Помощь по математике (анализ)

[Тайльнемер]

Извините.
Мне надо было внимательнее читать тему.

[Тайльнемер]

Но ваше док-во вполне годное.
Если хотите формальнее, то можно рассмотреть два случая:
1) Пусть f'(x0)<0. тогда сущ. ε, такой что f(x0+ε)<0. Так как lim_{x→+∞} f(x) = +∞, то сущ. δ, такое, что f(δ)>0. Т.к. f — непрерывная функция, она принимает все значения от f(x0+ε) до f(δ) на отрезке [x0+ε, δ], в том числе, 0.

2) Пусть f'(x0)>0. Аналогично, но наоборот.

[RawonaM]

Но ваше док-во вполне годное.
Если хотите формальнее, то можно рассмотреть два случая:

Спасибо Мне было интересно есть ли более просто способ, потому что мне кажется что я что-то упустил.

[RawonaM]

Застрял на самом простом Не помню уже: как высчитывается предел x→+∞ такого полинома? Вынос за скобки х^4 не помогает.

[Квас]

Застрял на самом простом Не помню уже: как высчитывается предел x→+∞ такого полинома? Вынос за скобки х^4 не помогает.

Да вроде очевидно, что предел многочлена совпадает с пределом старшего члена. Если вынести x^4, то в скобках остаётся величина с конечным ненулевым пределом — этого недостаточно?

Какой техникой вы владеете для доказательства бесконечности предела? Можно в знаменатель загнать многочлен, тогда дробь стремится к 0; при больших x знак совпадает со знаком старшего члена.

[RawonaM]

Да вроде очевидно, что предел многочлена совпадает с пределом старшего члена. Если вынести x^4, то в скобках остаётся величина с конечным ненулевым пределом — этого недостаточно?

Дык нет же, не получается. Ибо в скобках остается к примеру одно из слагаемых 1/х, у которого нет предела в нуле.

[RawonaM]

Какой техникой вы владеете для доказательства бесконечности предела? Можно в знаменатель загнать многочлен, тогда дробь стремится к 0; при больших x знак совпадает со знаком старшего члена.

Не понял какой многочлен загнать в знаменатель можно...

[Квас]

Дык нет же, не получается. Ибо в скобках остается к примеру одно из слагаемых 1/х, у которого нет предела в нуле.

Так мы вроде в бесконечности предел ищем.

[Квас]

Не понял какой многочлен загнать в знаменатель можно...

lim p(x) = + \infty эквивалентно тому, что lim 1/p(x) = 0, p(x) > 0. Предел многочлена на бесконечности — настолько просто, что и не знаешь, как обосновать.

[RawonaM]

Дык нет же, не получается. Ибо в скобках остается к примеру одно из слагаемых 1/х, у которого нет предела в нуле.

Так мы вроде в бесконечности предел ищем.

Блин, переклинило.  Вопрос снимается. 

[RawonaM]

Не понял какой многочлен загнать в знаменатель можно...

lim p(x) = + \infty эквивалентно тому, что lim 1/p(x) = 0, p(x) > 0. Предел многочлена на бесконечности — настолько просто, что и не знаешь, как обосновать.

Вот-вот, иногда полезно обосновывать простые вещи

[RawonaM]

Вот еще одна головоломка, сдался. Подскажите как грызть такой предел:

[Квас]

Чем можем грызть? Правило Лопиталя? Формула Тейлора?

[RawonaM]

Чем можем грызть? Правило Лопиталя? Формула Тейлора?

Лопиталем нужно бы. Но нам тонко намекнули, что тут подвох и Лопиталем это нерешаемо. А то я мог бы так и неделю лопиталить.

[RawonaM]

Тейлора не учили.

[Квас]

Если Лопиталя соединить с элементарными преобразованиями, то достаточно одного дифференцирования:

и далее по первому замечательному.

[Квас]

Насчёт тригонометрии я помню обещание.

Для сравнения с помощью формулы Тейлора: функции заменяются многочленами.


Получаем:

[RawonaM]

Если Лопиталя соединить с элементарными преобразованиями, то достаточно одного дифференцирования:

и далее по первому замечательному.

Не уверен, что я понял. Первый замечательный - sin(x)/x?

[RawonaM]

Вопрос: если у одной функции нет предела, а у другой есть конечный ненулевой предел, их перемножение дает всегда беспредел (фсмысле, отсутствие предела )? Или может быть и иначе?

[RawonaM]

Вопрос: если у одной функции нет предела, а у другой есть конечный ненулевой предел, их перемножение дает всегда беспредел (фсмысле, отсутствие предела )? Или может быть и иначе?

Хотя это не совсем та проблема, что у меня. Дело такое:

Нужно высчитать пределы для натуральных к. Для нечетных все ясно, а вот с четными непонятно как быть.
Могу ли я посчитать Лопиталем без [x/2], получить конечный предел, и сказать, что раз это умножено на [x/2], у которой нет предела, то предела нет и у произведения?

Мне кажется не могу, но я не вижу, что тут еще можно сделать.

[RawonaM]

Если Лопиталя соединить с элементарными преобразованиями, то достаточно одного дифференцирования:

и далее по первому замечательному.

Не уверен, что я понял. Первый замечательный - sin(x)/x?

Короче, теперь я уверен, что совсем не понял. Как дальше двигаться, понятия не имею

[RawonaM]

Если Лопиталя соединить с элементарными преобразованиями, то достаточно одного дифференцирования:

и далее по первому замечательному.

Не уверен, что я понял. Первый замечательный - sin(x)/x?

Короче, теперь я уверен, что совсем не понял. Как дальше двигаться, понятия не имею

А-а-а, дошло! Надо подомножить на числитель и знаменатель на (x/2)^2.

[Квас]

Первый замечательный - sin(x)/x?

Ага. Первый замечательный равен 1, а второй — 2 с копейками.

Вопрос: если у одной функции нет предела, а у другой есть конечный ненулевой предел, их перемножение дает всегда беспредел (фсмысле, отсутствие предела )? Или может быть и иначе?

Иначе не может: если a → a0 <> 0, ab → c0, то b = ab/a → c0/a0.

[Квас]

Надо подомножить на числитель и знаменатель на (x/2)^2.

Ага! Кстати, можно разложить тангенс на sin/cos и расписать синус двойного, тогда sin^2(x/2) сокращается.

[Квас]

Дело такое:

Имеем:

(по первому замечательному или по правилу Лопиталя). Значит, если k чётное, то [x/2] не имеет предела, и поэтому всё выражение предела не имеет.