxi)%7C%20%7C%20x_1%20-%20x_2%7C)

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 12, 2011, 22:53

Цитата: Квас от января 12, 2011, 22:49
ЦитироватьВерно ли, что интеграбильная функция всегда ограничена?
Да, интегрируемые по Риману ограничены.

Мы же по Дарбу учим. Впрочем, нам говорили, что у Римана тоже ограничены.

Цитата: Квас от января 12, 2011, 22:49
ЦитироватьМы ведь не рассматриваем неограниченные функции, у них нельзя найти площадь же.
Иногда можно: y = 1/sqrt(x), x от 0 до 1.

Так если она уходит бесконечно вверх, разве у нее может быть конечная площадь?

Цитата: Квас от января 12, 2011, 22:49
«Прафункция» зовётся первообразной.

Благодарю :)

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от января 12, 2011, 22:56

Цитата: RawonaM от января 12, 2011, 22:43
Для начала общее направление подскажите.

Мэпл утверждает, что интеграл примерно равен 0.39, так что надо опровергать. Подынтегральная функция, кстати, возрастает от 0 до примерно 0.7. Можно подобрать такой отрезок [a,1], чтобы на нём функцию можно было оценить наименьшим значением и получить интеграл по этому отрезку, больший 0.1. Это самое простое, что приходит в голову.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 12, 2011, 22:56

Цитата: Квас от января 12, 2011, 22:49Более интересный случай. Пусть f(x) интегрируема на [a,b], и пусть
(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=F(x)%20%3D%20%5Cint%5Climits_a%5Ex%20f(%5Cxi)%5C%2C%20d%5Cxi)
— интеграл с переменным верхним пределом. Тогда, кстати, F'(x) = f(x) в точках непрерывности функции f. Тогда функция F непрерывна на [a,b] и, следовательно, равномерно непрерывна (теорема Кантора).

Вот, это я и пытался сказать :)

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 12, 2011, 22:57

Цитата: Квас от января 12, 2011, 22:56
Мэпл утверждает, что интеграл примерно равен 0.39, так что надо опровергать.

А это уже читинг :) Я на экзамене не имею мэпла :)

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от января 12, 2011, 22:59

Цитата: RawonaM от января 12, 2011, 22:53
Мы же по Дарбу учим. Впрочем, нам говорили, что у Римана тоже ограничены.

Это интегральные суммы Дарбу или Римана. А они сходятся к интегралу, который называется римановым. Есть принципиально другая схема интегрирования — лебеговская.

Цитата: RawonaM от января 12, 2011, 22:53
Так если она уходит бесконечно вверх, разве у нее может быть конечная площадь?

:yes: Потому что полоска между графиком и осью ординат очень узкая становится.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 12, 2011, 23:05

Цитата: Квас от января 12, 2011, 22:59
:yes: Потому что полоска между графиком и осью ординат очень узкая становится.

Не, все-таки как-то не по-математически. Ну узкая, но ведь бесконечная же! Значит и площадь бесконеная. Странно...

Название: Помощь по математике
Отправлено: Bhudh от января 12, 2011, 23:09

Цитата: RawonaMНу узкая, но ведь бесконечная же! Значит и площадь бесконеная. Странно...

У гиперболы тоже ветви бесконечные...
Однако на отрезке [0; ∞) сумма конечна.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от января 12, 2011, 23:11

Цитата: Bhudh от января 12, 2011, 23:09
Цитата: RawonaM
ЦитироватьНу узкая, но ведь бесконечная же! Значит и площадь бесконеная. Странно...
У гиперболы тоже ветви бесконечные...

Под обыкновенной гиперболой площадь всё-таки бесконечная: граничный случай.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Bhudh от января 12, 2011, 23:13

:what: Совсем я что ли алгебру забыл?‥

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от января 12, 2011, 23:16

Цитата: Bhudh от января 12, 2011, 23:13
:what: Совсем я что ли алгебру забыл?‥

Це матан! ;D

Название: Помощь по математике
Отправлено: Bhudh от января 12, 2011, 23:17

Ну так учёбник-то «А. и начала матана»...

Offtop

Акуна матата прям получилась...

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от января 12, 2011, 23:19

Можно рассмотреть функцию f(x) = 1/x^p. Если p = 1 (обычная гипербола), то под гиперболой бесконечная площадь и над [0,1], и над [1, ∞). Если взять p > 1, то на бесконечности график будет сильнее прижиматься к оси, и площадь над [1, ∞) оказывается конечной (над [0,1] бесконечна). А если взять p < 1, то наоборот.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от января 12, 2011, 23:20

Цитата: Bhudh от января 12, 2011, 23:17
Ну так учёбник-то «А. и начала матана»...

Что-то я не припомню там несобственных интегралов. :-\

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 12, 2011, 23:21

Цитата: Квас от января 12, 2011, 23:11
Под обыкновенной гиперболой площадь всё-таки бесконечная: граничный случай.

Что такое граничный случай? Моя интуиция отказывается воспринимать, что бесконечно уходящая вверх функция может ограничивать конечную площадь. Разве что приближенно, с округлением.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Bhudh от января 12, 2011, 23:22

Цитата: Квасплощадь над [1, ∞) оказывается конечной (над [0,1] бесконечна).

:what: А разве второе не = первое + 1?

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 12, 2011, 23:24

В чем же принципиальная разница между 1/x и 1/sqrt(x)?

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 12, 2011, 23:26

Цитата: Квас от января 12, 2011, 23:19
на бесконечности график будет сильнее прижиматься к оси, и площадь над [1, ∞) оказывается конечной

А-а-а-а... :uzhos: Мне сегодня кошмары будут сниться. :'(

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от января 12, 2011, 23:30

Цитата: RawonaM от января 12, 2011, 23:21
Что такое граничный случай?

Граничный с точки зрения показателя. Если к x приписать показатель, хоть немного больший или меньший единицы, то одна из площадей станет конечна.

Цитата: RawonaM от января 12, 2011, 23:24
В чем же принципиальная разница между 1/x и 1/sqrt(x)?

А попробуйте проинтегрировать от эпсилон до 1, а потом эпсилон устремить к 0. Это и называется несобственный интеграл.

А на бесконечном промежутке — интегрировать до b и тоже устремлять b к бесконечности. Площадь вполне может получиться конечной.

В два приёма (интеграл по отрезку и предельный переход) приходится считать только для интеграла Римана. Интеграл Лебега бывает и от неограниченных функций. (Правда, иногда несобственный интеграл Римана существует, а интеграл Лебега не существует, но об этом можно забыть сразу по прочтении.)

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от января 12, 2011, 23:32

Цитата: RawonaM от января 12, 2011, 23:26
Мне сегодня кошмары будут сниться.

Да тут никакой экзотики на самом деле. Берёте квадрат со стороной 1 и режете его на лапшу: каждую следующую пополам. То есть получаются лапшины ширины 1/2, 1/4, 1/8,..., а длина каждой равна 1. Выкладываете эту лапшу в линию — вуаля, бесконечно длинная фигура с площадью 1.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 12, 2011, 23:33

Бывает же невозможное... Может завтра можно будет и пространство согнуть...

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 12, 2011, 23:35

Цитата: Квас от января 12, 2011, 23:32Да тут никакой экзотики на самом деле. Берёте квадрат со стороной 1 и режете его на лапшу: каждую следующую пополам. То есть получаются лапшины ширины 1/2, 1/4, 1/8,..., а длина каждой равна 1. Выкладываете эту лапшу в линию — вуаля, бесконечно длинная фигура с площадью 1.

Интересно... А и правда, если я могу бесконечно резать этот квадрат, то я могу и выложить его в бесконечную цепочку. Хм...
Точно сегодня мне будет сниться, как я режу этот квадрат и выстраиваю в бесконечную цепочку...

Название: Помощь по математике
Отправлено: langust от января 13, 2011, 05:21

Цитата: Lugaru от января 12, 2011, 10:32
arcsin x ~ x как доказать=( Help!!!!

Что-то из школы. Можно сделать замену t=arcsin x - получается Первый замечательный предел. А кому думать не хочется - есть еще более замечательное правило Лопиталя.

Название: Помощь по математике
Отправлено: langust от января 13, 2011, 05:26

Цитата: RawonaM от января 12, 2011, 23:35
Точно сегодня мне будет сниться, как я режу этот квадрат и выстраиваю в бесконечную цепочку...

Можно всю ночь ходить, ходить... - сделал шаг, потом пол-шага, четверть шага... . Камо грядеши?
Или: сделал шаг, потом пол-шага, треть шага... - далеко ли можно уйти? :)

Название: Помощь по математике
Отправлено: langust от января 13, 2011, 05:35

Известен парадокс Ахиллеса, который бежит за черепахой со скоростью в 10 раз быстрее. Аналогично: стрелки часов совпадают ровно в 12 часов. Через сколько времени они совпадут снова? Большая стрелка сделает круг, малая - 1/12 циферблата; большая - 1/12, а малая - 1/144... . И так до бесконечности... . Может ли решить задачу ученик начальной школы?

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 13, 2011, 08:08

Цитата: langust от января 13, 2011, 05:26
Или: сделал шаг, потом пол-шага, треть шага... — далеко ли можно уйти? :)

Если идти бесконечно? То хоть до Луны. Только буффер оверфлоу будет, если шаги считать будет компутер.
Функция-то уходит все-таки в бесконечность и проходит бесконечное расстояние.

Название: Помощь по математике
Отправлено: langust от января 13, 2011, 08:16

Цитата: RawonaM от января 13, 2011, 08:08
Функция-то уходит все-таки в бесконечность и проходит бесконечное расстояние.

Ну да - гармонический ряд. Или аналог несобственного интеграла от 1/x от 1 до бесконечности. Для часов же геометрическая прогрессия со знаменателем 1/12. Однако, ученик начальной школы не знает, что это за зверь... .

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 13, 2011, 08:36

Цитата: RawonaM от января 13, 2011, 08:08
ЦитироватьИли: сделал шаг, потом пол-шага, треть шага... — далеко ли можно уйти? :)
Если идти бесконечно? То хоть до Луны. Только буффер оверфлоу будет, если шаги считать будет компутер.

А и правда, если идти по оси Х в сторону нуля и все время уменьшать шаги, то дальше нуля не пройдешь ведь...
Блин, вы меня убъете с этой математикой...

Название: Помощь по математике
Отправлено: langust от января 13, 2011, 08:48

В случае гармонического ряда каждый его член хоть и уменьшается, однако с такой скоростью, что идет накопление. Например, чтобы уйти на сто полноценных шагов, надо сделать миллион маленьких шажков :yes:

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 13, 2011, 08:57

При продвижении вещественных чисел к нулю накопления не происходит?

Название: Помощь по математике
Отправлено: langust от января 13, 2011, 09:06

Цитата: RawonaM от января 13, 2011, 08:57
При продвижении вещественных чисел к нулю накопления не происходит?

Что имеется в виду? Если непрерывный интеграл от 1/x для х -> к бесконечности, то картина не меняется. То есть, любая оставшаяся площадь под кривой до оси абцисс, начиная с любого значения х, бесконечна.

Название: Помощь по математике
Отправлено: langust от января 14, 2011, 15:16

Цитата: langust от января 13, 2011, 05:35
Аналогично: стрелки часов совпадают ровно в 12 часов. Через сколько времени они совпадут снова? Большая стрелка сделает круг, малая - 1/12 циферблата; большая - 1/12, а малая - 1/144... . И так до бесконечности... . Может ли решить задачу ученик начальной школы?

В разговор вмешался Вова: Ну, и что же здесь такого? Стрелки совпадают за день ровно 11 раз. Надо поделить 12 часов на 11 частей и получим, что обе стрелки совпадут ровно через 1 час и 1/11 часа... :dayatakoy:

Название: Помощь по математике
Отправлено: antbez от января 14, 2011, 16:09

Цитата: lugaru
arcsin x ~ x как доказать=( Help!!!!

Это вытекает из 1-ого ЗАМ, если мы заменим sin x на y.

Название: Помощь по математике
Отправлено: antbez от января 14, 2011, 16:12

Цитировать
А кому думать не хочется - есть еще более замечательное правило Лопиталя.

Проще по 1 ЗАМ, так как не все помнят производную от арксинуса.

Название: Помощь по математике
Отправлено: antbez от января 14, 2011, 16:16

Цитировать
В чем же принципиальная разница между 1/x и 1/sqrt(x)?

В теории несобственных интегралов и рядов есть признак сравнения с интегралом (рядом) от степенной функции с показателем. Зная этот показатель, мы сразу можем сделать вывод о сходимости! Так удобно!

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 14, 2011, 19:55

Как посчитать объем, описываемый графиком функции син(х)-кос(х) прокрученной вокруг оси х между -пи/2 и пи/2? Вроде не так просто высчитать интеграл квадрата этой функции.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от января 14, 2011, 20:02

Достаточно просто: можно раскрыть квадрат и свернуть синус двойного (там ещё будет синус квадрат плюс косинус квадрат), а можно ввести вспомогательный аргумент (так что выражение преобразуется к квадрату синуса или косинуса) и понизить степень.

Название: Помощь по математике
Отправлено: arseniiv от января 14, 2011, 20:06

Может, сначала представить дополнительным аргументом?

sin x − cos x = √2 (sin x cos (−π / 4) + cos x sin (−π / 4) ) = √2 sin (x − π / 4).

Ясно, что квадрат этого интегрировать легче, чем квадрат разности из косинусов и синусов!

Ещё можно позабавиться универсальной подстановкой. ;D
Кстати, я не помню, писали ли тут про неё. Вроде забыли. t = tg (x / 2).

(А, Квас уже описал всё на той странице.)

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 14, 2011, 21:27

Как найти первообразную к 1/(х^2+1)? А к 1/x?

Первое вообще не знаешь как подойти. Со вторым стандартное угадывание не срабатывает. Что-то странное нам задали.

Название: Помощь по математике
Отправлено: arseniiv от января 14, 2011, 21:31

Цитата: RawonaM от января 14, 2011, 21:27
Со вторым стандартное угадывание не срабатывает.

Найдите производную ln x. :)

Цитата: RawonaM от января 14, 2011, 21:27
Первое вообще не знаешь как подойти.

Найдите производную arctg x.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 14, 2011, 21:33

Не можем. лн в следующей главе только будет.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от января 14, 2011, 21:37

Цитата: RawonaM от января 14, 2011, 21:27
Как найти первообразную к 1/(х^2+1)? А к 1/x?

Как arseniiv и намекнул, это самые обычные табличные интегралы, которые надо на память знать.

Цитата: RawonaM от января 14, 2011, 21:33
Не можем. лн в следующей главе только будет.

Значит, ответ выражается через материал следующей главы. :donno:

Название: Помощь по математике
Отправлено: arseniiv от января 14, 2011, 21:40

Тогда никак. :donno: Но вы можете получить функциональное уравнение для первообразной и назвать первообразную, например, альфа-функцией (бета и гамма уже заняты, дельту как-то некрасиво, омегу страшновато), узнав много её свойств, но без логарифма её не выразить!

Опять опоздал. ;D

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 14, 2011, 21:46

Цитата: Квас от января 14, 2011, 21:37
ЦитироватьНе можем. лн в следующей главе только будет.
Значит, ответ выражается через материал следующей главы. :donno:

Такого не бывает. Нам дают задания, в которых можно использовать только пройденный материал и использовать другое запрещено.

Цитата: Квас от января 14, 2011, 21:37
ЦитироватьКак найти первообразную к 1/(х^2+1)? А к 1/x?
Как arseniiv и намекнул, это самые обычные табличные интегралы, которые надо на память знать.

Товарищи, не пугайте. Тут должен быть другой способ.

Вижу, что арсений опять украдкой добавил arctg, этого не было, когда я писал. ln нельзя, а тригорометрию можно.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 14, 2011, 21:46

Точно, арктангенс же!
А что с 1/х делать-то...

Название: Помощь по математике
Отправлено: arseniiv от января 14, 2011, 21:53

Ну тогда можно попытаться свести его к арктангенсному интегралу! ;D Сам не пробовал, но вдруг та функция выражается через арктангенс (сходу не додумаюсь). Кстати, может, там не 1/x?

Выражается! Только нужна мнимая единица...
А, заодно до меня дошло, как преобразовывать интеграл. Увы, тут комплекснозначная функция вещественной переменной; например, мы не проходим в курсе просто анализа вообще (он закончился, к слову), хотя там формально можно, наверно, в широком классе случаев применять те же методы, что и в вещественном.
Нет, не до конца дошло, оказалось, но принцип тот же.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 14, 2011, 21:55

Не 1/х, а -1/х, если это имеет значение.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 14, 2011, 21:56

Нужно на отрезке [1,3]

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 14, 2011, 21:57

Арсений, перестаньте редактировать сообщения после того как мы их читаем.

Название: Помощь по математике
Отправлено: arseniiv от января 14, 2011, 21:59

Ага! Определённый! Там будет замешано e. Попробуйте вывести что-то относительно такого интеграла от 1 до t как неизвестной функции от t. Тогда можно без логарифмов.

Перестал, просто там были маленькие изменения.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 14, 2011, 22:03

Вот этот текст:

Цитата: arseniiv от января 14, 2011, 21:53
А, заодно до меня дошло, как преобразовывать интеграл. Увы, тут комплекснозначная функция вещественной переменной; например, мы не проходим в курсе просто анализа вообще (он закончился, к слову), хотя там формально можно, наверно, в широком классе случаев применять те же методы, что и в вещественном.
Нет, не до конца дошло, оказалось, но принцип тот же.

маленькие изменения? :)

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 14, 2011, 22:04

Почитал на форуме курса, тоже люди задаются вопросом, но пока официального ответа нет. Похоже таки это прокол составителей заданий.

Название: Помощь по математике
Отправлено: arseniiv от января 14, 2011, 22:10

Скорее всего. Но решение есть, и они очень удивятся, если вы сможете без логарифма. Ведь определённый интеграл — число, а не функция, которую потому не надо ни через что выражать, а только найти некоторые её свойства, чтобы вычислить (F(3) − F(1)).

Цитата: RawonaM от января 14, 2011, 22:03
Вот этот текст:
Цитировать<...>
маленькие изменения? :)

Там всё равно мало полезного. ;D

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 14, 2011, 22:13

Цитата: arseniiv от января 14, 2011, 22:10
Ведь определённый интеграл — число, а не функция, которую потому не надо ни через что выражать, а только найти некоторые её свойства, чтобы вычислить (F(3) − F(1)).

Так нужно неопределный интеграл найти.

Название: Помощь по математике
Отправлено: arseniiv от января 14, 2011, 22:19

Цитата: RawonaM от января 14, 2011, 22:13
Так нужно неопределный интеграл найти.

Кхм. Ну я и говорю про что. Давайте представим, что у нас есть загадочная функция F(t) = ∫[1; t] (−1 / x) dx. Определённый интеграл, который мы ищем, по свойствам определённого интеграла будет равен F(3) − F(1) = F(3) (ага, я лишнего там написал, потому что F(1) по определению F и свойствам опр. инт. равно 0). Теперь оста... так, я запутался. А всё было так замечательно.

Название: Помощь по математике
Отправлено: arseniiv от января 14, 2011, 22:24

Ой. Ой. Ой! Там в ответе не будет e. Да, решить без логарифмов никак.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от января 14, 2011, 22:25

Есть формула, известная одиннадцатиклассникам:
(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Cint%20%5Cfrac%7Bdx%7D%7Bx%7D%20%3D%20%5Cln%20%7Cx%7C%20%2B%20C)
Этот интеграл — логарифм, закон природы. Если вы его через тригонометрические функции выразите, получится выражение логарифма через тригонометрические функции. Чушь, по-моему.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 14, 2011, 22:26

Цитата: arseniiv от января 14, 2011, 22:19
Теперь оста... так, я запутался. А всё было так замечательно.

Повеселили ;up:

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 14, 2011, 22:27

Одинадцатый и двенадцатый классы я прогулял и это было давно и неправда :)
Да похоже тут анахронизм в заданиях, надо будет разобраться с координатором курса.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 14, 2011, 22:29

И вообще я сегодня все утро ходил довольный и счастливый, что наконец-то вся эта груда формул и частных случаев и вообще не понятно зачем нужных терминов начинает выстраиваться в моей голове в ясную, четкую и взаимосвязанную теорию :)
Надо было так меня к вечеру обломать :)

Название: Помощь по математике
Отправлено: arseniiv от января 14, 2011, 22:30

Раз карты вскрылись, скажу, что можно было бы получить чсерез тригонометрию: примерно что-то такое: i(π − 2 arctg 2i), если небрежно обращаться с многозначностью.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 14, 2011, 22:36

Комплексных чисел нет у нас еще. Вообще скоро конец семестра. Может будут в матане 2.
Мне сказали, что разрешат пересдать линейную алгебру, если сдам с первого раза матан. Так что мои планы две недели погулять между семестрами и поехать в Монреаль за снегом отменяются, учеба требует жертв :)

Название: Помощь по математике
Отправлено: arseniiv от января 14, 2011, 22:38

Это я так, для пустоболтовни показал.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 14, 2011, 22:43

И я тоже :)

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 17, 2011, 19:52

Что-то я не очень понял, как найти неопределенный интеграл от ненепрерывной функции?
Допустим есть функция
sin(x) | 0<х<1
cos(x) | 1<x

Мне надо неопределенный интеграл 0-х.
Будет ли он просто:
-cos(x) | 0<x<=1
(-cos(1)+1) + sin(x) | 1<x

Или я чего-то забыл учесть?

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от января 17, 2011, 20:19

Цитата: RawonaM от января 17, 2011, 19:52
Что-то я не очень понял, как найти неопределенный интеграл от ненепрерывной функции?

Хороший вопрос.

Дело в определениях.

Неопределённый интеграл — это совокупность первообразных, то есть вопрос в том, что такое первообразная. Шилов в «Математический анализ. Функция одного переменного» даёт определение: если f(x) кусочно непрерывна на [a,b], то функция F(x), определённая на [a,b], называется первообразной для f(x), если она непрерывна, а во всех точках, где f непрерывна, F имеет производную, причём F'(x) = f(x).

Для справки: функция f(x) называется кусочно-непрерывной на отрезке [a,b], если существует такое разбиение
a = x0 < x1 < ... < x_n = b,
что f(x) непрерывна в каждом интервале xk < x < x_{k+1} и имеет конечные пределы f(x0+0), f(x1-0), f(x1+0), f(x2-0), ..., f(xn-0) (значения же в самих тачках xk может иметь какие угодно).

Конечно, неплохо бы удостовериться, что в Израиле определения те же самые.

С точки зрения этих определений вам надо просто состыковать две первообразные, чтобы получилась непрерывная функция. Если левее единицы берём -cos x, то справа, если не ошибаюсь, должно быть (-cos 1 - sin 1) + sin x.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 17, 2011, 20:25

Цитата: Квас от января 17, 2011, 20:19
Конечно, неплохо бы удостовериться, что в Израиле определения те же самые.

В Израиле нет определений, для каждого курса свои конвенции. Но в целом, ваше описание такое, как мы его понимаем, насколько я его понимаю.

Цитата: Квас от января 17, 2011, 20:19
С точки зрения этих определений вам надо просто состыковать две первообразные, чтобы получилась непрерывная функция. Если левее единицы берём -cos x, то справа, если не ошибаюсь, должно быть (-cos 1 — sin 1) + sin x.

Откуда у вас таки (-cos 1 — sin 1)?
Стыковка получается просто: нужно приплюсовать определенный интеграл первого отрезка целиком (мы ведь просто его площадь добавляем по свойству аддитивности интегралов), т.е. (-cos 1 — -cos 0).

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от января 17, 2011, 20:27

Я тупо подставил 1 в sin x + C и подобрал С так, чтобы получилось -cos 1.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 17, 2011, 20:42

Блин, совсем запутался в корне :(
Возьмем интеграл 0-х от sin x, что по идее -cos x.

Значит для 0-1 интеграл будет -cos 1.

С другой стороны, если по базовой формуле, то интеграл будет -cos 1 - (-cos 0) = 1 - cos 1.

Фигня какая-то. Пошел в душ, потом буду перечитывать матчасть.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от января 17, 2011, 21:50

Цитата: RawonaM от января 17, 2011, 20:42
Значит для 0-1 интеграл будет -cos 1.

Это почему значит?

К тому же мне вообще не очень понятно, зачем в этой задаче определённый интеграл.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 17, 2011, 23:01

По-моему до меня все дошло, утряслось.

Цитата: RawonaM от января 17, 2011, 20:42
Возьмем интеграл 0-х от sin x, что по идее -cos x.

Ошибка тут. Потому что это -cos 1 + 1 и ничто другое.

Цитата: Квас от января 17, 2011, 21:50
К тому же мне вообще не очень понятно, зачем в этой задаче определённый интеграл.

Ну вы подбирали стыковку отрезков методом «тыка» почему-то. А на самом деле стыковка ведь откуда берется: ведь в интеграл этого отрезка добавляется площадь предыдущего отрезка (константа, определенный интеграл). Вот ее и высчитывем. Впрочем, методом тыка тоже можно.

Итого получается, если функция такая:

Цитата: RawonaM от января 17, 2011, 19:52
sin(x) | 0<х<1
cos(x) | 1<x

То первый отрезок будет иметь интеграл -cos(x)+1 (обязательно плюс 1! иначе не работает, т.к. наша точка отсчета 0, а -cos0=-1), следовательно определенный интеграл в единице это будет -cos(1)+1, это мы и добавляем как константу к следующему отрезку. Значит в следующем отрезке: (-cos(1)+1) + sin(x).
Если есть больше отрезков, то и дальше так же по цепочке добавляем значение в точке разрыва (т.е. определенный интеграл в этой точке) к первообразной функции следующего отрезка.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 17, 2011, 23:04

Нет, опять что-то не так. Чьёрт.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 17, 2011, 23:06

Естественно, во сдурил.

Цитата: RawonaM от января 17, 2011, 23:01
(-cos(1)+1) + sin(x).

Ведь во втором отрезке точка отсчета 1, значит нужно sin(x)-sin(1)+C, где С=(-cos(1)+1).
Итого sin(x)-sin(1)+(-cos(1)+1).

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 17, 2011, 23:07

Теперь функция непрерывна в единице как положено.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от января 17, 2011, 23:08

Цитата: RawonaM от января 17, 2011, 23:01
Ну вы подбирали стыковку отрезков методом «тыка» почему-то.

Непрерывность в точке эквивалентна одновременной непрерывности слева и справа, чего думать-то?

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 17, 2011, 23:09

Кажется дошло до конца, и даже не в час ночи. :dayatakoy:

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от января 17, 2011, 23:12

Félicitations ! :)

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 17, 2011, 23:13

Цитата: Квас от января 17, 2011, 23:08
ЦитироватьНу вы подбирали стыковку отрезков методом «тыка» почему-то.
Непрерывность в точке эквивалентна одновременной непрерывности слева и справа, чего думать-то?

Правильно, но справа первообразная должна быть нулем, затем берем значение левой в этой точке и приплюсовываем к правой. А ваших рассчетов я таки не понял.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 17, 2011, 23:14

Цитата: Квас от января 17, 2011, 23:12
Félicitations ! :)

Merci bien :)

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 17, 2011, 23:19

А теперь к моим мутонам: функция у меня в задании такая:
1/(x^2+1) | 0<=x<=1
-1/x | 1<x

Интеграл 0-х:
arctg(x) | 0<=x<=1
arctg(1) - ln x | 1<x

Правильно же?

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от января 17, 2011, 23:23

Stop ! (Прошу прощения, что всё по-французски да по-французски.) А мы интеграл считаем определённый или неопределённый?

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 17, 2011, 23:28

Цитата: Квас от января 17, 2011, 23:23
Stop ! (Прошу прощения, что всё по-французски да по-французски.)

Какой-то странный у вас хранцузский :)

Цитата: Квас от января 17, 2011, 23:23
А мы интеграл считаем определённый или неопределённый?

Хм... А с чем связан вопрос? :) Или я с ума поехал, или не знаю какбе :)
Неопределенный естественно высчитываем! Определенный — не функция же, а число. А неопределенный инт. — это функция, которая выдает определенный интеграл по аргументу. Или я совсем ниче не понимаю?

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от января 17, 2011, 23:31

Цитата: RawonaM от января 17, 2011, 23:28
Цитата: Квас от Сегодня в 00:23
ЦитироватьА мы интеграл считаем определённый или неопределённый?
Хм... А с чем связан вопрос? :) Или я с ума поехал, или не знаю какбе :)
Неопределенный естественно высчитываем! Определенный — не функция же, а число. А неопределенный инт. — это функция, которая выдает определенный интеграл по аргументу. Или я совсем ниче не понимаю?

Вы всё правильно пишете, конечно. А я испугался, вдруг определённый с переменным верхним пределом — он является функцией верхнего предела, причём первообразной подынтегральной функции.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от января 17, 2011, 23:33

Цитата: RawonaM от января 17, 2011, 23:19
Интеграл 0-х:
arctg(x) | 0<=x<=1
arctg(1) - ln x | 1<x

Правильно же?

Ага. Причём arctg 1 = pi/4. Кстати, раз уж интегралы неопределённые, то не забывайте константу добавлять!

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 17, 2011, 23:46

Цитата: Квас от января 17, 2011, 23:33
Ага. Причём arctg 1 = pi/4. Кстати, раз уж интегралы неопределённые, то не забывайте константу добавлять!

Зачем? Куда? Там нечего вроде добавлять...

Цитата: Квас от января 17, 2011, 23:31
А я испугался, вдруг определённый с переменным верхним пределом — он является функцией верхнего предела, причём первообразной подынтегральной функции.

А тут уже вы меня запутали. Что такое опредленный с переменным верхним пределом?!! Это ж и есть неопределенный по определению!

Похоже мы называем неопредленным ваш определенный с переменным верхним пределом. Тогда что это ваш неопределенный?

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от января 17, 2011, 23:55

Цитата: RawonaM от января 17, 2011, 23:46
Тогда что это ваш неопределенный?

Неопределённый — это совокупность первообразных.
(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Cint%20x%5E2%20%5C%2C%20dx%20%3D%20%5Cfrac%7Bx%5E3%7D%7B3%7D%20%2B%20C)

Первообразная определяется с точностью до постоянной, поэтому +C обязательно.

Spoiler: Анекдот об этом интеграле ⇓⇓⇓

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 18, 2011, 00:03

Цитата: Квас от января 17, 2011, 23:55
— Треть икс куб, — отвечает официантка.
Пессимист сильно удивлен, оптимист весело смеется. Официантка отходит на несколько шагов и, обернувшись через плечо, добавляет:
— Плюс константа.

;up: Даешь анализ в массы :)

Цитата: Квас от января 17, 2011, 23:55
Неопределённый — это совокупность первообразных.

Дык, это все одно и то же.
У нас называют неопределенный интегралом на отрезке функцию, которая выдает интеграл.

Короче, я таки не понял в чем ризон называть неопределенный определенным с переменным верхним пределом, но это неважно, спать надо :)

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от января 18, 2011, 00:05

Цитата: RawonaM от января 18, 2011, 00:03
У нас называют неопределенный интегралом на отрезке функцию, которая выдает интеграл.

Короче, я таки не понял в чем ризон называть неопределенный определенным с переменным верхним пределом, но это неважно, спать надо :)

Неопределённый интеграл — это не одна функция, а сразу много. (Недавно на dxdy поругался, утверждая, что это совершенно ненужное в математике понятие.)

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от января 18, 2011, 00:06

Цитата: RawonaM от января 18, 2011, 00:03
спать надо :)

Спокойной ночи. :)

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 18, 2011, 00:15

Цитата: Квас от января 18, 2011, 00:06
Цитироватьспать надо :)
Спокойной ночи. :)

Bonne nuit :)

Название: Помощь по математике
Отправлено: Bhudh от января 18, 2011, 00:19

Guten Nacht!

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 18, 2011, 08:53

Цитата: Bhudh от января 18, 2011, 00:19
Guten Nacht!

Guten Nacht!

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 21, 2011, 14:40

Не пойму, х^x — это наложение какой функции на какую? Какая производная у этой функции?

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от января 21, 2011, 15:58

Цитата: RawonaM от января 21, 2011, 14:40
Не пойму, х^x — это наложение какой функции на какую? Какая производная у этой функции?

По-русски композиция или суперпозиция (очень по-русски! ;)), а результат — сложная функция.

Чтобы описать эту функцию как сложную одной переменной не обойдёшься.

А производная ищется так. Если y=х^x, то ln y = x ln x, и производная от ln y считается. С другой стороны, (ln y)' = y'/y, откуда y' = y(ln y)'. Voilà !

Такими выкладками можно вывести общую формулу:
(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Cleft(u%5Ev%5Cright)'%20%3D%20vu%5E%7Bv-1%7D%20v'%20%2B%20u%5Ev%20(%5Cln%20u)%20u')
Она легко запоминается: первое слагаемое выглядит как производная сложной степенной функции, а второе — как производная сложной степенной.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 21, 2011, 16:01

Спасибо! Теперь ясно. :) А то я тут ломал голову... Нигде в учебнике вроде не объясняется.

Все-таки странно, что композицией функций нельзя описать...

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от января 21, 2011, 16:16

Цитата: RawonaM от января 21, 2011, 16:01
Все-таки странно, что композицией функций нельзя описать...

Почему нельзя? Рассмотрим функции
(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=f%20%5Ccolon%20%5Cmathbb%20R_%2B%20%5Ctimes%20%5Cmathbb%20R_%2B%20%5Cto%20%5Cmathbb%20R%2C%20%5Cquad%20f(u%2Cv)%20%3D%20u%5Ev%5C%5C%0Ai%20%5Ccolon%20%20%5Cmathbb%20R_%2B%20%5Cto%20%20%5Cmathbb%20R_%2B%5Ctimes%20%5Cmathbb%20R_%2B%2C%20%5Cquad%20i(x)%20%3D%20(x%2Cx))
тогда наша функция является суперпозицией (http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=f%20%5Ccirc%20i).

Название: Помощь по математике
Отправлено: arseniiv от января 21, 2011, 16:36

Хм, а чем e^{x ln x}-то не угодило?

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от января 21, 2011, 16:50

Цитата: arseniiv от января 21, 2011, 16:36
Хм, а чем e^{x ln x}-то не угодило?

И то правда.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 21, 2011, 17:56

Цитата: Квас от января 21, 2011, 16:16
Цитата: RawonaM от января 21, 2011, 16:01
Все-таки странно, что композицией функций нельзя описать...

Почему нельзя? Рассмотрим функции
(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=f%20%5Ccolon%20%5Cmathbb%20R_%2B%20%5Ctimes%20%5Cmathbb%20R_%2B%20%5Cto%20%5Cmathbb%20R%2C%20%5Cquad%20f(u%2Cv)%20%3D%20u%5Ev%5C%5C%0Ai%20%5Ccolon%20%20%5Cmathbb%20R_%2B%20%5Cto%20%20%5Cmathbb%20R_%2B%5Ctimes%20%5Cmathbb%20R_%2B%2C%20%5Cquad%20i(x)%20%3D%20(x%2Cx))
тогда наша функция является суперпозицией (http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=f%20%5Ccirc%20i).

Это не мой уровень :) Функции с двумя аргументами для меня С или С++, а не математика :)

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 21, 2011, 17:59

Цитата: arseniiv от января 21, 2011, 16:36
Хм, а чем e^{x ln x}-то не угодило?

И правда, это самое простое будет ;up:
И производная очевидна становится :)
Ну и тогда тут суперпозиция f(g(x)), где f(x)=e^x и g(x)=x ln x.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от января 21, 2011, 18:23

Цитата: RawonaM от января 21, 2011, 17:56
Функции с двумя аргументами для меня С или С++, а не математика :)

Да вы что? Неужели хотите прожить без такого классического обозначения, как (http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Cfrac%7B%5Cpartial%20u%7D%7B%5Cpartial%20x%7D)? Функции нескольких переменных даже перваки учат!

Название: Помощь по математике
Отправлено: arseniiv от января 21, 2011, 18:28

Кстати о.
Квас, скажите, если мне завтра попадёт вопрос про касательную плоскость и нормаль к поверхности (видимо, заданной z = f(x, y)), как быстрее и качественнее это всё вывести? У меня куска лекции нету. :-[

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от января 21, 2011, 18:38

Определение касательной плоскости у вас какое? По идее касательные векторы в некоторой точке — это векторы скоростей лежащих на поверхности кривых, проходящих через эту точку. Отсюда можно получить определение касательной проскости: если M_0 — исходная точка, то M принадлежит касательной плоскости тогда и только тогда, когда вектор M_0M касательный. У вас аналогично?

Название: Помощь по математике
Отправлено: arseniiv от января 21, 2011, 18:42

И определения-то своего у меня нет. :what: Ещё вычитал где-то определение, аналогичное определению касательной [прямой, конечно] к кривой. Не знаю, какое было из двух. Допустим, что определение без касательных векторов, не слышал у нас о них вообще.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от января 21, 2011, 18:50

А касательную к кривой в пространстве можно использовать?

Название: Помощь по математике
Отправлено: arseniiv от января 21, 2011, 19:01

Не знаю. В любом случае, наверно, меня не съедят на этом.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 21, 2011, 19:02

Цитата: Квас от января 21, 2011, 18:23
Цитата: RawonaM от января 21, 2011, 17:56
Функции с двумя аргументами для меня С или С++, а не математика :)

Да вы что? Неужели хотите прожить без такого классического обозначения, как (http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Cfrac%7B%5Cpartial%20u%7D%7B%5Cpartial%20x%7D)? Функции нескольких переменных даже перваки учат!

Это у меня будет в следующем году, на второй части матана :)

Название: Помощь по математике
Отправлено: arseniiv от января 21, 2011, 19:08

Offtop

Читаю, смотрю вопросы, читаю. Боюсь, я эти свойства не то что не докажу, а даже до конца не перечислю (есть такое свойство памяти, что вещь помнится, но только при обращении именно к ней, а не при спрашивании, есть она в голове или нет). :-\ Надеюсь, попадёт вопрос про что-то более формулопреобразовательное.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от января 21, 2011, 19:25

Попозже подробней могу написать, а пока идея. Надо рассматривать неявно заданную поверхность:
F(x,y,z) = 0.
Основное утверждение состоит в том, что в каждой точке вектор grad F нормален этой поверхности. Для доказательства надо убедиться, что этот вектор ортогонален любому касательному вектору в той же точке. Пусть v — вектор, касательный в точке m0, тогда v=(x'(t0),y'(t0),z'(t0)), где (x(t),y(t),z(t)) — кривая на поверхности, при значении параметра t0 проходящая через m0. Тогда
F(x(t),y(t),z(t)) = 0
тождественно. Это основное уравнение. Если продифференцировать его по t, то в левой части получается скалярное произведение (grad F(m0),v).

Значит, нормаль нашли: это градиент. Нормаль является нормалью и к касательной плоскости, которая, таким образом, имеет уравнение
F'_x (x-x0) + F'_y (y-y0) + F'_z(z-z0) = 0.

Явное задание z = f(x,y) — частный случай неявного, где F(x,y,z) = f(x,y)-z. Касательная плоскость, таким образом, имеет уравнение
z - z0 = f'_x (x-x0) + f'_y (y-y0),
а нормальный вектор будет (f'_x, f'_y, -1).

Если надо уравнение нормальной прямой, надо воспользоваться каноническим уравнением: направляющий вектор мы знаем и точку на прямой тоже.

Название: Помощь по математике
Отправлено: arseniiv от января 21, 2011, 19:47

Спасибо! Аналитич. геометрию-то я помню, а вот про градиент было как раз кстати. Я-то думал, что надо будет найти два касательных вектора, а потом векторно их умножить для нормального плоскости. Но ничего такого умножательного я не припоминал, чтобы было, и сомневался.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 21, 2011, 23:55

Как решить (http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Cmathop%7B%5Clim%7D%5Climits_%7Bx%20%5Cto%20%5Cinfty%7Dx(e%5E%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D-1)), есть идеи какиесь?

Название: Помощь по математике
Отправлено: Bhudh от января 22, 2011, 00:04

А к чему e^{^¹/_x} там стремится?

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 22, 2011, 00:13

К нулю, жечевище.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Bhudh от января 22, 2011, 00:23

А лимит по условию определённый или −∞ покатит?

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 22, 2011, 01:26

Цитата: Bhudh от января 22, 2011, 00:23
А лимит по условию определённый или −∞ покатит?

Любой прокатит, но не в лимите дело, а в том, как это решать.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от января 22, 2011, 08:40

Цитата: RawonaM от января 21, 2011, 23:55
Как решить

Заменой можно свести к известному следствию второго замечательного предела:
(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Clim_%7Bt%5Cto0%7D%20%5Cfrac%7Be%5Et-1%7D%7Bt%7D%20%3D%201)

Теперь в этом пределе вы можете увидеть расписанное по определению
(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdt%7D%5CBig%7C_%7Bt%3D0%7D%20e%5Et%20%3D%201)
откуда следует, что можно было бы не вспоминать этого следствия, а разложить экспоненту по формуле Тейлора.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 22, 2011, 09:43

Цитата: Квас от января 22, 2011, 08:40
Цитата: RawonaM от января 21, 2011, 23:55
Как решить

Заменой можно свести к известному следствию второго замечательного предела:
(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Clim_%7Bt%5Cto0%7D%20%5Cfrac%7Be%5Et-1%7D%7Bt%7D%20%3D%201)

Теперь в этом пределе вы можете увидеть расписанное по определению
(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdt%7D%5CBig%7C_%7Bt%3D0%7D%20e%5Et%20%3D%201)
откуда следует, что можно было бы не вспоминать этого следствия, а разложить экспоненту по формуле Тейлора.

У нас не было ни Тейлора, ни второго замечательного :(

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от января 22, 2011, 09:45

Цитата: RawonaM от января 22, 2011, 09:43
У нас не было ни Тейлора, ни второго замечательного :(

Странная программа. А интегралы, значит, были? :donno: Но производную экспоненты ведь знаете? Там она и написана: предел отношения приращения функции к приращению аргумента.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 22, 2011, 10:11

Цитата: Квас от января 22, 2011, 09:45
А интегралы, значит, были? :donno:

Так ln ведь через интеграл определяется.

Цитата: Квас от января 22, 2011, 09:45
Но производную экспоненты ведь знаете?

Вы имеете в виду (e^x)'=e^x?

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 22, 2011, 10:15

Ну в общем-то я понял: если подставить и по Лопиталю предел найти, то выходит 1 :)

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от января 22, 2011, 10:18

Цитата: RawonaM от января 22, 2011, 10:11
Так ln ведь через интеграл определяется.

Ох... Это тот случай, когда здравый смысл приносится в жертву строгости изложения. Наверно, им так проще, но вообще-то логарифм — это обратная функция к экспоненте.

Цитата: RawonaM от января 22, 2011, 10:11
Вы имеете в виду (e^x)'=e^x?

Да. Если записать определение производной при x = 0, получается как раз мой предел.

Цитата: RawonaM от января 22, 2011, 10:15
Ну в общем-то я понял: если подставить и по Лопиталю предел найти, то выходит 1 :)

Против лома нет приёма. :)

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 22, 2011, 10:36

Цитата: Квас от января 22, 2011, 10:18
Ох... Это тот случай, когда здравый смысл приносится в жертву строгости изложения. Наверно, им так проще, но вообще-то логарифм — это обратная функция к экспоненте.

А экспонента определяется как обратная функция к лану :)
А если наоборот, то экспонента как определяется?

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от января 22, 2011, 11:03

Цитата: RawonaM от января 22, 2011, 10:36
А экспонента определяется как обратная функция к лану :)

Ух нифига себе! (Кажется, у нас тоже был такой подход в учебнике 11 класса, но мы теорию по нему не учили). А степень с произвольным основанием тогда определить как
(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=a%5Ex%20=%20e%5E%7Bx%5Cln%20a%7D)
и ну-ка попробовать посчитать (http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=2%5E3) :green:

Цитата: RawonaM от января 22, 2011, 10:36
А если наоборот, то экспонента как определяется?

Более естественный способ (так и было исторически) состоит в следующем. Возьмём число a>0, a<>1. Натуральные степени от него определяются через умножение; по определению
(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=a%5E0%20%3D%201,)
целые отрицательные степени определяются как обратные величины к целым положительным, а рациональные степени — следующим образом:
(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=a%5E%7B%5Cfrac%20mn%7D%20%3D%20%5Csqrt%5Bn%5D%7Ba%5Em%7D)
Получается функция (http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=a%5Ex), определённая на множестве рациональных чисел. Её можно по непрерывности продолжить на (http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Cmathbb%20R), то есть для каждого вещественного x в качестве (http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=a%5Ex) берётся предел (http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Clim_%7Bn%5Cto%5Cinfty%7Da%5E%7Bx_n%7D), где (http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=x_n%20%5Cin%20%5Cmathbb%20Q), (http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=x_n%20%5Cto%20x).

Логарифм тогда определяется как обратная функция к экспоненте. А число e по определению
(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Clim_%7Bn%5Cto%5Cinfty%7D%20%5Cleft(%201%2B%5Cfrac%201n%20%5Cright)%5En%20%3D%20e)
(это и есть второй замечательный предел; нетривиальное утверждение заключается в том, что предел в левой части существует.)

Это длинная и кропотливая процедура: нужно много раз доказывать корректность определений, проверять выполнение свойства степени при расширении допустимого множества показателей. Поэтому люди могут пойти в обход, например, как у вас сделали (кстати, доказывали ли вы свойства логарифмов исходя из вашего определения? Внутреннюю нетривиальность теории невозможно обойти.) Для сравнения: в книге Шилова «Математический анализ. Функции одного переменного» сначала тоже вводится логарифм, но на основании фундаментального свойства логарифма: log ab = log a + log b; из анализа используется понятие непрерывной функции.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 22, 2011, 11:14

Цитата: Квас от января 22, 2011, 11:03
А степень с произвольным основанием тогда определить как
(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=a%5Ex%20=%20e%5E%7Bx%5Cln%20a%7D)

Именно так :)

Цитата: Квас от января 22, 2011, 11:03
Логарифм тогда определяется как обратная функция к экспоненте. А число e по определению
(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Clim_%7Bn%5Cto%5Cinfty%7D%20%5Cleft(%201%2B%5Cfrac%201n%20%5Cright)%5En%20%3D%20e)
(это и есть второй замечательный предел; нетривиальное утверждение заключается в том, что предел в левой части существует.)

А-а, это у нас есть... Только ничем особо примечательно не отмечено, поэтому я даже не обратил особого внимания, просто рядовая теорема :)

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 22, 2011, 11:18

В конце чаптера есть краткое изложение, там написано, что логаритм (кроме лана) опеределен как обратная функция к фунции степени с произвольной базой. Т.е. лан определялся через интеграл, дальше по цепочке что я сказал, а потом логарифм определяется.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 22, 2011, 11:23

Я вспомнил, что на лекциях на сайте рассказывали об этом «замечательном» пределе подробнее и сказали, что мы нашли число е вторым способом, что в общем-то нетривиально. Но в книге общее изложение другое, поэтому я не обратил внимания :)

Цитата: Квас от января 22, 2011, 11:03
кстати, доказывали ли вы свойства логарифмов исходя из вашего определения? Внутреннюю нетривиальность теории невозможно обойти.

Не понял, что вы имеете в виду? Какие свойства?

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 22, 2011, 11:25

Смотрю вот на «алгебраические свойства log_bx, все вроде доказано.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от января 22, 2011, 11:31

Цитата: RawonaM от января 22, 2011, 11:23
Не понял, что вы имеете в виду? Какие свойства?

Хотя бы
(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Clog_a%20xy%20%3D%20%5Clog_a%20x%20%2B%20%5Clog_a%20y)

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от января 22, 2011, 11:38

То есть для натурального логарифма тождество из #590 вы из интегралов выводили? Уважаю.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 22, 2011, 11:47

Цитата: Квас от января 22, 2011, 11:38
То есть для натурального логарифма тождество из #590 вы из интегралов выводили? Уважаю.

Да, из интеграла. Мне все равно на экзамен все эти определения надо запомнить, могу пересказать, будет начало подготовки к экзамену :)

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от января 22, 2011, 12:15

Ну это как хотите. :)

Я не против разных определений. Часто бывает, что способ введения некоторого понятия мало связан с его природой. Однако это уже требует некоторой математической культуры, и надо не забывать об идеологии.

В случае со степенью и логарифмом идеология такая: степень рождается из многократного умножения; основное свойство степени —
(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=a%5E%7Bm%2Bn%7D%3Da%5Ema%5En),
показательная и логарифмические функции — взаимно обратные, основное свойство логарифма —
(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Clog_a%20xy%20%3D%20%5Clog_a%20x%20%2B%20%5Clog_a%20y).

Имея всё это в голове, можно пользоваться любым способом определения. Например, преподаватель скажет: «Дети, следовать схеме из #585 — это (http://www.kolobok.us/smiles/madhouse/suicide_fool-edit.gif). Поэтому мы сделаем финт ушами: введём логарифм через интеграл. Это проще, но, как оказывается, в итоге получается одно и то же!» А нельзя говорить так: «Дети, вы убедились, что интеграл от любой степенной функции — степенная функция, кроме 1/x. Давайте же первообразную от этой необычной функции обзовём натуральным логарифмом!» Это называется переворачиванием с ног на голову и высасыванием из пальца.

Объект математики — пространственные формы и количественные отношения, а предмет — логические конструкции. Диалектические противоположности, однако. Надо уметь между ними лавировать.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 22, 2011, 12:20

Честно сказать, не понимаю вашего негодования, поэтому не могу его разделить :) У нас были определены рациональные степени по обычной схеме, а определение через е и лан дополнило его до всех вещественных чисел.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от января 22, 2011, 12:25

А где я негодую? :) Математика — это наука обманывать людей. ©Квас (C'est modeste, n'est-ce pas ?) Я говорю, что одно и то же можно подать под совершенно разными соусами. Чем лучше преподаватель, тем лучше соус!

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 22, 2011, 12:27

Цитата: Квас от января 22, 2011, 12:15
Имея всё это в голове, можно пользоваться любым способом определения.

Но ведь это все таки имеют в голове еще со школы (ну кроме тех, кто не помнит ничего :)), так что возможно на это и рассчитано.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 22, 2011, 12:30

Цитата: Квас от января 22, 2011, 12:25
А где я негодую? :) Математика — это наука обманывать людей. ©Квас (C'est modeste, n'est-ce pas ?) Я говорю, что одно и то же можно подать под совершенно разными соусами. Чем лучше преподаватель, тем лучше соус!

История нашего учебника восходит к шестидесятым годам к книге «A Programmed Course in Calculus», подготовленной бай The Committee on Educational Media of The Mathematical Association of America.
Можете винить во всем буржуев, это они нас дурят :)

А вообще я люблю открытый университет за его книги и строгий порядок и никакой отсебятины! :)

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от января 22, 2011, 12:50

Идеологию в книгах не напишут, её должен преподаватель доносить. :eat:

Насчёт «наука обманывать людей» — это не в том смысле, что дурят. Это восхищение способностью математиков формализовать что угодно, часто неожиданными способами.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 22, 2011, 12:58

Цитата: Квас от января 22, 2011, 12:50
Идеологию в книгах не напишут, её должен преподаватель доносить.

Ну уж не знаю. Весь открытый университет построен на преподавании без преподавателя, т.е. на самообучении через книги.
По-моему идеология в книгах очень хорошо даже пишется. Я имею в виду в общем смысле, не в математическом.

Скоро мне предстоит готовиться к линейной алгебре, вот думаю посмотреть лекции Gilbert-a Strang-a из MIT на Ютубе, посмотрим, что он до меня донесет :) Говорят крут :)

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 22, 2011, 13:00

Искал какие-нибудь университетские лекции по анализу на французском, ниче не нашел :( Только школьные уроки.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 22, 2011, 13:11

Вот с таки пределеом подскажите:
x->0
|x|^{sin x}
(ситмо не осилил, не хочет в степень синус ставить).

Крутил-крутил, ниче не выходит. Его может и не быть в принципе, но это надо доказать.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от января 22, 2011, 13:14

Цитата: RawonaM от января 22, 2011, 13:11
(ситмо не осилил, не хочет в степень синус ставить).

|x|^{\sin x}

Можно прологарифмировать и по Лопиталю, а потом обратно в степень возвести.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 22, 2011, 13:44

Цитата: Квас от января 22, 2011, 13:14
Можно прологарифмировать и по Лопиталю

Это как? Тут же нет дроби.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 22, 2011, 13:45

Цитата: Квас от января 22, 2011, 13:14
Цитировать(ситмо не осилил, не хочет в степень синус ставить).
|x|^{\sin x}

Merci.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от января 22, 2011, 14:48

Цитата: RawonaM от января 22, 2011, 13:44
Тут же нет дроби.

Если очень хочется, то можно и сделать:
(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Clim_%7Bx%5Cto%200%7D%20%5Csin%20x%20%5Cln%20x%20%3D%20%5Clim_%7Bx%5Cto%200%7D%20%5Cfrac%7B%5Cln%20x%7D%7B1%2F%5Csin%20x%7D%20%3D%20%5Clim_%7Bx%5Cto0%7D%20%5Cfrac%7B1%2Fx%7D%7B-1%2F%5Csin%5E2%20x%20%5Ccos%20x%7D)
Ну и по первому замечательному.

В ответе будет 1.

Название: Помощь по математике
Отправлено: arseniiv от января 22, 2011, 14:58

Ура! 5. Собственно, мне повезло с билетом, но на это я и надеялся.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от января 22, 2011, 15:01

Цитата: arseniiv от января 22, 2011, 14:58
Ура! 5. Собственно, мне повезло с билетом, но на это я и надеялся.

:= Везёт сильнейшему!

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 22, 2011, 15:04

Цитата: arseniiv от января 22, 2011, 14:58
Ура! 5. Собственно, мне повезло с билетом, но на это я и надеялся.

Поздравляю коллегу! :)

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 22, 2011, 15:17

Цитата: Квас от января 22, 2011, 14:48
Если очень хочется, то можно и сделать:
(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Clim_%7Bx%5Cto%200%7D%20%5Csin%20x%20%5Cln%20x%20%3D%20%5Clim_%7Bx%5Cto%200%7D%20%5Cfrac%7B%5Cln%20x%7D%7B1%2F%5Csin%20x%7D%20%3D%20%5Clim_%7Bx%5Cto0%7D%20%5Cfrac%7B1%2Fx%7D%7B-1%2F%5Csin%5E2%20x%20%5Ccos%20x%7D)

Я такого трюка не знал, надо запомнить обязательно. Мерси :)

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 22, 2011, 15:22

А точно, что если верхняя часть в минус бесконечность уходит, а нижняя в плюс, то можно применять Лопиталя?

Название: Помощь по математике
Отправлено: arseniiv от января 22, 2011, 15:27

Цитата: RawonaM от января 22, 2011, 15:04
Поздравляю коллегу! :)

:) Спасибо.

Цитата: Квас от января 22, 2011, 15:01
:= Везёт сильнейшему!

Ну это вряд ли обо мне. У меня как раз сил нет в точности выучивать некоторые тонкости формальные, хотя я обеими руками за них, просто память не всегда согласна. А ещё, чтобы доказать, что производная по направлению равна скалярному произведению градиента на единичный вектор направления, начал выписывать производные пределами (и заблудился в них). :D Потом только вспомнил, что надо через полный дифференциал.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 22, 2011, 15:32

Тут все-таки несколько сложнее. У нас ведь так:
(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%7Cx%7C%5E%7B%5Csin%20x%7D%3De%5E%7B%5Csin%20x%20%5Cln%20%7Cx%7C%7D)

Там выходит ln |x|, а у него какая производная в нуле? У модуля ведь нет.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от января 22, 2011, 15:42

Цитата: RawonaM от января 22, 2011, 15:29
Там выходит ln |x|, а у него какой предел в нуле? У модуля ведь нет.

Ага, что-то я невнимательный. У ln |x| предел равен минус бесконечности, потому что выражение под логарифмом стремится к 0. А дифференцировать логарифм модуля мы можем, и по-прежнему получается 1/x (ср. стандартную формулу для первообразной); дифференцируем мы на (http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=(-%5Cinfty%2C0)%5Ccup(0%2C%5Cinfty)).

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 22, 2011, 16:55

Цитата: Квас от января 22, 2011, 15:42
А дифференцировать логарифм модуля мы можем, и по-прежнему получается 1/x (ср. стандартную формулу для первообразной);

А как все-таки это написать? Я же не могу дифференцировать по цепочке, потому что модуль не дифференцируем.
Разве что раскладывать на плюс и минус.

И все-таки не ясно, можно ли Лопиталем пользоваться, если в делится минус бесконечность на плюс бесконечность. У меня такого варианта нет в описании лопиталей.

Название: Помощь по математике
Отправлено: arseniiv от января 22, 2011, 17:50

Цитата: RawonaM от января 22, 2011, 16:55
Я же не могу дифференцировать по цепочке, потому что модуль не дифференцируем.

К счастью, он не дифференцируем именно там, где недифференцируем ln |x|.

Притом можно даже формулу составить, вдруг пригодится: |x|′ = x / |x| = |x| / x. Всё-всё это если x не ноль.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от января 22, 2011, 17:52

Цитата: RawonaM от января 22, 2011, 16:55
А как все-таки это написать? Я же не могу дифференцировать по цепочке, потому что модуль не дифференцируем.
Разве что раскладывать на плюс и минус.

А такую знаете формулу?
(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Cint%20%5Cfrac%7Bdx%7D%7Bx%7D%20%3D%20%5Cln%20%7Cx%7C%20%2B%20C)
Она и говорит, что производная равна 1/х. А проверяется непосредственно для x>0 и x<0 отдельно.

Цитата: RawonaM от января 22, 2011, 16:55
И все-таки не ясно, можно ли Лопиталем пользоваться, если в делится минус бесконечность на плюс бесконечность.

Конечно, можно. Знак не играет роли. В любом случае, если, скажем, a<0, b>0, вы могли бы сделать питуах a/b = - (-a)/b : voilà, числитель и знаменатель положительные.

(Сделать питуах — это нормально звучит?)

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 22, 2011, 18:10

Цитата: Квас от января 22, 2011, 17:52
(Сделать питуах — это нормально звучит?)

Да. :) Можно еще лефатеах сказать :)

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от января 22, 2011, 18:12

Offtop

Цитата: RawonaM от января 22, 2011, 18:10
Цитата: Квас от Сегодня в 18:52
Цитировать(Сделать питуах — это нормально звучит?)
Да. :) Можно еще лефатеах сказать :)

Пример можно?

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 22, 2011, 18:24

Цитата: Квас от января 22, 2011, 18:12
Пример можно?

Ну так и говорите: можно лефатеах a/b = -(-a)/b. Или лефатеах a/b в -(-a)/b.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от января 22, 2011, 18:40

Offtop

Цитата: RawonaM от января 22, 2011, 18:24
Цитата: Квас от Сегодня в 19:12
ЦитироватьПример можно?
Ну так и говорите: можно лефатеах a/b = -(-a)/b. Или лефатеах a/b в -(-a)/b.

Тода, как говорится. :)

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 22, 2011, 18:40

Цитата: Квас от января 22, 2011, 14:48
Цитата: RawonaM от января 22, 2011, 13:44
Тут же нет дроби.

Если очень хочется, то можно и сделать:
(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Clim_%7Bx%5Cto%200%7D%20%5Csin%20x%20%5Cln%20x%20%3D%20%5Clim_%7Bx%5Cto%200%7D%20%5Cfrac%7B%5Cln%20x%7D%7B1%2F%5Csin%20x%7D%20%3D%20%5Clim_%7Bx%5Cto0%7D%20%5Cfrac%7B1%2Fx%7D%7B-1%2F%5Csin%5E2%20x%20%5Ccos%20x%7D)
Ну и по первому замечательному.

В ответе будет 1.

А у меня ноль вышло... Как у вас один получилось?

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 22, 2011, 18:41

Цитата: Квас от января 22, 2011, 18:40
Тода, как говорится. :)

Бевакаша :)

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от января 22, 2011, 18:55

Цитата: RawonaM от января 22, 2011, 18:40
А у меня ноль вышло... Как у вас один получилось?

Это в смысле в окончательном ответе. Мы нашли предел логарифма, тогда предел исходного выражения равен 1.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 22, 2011, 19:09

А-а-а :)

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 23, 2011, 20:28

(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Cmathop%7B%5Clim%7D%5Climits_%7Bx%20%5Cto%20%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B%5Cln%20(x%2B1)%7D%7Bx%7D)
Такой гвуль высчитываемыбельный? Лопиталь не помогает.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от января 23, 2011, 20:36

Цитата: RawonaM от января 23, 2011, 20:28
Такой гвуль высчитываемыбельный? Лопиталь не помогает.

Скоро я заговорю на суржике. ;D

А Лопиталь помогает, почему нет? Получается 0.

(Кстати, это выражается словами «на бесконечности логарифм растёт медленнее степенной функции» или «степенная функция растёт быстрее логарифмической». Функции по скорости роста: логарифмическая; степенная; показательная; факториал. Пределы отношений равны 0.)

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 23, 2011, 20:39

Цитата: Квас от января 23, 2011, 20:36
А Лопиталь помогает, почему нет? Получается 0.

Да, у меня тоже вышло ноль, но это ж неверно.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 23, 2011, 20:40

А-а, тьфу, спутал с другой функцией. Сорри за фолз аларм :)

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 23, 2011, 21:06

Цитата: Квас от января 23, 2011, 20:36
Функции по скорости роста: логарифмическая; степенная; показательная; факториал. Пределы отношений равны 0.)

А что, факториал еще быстрее показательной растет?!! Я думал быстрее не бывает :) Потому что пугают всегда именно показательной. Если алгоритм работает с эффективностью показательной функции, считай что ты получил двойку, а твой алгоритм никуда не годный и можно ждать годами, пока он что-нибудь высчитает.
Про факториальные не заикаются.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Bhudh от января 23, 2011, 21:18

Есть ещё кратный факториал :eat:.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 23, 2011, 21:30

А обратная к факториалу как называется? Она по идее медленнее логарифической же.

Получается, все что медленее степенной — равномерно непрерывны, а все что быстрее — наоборот.

И вообще, функция, которая загибается вниз — равномерно непрерывна, а которая загибается вверх — наоборот. Это верно?

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 23, 2011, 22:49

Помогите, а то щас с ума сойду :)

Дано:
M>L
eps = (M+L)/2

Нужно показать, что следующее неравенство противоречит данному:
M-eps<f<L+eps

Я знаю, что это проще простого, но у меня не выходит.

Название: Помощь по математике
Отправлено: arseniiv от января 24, 2011, 12:23

M > L и

M − (M + L) / 2 < f < L + (M + L) / 2
M / 2 − L / 2 < f < 3L / 2 + M / 2
0 < f < 4L / 2 = 2L

Как-то не противоречит. :donno:

Цитата: RawonaM от января 23, 2011, 21:06
Я думал быстрее не бывает :)

Бывает! Можно сколько угодно раз факториал применить (см. Bhudh'а), или экспоненту, или что-либо ещё.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 24, 2011, 12:52

Похоже я ошибся. Должно быть епс=(M-L)/2.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 24, 2011, 12:52

Цитата: arseniiv от января 24, 2011, 12:23
ЦитироватьЯ думал быстрее не бывает :)
Бывает! Можно сколько угодно раз факториал применить (см. Bhudh'а), или экспоненту, или что-либо ещё.

А обратная от факториала есть?

Название: Помощь по математике
Отправлено: GaLL от января 24, 2011, 14:04

Факториал определён для натуральных чисел плюс 0, его обобщением на действительные числа (а также и на комплексные) является гамма-функция. Γ(n + 1) = n! При, например, x >= 1.46163214496836... можно рассмотреть функцию, обратную гамма-функции, это и будет типа обратный факториал. :)
P. S. Константа 1.46163214496836... - единственный экстремум гамма-функции в положительной части, я сначала подумал, что для них есть какая-то простая формула, но не нашёл.

Название: Помощь по математике
Отправлено: antbez от января 24, 2011, 18:49

Цитировать
Есть ещё кратный факториал

Кратный факториал (двойной, тройной и т.д.) растёт как раз медленнее обычного факториала, быстрее растёт суперфакториал sf(n).

Название: Помощь по математике
Отправлено: antbez от января 24, 2011, 18:51

Цитировать
Факториал определён для натуральных чисел плюс 0, его обобщением на действительные числа (а также и на комплексные) является гамма-функция.

Добавлю, что Г(х) имеет особенности (полюсы) в целых отрицательных числах, поэтому можно сказать, что для них обобщение факториала не распространяется!

Название: Помощь по математике
Отправлено: arseniiv от января 24, 2011, 18:53

Цитата: antbez от января 24, 2011, 18:49
Кратный факториал (двойной, тройной и т.д.)

А разве есть тройной? :o

Мне показалось, имелась ввиду композиция факториалов, т. е. не n!!, а (n!)!.

Название: Помощь по математике
Отправлено: antbez от января 24, 2011, 18:57

Конечно, есть и тройной! Скажем, 7!!!=28.

Название: Помощь по математике
Отправлено: arseniiv от января 24, 2011, 19:02

Да, в принципе ведь обобщить можно на произвльную кратность, сразу не додумался. А он где-нибудь применяется, не знаете?

Название: Помощь по математике
Отправлено: antbez от января 24, 2011, 19:03

(n!)!- не кратный факториал

Название: Помощь по математике
Отправлено: antbez от января 24, 2011, 19:06

Знаю о применении субфакториала в комбинаторике. Тройной факториал мне встречался при выводе формулы ряда.

Название: Помощь по математике
Отправлено: arseniiv от января 24, 2011, 19:08

Offtop

Цитата: antbez от января 24, 2011, 19:03
(n!)!- не кратный факториал

Ну, мне кажется, Bhudh имел именно (n!)!. В большом количестве названий можно и запутаться иногда. ;D

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от января 24, 2011, 19:17

Цитата: RawonaM от января 24, 2011, 12:52
Похоже я ошибся. Должно быть епс=(M-L)/2.

(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=M-%5Cvarepsilon%20%3C%20f%20%3C%20L%2B%5Cvarepsilon%20%5CRightarrow%20M-%5Cvarepsilon%20%3C%20L%2B%5Cvarepsilon%5C%5C%0AL%20%2B%20%5Cvarepsilon%20%3D%20L%2B%20%5Cfrac%7BM-L%7D2%20%3D%20%5Cfrac%7BM%2BL%7D2%3DM%20-%20%5Cfrac%7BM-L%7D2)

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 24, 2011, 19:54

Цитата: Квас от января 24, 2011, 19:17
Цитата: RawonaM от января 24, 2011, 12:52
Похоже я ошибся. Должно быть епс=(M-L)/2.
(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=M-%5Cvarepsilon%20%3C%20f%20%3C%20L%2B%5Cvarepsilon%20%5CRightarrow%20M-%5Cvarepsilon%20%3C%20L%2B%5Cvarepsilon%5C%5C%0AL%20%2B%20%5Cvarepsilon%20%3D%20L%2B%20%5Cfrac%7BM-L%7D2%20%3D%20%5Cfrac%7BM%2BL%7D2%3DM%20-%20%5Cfrac%7BM-L%7D2)

Нет, все-таки я там не ошибся.
Короче, дело такое. Я хочу своим способом доказать, что если предел в х0=М, то предел в х0!=Л.
Для этого я допускаю обратное, что предел и М и Л, значит беру среднюю между ними точку, т.е. (М+Л)/2, выходит эпсилон=(М-Л)/2.
Совершенно очевидно, что f в округе х0 не может одновременно быть больше М-эпс и меньше Л+эпс, т.к. это одно и то же число.
А вот математика фейлит. :(

Название: Помощь по математике
Отправлено: arseniiv от января 24, 2011, 20:07

Цитата: RawonaM от января 24, 2011, 19:54
в округе х0

Пока Квас не пришёл, скажу: окрестности.

А способ доказания предела какой-то странный. Мне кажется, он может быть проще.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 24, 2011, 20:12

Цитата: arseniiv от января 24, 2011, 20:07
А способ доказания предела какой-то странный. Мне кажется, он может быть проще.

Например?
Это не доказание предела. Это доказание того, что если предел М, то предел не Л. У нас теорема такая, а доказательства нужно помнить для экзамена.
В книге есть доказательство, но мне оно не нравится. Я хочу своим способом доказать. Помогите с арифметикой неравенств, очевидно это на уровне 8-го класса, но это было надцать лет назад.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 24, 2011, 20:14

Как получилось, арсений, что у вас там не было противоречия? Рисунок говорит обратное. Происки западных империалистов с лицом инопланетян :(

Название: Помощь по математике
Отправлено: Bhudh от января 24, 2011, 20:14

Цитата: arseniivМне показалось, имелась ввиду композиция факториалов, т. е. не n!!, а (n!)!.

Ты совершенно прав.
Просто употребил слово «кратный», не зная, что в данном случае за ним стоит...

Название: Помощь по математике
Отправлено: arseniiv от января 24, 2011, 20:23

Цитата: RawonaM от января 24, 2011, 20:14
Как получилось, арсений, что у вас там не было противоречия? Рисунок говорит обратное. Происки западных империалистов с лицом инопланетян :(

Может, не те неравенства? Вдруг там есть какие-то ещё вытекающие. Кстати, не пойму смысла доказательства. Если M ≠ L, разве уже не финита? Или я что-то не помню. Единственность предела мы вроде по другому делали. Это было так давно!

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 24, 2011, 20:25

Ну вот проверьте, те или не те:

Цитата: RawonaM от января 23, 2011, 22:49
Дано:
M>L
eps = (M+L)/2

Нужно показать, что следующее неравенство противоречит данному:
M-eps<f<L+eps

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от января 24, 2011, 21:12

Цитата: RawonaM от января 24, 2011, 19:54
Короче, дело такое. Я хочу своим способом доказать, что если предел в х0=М, то предел в х0!=Л.
Для этого я допускаю обратное, что предел и М и Л, значит беру среднюю между ними точку, т.е. (М+Л)/2, выходит эпсилон=(М-Л)/2.
Совершенно очевидно, что f в округе х0 не может одновременно быть больше М-эпс и меньше Л+эпс, т.к. это одно и то же число.

Абсолютно верно. Да и мои выкладочки могут пригодиться.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от января 24, 2011, 21:13

Цитата: RawonaM от января 24, 2011, 20:25
eps = (M+L)/2

Ну нет! Радиус окрестности должен быть равен половине расстояния между точками, то есть полуразности.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 24, 2011, 21:16

Действительно. Вот же весь рассчет:

Цитата: Квас $M-\varepsilon < f < L+\varepsilon \Rightarrow M-\varepsilon < L+\varepsilon\\ L + \varepsilon = L+ \frac{M-L}2 = \frac{M+L}2=M - \frac{M-L}2$

Премного благодарю! В книге они че-то наблудословили, это будет проще имхо.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от января 24, 2011, 21:25

Ещё можно так, с помощью неравенства треугольника:
(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=80&eq=%5Cvarepsilon%20%3D%20%5Cfrac%7B%7CM-L%7C%7D%7B2%7D%20%20%5C%5C%0A%7CM-L%7C%20%5Cleqslant%20%7CM-f%7C%20%2B%20%7Cf-L%7C%20%3C%20%5Cvarepsilon%20%2B%20%5Cvarepsilon%20%20%3D%20%7CM-L%7C)
Здесь не играет роли, кто из них больше. Кстати, это доказательство проходит в любом метрическом пространстве, если модуль заменить на расстояние.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 24, 2011, 21:28

И правда, так интереснее :)

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 25, 2011, 20:17

Как доказать, что х(е^х+е^-х) принимает все значения R один раз?

Крутил и так и сяк, ниче не выходит. Максимум если выкрутиться получается доказать, что принимает все значения, а вот что один раз не получается. С ее производной ниче не выходит, ни показать что она всегда положительна, ни показать что она никогда не бывает 0.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от января 25, 2011, 20:23

Цитата: RawonaM от января 25, 2011, 20:17
Как доказать, что х(е^х+е^-х) принимает все значения R один раз?

Все значения — потому что пределы на бесконечности бесконечные разных знаков, и функция непрерывна.

Один раз — в силу монотонности. У неё производная положительна. Сразу видно, если записать через гиперболический косинус.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 25, 2011, 20:27

Цитата: Квас от января 25, 2011, 20:23
Все значения — потому что пределы на бесконечности бесконечные разных знаков, и функция непрерывна.

Один раз — в силу монотонности. У неё производная положительна. Сразу видно, если записать через гиперболический косинус.

Это все понятно, но у меня не получилось найти ни положительную производную ни пределы в бесконечностях.

Название: Помощь по математике
Отправлено: arseniiv от января 25, 2011, 20:44

Странно.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от января 25, 2011, 21:16

Цитата: RawonaM от января 25, 2011, 20:27
Это все понятно, но у меня не получилось найти ни положительную производную ни пределы в бесконечностях.

Раз каждый множитель стремится к бесконечности, то произведение тоже, надо полагать. :)

Производная:
(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=y%3D2x%5Cmathop%7B%5Crm%20ch%7D%20x%5C%5C%0Ay'%3D2%5Cmathop%7B%5Crm%20ch%7D%20x%20%2B2x%5Cmathop%7B%5Crm%20sh%7D%20x)
Первое слагаемое положительно, а второе неотрицательно, так как x и sh x имеют одинаковый знак.

Гиперболические функции у буржуев обозначаются sinh, cosh, tanh.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 25, 2011, 21:27

Цитата: Квас от января 25, 2011, 21:16
Раз каждый множитель стремится к бесконечности, то произведение тоже, надо полагать. :)

А если один в минус бесконечность, то результат минус бесконечность?

Цитата: Квас от января 25, 2011, 21:16
Производная:
(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=y%3D2x%5Cmathop%7B%5Crm%20ch%7D%20x%5C%5C%0Ay'%3D2%5Cmathop%7B%5Crm%20ch%7D%20x%20%2B2x%5Cmathop%7B%5Crm%20sh%7D%20x)
Первое слагаемое положительно, а второе неотрицательно, так как x и sh x имеют одинаковый знак.

Гиперболические функции у буржуев обозначаются sinh, cosh, tanh.

Что-то это не на моем этапе развития математика... нету у нас такого. :(

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от января 25, 2011, 21:40

Цитата: RawonaM от января 25, 2011, 21:27
А если один в минус бесконечность, то результат минус бесконечность?

Mais bien sûr ! Минус на плюс — минус, модуль неограниченно возрастает.

Цитата: RawonaM от января 25, 2011, 21:27
Что-то это не на моем этапе развития математика... нету у нас такого. :(

На вашем! Просто вы, видно, гиперболические функции не рассматривали. Наверно, и не будете уже. Это просто элементарные функции, определяются через экспоненту, имеют свойства, похожие на свойства тригонометрических.

Но и без них можно. Tenez !
(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=(x(e%5Ex%2Be%5E%7B-x%7D))'%3D(e%5Ex%2Be%5E%7B-x%7D)%20%2B%20x(e%5Ex-e%5E%7B-x%7D))
Первое слагаемое положительно. Второе неотрицательно при x >= 0, потому что тогда e^{-x} <= 1 <= e^x. Кроме того, второе слагаемое чётно, поэтому оно неотрицательно и при x <= 0.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 25, 2011, 21:48

Цитата: Квас от января 25, 2011, 21:40
Кроме того, второе слагаемое чётно, поэтому оно неотрицательно и при x <= 0.

Вот этого не понял.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от января 25, 2011, 21:52

Цитата: RawonaM от января 25, 2011, 21:48
Цитата: Квас от Сегодня в 22:40
ЦитироватьКроме того, второе слагаемое чётно, поэтому оно неотрицательно и при x <= 0.
Вот этого не понял.

Чётно, то есть если вместо x подставить -x, получается то же самое. Можно и без чётности, опять же: просто модифицировав рассуждения для неотрицательных x.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 25, 2011, 21:56

М-да. Накрученно как-то. Ну что ж, попробую записать. Merci :)

Название: Помощь по математике
Отправлено: myst от января 27, 2011, 18:26

А я таки со своим пристану. Как перевесть pole error? (Подробности в моей любимой теме.)

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 27, 2011, 18:33

Ссылку бы хоть дал. Трудности перевода (http://lingvoforum.net/index.php/topic,13079.msg749988.html#msg749988)

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 29, 2011, 14:12

Только щас дошло, почему я знак интеграла читаю как ш...

Название: Помощь по математике
Отправлено: Bhudh от января 30, 2011, 07:05

Эш ты как‼ :D

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от января 31, 2011, 22:26

Готовлюсь к файнал экзамену, ужис полный.

Значит, задание тут, которое я никак не могу решить, навеяло на размышления.

Функция корень - в нуле ее производная стремится в бесконечность. Если определить функцию:

-корень(-х) / х<0
корень(х) / х>=0

Чо там такое происходит в нуле? Будет ли функция дифференцируема?

Название: Помощь по математике
Отправлено: Bhudh от января 31, 2011, 22:37

Нет.

Название: Помощь по математике
Отправлено: arseniiv от февраля 1, 2011, 13:17

Правильно, не будет в нуле. Производная с разрывом второго рода там.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от февраля 1, 2011, 13:30

Что-то не нравится мне в этих производных. Ну есть же касательная, функция же непрерывна, чего еще...

Название: Помощь по математике
Отправлено: antbez от февраля 1, 2011, 13:51

Из непрерывности ещё не следует дифференцируемость!

Название: Помощь по математике
Отправлено: arseniiv от февраля 1, 2011, 13:52

Цитата: RawonaM от февраля 1, 2011, 13:30
Ну есть же касательная

Увы, при стремлении производной как к +∞, так и к −∞, касательная стремится к одному и тому же вертикальному положению. Таков тангенс!

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от февраля 1, 2011, 14:02

Цитата: arseniiv от февраля 1, 2011, 13:52
Цитата: RawonaM от февраля 1, 2011, 13:30
Ну есть же касательная
Увы, при стремлении производной как к +∞, так и к −∞, касательная стремится к одному и тому же вертикальному положению. Таков тангенс!

О чем я и говорю. Вертикальная линия касательная же.

Название: Помощь по математике
Отправлено: arseniiv от февраля 1, 2011, 14:18

Но непрерывность изменения угла наклона касательной не говорит о непрерывности изменения тангенса этого угла, который равен производной. И вроде бы я это и написал. :donno:

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от февраля 1, 2011, 16:57

Смысл дифференцируемости в том, что функция может быть локально аппроксимирована линейной. У корня в нуле такой аппроксимации не существует. Неформально говоря, в нуле он растёт бесконечно быстро.

А график — это просто иллюстрация. Действительно, как arseniiv пишет: нет тангенса угла наклона — всё, тютьки.

С другой стороны, дифференциальное исчисление можно эффективно применять к изучению гладких кривых, поверхностей и других геометрических объектов, и расположение кривых относительно начала координат не имеет роли: если касательная есть, то уравнение выписывается и т. д. Но это отдельная наука — дифференциальная геометрия.

Название: Помощь по математике
Отправлено: arseniiv от февраля 1, 2011, 18:29

Offtop

Кстати, хотя они и немного далеко от дифференциальной геометрии, страшно нравятся криволинейные интегралы‼ Может, скоро утихнет, но сейчас, как вспоминаю, так сразу чувствую. Комплексные числа, записанные в показательной форме, такого эффекта не имеют.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от февраля 1, 2011, 21:25

Перенес экзамен с 14-го числа на 21-ое. Что-то мне не нравится в этой всей истории.
Запал прошел, но экзамен сдать надо. А количество материала просто не влазит в голову, не знаю чё делать.
Скажите че-нибудь в поддержку, а то боюсь, что заброшу нафиг. :(

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от февраля 1, 2011, 21:40

Цитата: RawonaM от февраля 1, 2011, 21:25
А количество материала просто не влазит в голову, не знаю чё делать.

Что, давно экзаменов не сдавали? Напоминаю: так всегда и бывает. Накануне экзамена кажется, что едва знаешь на трояк. Вот когда получаешь вопрос, тогда оказывается, что и вопрос знаешь, и ещё много всего прочего. ;)

Цитата: RawonaM от февраля 1, 2011, 21:25
боюсь, что заброшу нафиг.

Это тоже проходили. :yes: Помню зимнюю сессию на третьем курсе: «Блин, бросить всё нафиг. — Да нет, если третий курс протянем, то будет неполное высшее, тогда и бросать можно». Что характерно, после экзаменов это тоже проходит.

Цитата: RawonaM от февраля 1, 2011, 21:25
не знаю чё делать.

Если выучили — повторяйте и повторенные вопросы отмечайте точками (или чем там) в списке.

Цитата: RawonaM от февраля 1, 2011, 21:25
Скажите че-нибудь в поддержку

RawonaM, если не вы, то кто? Я в этой теме просто отдыхал душой после своих студентов. У вас хорошая голова плюс мотивация = :up: . Будь вы студентом на нашем матфаке, вас показывали бы преподам за деньги. ;D

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от февраля 1, 2011, 21:43

Спасибо, полегчало :)

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от февраля 4, 2011, 18:43

Хочу про интеграл спросить помощи, а Sitmo лежить... У вас тоже не работает?

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от февраля 4, 2011, 18:49

Цитата: RawonaM от февраля 4, 2011, 18:43
Хочу про интеграл спросить помощи, а Sitmo лежить... У вас тоже не работает?

Ага.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от февраля 4, 2011, 18:50

Вот что нашёл:
http://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от февраля 4, 2011, 18:59

Ничего так, можно пользоваться :) Вообще нужно бы уже в ЛФ встраивать такую штуку :)

Вот значит:
(http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cint&space;%5Cfrac%7Bxe%5E%7B%5Carcsin(x)%7D%7D%7B%5Csqrt%7B1-x%5E2%7D%7D&space;dx)

При разложении на х и все остальное выходит бесконечная рекурсия :)

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от февраля 4, 2011, 19:00

О, классно, он лучче чем ситмо вообще-то... Хотя бы что фон белый не вставляет :)

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от февраля 4, 2011, 19:01

Цитата: RawonaM от февраля 4, 2011, 18:59
Вот значит:

Арксинус заменяем, получается синус на экспоненту. И два раза по частям!

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от февраля 4, 2011, 19:19

Regardez:
[tex]\int x^2 dx[/tex]
--->
$[tex]\int x^2 dx[/tex]$

Vous pouvez essayer :)

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от февраля 4, 2011, 19:22

Цитата: Квас от февраля 4, 2011, 19:01
Цитата: RawonaM от февраля 4, 2011, 18:59
Вот значит:

Арксинус заменяем, получается синус на экспоненту. И два раза по частям!

Не понял, как это арксинус заменяем? Что это за формулы?

Название: Помощь по математике
Отправлено: GaLL от февраля 4, 2011, 19:25

x = sin(t), дэсу же. :)

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от февраля 4, 2011, 19:29

$[tex]\mathop {\mathrm{div}} \mathop {\mathrm{grad}} = \Delta[/tex]$

C'est vraiment magnifique !

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от февраля 4, 2011, 19:33

Цитата: RawonaM от февраля 4, 2011, 19:22
Не понял, как это арксинус заменяем?

Да, за t. И см. #693.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от февраля 4, 2011, 19:36

Offtop

$[tex]\mathbb R / \mathbb Z \approx S^1 [/tex]$

Название: Помощь по математике
Отправлено: arseniiv от февраля 4, 2011, 19:42

Цитата: RawonaM от февраля 4, 2011, 19:00
О, классно, он лучче чем ситмо вообще-то... Хотя бы что фон белый не вставляет :)

Зато gif, а не png. Не очень хорошо выглядит. На тёмном фоне вообще, думаю, плохо.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от февраля 4, 2011, 19:47

И ответ выходит $[tex]-\cos (\arcsin x) \arcsin x + \sin (\arcsin x) + C[/tex]$ ?

Не знаю как это все упростить.

Название: Помощь по математике
Отправлено: arseniiv от февраля 4, 2011, 19:52

Синус от арксинуса не знаете, как упростить? :o

А косинус от арксинуса упростить легко: представьте косинус в виде чего-то от синуса.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от февраля 4, 2011, 19:54

После ответа arseniiv-а решил своё заспойлерить.

Spoiler ⇓⇓⇓

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от февраля 4, 2011, 19:56

Цитата: arseniiv от февраля 4, 2011, 19:52
Синус от арксинуса не знаете, как упростить? :o

А как? это ж не х. же. Это переводит все в [-пи/2,пи/2]

Название: Помощь по математике
Отправлено: arseniiv от февраля 4, 2011, 19:56

Spoiler ⇓⇓⇓

Цитата: RawonaM от февраля 4, 2011, 19:56
А как? это ж не х. же. Это переводит все в [-пи/2,пи/2]

Внимательнее! Арксинус определён на $[tex][-1; \, 1][/tex]$ . Синус имеет область значений такую же. Ничего не портится. Вот если бы наоборот они стояли — абсолютно правы.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от февраля 4, 2011, 19:59

Цитата: arseniiv от февраля 4, 2011, 19:42
Зато gif, а не png.

Арсений, вы хотя б по ссылке ходили? Там не только в png можно сделать, а хоть в pdf или svn или еще какие-то непонятные буквы.

Цитата: arseniiv от февраля 4, 2011, 19:42
На тёмном фоне вообще, думаю, плохо.

Опять же, если б посмотрели, то там есть возможно выставить фон и что хочешь.

У меня стояла тема курве, там все супер выглядит. В деревянной теме и правда плохо сливается с фоном. Надо png попробовать или поиграться с настройками.

Название: Помощь по математике
Отправлено: arseniiv от февраля 4, 2011, 20:08

Offtop

Не я же администратор! :green:

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от февраля 4, 2011, 20:09

Цитата: arseniiv от февраля 4, 2011, 19:56
ЦитироватьА как? это ж не х. же. Это переводит все в [-пи/2,пи/2]
Внимательнее! Арксинус определён на . Синус имеет область значений такую же. Ничего не портится. Вот если бы наоборот они стояли — абсолютно правы.

А-а, точно... Ступил :)

Касательно редактора, там есть еще функции в инлайн засунуть и т.п.
Например: $[tex]\inline \bg_white [-1; \, 1][/tex]$ vs $[tex]\bg_white [-1; \, 1][/tex]$

(код смотреть у меня в сообщении).

Вот gif:
(http://latex.codecogs.com/gif.latex?&space;%5Cint&space;%5Cfrac%7Bxe%5E%7B%5Carcsin(x)%7D%7D%7B%5Csqrt%7B1-x%5E2%7D%7D&space;dx)
Вот png:
(http://latex.codecogs.com/png.latex?&space;%5Cint&space;%5Cfrac%7Bxe%5E%7B%5Carcsin(x)%7D%7D%7B%5Csqrt%7B1-x%5E2%7D%7D&space;dx)

Вот svg:
(http://latex.codecogs.com/svg.latex?&space;%5Cint&space;%5Cfrac%7Bxe%5E%7B%5Carcsin(x)%7D%7D%7B%5Csqrt%7B1-x%5E2%7D%7D&space;dx)

Название: Помощь по математике
Отправлено: Bhudh от февраля 4, 2011, 20:10

Offtop

Цитата: arseniivНе я же администратор! :green:

Намекающий синтаксис...

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от февраля 4, 2011, 20:10

SVG попрежнему не видно в Мозилле, а вот PNG - ляпота!
Щас сделаю пнг в тэге.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Bhudh от февраля 4, 2011, 20:13

Цитата: RawonaMЩас сделаю пнг в тэге.

Сделай выбор между svg и png!!!
SVG ещё лѣпъшє!

Название: Помощь по математике
Отправлено: arseniiv от февраля 4, 2011, 20:13

Цитата: RawonaM от февраля 4, 2011, 20:10
а вот PNG - ляпота!

А мы о чём. То я привык, как на dxdy отображается, гладенько так, тоже png, хотя движок с собой.

Цитата: Bhudh от февраля 4, 2011, 20:13
Сделай выбор между svg и png!!!

А как такое отображать? Нет смысла выбирать в тэге, ведь надо выбирать на экране. Список типа шрифта сообщений, может?

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от февраля 4, 2011, 20:15

Цитата: Bhudh от февраля 4, 2011, 20:13
SVG ещё лѣпъшє!

Покажи шот.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Bhudh от февраля 4, 2011, 20:16

Цитата: arseniivНет смысла выбирать в тэге, ведь надо выбирать на экране.

Повтори-ко попроще.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Bhudh от февраля 4, 2011, 20:19

Цитата: RawonaMПокажи шот.

Название: Помощь по математике
Отправлено: arseniiv от февраля 4, 2011, 20:36

Цитата: Bhudh от февраля 4, 2011, 20:16
Повтори-ко попроще.

Нет смысла делать тип отображения параметром, например, [tex=svg]\mathcal{blah}[/tex].
Надо сделать выбор отображения списком наподобие списка для шрифта, который там наверху. Каждый выберет, что хочет (или что может). По умолчанию там поставить png.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Bhudh от февраля 4, 2011, 20:37

А, в настройках профиля?
В Вики там выбор между PNG и HTML.

Название: Помощь по математике
Отправлено: arseniiv от февраля 4, 2011, 20:39

Или там, если RawonaM туда может дотянуться без хлопот.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от февраля 4, 2011, 20:43

На 100% выглядит лучше в png :)
Заметно, что ты на ЭЛТ экране работаешь, ибо без сглаживания на ЖК можно глаза поломать :)

Господа, мы не так часто пользуемся формулами, чтобы там еще че-то выставлять и вкладывать в это время. ПНГ достаточно хорошо с этим справляется на этом и остановимся.

А вот какбе неплохо было бы сделать, чтобы по быстрой цитате копировалась формула.

Название: Помощь по математике
Отправлено: arseniiv от февраля 4, 2011, 20:45

Тогда в alt то, из чего она отрендерилась! Разве не достаточно будет? А в title код без окружающего тэга [tex].

Название: Помощь по математике
Отправлено: Тайльнемер от февраля 5, 2011, 19:35

Цитата: RawonaM от февраля 4, 2011, 20:10
SVG попрежнему не видно в Мозилле

В firefox 4β видно. Только как-то странно: в одних масштабах нормально, в других — размыто.

Название: Помощь по математике
Отправлено: myst от февраля 6, 2011, 11:29

Цитата: RawonaM от февраля 4, 2011, 20:43
На 100% выглядит лучше в png :)
Заметно, что ты на ЭЛТ экране работаешь, ибо без сглаживания на ЖК можно глаза поломать :)

Не-не, Bhudh прав, SVG луччше. И да, у меня ЖК и сглаживание. :)

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от февраля 6, 2011, 11:31

Ну-ка покажи скриншот.

Название: Помощь по математике
Отправлено: myst от февраля 6, 2011, 12:43

Цитата: RawonaM от февраля 6, 2011, 11:31
Ну-ка покажи скриншот.

Скриншот ничто, мои глаза всё. :)

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от февраля 6, 2011, 13:13

Цитата: myst от февраля 6, 2011, 12:43
ЦитироватьНу-ка покажи скриншот.
Скриншот ничто, мои глаза всё. :)

А мои значит не считаются, да? :) Я понял, ты сделал скриншот, он тебе не порнавился, ты решил придумать слоган, чтобы не постить :)

Название: Помощь по математике
Отправлено: myst от февраля 6, 2011, 13:20

Цитата: RawonaM от февраля 6, 2011, 13:13
Я понял, ты сделал скриншот, он тебе не порнавился, ты решил придумать слоган, чтобы не постить :)

Просто лень, но если хочешь, я сделаю.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от февраля 6, 2011, 13:26

Сделай, битте.

Название: Помощь по математике
Отправлено: myst от февраля 6, 2011, 14:00

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от февраля 6, 2011, 14:11

Ну вот, png лучше, как и Бхудха.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Bhudh от февраля 6, 2011, 15:21

Не, у меня 100% примерно одинаково, а вот у μύστου почему-то PNG ~~htfkmyj kexit~~ реально лучше...

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от февраля 6, 2011, 15:24

Цитата: Bhudh от февраля 6, 2011, 15:21
Не, у меня 100% примерно одинаково

Да ниче не одинаково. Точно так же размазано как и у миста.

Название: Помощь по математике
Отправлено: myst от февраля 6, 2011, 15:50

Не надо, SVG лучше. :negozhe:

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от февраля 6, 2011, 15:55

Цитата: myst от февраля 6, 2011, 15:50
Не надо, SVG лучше. :negozhe:

Це ты так шутишь?
Посмотри на горизонтальные линии. В СВГ все размазано. В пнг четкие линии.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от февраля 6, 2011, 15:59

Вот и я сделал шот в Опере и увеличил в два раза попиксельно. Горизонтальные линии в СВГ просто никуда не годятся. И буквы нечетковатые, у ПНГ лучче.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Bhudh от февраля 6, 2011, 16:27

А ты правой кнопой на своём "svg" не пробовал щёлкать?
Что-то у меня какое-то подозрение... Сравни мой скрин на 300%.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от февраля 6, 2011, 17:03

Цитата: Bhudh от февраля 6, 2011, 16:27
А ты правой кнопой на своём "svg" не пробовал щёлкать?

Попробовал. Ничего кроме контекстного меню там не нашел.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от февраля 6, 2011, 17:06

Не знаю, почему именно на 100% свг хреново выглядит, но факт. В других масштабах естественно он предпочтительнее, но 90% форумчан не увеличивают страницы, потому что это никому не надо. Помноженное на то, что браузеры еще не поддерживают в своей массе, будем стик ту пнг. Через годик-другой, можно будет заменить на СВНы, благо это же тег, ничего хардкорного.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Bhudh от февраля 6, 2011, 17:11

Цитата: RawonaMНичего кроме контекстного меню там не нашел.

Основного страницы? У меня в принципе то же самое. Хотя в вики показывает меню svg-картинки. Видимо, это зависит от её адреса, он на codecogs какой-то нестандартный.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от февраля 11, 2011, 15:06

Нужно найти неинтеграбильную функцию на [a,b], у которой есть первообразная.

$[tex]-\frac{1}{x^2}\cos \frac{1}{x}[/tex]$ не подходит?

Название: Помощь по математике
Отправлено: arseniiv от февраля 11, 2011, 17:49

$[tex]\frac 1x[/tex]$ на $[tex][-1; \, 1][/tex]$ не подойдёт? Первообразная есть везде кроме нуля, а определённый интеграл не определён на вот таком промежутке.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от февраля 11, 2011, 17:54

arseniiv, вы математик или где? :) есть первообразная, значит есть везде, а не кроме нуля :)

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от февраля 11, 2011, 19:00

Цитата: RawonaM от февраля 11, 2011, 15:06
Нужно найти неинтеграбильную функцию на [a,b], у которой есть первообразная.

По-моему, не бывает. То определение, которое я знаю, определяет первообразные для кусочно-непрерывных функций, а они всегда интегрируемы.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от февраля 11, 2011, 19:07

Цитата: Квас от февраля 11, 2011, 19:00
ЦитироватьНужно найти неинтеграбильную функцию на [a,b], у которой есть первообразная.
По-моему, не бывает. То определение, которое я знаю, определяет первообразные для кусочно-непрерывных функций, а они всегда интегрируемы.

Таки бывает. Функция может быть кусочно-непрерывной, но неограниченной, тогда она не интегрируема. Если мне память не изменяет, приводился пример прозводная от $[tex]x^2 \sin \frac{1}{x^2}[/tex]$ . И еще было сказано, что $[tex]x^2 \sin \frac{1}{x}[/tex]$ не достаточно хороший пример, но я не могу вспомнить почему. Вот и хочу понять.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от февраля 11, 2011, 19:13

Цитата: RawonaM от февраля 11, 2011, 19:07
Функция может быть кусочно-непрерывной, но неограниченной, тогда она не интегрируема.

То определение кусочно-непрерывной функции, которое я знаю, запрещает функции быть неограниченной. Именно, функция кусочно непрерывна на $[tex][a,b][/tex]$ , если существует разбиение $[tex]a=x_0 < x_1<\ldots<x_n=b[/tex]$ , такое что функция непрерывна на каждом из интервалов $[tex](x_i, x_{i+1})[/tex]$ и имеет конечные пределы при стремлении к $[tex]x_i[/tex]$ с обеих сторон (значения в точках разбиения не играют роли). Поэтому функция ограничена на каждом из частичных отрезков, а так как их конечное число, то и на всём отрезке.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от февраля 11, 2011, 19:16

Почему-то вместо ,,<‟ пишет ,,lt;‟.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от февраля 11, 2011, 19:18

ОК, вернемся таки к интегрируемости. Те функции, что я написал, вам ничего не напоминают? По идее у первой из них производная ненепрерывна, у нее разрыв второго рода в нуле, и она неинтегрируема потому что неограничена. Верно?

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от февраля 11, 2011, 19:20

Цитата: Квас от февраля 11, 2011, 19:16
Почему-то вместо ,,<‟ пишет ,,lt;‟.

Да так вообще черт голову сломит, как это все работает, я пока что забил на это.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от февраля 11, 2011, 19:29

Цитата: RawonaM от февраля 11, 2011, 19:18
По идее у первой из них производная ненепрерывна, у нее разрыв второго рода в нуле, и она неинтегрируема потому что неограничена. Верно?

Да. Предположим, рассматриваем на [0,1]. Предел производной при x → +0 не существует, поэтому производная не является кусочно-непрерывной на [0,1]. Значит, нет смысла говорить о её первообразной.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от февраля 11, 2011, 19:33

Цитата: Квас от февраля 11, 2011, 19:29
Да. Предположим, рассматриваем на [0,1]. Предел производной при x → +0 не существует, поэтому производная не является кусочно-непрерывной на [0,1]. Значит, нет смысла говорить о её первообразной.

Последнее предложение поставило в тупик. Первообразная-то у нее есть, мы ж сами ее дифференцировали. Однако функция неинтегрируема.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от февраля 11, 2011, 19:42

Цитата: RawonaM от февраля 11, 2011, 19:33
Последнее предложение поставило в тупик. Первообразная-то у нее есть, мы ж сами ее дифференцировали.

А по моему определению первообразной нет, потому что первообразные рассматриваются только для класса кусочно-непрерывных функций. Чтобы не рыться на тридцати страницах, я повторю его:
Пусть $[tex]f(x)[/tex]$ — кусочно-непрерывная функция на отрезке $[tex][a,b][/tex]$ . Функция $[tex]F(x)[/tex]$ называется первообразной функции $[tex]f(x)[/tex]$ , если она непрерывна на $[tex][a,b][/tex]$ , имеет производную в каждой точке, в которой $[tex]f(x)[/tex]$ непрерывна, причём во всех этих точках $[tex]F'(x)=f(x)[/tex]$ .

Более общих определений я не знаю.

Цитата: RawonaM от февраля 11, 2011, 19:20
Цитата: Квас от Сегодня в 20:16
ЦитироватьПочему-то вместо ,,<‟ пишет ,,lt;‟.
Да так вообще черт голову сломит, как это все работает, я пока что забил на это.

А потом это надо нам в собственность сделать. А то всякий раз как формулу пишу, угрызаюсь, что это, возможно, денег стоит.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от февраля 11, 2011, 19:50

Цитата: Квас от февраля 11, 2011, 19:42
А потом это надо нам в собственность сделать. А то всякий раз как формулу пишу, угрызаюсь, что это, возможно, денег стоит.

Не стоит угрызений, я же говорил, что кеэш написал, так что он запросы шлет только один раз на каждую новую формулу, сохраняет ее и они лежат уже готовые у нас, так что никаких проблем нет. Если вы не будете более 3000 формул в сутки писать, то нормалек :)

Цитата: Квас от февраля 11, 2011, 19:42
А по моему определению первообразной нет, потому что первообразные рассматриваются только для класса кусочно-непрерывных функций.

Тогда просто терминологическое непонимание. По нашему определению подразумевается, что первообразная это та, при дифференцировании которой получится эта. Запутанно, но вы поняли. :)
Опять вернемся к вопросу, что ли...

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от февраля 11, 2011, 22:01

Цитата: RawonaM от февраля 11, 2011, 19:50
По нашему определению подразумевается, что первообразная это та, при дифференцировании которой получится эта.

А у вас нет определения перед глазами? Если «эта» непрерывна, то так и есть, а если нет?

Ваши примеры в нуле недифференцируемы... Значит, вы хотите всюду дифференцируемую функцию, прозводная которой неинтегрируема... Хитр`o.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Bhudh от февраля 11, 2011, 22:05

А это не из гиперболических кака[b]́[/b]я?‥ Что-то память подводит...

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от февраля 11, 2011, 22:13

Да это вообще суровым ТФДП пахнет.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Bhudh от февраля 11, 2011, 22:16

Щото типа интеграла Лебега?‥

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от февраля 11, 2011, 22:23

Цитата: Bhudh от февраля 11, 2011, 22:16
Щото типа интеграла Лебега?‥

Ну да. Абсолютно непрерывные функции там, которые по производной восстанавливаются, и такие штуки. То есть мы ищем функцию, которая непрерывна, но не абсолютно непрерывна. И всюду дифференцируема! Что-то примеры на ум не идут. Хе-хе. (Это мысли вслух.)

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от февраля 11, 2011, 22:23

Цитата: Квас от февраля 11, 2011, 22:01
ЦитироватьПо нашему определению подразумевается, что первообразная это та, при дифференцировании которой получится эта.
А у вас нет определения перед глазами? Если «эта» непрерывна, то так и есть, а если нет?

Дословно: пусть f функция, определенная на I. Любая функция F, определенная на том же промежутке, дифференцируемая и F'(x)=f(x) для каждого x на промежуте называется первообразной функции f (на промежутке I).
Вашего вопроса не понял.

Цитата: Квас от февраля 11, 2011, 22:01
Ваши примеры в нуле недифференцируемы... Значит, вы хотите всюду дифференцируемую функцию, прозводная которой неинтегрируема... Хитр`o.

Почему это они в нуле не дифференцируемы?!!! Стопудово должны быть дифференцируемы. По-моему было что-то, что результат помнюжения х^2 на любую функцию — дифференцируем. Если я точно запомнил, но наверняка что-то упустил. В любом случае, конкретно эти примеры должны быть дифференцируемы. Мне даже странно, что эти функции вам ничего не напоминают, у нас они канонические примеры какбе.

Юмор такой. Обычно (в 99% случаев) производная дифференцируемой функции непрерывна, но есть такие вот случаи, когда производная таки прерывна и это может быть только разрыв второго рода. Поэтому вообще существует теорема Дарбу, что, мол, производная получает все промежуточные значения, иначе было бы достаточно обычной теоремы промежуточных значений непрерывной функции.

Потом когда дошли до интегралов, эти функции стали приводиться как пример того, что наличие первообразной и интегрируемость хоть в основном пересекаются, но есть фукнции интегрируемые без первообразной (т.е. с разрывами первого и нулевого рода, у них не может быть первообразной), а также и с наличием первообразной, но неинтегрируемые. АФАИК к последним относятся все производные с разрывами, т.к. разрыв может быть только второго рода, функции неограничены и поэтому неинтегрируемы. Так вроде.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от февраля 11, 2011, 22:25

Цитата: Квас от февраля 11, 2011, 22:13
Да это вообще суровым ТФДП пахнет.

Кто это?

Цитата: Квас от февраля 11, 2011, 22:23
То есть мы ищем функцию, которая непрерывна, но не абсолютно непрерывна. И всюду дифференцируема!

Что-то вы запутали. Что такое не абсолютно непрерывна?
Нам нужна неинтегрируемая фукнция, у которой есть первообразная (другими словами, которая чья-то производная).

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от февраля 11, 2011, 22:52

Цитата: RawonaM от февраля 11, 2011, 22:23
Почему это они в нуле не дифференцируемы?!!! Стопудово должны быть дифференцируемы.

Да, действительно дифференцируемы.

Цитата: RawonaM от февраля 11, 2011, 22:25
Что такое не абсолютно непрерывна?

Это я так, сам с собою.

Цитата: RawonaM от февраля 11, 2011, 22:25
Нам нужна неинтегрируемая фукнция, у которой есть первообразная (другими словами, которая чья-то производная).

В этом и проблема. Просто для весьма широкого класса функций производная интегрируема, а функция восстанавливается по производной. То есть нам нужна какая-то экзотическая функция.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от февраля 11, 2011, 22:53

Цитата: RawonaM от февраля 11, 2011, 22:25
Цитата: Квас от Сегодня в 23:13
ЦитироватьДа это вообще суровым ТФДП пахнет.
Кто это?

Теория функций действительного переменного.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от февраля 11, 2011, 22:56

А чем, говорите, вам $[tex]x^2 \sin \left( \frac{1}{x^2} \right)[/tex]$ не подходит?

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от февраля 11, 2011, 22:58

Отклонение: как дойти до того, что $[tex]\cos \arcsin x = \sqrt{1-x^2}[/tex]$ ?

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от февраля 11, 2011, 23:03

Цитата: RawonaM от февраля 11, 2011, 22:58
Отклонение

Выражается из
$[tex]\sin^2 \arcsin x + \cos^2 \arcsin x = 1,[/tex]$
корень берётся с плюсом, потому что по определению арксинус принадлежит $[tex]\left[ -\frac \pi2, \frac \pi2 \right][/tex]$ , поэтому его косинус неотрицателен.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от февраля 11, 2011, 23:04

Цитата: Квас от февраля 11, 2011, 22:52
В этом и проблема. Просто для весьма широкого класса функций производная интегрируема, а функция восстанавливается по производной. То есть нам нужна какая-то экзотическая функция.

О чем я и толкую. Если б не эти экзотические функции, то не было бы смысла в теореме Дарбу.

Цитата: Квас от февраля 11, 2011, 22:56
А чем, говорите, вам $[tex]x^2&space;\sin&space;\left(&space;\frac{1}{x^2}&space;\right)[/tex]$ не подходит?

Она-то подходит. Но это я просто на память зазубрил, без особого понимания. А вот почему $[tex]x^2&space;\sin&space;\left(&space;\frac{1}{x}&space;\right)[/tex]$ не подходит, я у вас как раз хотел спросить. :)
Да и вообще понять хочется, как это работает и как создавать такие штуки произвольно.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от февраля 11, 2011, 23:05

Глючит блин этот теэг, чинить надо :(

Название: Помощь по математике
Отправлено: Bhudh от февраля 11, 2011, 23:06

Цитата: КвасТо есть мы ищем функцию, которая непрерывна, но не абсолютно непрерывна. И всюду дифференцируема! Что-то примеры на ум не идут.

А что там за функция такая: 0, если x иррациональное, 1, если x рациональное?‥

Название: Помощь по математике
Отправлено: Bhudh от февраля 11, 2011, 23:09

[test]
$[tex]x^2\ \sin\ \left(\ \frac{1}{x}\ \right)[/tex]$
[/test]

Не, так большой пробел получается...

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от февраля 11, 2011, 23:09

Цитата: Bhudh от февраля 11, 2011, 23:06
А что там за функция такая: 0, если x иррациональное, 1, если x рациональное?‥

Это Дирихле, при чем тут она?

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от февраля 11, 2011, 23:11

Цитата: Bhudh от февраля 11, 2011, 23:06
А что там за функция такая: 0, если xиррациональное, 1, если рациональное?‥

Функция Дирихле. В классическом анализе она очень плохая, потому что всюду разрывная и, как следствие, неинтегрируемая. А в ТФДП она неинтересная, потому что почти всюду равна 0, то есть по свойствам просто тождественный 0.

Цитата: RawonaM от февраля 11, 2011, 23:04
А вот почему ... не подходит, я у вас как раз хотел спросить.

В нуле у неё производной нет. Это доказывается по определению — тем, что предел не существует.

Цитата: RawonaM от февраля 11, 2011, 23:04
Да и вообще понять хочется, как это работает и как создавать такие штуки произвольно.

Хе. Я за вечер ни одной не придумал. ;D

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от февраля 11, 2011, 23:12

Цитата: Bhudh от февраля 11, 2011, 23:09
Не, так большой пробел получается...

А зачем туда пробелы лепить? Команда \sin генерирует нужной величины пробелы вокруг.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Bhudh от февраля 11, 2011, 23:16

Цитата: RawonaMДирихле

Цитата: КвасФункция Дирихле.

О, спасибо, напомнили!

Цитата: RawonaMпри чем тут она?

Да просто вспомнилось

Цитата: Функция Дирихле — пример функции не интегрируемой в смысле Римана. Однако, интеграл Лебега от функции Дирихле на любом числовом промежутке может быть легко найден, он всегда равен нулю. Это следует из того, что мера Лебега множества рациональных чисел равна нулю.

Цитата: КвасА зачем туда пробелы лепить?

Это не ко мне вопрос. Не я туда &space; лепил...

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от февраля 11, 2011, 23:17

Цитата: Bhudh от февраля 11, 2011, 23:16
Не я туда &space; лепил...

Это не ТеХовский язык, просто глюк.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Bhudh от февраля 11, 2011, 23:20

[test]
$[tex]x y z[/tex]$

$[tex]\text{x y z}[/tex]$
[/test]

Нет спэıсов :donno:.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от февраля 11, 2011, 23:23

Цитата: Квас от февраля 11, 2011, 23:11
Функция Дирихле. В классическом анализе она очень плохая, потому что всюду разрывная и, как следствие, неинтегрируемая.

У нас ее для многого использовали. Полезна для контрпримеров всяких.

Цитата: Квас от февраля 11, 2011, 23:11
ЦитироватьДа и вообще понять хочется, как это работает и как создавать такие штуки произвольно.
Хе. Я за вечер ни одной не придумал. ;D

Я не понимаю, вы что, раньше об этом не задумывались? Почему же нас этим все время мучают... Говорили это самые главные открытия 19-го века, мол. Раньше было все проще.

Цитата: Квас от февраля 11, 2011, 23:11
ЦитироватьА вот почему ... не подходит, я у вас как раз хотел спросить.
В нуле у неё производной нет. Это доказывается по определению — тем, что предел не существует.

А-а, поэтому если взять х квадрат, то предел появляется...

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от февраля 11, 2011, 23:25

Цитата: Bhudh от февраля 11, 2011, 23:20
Нет спэıсов :donno:.

А ты заквиквочи, увидишь.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от февраля 11, 2011, 23:32

Да что за извращение делать пробелы в ТеХовских формулах с помощью каких-то аштеэмелевских закорючек? Есть же хорошие, годные команды: \, \; \<пробел> \quad \qquad и даже отрицательный пробел \! .

Название: Помощь по математике
Отправлено: Bhudh от февраля 12, 2011, 00:23

Цитата: RawonaMА ты заквиквочи, увидишь.

:o
Откеле?

Цитата: КвасЕсть же хорошие, годные команды: \, \; \<пробел> \quad \qquad и даже отрицательный пробел \!

[test]
$[tex]x\,y\,z[/tex]$

$[tex]x\;y\;z[/tex]$

$[tex]x\ y\ z[/tex]$

$[tex]x\quad y\quad z[/tex]$

$[tex]a\qquad b\qquad s[/tex]$

$[tex]y\!u\!w[/tex]$
[/test]

Название: Помощь по математике
Отправлено: Bhudh от февраля 12, 2011, 00:24

«Отрицательный пробел» — это просто слитное написание?

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от февраля 12, 2011, 01:01

Цитата: Bhudh от февраля 11, 2011, 23:20
Нет спэıсов :donno:.

Ah, j'ai compris ! Я навожу курсор, он мне показывает &space. А вы, наверно, пробел просто ставите, а не эту команду. ТеХ игнорирует пробелы в формулах. Отбивку он делает самостоятельно, притом достаточно интеллектуально (различает математические операторы, бинарные отношение и пр.), при необходимости же она поправляется соответствующими командами.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от февраля 12, 2011, 01:03

Цитата: Bhudh от февраля 12, 2011, 00:24
«Отрицательный пробел» — это просто слитное написание?

Это небольшой отрицательный кернинг.

ТеХ спокойно относится к таким штукам: можно задать большой отрицательный кернинг, чтобы буквы налезали друг на друга, и хоть бы хны. Или можно слово превратить в блок («букву») нулевой ширины, и оно будет залезать на другие слова...

Название: Помощь по математике
Отправлено: Bhudh от февраля 12, 2011, 01:47

Цитата: КвасТеХ спокойно относится к таким штукам: можно задать большой отрицательный кернинг, чтобы буквы налезали друг на друга, и хоть бы хны.

CSS тоже к этому спокойно относится. Примеры в ЛинвоВики.

Цитата: КвасИли можно слово превратить в блок («букву») нулевой ширины, и оно будет залезать на другие слова...

А вот это интересно.
В CSS такого разве что абсолютным позиционированием добьёшься...

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от февраля 12, 2011, 02:01

Пример из Львовского:
текст\makebox[0pt][l]{???}текст
Будет два слова «текст» без пробела, на втором слове будут три вопроса.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Bhudh от февраля 12, 2011, 06:11

[test]
$[tex]text\makebox[0pt][l]{???}text[/tex]$

$[tex]texttext\makebox[10pt][l]{ertyuio}texttext[/tex]$

$[tex]texttexttext\makebox[100pt][l]{texttexttext}texttexttext[/tex]$

$[tex]texttexttexttexttext\makebox[100pt][l]{texttexttext}texttexttexttexttext[/tex]$
[/test]

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от февраля 12, 2011, 21:37

Цитата: RawonaM от февраля 11, 2011, 23:23
Цитата: Квас от февраля 11, 2011, 23:11
ЦитироватьА вот почему ... не подходит, я у вас как раз хотел спросить.
В нуле у неё производной нет. Это доказывается по определению — тем, что предел не существует.
А-а, поэтому если взять х квадрат, то предел появляется...

Таки мы вчорай оба стормозили, потому как у этой функции вполне есть предел в нуле. Она не определена в нуле, это да, но если ее определить по пределу, то она даже дифференцируема. Напоминаю, что речь об $[tex]x^2 \sin \frac{1}{x}[/tex]$ .

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от февраля 12, 2011, 21:52

Вот тут один вопрос меня уже достал, помогите. Я вроде четко понимаю, что к чему, но формализировать доказательство не могу.

Доказать или опровергнуть: «Если f дифференцируема на [0,1], и на всем отрезке 0<=f'(x)<=1, то есть такая точка с $[tex]\in[/tex]$ [0,1], что f'(c)=c².»

Имхо верно, потому как по теореме Дарбу f' получает все значения между f'(0) и f'(1) и все они между 0 и 1; также х² получает все значения между 0 и 1, значит они по-любому пересекаются.
Пытаюсь строить фукнцию f'(x)-х² и показать, что она хоть раз обнуляется, но ниче не выходит.

Название: Помощь по математике
Отправлено: arseniiv от февраля 12, 2011, 22:16

Интересно, что тут не используется сама $[tex]f[/tex]$ , а только её производная. Не поможет?
А, вот. Естественно, графики $[tex]y=f'(x)[/tex]$ и $[tex]y = x^2[/tex]$ пересекаются хотя бы в одной точке. Только не могу наиболее простой способ для показания этого из чистого анализа придумать. Попробуем так: рассмотрим вашу функцию $[tex]g(x) = f'(x) - x^2[/tex]$ — в нуле она имеет значение от 0 до 1, в единице — от −1 до 0. Всё готово для теоремы о среднем или как там её, вы, наверно, и хотели её применить.

Карул! Апострофы не отображаются как надо, вы намудрили с удалятелем 'ов! Даже если убрать пробелы. Ладно, здесь по коду всё видно, менять не буду.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от февраля 12, 2011, 22:23

Цитата: arseniiv от февраля 12, 2011, 22:16
Попробуем так: рассмотрим вашу функцию ... — в нуле она имеет значение от 0 до 1, в единице — от −1 до 0.

Точно, все правильно :) Че-то я последний шажок не доделал, не пойму почему...
Вот так решаешь-решаешь сложные вещи, вдруг раз на какой-то глупости целый час голову ломаешь. Жуть блин :(

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от февраля 12, 2011, 22:24

Цитата: arseniiv от февраля 12, 2011, 22:16
Карул! Апострофы не отображаются как надо

Я в курсе.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от февраля 12, 2011, 22:28

Как хорошо, что разобрались, а то моё решение не отображалось.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от февраля 12, 2011, 22:29

Цитата: Квас от февраля 12, 2011, 22:28
Как хорошо, что разобрались, а то моё решение не отображалось.

А вы все равно запостите. Можно пока внешную ссылку использовать. Попробую щас пока починить этот теэг.

Название: Помощь по математике
Отправлено: arseniiv от февраля 12, 2011, 22:32

Offtop

Цитата: RawonaM от февраля 12, 2011, 22:23
Вот так решаешь-решаешь сложные вещи, вдруг раз на какой-то глупости целый час голову ломаешь. Жуть блин :(

Так у меня такое же бывает, сам удивился, что помню эти теоремы, их было так много! Две головы несомненно лучше одной. Мы так с подругой книгу писали, два автора полезно для разнообразия сюжета. Про три головы уже не знаю, надо разбирать взаимное расположение. Надо бы как-нибудь формализовать, только не думаю, что выйдет что-то полезное.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от февраля 12, 2011, 22:46

Короче, там хрен чего поймешь, вернул пока что прямую ссылку, так все хорошо работает, только если новая строка, то в пробел превращается.
Уже все наигрались и вроде как больше грузить сильно не будет.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Bhudh от февраля 12, 2011, 22:49

Ты это... Предупержай! А то меня щаз чуть с форума не выкинуло!

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от февраля 12, 2011, 22:53

Это как? Закрывай окна или решетки поставь, на всяк случай.

Название: Помощь по математике
Отправлено: arseniiv от февраля 12, 2011, 23:10

Offtop

Цитата: RawonaM от февраля 12, 2011, 22:53
Закрывай окна или решетки поставь

Что-то подумалось... А решётки # ставить внутри-по-краям тэга tex.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от февраля 13, 2011, 10:25

Вот интересная задачка:
Доказать, что если существует m>0 так что $[tex]\inline f'(x)\ge m[/tex]$ для любого $[tex]x\ge a[/tex]$ , то $[tex]\inline \lim_{x \to \infty} f(x) = \infty[/tex]$ .

Я вроде решил, но у меня вышло почему-то несколько имхо запутанно, хотя кажется довольно простая задачка.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от февраля 13, 2011, 10:55

Цитата: RawonaM от февраля 13, 2011, 10:25
Вот интересная задачка:

Да вроде теоремы Лагранжа хватает:
$[tex] f(x) - f(a) = f'(c_x)(x-a) \geqslant m(x-a) \qquad (x \geqslant a) [/tex]$

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от февраля 13, 2011, 11:01

Ну да, она там используется, но как из этого напрямую вытекает предел в бесконечности?... :what:

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от февраля 13, 2011, 11:44

Цитата: RawonaM от февраля 13, 2011, 11:01
Ну да, она там используется, но как из этого напрямую вытекает предел в бесконечности?... :what:

Так оценка снизу линейной функцией:
$[tex] f(x) \geqslant m(x-a) + f(a) \to + \infty \qquad (x \to + \infty)[/tex]$

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от февраля 14, 2011, 09:44

Цитата: Квас от февраля 13, 2011, 11:44
Так оценка снизу линейной функцией:
$[tex] f(x) \geqslant m(x-a) + f(a) \to + \infty \qquad (x \to + \infty)[/tex]$

Точно, как все просто оказалось... Теорема о трех собачках, но только с двумя.

Мерси :)

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от февраля 14, 2011, 21:25

Вопрос: дана f дифференцируема в R, и пусть будут a, b в R.
Если f'(x)=(x-a)(x-b), то у f есть один единственный локальный минимум и один единственный локальный максиум.
Я рассудил так: если производная — парабола и обнуляется в а и б, а также т.к. коэффициент икс квадрата положительный, то обязательно в промежутке инфи по а функция поднимается, между а и б спускается, а от б и до инфи опять поднимается, поэтому по-любому есть в а локальный максимум, а в б локальный миниум и больше никаких крайних точке не должно быть.
Верно?

Название: Помощь по математике
Отправлено: Тайльнемер от февраля 14, 2011, 21:35

Если $[tex]a < b[/tex]$ , то верно; если $[tex]a=b[/tex]$ , то локальных минимумов и максимумов у $[tex]f[/tex]$ нет :)

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от февраля 14, 2011, 21:36

Ну да, я забыл, там в условии неравны.

Название: Помощь по математике
Отправлено: arseniiv от февраля 15, 2011, 14:10

Offtop

Интересно, почему Нгатечугуни в этой теме не флудят?

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от февраля 15, 2011, 19:55

Значит все верно в последнем моем решении? Спасибо, Тайльнемер.

Вот полчаса уже потратил на вот это, не смог решить, запутываюсь в рассчетах:
доказать, что $[tex]\sqrt{x}\sin{\sqrt{x}}[/tex]$ равномерно непрерывна. Хотел как с $[tex]\sqrt{x}[/tex]$ , типа берем x>1 и приходим к чему-то А|x-y|, не получилось.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от февраля 15, 2011, 20:36

Цитата: RawonaM от февраля 15, 2011, 19:55
доказать, что

На каком промежутке? На $[tex][0, +\infty)[/tex]$ ?

Название: Помощь по математике
Отправлено: Bhudh от февраля 15, 2011, 20:47

Offtop

Цитата: arseniivИнтересно, почему Нгатечугуни в этой теме не флудят?

ГСМ мешает.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от февраля 15, 2011, 20:51

Да, пардон :)

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от февраля 15, 2011, 21:01

Пусть
$[tex]f(x) = \sqrt x \sin \sqrt x.[/tex]$
Производная:
$[tex] f'(x) = \frac{\sin \sqrt x}{2\sqrt x} + \frac 12 \cos \sqrt x .[/tex]$
Ясно, что при $[tex]x \geqslant 1[/tex]$ производная ограничена. А тогда условие Липшица можно получить с помощью теоремы Лагранжа.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от февраля 15, 2011, 21:07

A bon, merci beaucoup! :)

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от февраля 15, 2011, 21:23

Je vous en prie. :)

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от февраля 15, 2011, 21:56

Encore une question, si vous le permettez...

Вот смотрите, нужно доказать, что $[tex]\frac{1}{\ln x}-\frac{1}{x-1}[/tex]$ ограничена на промежутке $[tex](1; \infty)[/tex]$ .
Как подходить к такому делу? Я вот что сделал:
Приводим к общему знаменателю, выходит:
$[tex]\frac{(x-1)-\ln x}{\ln x (x-1)}[/tex]$ .

$[tex]\ln x>x-1[/tex]$ , поэтому числитель и знаменатель положительные, следовательно все это ограничено нулем снизу.

Знаменатель всегда больше числителя, поэтому все это ограничено единицей сверху.
Подход верный? Есть ли путь покороче? Вроде как легкая вещь, а рассчетов цу филь, такскать. :)

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от февраля 15, 2011, 21:59

Mais bien sûr !

Цитата: RawonaM от февраля 15, 2011, 21:56
Знаменатель всегда больше числителя, поэтому все это ограничено единицей сверху.

А почему больше? Ведь в знаменателе произведение двух бесконечно малых, он стремительно уменьшается при x →1.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от февраля 15, 2011, 22:07

Нас интересует поведение в окрестности единицы, потому что вне этой окрестности функция ограничена. А чтобы выяснить, как она ведёт себя в окрестности единицы, достаточно предел найти (может, пролопиталить раз-другой). Предел равен 1/2: он конечен, поэтому в окрестности функция ограничена.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от февраля 15, 2011, 22:13

Цитата: Квас от февраля 15, 2011, 21:59
ЦитироватьЗнаменатель всегда больше числителя, поэтому все это ограничено единицей сверху.
А почему больше? Ведь в знаменателе произведение двух бесконечно малых, он стремительно уменьшается при x →1.

Э-э па компри...
Я просто сделал неравенство:
$[tex]\ln (x) (x-1)>x-1-\ln x[/tex]$
Вроде вышло верно для х>1.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от февраля 15, 2011, 22:16

Цитата: Квас от февраля 15, 2011, 22:07
потому что вне этой окрестности функция ограничена

Это как вы вывели?

Цитата: Квас от февраля 15, 2011, 22:07
Предел равен 1/2: он конечен, поэтому в окрестности функция ограничена.

Я вроде делал предел и у меня 0 вышло...
Все равно не понял куда его притулить, потому что предел в бесконечности не смог высчитать.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от февраля 15, 2011, 22:30

Цитата: RawonaM от февраля 15, 2011, 22:13
Я просто сделал неравенство:

Что-то не очень оно очевидно. Да и верно ли?

Цитата: RawonaM от февраля 15, 2011, 22:16
Цитата: Квас от Сегодня в 23:07
Цитироватьпотому что вне этой окрестности функция ограничена
Это как вы вывели?

Две дроби: числитель единица, и если знаменатель отделён от нуля положительным числом, то дробь ограничена:
$[tex] 0 < \frac 1{x-1} \leqslant \frac 1\varkappa [/tex]$

Цитата: RawonaM от февраля 15, 2011, 22:16
Цитата: Квас от Сегодня в 23:07
ЦитироватьПредел равен 1/2: он конечен, поэтому в окрестности функция ограничена.
Я вроде делал предел и у меня 0 вышло...

Мэпл утверждает, что 1/2. Я бы его с помощью формулы Тейлора посчитал, разложив логарифм
$[tex] \ln x = (x-1) - \frac{(x-1)^2}{2} + o( (x-1)^2 )[/tex]$
Но можно по лопиталю, потом упростить и ещё раз по лопиталю.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от февраля 15, 2011, 22:41

Похоже пора спать, ниче уже не въезжаю, завтра буду разбираться.

Вот еще напоследок, подскажите как найти

$[tex]\int \frac{\arcsin x}{x^3}[/tex]$

?

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от февраля 15, 2011, 22:50

Цитата: RawonaM от февраля 15, 2011, 22:41
$[tex]\int \frac{\arcsin x}{x^3}[/tex]$

то есть, пардон, арктан там...

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от февраля 15, 2011, 23:04

Цитата: RawonaM от февраля 15, 2011, 22:41
Вот еще напоследок, подскажите как найти

По частям, арктангенс дифференцировать. Потом получается, если не ошибаюсь, интеграл
$[tex] \int \frac{dx}{x^2(1+x^2)} ,[/tex]$
подынтегральное выражение преобразуется так:
$[tex] \frac{1}{x^2(1+x^2)} = \frac{(1+x^2) - x^2 }{x^2(1+x^2)} = \frac{1}{x^2}- \frac{1}{1+x^2}[/tex]$

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от февраля 16, 2011, 08:45

Цитата: Квас от февраля 15, 2011, 22:30
Две дроби: числитель единица, и если знаменатель отделён от нуля положительным числом, то дробь ограничена:
$[tex] 0 < \frac 1{x-1} \leqslant \frac 1\varkappa [/tex]$

Не совсем понимаю, что значит "знаменатель отделен от нуля положительным числом"...
А ln x сюда относится?

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от февраля 16, 2011, 12:07

Цитата: RawonaM от февраля 16, 2011, 08:45
Не совсем понимаю, что значит "знаменатель отделен от нуля положительным числом"...
А ln x сюда относится?

Ну, множество называют отделённым от нуля, если для его элементов выполняется не просто неравенство $[tex]x > 0[/tex]$ , а более сильное $[tex] x \geqslant \varkappa[/tex]$ с некоторым $[tex] \varkappa > 0 [/tex]$ , не зависящем от x.

А для логарифма такое же неравенство, только в знаменателе логарифм поставить.

Или так ещё можете посмотреть: слагаемые в вашем выражении убывают (аж до нуля!) по модулю. То есть на бесконечности в принципе никаких проблем нет.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от февраля 16, 2011, 21:53

В общем, с той задачей так и не разобрался, решил на потом оставить, а то я могу на ней и на неделю зависнуть.

Подскажите, как проинтегрировать: $[tex]\int x^2 \Arctan x dx[/tex]$ ?

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от февраля 16, 2011, 22:04

Цитата: RawonaM от февраля 16, 2011, 21:53
Подскажите, как проинтегрировать:

Тоже по частям, арктангенс дифференцировать.

Цитата: RawonaM от февраля 16, 2011, 21:53
В общем, с той задачей так и не разобрался, решил на потом оставить, а то я могу на ней и на неделю зависнуть.

Поскольку
$[tex]\lim_{x\to1 + 0} \left( \frac{1}{\ln x} - \frac {1}{x-1} \right) = \frac 12,[/tex]$
то существует $[tex]\varepsilon > 0[/tex]$ , такое, что при
$[tex] 1 < x < 1+\varepsilon [/tex]$
имеем
$[tex] \left | \frac{1}{\ln x} - \frac {1}{x-1} \right | < 1 [/tex]$
При $[tex]x \geqslant 1+\varepsilon [/tex]$ имеем
$[tex]\left | \frac{1}{\ln x} - \frac {1}{x-1} \right | \leqslant \left | \frac{1}{\ln x} \right | + \left | \frac {1}{x-1} \right | < \frac{1}{\ln (1+ \varepsilon)} + \frac 1\varepsilon. [/tex]$
Таким образом, на $[tex](1,+\infty)[/tex]$ функция ограничена числом
$[tex] \max \left\{ 1, \frac{1}{\ln (1+ \varepsilon)} + \frac 1\varepsilon \right \} [/tex]$

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от февраля 16, 2011, 22:12

Цитата: Квас от февраля 16, 2011, 22:04
ЦитироватьПодскажите, как проинтегрировать:
Тоже по частям, арктангенс дифференцировать.

Не выходит. Тогда подскажите, как $[tex]\frac {x^3}{1+x^2}[/tex]$ проинтегрировать. Если опять по частям, то возвращается к оригиналу и все.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от февраля 16, 2011, 22:15

Цитата: RawonaM от февраля 16, 2011, 22:12
Тогда подскажите, как $[tex]\frac {x^3}{1+x^2}[/tex]$ проинтегрировать.

Можно же заменить $[tex]x^2[/tex]$ , а ещё лучше — $[tex]1+x^2[/tex]$ , чтобы развесистого знаменателя не было.

А вообще, интегралы от рациональных дробей теоретически всегда берутся.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от февраля 16, 2011, 22:22

Цитата: Квас от февраля 16, 2011, 22:15
Можно же заменить $[tex]x^2[/tex]$ , а ещё лучше — $[tex]1+x^2[/tex]$ , чтобы развесистого знаменателя не было.

На что заменить? Тогда будет что-то несъедобное сверху, там же х куб.

Цитата: Квас от февраля 16, 2011, 22:15
А вообще, интегралы от рациональных дробей теоретически всегда берутся.

Я решил не учить интегралы от рациональных, потому что это занимает о-очень много времени, не успеваю подготовиться. У нас в экзамене интегралы на выбор, так что можно и без них сдать. На всякий случай я научился самым основным техникам, т.к. обычно интегралы простые дают.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Bhudh от февраля 16, 2011, 22:24

Цитата: Квасинтегралы от рациональных дробей теоретически всегда берутся.

Особенно греет душу слово «теоретически»...

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от февраля 16, 2011, 22:29

Цитата: RawonaM от февраля 16, 2011, 22:22
На что заменить?

Можно на y, но я обычно на t. :D
$[tex]1 + x^2 = t\\ x^2 = t-1 \\ 2x\,dx=dt \\ x^3 dx= \frac 12 (t-1) \,dt[/tex]$
Если заменить $[tex]x^2 = t[/tex]$ , то получается в принципе то же самое, но числитель чуть проще, а знаменатель чуть сложней. По мне, пусть лучше знаменатель будет проще.

Цитата: RawonaM от февраля 16, 2011, 22:22
Я решил не учить интегралы от рациональных, потому что это занимает о-очень много времени, не успеваю подготовиться.

Будет охота — могу вкратце рассказать. На самом деле там несложно, но вычисления бывают громоздкие.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от февраля 16, 2011, 22:31

Цитата: Bhudh от февраля 16, 2011, 22:24
Особенно греет душу слово «теоретически»...

Ну, надо для начала знаменатель на множители разложить. Теоретически, опять же, он раскладывается. А ну как он у него есть корень, не выражающийся в радикалах?

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от февраля 16, 2011, 22:34

Цитата: Квас от февраля 16, 2011, 22:29
ЦитироватьЯ решил не учить интегралы от рациональных, потому что это занимает о-очень много времени, не успеваю подготовиться.
Будет охота — могу вкратце рассказать. На самом деле там несложно, но вычисления бывают громоздкие.

Расскажите, вдруг меня это спасет на экзамене :) Сколько я в этой теме начерпался всего...

Цитата: Квас от февраля 16, 2011, 22:29
ЦитироватьНа что заменить?
Можно на y, но я обычно на t. :D

Не, ну бывает на син(т) заменяют, мало ли... :)

Я думал эту штуку можно каким-нибудь трюком типа плюс х квадрат и минус х квадрат, а оказывается там нужно по полному... Значит не всегда легкие интегралы дают. Это из прошлых экзаменов.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от февраля 16, 2011, 22:36

Цитата: Квас от февраля 16, 2011, 22:31
Ну, надо для начала знаменатель на множители разложить. Теоретически, опять же, он раскладывается. А ну как он у него есть корень, не выражающийся в радикалах?

У меня вроде написано, что в знаменателе должен быть полином без вещественных корней. В общем, там дебри такие, что я решил сконцентрироваться лучше на хакирот функций и этого должно быть достаточно.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Bhudh от февраля 16, 2011, 22:40

Цитата: КвасА ну как он у него есть корень, не выражающийся в радикалах?

Что — «он»?

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от февраля 16, 2011, 23:05

Напомню теорему о разложении многочленов на множители. Любой многочлен степени $[tex]\geqslant 1[/tex]$ с действительными коэффициентами единственным образом раскладывается в произведение линейных множителей и квадратичных множителей с отрицательными дискриминантами.

Рациональными дробями называются функции вида $[tex]\frac{P(x)}{Q(x)}[/tex]$ , где P(x), Q(x) — многочлены, Q(x) ненулевой. Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя.

1. Любую рациональную дробь можно представить в виде суммы многочлена и правильной дроби. Для этого нужно числитель поделить с остатком на знаменатель, можно выполнить «уголком».

Следовательно, достаточно изучить вопрос интегрирования правильных дробей.

2. Любую правильную рациональную дробь можно единственным образом представить в виде суммы элементарных дробей, к которым относятся дроби вида $[tex]\frac{a}{(x-b)^m}[/tex]$ и $[tex]\frac{ax + b}{(x^2 + px + q)^n}[/tex]$ , где $[tex]x^2 + px + q[/tex]$ — трёхчлен с отрицательным дискриминантом.

Следовательно, достаточно научиться интегрировать элементарные дроби. Но сначала нужно научиться раскладывать дробь в сумму элементарных. Обычно это самая трудоёмкая часть решения.

Для нахождения такого разложения нужно сначала разложить знаменатель на множители. Каждый множитель знаменателя вида $[tex](x-c)^k[/tex]$ даёт в разложении $[tex]k[/tex]$ членов вида
$[tex]\frac{a_1}{x-c}[/tex]$ , $[tex]\frac{a_2}{(x-c)^2}[/tex]$ ,..., $[tex]\frac{a_k}{(x-c)^k}[/tex]$ ,
а каждый множитель знаменателя вида $[tex](x^2 + px + 1)^l[/tex]$ даёт в разложении l членов вида
$[tex]\frac{a_1x + b_1}{x^2 + px + 1},\ \frac{a_2x + b_2}{(x^2 + px + 1)^2},\ldots,\ \frac{a_kx+b_k}{(x^2 + px + 1)^k}[/tex]$

Например, дробь $[tex]\frac{x}{(x-1)(x-2)^3(x^2+x+1)}[/tex]$ имеет разложение вида
$[tex]\frac{x}{(x-1)(x-2)^3(x^2+x+1)^2} = \\=\frac{A}{x-1} + \frac B{x-2} + \frac C{(x-2)^2}+\frac D{(x-2)^3} + \frac {Ex+F}{x^2+x+1} + \frac{Gx+H}{(x^2+x+1)^2}[/tex]$

Само разложение обычно ищут методом неопределённых коэффициентов: сначала записывают в буквенном виде, потом приводят дроби в правой части к общему знаменателю и приравнивают числители. Получается равенство многочленов, которое равносильно равенству коэффициентов при соответсвующих степенях x.

Пример:
$[tex] \frac{x}{(x-1)(x-2)} = \frac A{x-1} + \frac B{x-2}[/tex]$
$[tex] A(x-2) + B(x-1) = x \qquad (*)[/tex]$
$[tex] (A+B)x + (-2A-B) = x[/tex]$
$[tex]\left\{\begin{array}{l} A+B = 1\\ -2A-B = 0 \end{array} \right. [/tex]$

Но можно схитрить. Тождество (*) справедливо при всех x, поэтому ничто не мешает подставить x = 1 и x = 2, тогда сразу получаем
-A = 1, B = 2.
Следовательно,
$[tex] \frac{x}{(x-1)(x-2)} = -\frac 1{x-1} + \frac 2{x-2}[/tex]$

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от февраля 16, 2011, 23:18

Осталось научиться интегрировать элементарные дроби. Дроби первого вида не представляют трудностей. Дроби вида $[tex]\frac{ax + b}{(x^2 + px + q)^n}[/tex]$ рассмотрим только для $[tex]n=1[/tex]$ , отсылая читателя к специальной литературе для рассмотрения случая $[tex]n \geqslant 2[/tex]$ .

Если $[tex]a \neq 0[/tex]$ , то для начала можно избавиться от x в числителе, сделав питуах
$[tex]\int\frac{ax + b}{x^2 + px + q} dx = \int \frac { \frac a2 (2x + p) + \left(p-\frac{pa}2 \right)}{x^2 + px + q} dx =\\= \frac a2 \int \frac{d(x^2+px+q)}{x^2+px+q} + \left(p-\frac{pa}2 \right) \int \frac{dx}{x^2 + px + q} [/tex]$
Питуах несколько страшный на вид, но делается легко: переписываем знаменатель дроби, в числителе ставим производную знаменателя, умножаем её на такое число, чтобы получилось a и добавляем такое число, чтобы ничего не поменялось. Например,
$[tex]\int\frac{3x + 1}{x^2 - x + 2} dx = \int \frac { \frac 32 (2x -1 ) + \frac 52}{x^2 - x + 2} dx[/tex]$
После питуаха задача практически решена: первый интеграл выражается через логарифм, а второй выделением полного квадрата в знаменателе приводится к табличному
$[tex]\int \frac{dx}{x^2+a^2} = \frac 1a \mathop{\mathrm{arctg}} \frac xa + C[/tex]$

Si vous avez des questions, n'hésitez pas à les poser ! :)

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от февраля 16, 2011, 23:20

Цитата: RawonaM от февраля 16, 2011, 22:36
хакирот функций

Почему я ещё не знаю этого слова? ;) (И куда ударение падает?)

Цитата: Bhudh от февраля 16, 2011, 22:40
Цитата: Квас
ЦитироватьА ну как он у него есть корень, не выражающийся в радикалах?
Что — «он»?

Проступило на палимпсесте. :D

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от февраля 16, 2011, 23:23

Grand merci, Quase! :) Demain matin je vais lire tout ca, maintenant je dois dormir, c'est assez pour aujourd'hui. Bonne nuit :)

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от февраля 16, 2011, 23:24

Цитата: Квас от февраля 16, 2011, 23:20
Цитироватьхакирот функций
Почему я ещё не знаю этого слова? ;) (И куда ударение падает?)

Хакира́ (-о́т, мн. ч.)=исследование :)

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от февраля 16, 2011, 23:28

Bonne nuit !

Название: Помощь по математике
Отправлено: Bhudh от февраля 16, 2011, 23:30

Bonne nuit !

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от февраля 17, 2011, 08:36

Уже третий день ни хрена формул не вижу :( А на работе видно. Похоже мой мобильный айпи забанен на кодкогах.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от февраля 17, 2011, 11:16

Alors, voici ce que j'ai écrit dans les derniers messages.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от февраля 17, 2011, 11:47

Merci beaucoup! :)

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от февраля 18, 2011, 11:28

Vous expliquez tres clairement, c'est facile a comprendre, merci :)

Mais je crois que cette chose-la n'est pas possible a apprendre sans passer des jours (ou bien des semaines) en pratiquant des exercises, et je ne les ai pas. :(

C'est trop difficile cet matane, on ne nous a pas donne assez de temps, je sense...

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от февраля 18, 2011, 16:41

Цитата: RawonaM от февраля 18, 2011, 11:28
Mais je crois que cette chose-la n'est pas possible a apprendre sans passer des jours (ou bien des semaines) en pratiquant des exercises, et je ne les ai pas. :(

Si vous avez besoin des exercices, vous pouvez en trover beaucoup chez Démidovitch (http://djvuru.512.com1.ru:8073/WWW/5d28168da08a02bbc3c39cedc37c77c8.djvu). La tâche principale c'est de décomposer la fraction : il me semble qu'une ou deux éxercices suffiriont. Mais peut-être c'est plus pratique de s'occuper d'autres choses. :donno:

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от февраля 18, 2011, 16:47

Цитата: Квас от февраля 18, 2011, 16:41
Цитироватьsans passer des jours (ou bien des semaines) en pratiquant des exercises, et je ne les ai pas. :(
Si vous avez besoin des exercices, vous pouvez en trover beaucoup chez Démidovitch.

J'ai voulu dire que je n'ai pas de temps pour ca...
Mon exam est ce lundi.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от февраля 18, 2011, 16:52

Цитата: RawonaM от февраля 18, 2011, 16:47
J'ai voulu dire que je n'ai pas de temps pour ca...
Mon exam est ce lundi.

Ah bon... Alors, ces integrals ne vous tomberont pas ! :)

Название: Помощь по математике
Отправлено: Bhudh от февраля 18, 2011, 19:06

Offtop

Захотелось напомнить правила форума, да это админ с модером...

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от февраля 18, 2011, 19:17

Цитата: Bhudh от февраля 18, 2011, 19:06
Захотелось напомнить правила форума, да это админ с модером...

Вероятно допотопные правила...

Je viens de calculer $[tex]\int \frac{x+4}{(x^2+x+1)^2}[/tex]$ — c'etait pas facile, mais ce n'est que la technique... aucune theorie ou savoir...

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от февраля 18, 2011, 20:05

Цитата: RawonaM от февраля 18, 2011, 19:17
Je viens de calculer

De quelle façon l'avez-vous fait ?

On pourrait cependant appliquer un peu de théorie.

C'est en effect une fraction élémentaire de la deuxième classe que nous avons laissé de côté sauf un cas très simple.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Bhudh от февраля 18, 2011, 20:10

Цитата: RawonaMВероятно допотопные правила...

На форуме был потоп⁈ :o
Что-то я как-то пропустил... :???

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от февраля 20, 2011, 21:33

Подкажите как решать какой-нить интеграл попроще из тех, что не отмечены галочками, плиз :)

Название: Помощь по математике
Отправлено: Alexandra A от февраля 20, 2011, 21:37

А как здесь на форуме можно написать, например, 2 в степени 3, чтобы 3 была маленькая вверху, как обычно?

Спрашиваю, чтобы например писать Bardd:РОД.П не на строчке, а чтобы РОД.П (грамматическое пояснение) был вверху в маленьких буквах, а обычными буквами был только оригинальный текст?

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от февраля 20, 2011, 21:40

Цитата: Alexandra A от февраля 20, 2011, 21:37
Спрашиваю, чтобы например писать Bardd:РОД.П не на строчке, а чтобы РОД.П (грамматическое пояснение) был вверху в маленьких буквах, а обычными буквами был только оригинальный текст?

Bardd[sup]РОД.П[/sup]

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от февраля 20, 2011, 21:45

Тут я на мобильнике обнаружил фотки во время этого ужасного курса. Будет мне на память. Век не забуду этот ужас))

Название: Помощь по математике
Отправлено: Alexandra A от февраля 20, 2011, 21:48

Спасибо.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от февраля 20, 2011, 21:52

Хорошие интегральчики, университетский уровень. :yes:

Номер хей.

$[tex]\int\frac{x}{(5+4x-x^{2})^{3/2}}dx=\int\frac{x}{(9-(x-2)^{2})^{3/2}}dx=\left|\begin{array}{c} x-2=3\sin t\\ (-\frac{\pi}{2}\leqslant t\leqslant\frac{\pi}{2})\end{array}\right|=[/tex]$
$[tex]=\int\frac{2+3\sin t}{27\cos^{3}t}\cdot3\cos t\, dt=\frac{2}{9}\int\frac{dt}{\cos^{2}t}-\frac{1}{3}\int\frac{d(\cos t)}{\cos^{2}t}[/tex]$

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от февраля 20, 2011, 21:54

А-а-а, огромная доска с маркером! :'( У нас — ни-ког-да! Полдня мел поганый не смоешь, а ещё бывает скрипит противно. >(

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от февраля 20, 2011, 21:56

Цитата: Квас от февраля 20, 2011, 21:52
Хорошие интегральчики, университетский уровень. :yes:

А вы что, думали я в школе учусь? :) Жалко, что нас так кинули с этими интегралами на произвол судьбы...

Цитата: Квас от февраля 20, 2011, 21:52
Номер хей.

Благодаря :)

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от февраля 20, 2011, 21:58

Цитата: Квас от февраля 20, 2011, 21:54
А-а-а, огромная доска с маркером! :'( У нас — ни-ког-да! Полдня мел поганый не смоешь, а ещё бывает скрипит противно. >(

У нас последние доски с мелом вымерли где-то в 2003-2005 гг.
Учителя арабского очень жаловались, что маркеры слишком скользят и вязью невозможно писать...
Многие до сих пор жалуются, что маркеры сильно воняют и порой от них пьянеют... Что впрочем, правда, на себе помню.
А бывают ситуации, когда рассеяный препод напишет нестираемым маркером...

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от февраля 20, 2011, 21:59

Номер тет — универсальная подстановка (через тангенс половинного аргумента), сводится к табличному интегралу $[tex]\int \frac{dx}{x^2 + a^2}[/tex]$ . Подробнее написать?

(Тема о вводе формул заставила меня снова установить LyX. Я его познакомил с AutoHotkey, и получилось классное вспомогательное средство для визуального ввода ТеХовской математики.)

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от февраля 20, 2011, 22:00

Номер зайн: пределы не уточните?

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от февраля 20, 2011, 22:01

Цитата: Квас от февраля 20, 2011, 21:59
Номер тет — универсальная подстановка (через тангенс половинного аргумента), сводится к табличному интегралу $[tex]\int \frac{dx}{x^2 + a^2}[/tex]$ . Подробнее написать?

Что-то я не понял... Если можно подробнее, буду в который раз благодарен...

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от февраля 20, 2011, 22:03

Цитата: Квас от февраля 20, 2011, 22:00
Номер зайн: пределы не уточните?

От 1 по 2е.

Мне в принципе только одного интеграла не хватало, 7 я уже сделал, надо 8 сдать. Хотя конечно знать как все их решать не помешает... Но это уже потом как-нибудь, с завтрашнего вечера и еще на долгие месяцы вперед не хочу видеть это все )))

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от февраля 20, 2011, 22:09

Номер хет: подстановка $[tex]x = \sin t, \ 0 \leqslant t \leqslant \frac \pi2[/tex]$ .Получается синус квадрат на косинус квадрат, понижать степень. Подробнее?

Кстати, ответы:
хей: $[tex]\frac {1}{\sqrt {5+4x-{x}^{2}}}}-\frac19{\frac {4-2x}{\sqrt {5+4x-{x}^{2}}}[/tex]$
хет: $[tex]\frac \pi{16}[/tex]$
тет: $[tex]\frac{\sqrt {2}}2 \mathop{\mathrm{arctg}}\left(\sqrt {2}\right)-\frac {\sqrt {2}}2\mathop{\mathrm{arctg}}\left(\frac{\sqrt {2}}4\right)[/tex]$

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от февраля 20, 2011, 22:26

Цитата: RawonaM от февраля 20, 2011, 22:01
Что-то я не понял... Если можно подробнее, буду в который раз благодарен...

Легко! :)

$[tex] \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{dx}{3+\sin x}=\left|\begin{array}{c} \mathop{\mathrm{tg}}\frac{x}{2}=t\\[3pt] \sin x=\frac{2t}{1+t^{2}}\\[3pt] dx=\frac{2\, dt}{1+t^{2}}\end{array}\right|=\int\limits_{0}^{1}\frac{\frac{2\, dt}{1+t^{2}}}{3+\frac{2t}{1+t^{2}}}=[/tex]$
$[tex] =\int\limits_{0}^{1}\frac{2\, dt}{3t^{2}+2t+3}=\frac{2}{3}\int\limits_{0}^{1}\frac{dt}{t^{2}+\frac{2}{3}t+1}=\frac{2}{3}\int\limits_{0}^{1}\frac{dt}{(t+\frac{1}{3})^{2}+\frac{8}{9}}=[/tex]$
$[tex] =\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{2\sqrt{2}}\mathop{\mathrm{arctg}}\frac{3t+1}{2\sqrt{2}}\Bigg|_{0}^{1}=\frac{1}{\sqrt{2}}\mathop{\mathrm{arctg}}\frac{2}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}\mathop{\mathrm{arctg}}\frac{1}{2\sqrt{2}}[/tex]$

Зайн: разбить промежуток интегрирования на два, на которых подынтегральное выражение сохраняет знак: от 1 до е и от е до 2е. Тогда модули пропадают. А логарифм интегрируется, как обычно, по частям: логарифм дифференцировать, dx интегрировать. Ответ $[tex]2e\ln 2-2[/tex]$ , если интересно.

То есть что, мне останавливаться уже? ;D

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от февраля 20, 2011, 22:36

Цитата: Квас от февраля 20, 2011, 22:26
То есть что, мне останавливаться уже? ;D

Если вам нравится, то мне конечно же не помешает :) Но это уже не необходимость :)

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от февраля 20, 2011, 22:45

Да тут и осталось-то.

Йуд: произведение функций в сумму (синус суммы минус синус разности пополам, если не путаю).

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от февраля 20, 2011, 22:46

А йуд-бет что-то заставляет задуматься. Можно, конечно, мэплом его огреть и посмотреть, как комп расколол. :-\ Подумаю ещё из спортивного интереса.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от февраля 20, 2011, 22:53

Йуд-бет — муть какая-то. Неопределённый интеграл мэпл берёт, но с помощью специальных функций и кучу комплексных чисел туда суёт. А определённый интеграл он просто выплёвывает в исходном виде. :donno:

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от февраля 20, 2011, 22:59

Цитата: Квас от февраля 20, 2011, 22:09
Номер хет: подстановка $[tex]x = \sin t, \ 0 \leqslant t \leqslant \frac \pi2[/tex]$ .Получается синус квадрат на косинус квадрат, понижать степень.

А что значит «понижать степень»?

И вообще, у меня такой вопрос: почему при подстановках можно ограничивать аргумент, а в итоге получается верно для всех, разве это «честно»? :)

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от февраля 20, 2011, 23:00

На йуд-бет подсказка дана: подставить у=п-х.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от февраля 20, 2011, 23:08

Вав кстати, вы пропустили. У меня в книге есть решение, оно занимает добрых полторы страницы А4, я его быстро закрыл. ;D

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от февраля 20, 2011, 23:11

Цитата: RawonaM от февраля 20, 2011, 22:59
А что значит «понижать степень»?

Вроде там получается
$[tex]\sin^{2}t\cos^{2}t=\frac{1}{4}\sin^{2}2t=\frac{1}{4}\cdot\frac{1-\cos4t}{2}[/tex]$
Вообще, под формулами понижения степени обычно подразумеваются эти:
$[tex]\sin^{2}t=\frac{1-\cos2t}{2},\ \cos^{2}t=\frac{1+\cos2t}{2}[/tex]$

Цитата: RawonaM от февраля 20, 2011, 22:59
И вообще, у меня такой вопрос: почему при подстановках можно ограничивать аргумент, а в итоге получается верно для всех, разве это «честно»? :)

В хете вообще определённый интеграл: когда t бежит от 0 до pi/2, x как раз пробегает отрезок [0,1]. Но в неопределённых в случае такой подстановки я тоже пишу, что t пробегает от -pi/2 до pi/2: синус всё равно успевает принять все свои значения, а косинус можно выражать без минуса. Так что вполне честно: если t не ограничивать, то sin t всё равно мотается по [-1,1], так что смысла в этом нет.

Цитата: RawonaM от февраля 20, 2011, 23:00
На йуд-бет подсказка дана: подставить у=п-х.

Что-то я гордо её проигнорировал. :D Действительно, если так подставить, то интеграл выражается через такой же интеграл, после чего надо уравнение решить. Сейчас посчитаю.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от февраля 20, 2011, 23:17

Цитата: RawonaM от февраля 20, 2011, 23:08
Вав кстати, вы пропустили. У меня в книге есть решение, оно занимает добрых полторы страницы А4, я его быстро закрыл. ;D

А, точно. Идеологически несложный пример, но дело упирается в интегрирование рациональной дроби.
$[tex]\int\frac{dx}{\cos^{3}x}=\int\frac{\cos x\, dx}{\cos^{4}x}=\int\frac{d(\sin x)}{(1-\sin^{2}x)^{2}}=\int\frac{dt}{(t^{2}-1)^{2}}=\int\frac{1}{(t-1)^{2}(t+1)^{2}}dt[/tex]$

И метод неопределённых коэффициентов, не к ночи будь помянут.

Кстати, есть такое правило интегрирования тригонометрических функций: если выражение меняет знак при замене sin x на -sin x, то работает подстановка cos x=t; если выражение меняет знак при замене cos x на -cos x, то работает подстановка sin x=t; если выражение не меняет знака при одновременной замене sin x на -sin x и cos x на -cos x, то работает замена tg x=t.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от февраля 20, 2011, 23:39

Цитата: Квас от февраля 20, 2011, 23:17
А, точно. Идеологически несложный пример, но дело упирается в интегрирование рациональной дроби.
$[tex]\int\frac{dx}{\cos^{3}x}=\int\frac{\cos x\, dx}{\cos^{4}x}=\int\frac{d(\sin x)}{(1-\sin^{2}x)^{2}}=\int\frac{dt}{(t^{2}-1)^{2}}=\int\frac{1}{(t-1)^{2}(t+1)^{2}}dt[/tex]$

Да, там что-то похожее, но гораздо нуднее. :) Все, я запаковал последнее домашее задание с интегралами, завтра отнесу на почту, сдам экзамен и больше не хочу слышать слова "предел", "производная" и "интеграл" пока снег не увижу. ;D

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от февраля 20, 2011, 23:42

Нет уж позвольте! :D

Пусть
$[tex] I=\int\limits_{0}^{\pi}\frac{x\sin x}{1+\sin^{2}x}dx[/tex]$
Имеем:
$[tex] I=\int\limits_{0}^{\pi}\frac{x\sin x}{1+\sin^{2}x}dx=\left|x=\pi-y\right|=-\int\limits_{\pi}^{0}\frac{(\pi-y)\sin y}{1+\sin^{2}y}dy=[/tex]$
$[tex] =\int\limits_{0}^{\pi}\frac{(\pi-y)\sin y}{1+\sin^{2}y}dy=\pi\int\limits_{0}^{\pi}\frac{\sin y\, dy}{1+\sin^{2}y}-\int\limits_{0}^{\pi}\frac{y\sin y}{1+\sin^{2}y}dy=[/tex]$
$[tex] =\pi\int\limits_{0}^{\pi}\frac{\sin y\, dy}{1+\sin^{2}y}-I[/tex]$
$[tex] I=\pi\int\limits_{0}^{\pi}\frac{\sin y\, dy}{1+\sin^{2}y}-I[/tex]$
$[tex] I=\frac{\pi}{2}\int\limits_{0}^{\pi}\frac{\sin y\, dy}{1+\sin^{2}y}[/tex]$
$[tex] \int\limits_{0}^{\pi}\frac{\sin y\, dy}{1+\sin^{2}y}=\int\limits_{0}^{\pi}\frac{d(\cos y)}{\cos^{2}y-2}=\frac{1}{2\sqrt{2}}\ln\frac{\sqrt{2}-\cos y}{\sqrt{2}+\cos y}\Bigg|_{0}^{\pi}=[/tex]$
$[tex] =\frac{1}{2\sqrt{2}}\left(\ln\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}-\ln\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\ln\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}=[/tex]$
$[tex] =\frac{1}{\sqrt{2}}\ln\frac{\left(\sqrt{2}+1\right)^{2}}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}=\sqrt{2}\ln(\sqrt{2}+1)[/tex]$
Итого
$[tex] I=\frac{\pi\sqrt{2}}{2}\ln(\sqrt{2}+1)[/tex]$
Уф. Численно с ответом сходится.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от февраля 20, 2011, 23:44

Цитата: RawonaM от февраля 20, 2011, 23:39
завтра отнесу на почту, сдам экзамен и больше не хочу слышать слова "предел", "производная" и "интеграл" пока снег не увижу. ;D

Я вас понимаю! ;D Удачи завтра на экзамене! В какое он время? Буду вас ругать. :yes:

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от февраля 20, 2011, 23:50

Цитата: Квас от февраля 20, 2011, 23:44
Я вас понимаю! ;D Удачи завтра на экзамене! В какое он время? Буду вас ругать. :yes:

В 16:00 UTC+2 :) Спасибо :)

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от февраля 20, 2011, 23:52

Цитата: Квас от февраля 20, 2011, 23:42
Пусть
$[tex] I=\int\limits_{0}^{\pi}\frac{x\sin x}{1+\sin^{2}x}dx[/tex]$
Имеем:

Мосчно конечно :)

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от февраля 21, 2011, 20:10

Ну что... Думается сдал нормально. :) Хотя на мидтерме я был больше в себе уверен. Как только увидел экзамен, сразу промелькнула мысль, что ниче не знаю, какие-то нестандартные задания. По середине где-то думал что все, крышка. Потом как-то вышел на верный путь и в последние пять минут уже дострочил последний вопрос, осталось как раз пять минут на проверку :) Все-таки если б еще полчасика было, то можно было б подкорректировать, три часа маловато. Даже не съел принесенные с собой запасы еды, так занят был. Правда нас надзерательница кормила домашней выпечкой. Прямо такие надзиратели попались, что я офигел. Раздали экзамен за 7 минут до начала и не спешили собирать в конце, кто не успевал, еще минут 5 можно было потянуть.

Щас сфотаю экзамен и напишу свои ответы, что помню.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от февраля 21, 2011, 20:17

ждшлг

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от февраля 21, 2011, 20:28

Поздравляю, что матан закончился! :=

Задания — ни шиша не понятно! Какие-то неберущиеся интегралы в конце...

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от февраля 21, 2011, 20:36

1) доказать или опровергнуть. (три из четырех на выбор)

алеф. Если f равномерно непрерывна на $[tex](0,\infty)[/tex]$ , то есть такой х>0, что $[tex]f(x+\frac1{x})\leq f(x)+1[/tex]$ .

Мой ответ: верно. Если взять $[tex]\delta<\frac1{x}[/tex]$ , то как раз эта фигня выходит, даже с сильным неравенством.

бет. не делал, показалось слишком сложным.

гимель. Пусть будет f в определена окрестности х=0.
Если (предел) существует, то ф дифференцируема в х=0.

Мой ответ: верно, просто если подставить x=h, y=-h, это прямо акурат определение производной в точке.

далет. Если f и g ограничены на [0,1], то ... (все три интеграла нижние!).

Мой ответ: неверно. Если взять дирихле и дирихле навыворот (у одной 0 рациональные 1 иррациональные, у второй наоборот), то у обоих нижний интеграл 0, а у суммы — 1.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от февраля 21, 2011, 20:38

Цитата: Квас от февраля 21, 2011, 20:28
Поздравляю, что матан закончился! :=

Спасибо :) Я уж не знал чем себя побаловать в честь окончания, думал напиться пива что ли, но я колу пил во время испыта, так что пить не хотелось. Ограничился сладостями с кофем :)

Цитата: Квас от февраля 21, 2011, 20:28
Задания — ни шиша не понятно! Какие-то неберущиеся интегралы в конце...

А там так и написано в примечании: не пытайтесь вычислить интеграл...

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от февраля 21, 2011, 20:41

Сейчас вот смотрю, кажется в 1алеф я чего-то там перемудрил... Ну что было то прошло, в обчем.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от февраля 21, 2011, 20:53

вопрос 2.

алеф: доказать теорему, что если ф монотонно возрастающая и ограничена сверху на промежутке (a,b), то существует предел $[tex]\lim_{x \to b-}f(x)=sup(f((a,b))[/tex]$ .

бет: пусть будет ф дифференцируема на [a,b).
(1) доказать, что если f' ограничена сверху на этом промежутке, то f тоже ограничена там же сверху.
(2) доказать, что если f' монотонно возрастает на [a,b) и $[tex]\lim_{x \to b-}f(x)=\infty[/tex]$ , то $[tex]\lim_{x \to b-}f'(x)=\infty[/tex]$ .

алиф, долго вспоминал доказательство из книги, не вспомнил, пришлось самому с нуля доказывать, хотя конечно потихотьку всплывало. Надеюсь будет ок.
бет1. рассматриваем функцию на промежутке [a,x], a<x<b. По Лагранжу, есть такой c что f'(c)(x-a)=f(x)-f(a), а отсюда после небольшого питуаха выходит, что если f'(с) ограничен то и f(x) ограничен.
бет2. по бет1 выходит, что f'(x) неограничена, дальше доказывается акурат как алиф.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от февраля 21, 2011, 20:54

Цитата: RawonaM от февраля 21, 2011, 20:41
Сейчас вот смотрю, кажется в 1алеф я чего-то там перемудрил...

По-моему, тоже. Ведь можно задать [0,1] произвольную непрерывную функцию и продолжить её константой по непрерывности на всю ось...

Цитата: RawonaM от февраля 21, 2011, 20:36
Мой ответ: верно, просто если подставить x=h, y=-h, это прямо акурат определение производной в точке.

Да нет, у нас же h бегает, так в какой точке получилась бы производная? Контрпример: модуль.

Далет — согласен.

Надо было раньше научить вас такой идеологии: нужно иметь некоторый запас достаточно разнообразных стандартных примеров, и задания типа «существует — не существует», «верно ли» сначала тестировать на этих примерах. Если на примерах работает, тогда попытаться доказать. В далете вы с этой точки зрения сделали просто образцово-показательно.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от февраля 21, 2011, 20:58

Цитата: RawonaM от февраля 21, 2011, 20:53
вопрос 2.

Вроде всё верно.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от февраля 21, 2011, 21:04

вопрос 3:
алиф: доказать теорему Дарбу. Надеюсь получу все баллы.

бет: пусть будет ф...
(1) доказать, что ф интегрируема на [-1,1].
(2) доказать, что у ф нет первообразной на [-1,1].

бет2: вычисляются односторонние пределы в нуле, выходит е и 1/е, значит разрыв первого рода, значит по Дарбу нет такой функции, для которой эта производная, значит у нее нет первообразной.
бет1: по односторонним пределам определяем новые непрерывные функции на отрезках [-1,0] и [0,1], эти функции интегрируемы на этих отрезках по теореме из книги (непрерывные интегрируемы), а т.к. они отличаются от ф только в одной точке, то и ф интегрируема на этих отрезках, и она значит интегрируема на их объединении, т.е. на [-1,1].

вопрос 4 не делал, слишком сложный. Если интересно, переведу.
(из 2-4 нужно было на два ответить)

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от февраля 21, 2011, 21:08

Цитата: RawonaM от февраля 21, 2011, 21:04
бет2: вычисляются односторонние пределы в нуле, выходит е и 1/е, значит разрыв первого рода, значит по Дарбу нет такой функции, для которой эта производная, значит у нее нет первообразной.

Ага.

Цитата: RawonaM от февраля 21, 2011, 21:04
бет1: по односторонним пределам определяем новые непрерывные функции на отрезках [-1,0] и [0,1], эти функции интегрируемы на этих отрезках по теореме из книги (непрерывные интегрируемы), а т.к. они отличаются от ф только в одной точке, то и ф интегрируема на этих отрезках, и она значит интегрируема на их объединении, т.е. на [-1,1].

:up:

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от февраля 21, 2011, 21:12

Цитата: RawonaM от февраля 21, 2011, 21:04
вопрос 4 не делал, слишком сложный. Если интересно, переведу.
(из 2-4 нужно было на два ответить)

Примерно ясно: сначала наверно, доказать неравенство; а потом вывести из этого неравенства оценку интеграла. Только гимель не понял: что там делает неверное равенство?

Зато в последней строчке я разобрал «ha-интеграл»! 8-)

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от февраля 21, 2011, 21:13

Цитата: Квас от февраля 21, 2011, 20:54
ЦитироватьМой ответ: верно, просто если подставить x=h, y=-h, это прямо акурат определение производной в точке.
Да нет, у нас же h бегает, так в какой точке получилась бы производная? Контрпример: модуль.

Точно. Ведь чтобы это было как определение в точке, должно было быть h стремится к -h. 10 баллов уже ушли. Пичаль :( Ну ладно, 90 это тоже хорошая оценка :) Скажем так: выше 80 меня устроит :)

Цитата: Квас от февраля 21, 2011, 20:54
ЦитироватьСейчас вот смотрю, кажется в 1алеф я чего-то там перемудрил...
По-моему, тоже. Ведь можно задать [0,1] произвольную непрерывную функцию и продолжить её константой по непрерывности на всю ось...

Это как, не понял?.. Тем не менее, мое решение вроде бы все равно верно, я надеюсь...

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от февраля 21, 2011, 21:19

Цитата: RawonaM от февраля 21, 2011, 21:13
Цитата: Квас от Сегодня в 21:54
ЦитироватьЦитировать
ЦитироватьСейчас вот смотрю, кажется в 1алеф я чего-то там перемудрил...
По-моему, тоже. Ведь можно задать [0,1] произвольную непрерывную функцию и продолжить её константой по непрерывности на всю ось...
Это как, не понял?.. Тем не менее, мое решение вроде бы все равно верно, я надеюсь...

Ну, берём произвольную функцию f(x) на [0,1], а для x > 1 полагаем f(x)=f(1). Тогда f(x) равномерно непрерывна на $[tex](0,+\infty)[/tex]$ . Но исходя из произвола её построения кажется неправдоподобным выполнение того неравенства при всех x.

Да вот и конкретный контрпример:
$[tex]f(x) = 3 \sqrt x,[/tex]$
неравенство нарушается при x=1.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от февраля 21, 2011, 21:21

Цитата: Квас от февраля 21, 2011, 21:12
Цитироватьвопрос 4 не делал, слишком сложный. Если интересно, переведу.
(из 2-4 нужно было на два ответить)
Примерно ясно: сначала наверно, доказать неравенство; а потом вывести из этого неравенства оценку интеграла. Только гимель не понял: что там делает неверное равенство?

гимель: доказать, что у уравнения ... есть только одно решение на х>=0.

Цитата: Квас от февраля 21, 2011, 21:12
Зато в последней строчке я разобрал «ha-интеграл»! 8-)

:UU:

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от февраля 21, 2011, 21:23

Цитата: Квас от февраля 21, 2011, 21:19
Цитировать
Цитировать
ЦитироватьСейчас вот смотрю, кажется в 1алеф я чего-то там перемудрил...
По-моему, тоже. Ведь можно задать [0,1] произвольную непрерывную функцию и продолжить её константой по непрерывности на всю ось...
Это как, не понял?.. Тем не менее, мое решение вроде бы все равно верно, я надеюсь...
Ну, берём произвольную функцию f(x) на [0,1], а для x > 1 полагаем f(x)=f(1). Тогда f(x) равномерно непрерывна на $[tex](0,+\infty)[/tex]$ . Но исходя из произвола её построения кажется неправдоподобным выполнение того неравенства при всех x.

Подождите, почему для всех х?.. Надо же чтобы хотя бы для одного выполнялось.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от февраля 21, 2011, 21:43

Цитата: RawonaM от февраля 21, 2011, 21:23
Подождите, почему для всех х?.. Надо же чтобы хотя бы для одного выполнялось.

Pardon ! Тогда, конечно, верно.

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от февраля 21, 2011, 21:46

Цитата: Квас от февраля 21, 2011, 21:43
ЦитироватьПодождите, почему для всех х?.. Надо же чтобы хотя бы для одного выполнялось.
Pardon ! Тогда, конечно, верно.

Вы так не пугайте! У меня душа в пятки ушла уже. Ладно 10 баллов потерять, а 20 это цу филь... А если еще где-то ошибся, то поди и 60 не наберу, а ниже 60 это низачот, пересдавать.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от февраля 21, 2011, 21:56

Цитата: RawonaM от февраля 21, 2011, 21:46
Вы так не пугайте!

(http://latindiscussion.com/forum/images/smilies/hide.gif)

Название: Помощь по математике
Отправлено: Bhudh от февраля 21, 2011, 21:58

Цитата: Image propertieshttp://latindiscussion.com

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от февраля 21, 2011, 21:59

В общем, судя по результатам нашего разбора похоже надо ожидать оценку в районе 75-85, вполне приемлемо для этого курса, плюс там еще надбавит мидтерм и домашние задания, в итоге можно ожидать неплохую конечно оценку.

Теперь надо готовиться к линейной алгебре, через 4-5 недель экзамен. :)

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от февраля 21, 2011, 22:05

Цитата: RawonaM от февраля 21, 2011, 21:59
Теперь надо готовиться к линейной алгебре

Ну, вы прямо по адресу! Линейная алгебра — это моё. :yes:

Название: Помощь по математике
Отправлено: Bhudh от февраля 21, 2011, 22:06

Бедный http://www.codecogs.com...

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от февраля 21, 2011, 22:12

Квас, я хочу выразить свою невыражаемую благодарность за вашу помощь, поддержку и терпение. Дай Аллах вам здоровья и благополучия и всегда такую ясность ума и уравновешенность. :UU: Надеюсь когда-нибудь смогу тоже быть вам полезен.

Название: Помощь по математике
Отправлено: Квас от февраля 21, 2011, 22:29

Ну что ответить?.. Пожалуйста! Я очень рад. :) Честно, получаю большое удовольствие от наших разговоров. :yes:

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от февраля 21, 2011, 23:03

Сфотографировал на память... Уходит в долгий ящик.

Честно, это самый сложных курс в моей жизни... Я даже никогда к экзаменам толком не готовился. Хоть учиться научусь на старости лет. ;D

Название: Помощь по математике
Отправлено: O от февраля 21, 2011, 23:08

Хотя многие известные программеры открыто говорят и пишут, что математика программерам никоим боком не нужна. :)

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от февраля 21, 2011, 23:38

Цитата: O от февраля 21, 2011, 23:08
Хотя многие известные программеры открыто говорят и пишут, что математика программерам никоим боком не нужна. :)

Это от непонимания просто. Да и от задачи зависит. Даже алгоритм сортировки массива — математика. Чтобы узнать эффективность алгоритма, нужно понимать, что такое экспоненциальная, показательная, логарифмическая функция.

Еще смотря что понимать под "программерами".

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от февраля 21, 2011, 23:45

Вот например пример. Я уже говорил по секрету, что работаю в области распознавания речи. Однажды поинтересовался у инженеров о внутренностях распознавания. Начиналось примерно следущего: есть 38-ми-мерное линейное пространство коэффициентов синусов и косинусов...
Что вы думаете, "программер", который не знает математики, может в этой области сделать?..

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от февраля 21, 2011, 23:51

Или вот например программировал я трехместные шахматы. Мне нужно было сделать банальную вещь: определить, в какой клетке (неровной формы четырехугольник) клик находится. Знание линейной алгербы делает все просто. Иначе — куча телодвижений. А уж программирование трехмерных игр... Еще с детства помню эти матрицы и детерминанты.
Так что я не понимаю, о чем вообще речь, насчет не надобности математики. Да, чтоб построить сапера или айсикью особой математики не надо. Чтобы построить игру в дурака, желательна. Чтобы построить шахматы с ИИ без математики?.. :donno: Скайп?.. С алгоритмами сжатия звука... МП3? Видео на компьютере?..

Название: Помощь по математике
Отправлено: Bhudh от февраля 21, 2011, 23:54

Цитата: RawonaMА уж программирование трехмерных игр... Еще с детства помню эти матрицы и детерминанты.

Переходы между системами координат?

Название: Помощь по математике
Отправлено: RawonaM от февраля 21, 2011, 23:58

Цитата: Bhudh от февраля 21, 2011, 23:54
ЦитироватьА уж программирование трехмерных игр... Еще с детства помню эти матрицы и детерминанты.
Переходы между системами координат?

Да все там на этом. Трансформации, вращения и т.п.

Название: Помощь по математике (анализ)
Отправлено: RawonaM от марта 2, 2011, 00:06

Вот, перед сном хотел завести будильник на телефоне, оказалось там СМС с оценкой.

87 по экзамену!!! (http://www.kolobok.us/smiles/standart/yahoo.gif)(http://www.kolobok.us/smiles/standart/yahoo.gif)(http://www.kolobok.us/smiles/standart/yahoo.gif)

88 за курс конечная :dayatakoy:

Название: Помощь по математике (анализ)
Отправлено: Квас от марта 2, 2011, 00:10

Цитата: RawonaM от марта 2, 2011, 00:06
87 по экзамену!!!

Я смотрю, это даже превзошло ваши ожидания! Мои поздравления!
:= := :=
Вы заслужили. :yes:

Название: Помощь по математике (анализ)
Отправлено: Bhudh от марта 2, 2011, 00:10

Проздравляю!!! :)

Название: Помощь по математике (анализ)
Отправлено: RawonaM от марта 2, 2011, 00:17

Спасибо :) Часть заслуги — ваша, Квас, я даже не знаю, как вам кредит передать :)

Название: Помощь по математике (анализ)
Отправлено: Квас от марта 2, 2011, 00:25

Цитата: RawonaM от марта 2, 2011, 00:17
Часть заслуги — ваша, Квас

Это уже греет. :)

Что здорово, это то, что у вас эпопея с анализом прошла под девизом «как работал, так и заработал». Приятно иметь отношение к такому хорошему и правильному ходу событий. :)

Название: Помощь по математике (анализ)
Отправлено: RawonaM от марта 7, 2011, 17:37

Пришел отсканированный экзамен (15 шекелей блин скан стоит), сохраню на память в этой теме, а то потеряется где-то.
Эх, если б сообразил с тем вопросиком на 10 баллов, могло бы быть 97 запросто. Но это уже беды богатых, так сказать, нам пролетариям и так хорошо. :)

Название: Помощь по математике (анализ)
Отправлено: Квас от марта 7, 2011, 17:52

Цитата: RawonaM от марта 7, 2011, 17:37
Эх, если б сообразил с тем вопросиком на 10 баллов, могло бы быть 97 запросто. Но это уже беды богатых, так сказать, нам пролетариям и так хорошо. :)

Точно. Как это,— allzuviel ist ungesund. :)

Название: Помощь по математике (анализ)
Отправлено: Квас от мая 3, 2011, 15:51

Задачу о делителях перенёс: Дискретная математика. (http://lingvoforum.net/index.php/topic,32855.msg847885.html#msg847885) Если ещё будет, сделаем тему «Теория чисел».

Лингвофорум

Общий раздел => Наука и техника => Математика => Тема начата: RawonaM от октября 25, 2010, 11:56