Лингвофорум

Цитата: Вадимий от января  9, 2011, 19:33
А я тут узнал, что простые числа бывают сексуальными! \решил в эту тему сложить, раз уж другой о математике нет\

Жениаль

Дана интеграбильная функция f на [a,b]. Если для каждого разделения P верно, что S(P)>0, то интеграл этой функции на этом отрезке больше 0. Верно ли?

В принципе, при предельном переходе строгие неравенства переходят в нестрогие. Надо придумать пример, при котором интеграл всё-таки равен 0. А что вы обозначаете через S(F)?

Цитата: Квас от января 11, 2011, 22:59
А что вы обозначаете через S(F)?

Если P - деление отрезка (типа 2,3,4 и т.п.), то S(P) это сумма величины (ширины?) каждого суботрезка помноженное на максимум в этом суботрезке (верхняя лесенка, короче).

Цитата: Квас от января 11, 2011, 22:59
Надо придумать пример, при котором интеграл всё-таки равен 0.

Я пытался, не получилось. Ведь при любом делении верхняя площадь должна быть больше нуля, и не получилось у меня сделать, чтобы инфимум верхней площади был 0.

Цитата: RawonaM от января 11, 2011, 23:05
Если P - деление отрезка (типа 2,3,4 и т.п.), то S(P) это сумма величины (ширины?) каждого суботрезка помноженное на максимум в этом суботрезке (верхняя лесенка, короче).

По-русски говорят разбиение отрезка, длина отрезка разбиения, если интересно. А эта штука называется верхняя сумма Дарбу.

А если рассмотреть функцию, равную нулю везде, кроме одной точки, в которой она положительна? Вроде это контрпример.

Цитата: Квас от января 11, 2011, 23:10
По-русски говорят разбиение отрезка, длина отрезка разбиения, если интересно.

Да, спасибо

Цитата: Квас от января 11, 2011, 23:10
А эта штука называется верхняя сумма Дарбу.

У нас так почему-то не называют. Хотя было бы удобно.

Цитата: Квас от января 11, 2011, 23:10
А если рассмотреть функцию, равную нулю везде, кроме одной точки, в которой она положительна? Вроде это контрпример.

Действительно, похоже так. Я не там искал значит. Спасибо

Тогда бонус: если умножать на инфимумы, то называется нижняя сумма Дарбу.

Цитата: Квас от января 11, 2011, 23:17
Тогда бонус: если умножать на инфимумы, то называется нижняя сумма Дарбу.

Ну это ж я какбэ догадался бы

Это верно, что любая фукнция интеграла равномерно непрерывна? Ведь ее производная ограничена, а функция с ограниченой производной — равномерно непрерывна.

arcsin x ~ x как доказать=( Help!!!!

Цитата: RawonaM от января 12, 2011, 09:28
Это верно, что любая фукнция интеграла равномерно непрерывна? Ведь ее производная ограничена, а функция с ограниченой производной — равномерно непрерывна.

В смысле интеграл с переменным верхним пределом? А какое точное условие?

В любом случае, дифференцировать его надо аккуратно: насколько помню, производная совпадает с подынтегральной функцией в точках непрерывности последней.

Цитата: Квас от января 12, 2011, 13:02
В смысле интеграл с переменным верхним пределом? А какое точное условие?

Да не знаю, вот я придумал условие такое. А что все-таки не так? Верно ли, что интеграбильная функция всегда ограничена? Мы ведь не рассматриваем неограниченные функции, у них нельзя найти площадь же.
Верно ли, что функция у которой ограничена производная — равномерно непрерывна? Верно. Значит неопределенный интеграл всегда равномерно непрерывен. По крайней мере для непрерывных фукций точно (потому что для них гарантировано есть «прафункция»).
Где я могу ошибаться?

Цитата: Квас от января 12, 2011, 13:02
В любом случае, дифференцировать его надо аккуратно: насколько помню, производная совпадает с подынтегральной функцией в точках непрерывности последней.

Не понял...

Как доказать или опровергнуть:
?

Крутил-крутил, ничего не вышло. Помню что-то подобное на туториале делали, но память уже не торт.
Для начала общее направление подскажите.

Цитата: RawonaM от января 12, 2011, 22:36
Верно ли, что интеграбильная функция всегда ограничена?

Да, интегрируемые по Риману ограничены.

Цитата: RawonaM от января 12, 2011, 22:36
Мы ведь не рассматриваем неограниченные функции, у них нельзя найти площадь же.

Иногда можно: y = 1/sqrt(x), x от 0 до 1.

Цитата: RawonaM от января 12, 2011, 22:36
Значит неопределенный интеграл всегда равномерно непрерывен. По крайней мере для непрерывных фукций точно (потому что для них гарантировано есть «прафункция»).

«Прафункция» зовётся первообразной.

Если f(x) — непрерывная функция на [a,b], то она имеет первообразную, которая непрерывна на [a,b] и, следовательно, равномерно непрерывна (теорема Кантора).

Более интересный случай. Пусть f(x) интегрируема на [a,b], и пусть

— интеграл с переменным верхним пределом. Тогда, кстати, F'(x) = f(x) в точках непрерывности функции f. Тогда функция F непрерывна на [a,b] и, следовательно, равномерно непрерывна (теорема Кантора). В принципе, это можно показать и непосредственно:

Цитата: Квас от января 12, 2011, 22:49

ЦитироватьВерно ли, что интеграбильная функция всегда ограничена?

Да, интегрируемые по Риману ограничены.

Мы же по Дарбу учим. Впрочем, нам говорили, что у Римана тоже ограничены.

Цитата: Квас от января 12, 2011, 22:49

ЦитироватьМы ведь не рассматриваем неограниченные функции, у них нельзя найти площадь же.

Иногда можно: y = 1/sqrt(x), x от 0 до 1.

Так если она уходит бесконечно вверх, разве у нее может быть конечная площадь?

Цитата: Квас от января 12, 2011, 22:49
«Прафункция» зовётся первообразной.

Благодарю

Цитата: RawonaM от января 12, 2011, 22:43
Для начала общее направление подскажите.

Мэпл утверждает, что интеграл примерно равен 0.39, так что надо опровергать. Подынтегральная функция, кстати, возрастает от 0 до примерно 0.7. Можно подобрать такой отрезок [a,1], чтобы на нём функцию можно было оценить наименьшим значением и получить интеграл по этому отрезку, больший 0.1. Это самое простое, что приходит в голову.

Цитата: Квас от января 12, 2011, 22:49Более интересный случай. Пусть f(x) интегрируема на [a,b], и пусть

— интеграл с переменным верхним пределом. Тогда, кстати, F'(x) = f(x) в точках непрерывности функции f. Тогда функция F непрерывна на [a,b] и, следовательно, равномерно непрерывна (теорема Кантора).

Вот, это я и пытался сказать

Цитата: Квас от января 12, 2011, 22:56
Мэпл утверждает, что интеграл примерно равен 0.39, так что надо опровергать.

А это уже читинг Я на экзамене не имею мэпла

Цитата: RawonaM от января 12, 2011, 22:53
Мы же по Дарбу учим. Впрочем, нам говорили, что у Римана тоже ограничены.

Это интегральные суммы Дарбу или Римана. А они сходятся к интегралу, который называется римановым. Есть принципиально другая схема интегрирования — лебеговская.

Цитата: RawonaM от января 12, 2011, 22:53
Так если она уходит бесконечно вверх, разве у нее может быть конечная площадь?

Потому что полоска между графиком и осью ординат очень узкая становится.

Цитата: Квас от января 12, 2011, 22:59
Потому что полоска между графиком и осью ординат очень узкая становится.

Не, все-таки как-то не по-математически. Ну узкая, но ведь бесконечная же! Значит и площадь бесконеная. Странно...

Цитата: RawonaMНу узкая, но ведь бесконечная же! Значит и площадь бесконеная. Странно...

У гиперболы тоже ветви бесконечные...
Однако на отрезке [0; ∞) сумма конечна.

Цитата: Bhudh от января 12, 2011, 23:09
Цитата: RawonaM

ЦитироватьНу узкая, но ведь бесконечная же! Значит и площадь бесконеная. Странно...

У гиперболы тоже ветви бесконечные...

Под обыкновенной гиперболой площадь всё-таки бесконечная: граничный случай.

Совсем я что ли алгебру забыл?‥

Цитата: Bhudh от января 12, 2011, 23:13
Совсем я что ли алгебру забыл?‥

Це матан!

Ну так учёбник-то «А. и начала матана»...