Помощь по математике (анализ)

[RawonaM]

Если , то идея та же, но меняется знак неравенства.

Вот это не понял... Почему меняется знак? Ведь неравенства те же для всех чисел: x<=[х]<x+1. И каков результат при минус бесконечность? -1 или 1?

[RawonaM]

Собственно, я припоздал, но не пропадать же красоте (формулам).

Это я поспешил похоже с вопросом... Но не пропадать, у вас все так разложено по полочкам, что это в любом случае полезно

[Квас]

Ну, во-первых, х-1 < [х] <= x. А знак меняется, когда делим на отрицательное x. Предел равен 1.

[RawonaM]

Ну, во-первых, х-1 < [х] <= x.

Почему же? Это вы верхнуюю целую часть обозначили, а не нижнюю. Floor это нижняя, верхняя это ceiling.

[RawonaM]

А знак меняется, когда делим на отрицательное x. Предел равен 1.

Все-таки не вкурил. Зачем нам делить на что-то? Вот смотрите:

Разложили начальную формулу на ментов, какая разница к чему стремятся иксы? Где вообще мы тут делим на х?

[RawonaM]

Ну, во-первых, х-1 < [х] <= x.

Почему же? Это вы верхнуюю целую часть обозначили, а не нижнюю. Floor это нижняя, верхняя это ceiling.

Извините, вы правы, это я перепутал

[Квас]

Ça ne fait rien.

У нас неравенство
t-1 < [t] <= t
Если его поделить на t < 0, то получается
1-1/t > [t]/t >= 1.

[RawonaM]

У нас неравенство
t-1 < [t] <= t
Если его поделить на t < 0, то получается
1-1/t > [t]/t >= 1.

А зачем нам делить?

Я вроде как без всякого деления к тому же самому прихожу:

Раскладываем:


По-моему я нигде не делил. Отсюда в какую бы бесконечность х не стремился а/х будет 0. Чего не хвататет в моем решении?

[Квас]

Ну или умножить, одно и то же: знак неравенства меняется. Ведь если a/x < 0, то 1-a/x > 1.

[RawonaM]

Ну или умножить, одно и то же: знак неравенства меняется. Ведь если a/x < 0, то 1-a/x > 1.

Понятно. Тогда надо отдельно рассматривать положительные а и отрицательные...

[RawonaM]

Требуется доказать по определению эпсилон-дельта, без дополнительных теорем:


Вроде кажется что просто, но я крутил-крутил, запутался. В округе пи/2 целая часть синуса будет 0 и, казалось бы, все дела, но формально ниче у меня не получилось. Оставлю на потом, может выйдет.

[Квас]

В округе пи/2 целая часть синуса будет 0 и, казалось бы, все дела

Именно что. Для произвольного положим и все дела. Но если не лень набирать, вы приведите свои выкладки: интересно посмотреть.

[RawonaM]

В округе пи/2 целая часть синуса будет 0 и, казалось бы, все дела

Именно что. Для произвольного положим и все дела. Но если не лень набирать, вы приведите свои выкладки: интересно посмотреть.

Да, я уже разобрался, там действительно все просто как с обычной постоянной функцией.
Я просто зачем-то все усложнил сначала, потом запутался. Вот в итоге как я сделал:
Для любого эпсилона возьмем дельту<2/пи, тогда 0<х<4/пи, а для этих значений 0<sin(1/x)<1 => [sin(1/x)]=0<эпсилон.
Это ведь легитимное доказательство?

[Квас]

Да, доказательство проходит, только добавить, что это для значений x <> 2/пи.

[RawonaM]

Да, доказательство проходит, только добавить, что это для значений x <> 2/пи.

Действительно, спасибо

[RawonaM]

В общем, пробился довольно долго над головоломкой как доказать, что для любого х>0 верно .

Считаю нерациональным дальше тратить на это время. Чувствую, что это очень легкая задача, но раз не идет так идет, подскажите. Мне кажется, что это в принципе то же самое, что доказать, что , но какое доказательство проще я не знаю.

[Квас]

Мне кажется, что это в принципе то же самое, что доказать, что

Конечно! Одно неравенство превращается в другой заменой переменной.

Наверно, проще доказать второе: оно без дробей. Можно рассмотреть функцию
f(x) = x - sin x
и доказать, что f(x) > 0 при x > 0. Для этого можно взять производную и убедиться, что при x > 0 эта функция возрастает; а f(0) = 0.

[RawonaM]

Для этого можно взять производную

Это пока запрещено, до этого не дошли.

[Bhudh]

Вах. Производная-то чужая, сказалы нэ брать!

[Ильич]

Без картинки не получается. Самое трудное здесь - понять, что такое X, то есть, угол.

[RawonaM]

Без картинки не получается. Самое трудное здесь - понять, что такое X, то есть, угол.

Да я рисовал картинку, не помогло Просто в дебри какие-то уводит.

[Ильич]

Да я рисовал картинку, не помогло Просто в дебри какие-то уводит.

Не понял, так с моей картинкой, точнее, с пояснениями, которые там написаны, доказательство стало понятно?

[RawonaM]

Да я рисовал картинку, не помогло Просто в дебри какие-то уводит.

Не понял, так с моей картинкой, точнее, с пояснениями, которые там написаны, доказательство стало понятно?

Теперь вникнул, вроде понятно. Надо только сформулировать более конкретно.
x=AB/R - это определение угла в радианах.
sin(x)=AC/R - по определению синуса.
AB>AC. Тогда без проблем.

Но есть у меня ощущение, что от нас требуется алгебраическое доказательтсво.

[Ильич]

Да я рисовал картинку, не помогло Просто в дебри какие-то уводит.

Не понял, так с моей картинкой, точнее, с пояснениями, которые там написаны, доказательство стало понятно?

Теперь вникнул, вроде понятно. Надо только сформулировать более конкретно.
x=AB/R - это определение угла в радианах.
sin(x)=AC/R - по определению синуса.
AB>AC. Тогда без проблем.

Но есть у меня ощущение, что от нас требуется алгебраическое доказательтсво.

Ладно, RawonaM, раньше Вы писали, что Вам только идея нужна.
Что касается алгебраического доказательства, то это о чём? Есть такая наука, алгебра называется. Так в ней синусы не изучаются. Есть школьная тригонометрия, в ней нет сравнений аргументов и значений тригонометрических функций.
Как Вы собираетесь определить синус? Можно дать "алгебраическое" определение sin x = Im(exp(ix)). Оно Вам надо? А если синус это отношение противолежащего катета к гипотенузе, то вот Вам уже школьная геометрия: катет, гипотенуза.
Удачи.
P.S. В моем предыдущем сообщении одного не хватает: замечания, что достаточно рассматривать x<= 1.

[RawonaM]

Ладно, RawonaM, раньше Вы писали, что Вам только идея нужна.

Да, и я ее получил, спасибо за помощь.