Помощь по математике (анализ)

[Bhudh]

Касательная к прямой есть, а к углу нет?

Так касательная к прямой равна ей же.
А как ты предел секущей (прямой проходящей через 2 точки графика) к углу построишь? Это только если считать, что с двух сторон две разные (противоположные) касательные.
Что противоречит правилу, что касательная — одна.

фигур имеет с опорной прямой общие точки

Классное слово!

[RawonaM]

Квас, спасибо, буду переваривать

А как ты предел секущей (прямой проходящей через 2 точки графика) к углу построишь? Это только если считать, что с двух сторон две разные (противоположные) касательные.

Вот я в эту сторону и думал, что можно определить касательную как среднее между касательными с двух сторон:

Вроде как графически очевидно, что касательная это f(x)=0, то почему бы не определить производную как среднее между "правой и левой производной" (т.е. для f(x)=x и f(x)=-x, тогда f'(x)=(1-1)/2=0)? Есть такие теории?

Да, правильно Квас написал, я больше понимал касательная как "опорная прямая". Собственно до сих пор не очень понимаю разницу.

[RawonaM]

Т.е. опорная прямая и касательная всегда совпадают в тех точках, где касательная существует?

[arseniiv]

Секущая — просто прямая, проходящая через две какие-то не равные точки прямой. Получение касательной (правильным способом) к кривой в точке B показано ниже. Предел последовательности секущих A₁B, A₂B, A₃B при A_i → B — искомая касательная. С модулем дело в том, касательная существует слева и справа, но они не равны. Левая производная |x| равна −1, а правая +1, но доопределение её в нуле каким бы то ни было значением сделает её уже другой функцией.

Ой, Квас ответил уже. Ну тогда дополню на вот это:

Да, правильно Квас написал, я больше понимал касательная как "опорная прямая". Собственно до сих пор не очень понимаю разницу.

Квас упомянул, что касательная локальна. Действительно, возьмём касательную к синусоиде в точке где-нибудь около одного из максимумов/минимумов. Она будет пересекать синусоиду в довольно большом числе точек, тем большем, чем ближе точка, к которой строим касательную, к экстремуму. (А касательная к экстремуму пересекает синусоиду вообщзе в бесконечном числе точек, но это тут не при чём, и даже исключение к написанному дальше.) Во всех этих точках касательная к синусоиде будет отличаться от касательной к выбранной точке, т. е. ко всем остальным точкам кривой касательная к одной не обязана быть касательной. Опроная прямая так не может.

[Квас]

Т.е. опорная прямая и касательная всегда совпадают в тех точках, где касательная существует?

Необязательно. Кривая может переваливаться с одной стороны касательной на другую: например, график y = x^3 в нуле.

[Bhudh]

Кривая может переваливаться

Я думал, это называется «перегиб», а не «перевал»...

[arseniiv]

Т.е. опорная прямая и касательная всегда совпадают в тех точках, где касательная существует?

Ещё пример. Найдём касательную в нуле к x³. Это 3 ⋅ 0² = 0, и она делит кубическую параболу на две части, расположенные по разные стороны от касательной. А опроных прямых, если не ошибусь, она вообще не имеет.

Тфу, ну что за одинаковые мысмли!

[RawonaM]

Т.е. опорная прямая и касательная всегда совпадают в тех точках, где касательная существует?

Необязательно. Кривая может переваливаться с одной стороны касательной на другую: например, график y = x^3 в нуле.

А опорная всегда с одной стороны? В y = x^3 в нуле есть опорная?

[Bhudh]

Тебя перерезать — то, чем перерезали, будет опорой?

[Квас]

А опорная всегда с одной стороны?

Опорная с одной, да.

[RawonaM]

Как одним словом назвать отрезок/интервал/полуинтервал? Есть у них собирательное название?

В общем, есть некий такой отрезок/интервал/полуинтервал I.
Есть также с>0.

Верно ли, что если f(x) равномерно непрерывна на I и для любого х из I верно f(x)>=c, то 1/f(x) равномерно непрерывна?

Если c = 0 то очевидно, что неверно (например f(x)=x на интервале (0,1)). А вот для с>0 не могу разобраться.

[Квас]

Как одним словом назвать отрезок/интервал/полуинтервал? Есть у них собирательное название?

Промежуток.

Любопытная задача. В принципе, решить можно в лоб. Берём . Далее, берём и пытаемся оценить

сверху так, чтобы эта величина оказалась меньше коль скоро разность достаточно мала. Конечно, по дороге придётся воспользоваться равномерной непрерывностью f(x).

Если не получится, то я напишу решение: сложность не в выкладках, а в самом ходе мысли. А если получится, то напишите сами: поглядим, как вы усвоили логику анализа.

[RawonaM]

Если не получится, то я напишу решение: сложность не в выкладках, а в самом ходе мысли. А если получится, то напишите сами: поглядим, как вы усвоили логику анализа.

Что-то в полпервого ночи с приступом пылевой аллергии, да еще бесит этот латекс-редактор, плохо логика анализа поддается
На самом деле у меня все вроде вышло, только формально записать не получается, надо на свежую голову. Т.е. там если взять эпсилон/с², то сходится, поэтому и нельзя чтобы с=0.
Если будет не лень, завтра попробую записать.

[RawonaM]

Нет же! Похоже это будет верно только при с>=1. Если с меньше, то не верно.

[Квас]

Всё почти правильно. Тогда я сам запишу.

Пусть . Для произвольных имеем

Выберем такое, что

для всех , таких, что . Тогда для любых таких , согласно оценке (*) имеем

что и доказывает равномерную непрерывность функции 1/f.

Очень часто в анализе получается, что изложение доказательства или решения идёт в точности в обратном порядке по сравнению с получением этого доказательства/решения. В данном случае я написал более по-человечески, сразу взяв быка за рога: nervus probandi здесь — получить оценку разности. Однако можно было бы начать так: для данного выберем  , такое, что

для всех , таких, что ... Такой выбор дельта, мягко говоря, неочевиден, и неподготовленного читателя может ввести в ступор, однако логически решение будет безупречно. (Всё же хорошим тоном считается избегать немотивированных сложных выражений типа \varepsilon c^2 в начале рассуждения.)

[RawonaM]

Ой, пока вы писали я тоже тут пытался изложить... Ну в общем, все равно запостю:

Коротко так: из равномерной непрерывности f(x) выходит, что для любого епсилона есть дельта .......... — .

Если 1/f(x) непрерывно равномерна, то .................... .
А это могет быть iff c>=1.

Правильно? Извините, нет сил воевать с латексом и писать все четко и формально

[RawonaM]

Все, мой моск на сегодня отказывается принимать информацию. Спасибо за объяснение, завтра буду разбираться

[Квас]

Вот, у вас совершенно прекрасно записано (единственно подозрительна формулировка «если 1/f равномерно непрерывна»: мы же это вроде доказываем). Только не требуется неравенство : достаточно заметить, что величина может быть сколь угодно мала. Халмош вами гордится. (Математик, написал статью «Как писать математические тексты».)

[RawonaM]

У математиков нет такой приметы, что нельзя на ночь оставлять задачи недопонятыми/недорешаными, а то всю ночь будет мучать? Вот я всю ночь и всю дорогу на работу с этой задачей в голове
Но в итоге я все понял, осенило меня на двух перекрестках от работы. Спасибо за помощь

Квас, где вы такой квадрат красивый взяли? И вообще, вы так наловчились этим редактором пользоваться, завидую Меня не устраивает, что он не визуальный. Неудобно жуть.

[Квас]

У математиков нет такой приметы, что нельзя на ночь оставлять задачи недопонятыми/недорешаными, а то всю ночь будет мучать?

Сестра‐психолог сказала бы: «Гештальт не выполнен».

Квас, где вы такой квадрат красивый взяли? И вообще, вы так наловчились этим редактором пользоваться, завидую Меня не устраивает, что он не визуальный. Неудобно жуть.

(Доволен и болтает.) Он и в юникоде есть наверняка, но я по‐ТеХовски \blacksquare. Люблю его использовать для конца доказательства, хотя, может быть, для экономии чернил лучше просто \square. А формул я уже километр набрал.

всю дорогу на работу

В воскресенье?! 

[RawonaM]

всю дорогу на работу

В воскресенье?! 

Ви што, забыли где я живу?
У нас выходной в субботу, воскресение — первый рабочий день недели.

[Ильич]

воскресение — первый рабочий день недели.

Осталось только узнать, как часто Вы воскресаете или умираете.

[Квас]

У нас выходной в субботу

О д и н д е н ь ?!

[RawonaM]

У нас выходной в субботу

О д и н д е н ь ?!

Ну пятница полувыходной (т.е. после обеда), во многих местах в пятницу вообще не работают. У меня два выходных, пят-суб.

[Квас]

У меня два выходных, пят-суб.

И то слава богу.

(Суббота — евреям, пятница — мусульманам: Святая Земля, как вы думали.  )