Лингвофорум

Как бы подешевле вывести произведения косинуса на синус и косинуса на косинус с синусом на синус разных углов — через экспоненту или через что-нибудь иное? Я их вечно не помню, остальное ничего так.

Цитата: arseniiv от декабря 28, 2010, 18:46
Как бы подешевле вывести произведения косинуса на синус и косинуса на косинус с синусом на синус разных углов — через экспоненту или через что-нибудь иное?

Произведение в сумму? Это из формул сложения: берутся их полусуммы.

Mille excuses, сегодня я не в форме; но продолжение будет.

Цитата: Квас от декабря 28, 2010, 18:50
Это из формул сложения: берутся их полусуммы.

Это вот не очень удобно, потому что формулы сложения я тоже не помню.

Цитата: RawonaM от декабря 27, 2010, 20:33
Примерно так. И это было более 11 лет назад, чтоб я еще че-то помнил.

Я закончил среднюю школу примерно 45 лет назад. Но никаких проблем с тригонометрией вроде бы не испытываю. А причину Квас объяснил. Там ничего помнить не требуется. Ну, может быть, кроме теоремы для синуса суммы.
-
Когда я заканчивал среднюю школу, всякие мечты по дальнейшему обучению были. Я выбрал математику, и одна из причин была в том, что в математике практически никакие фактические данные запоминать не нужно. Нужно понять логику. Вот Квас наглядно показывает, как тут в тригонометрии всё завязано. Потому-то он и спрашивает, нужно ли продолжение, а фактически спрашивает, стала ли уже эта логика понятна. Мне тут нечего добавить. Может быть, только то, что основное тождество тригонометрии - это просто теорема Пифагора так здесь выглядит.
-
И ещё про экспоненциальное представление синуса и косинуса. Это не просто какой-то кунстштюк. Дело в том, что любая функция, заданная на всей числовой оси может быть представлена в виде суммы двух функций, одна из которых чётна, а другая нечётна. Так вот синус нечётная, а косинус чётная функции для экспоненты на мнимой оси комплексных чисел. А если экспоненту на обычных, действительных числах рассматривать, то для неё чётной и нечётной будут уже косинус гиперболический и синус гиперболический.
Вообще, математика вот в этой взаимосвязи понятий, их зависимостей и так далее. А вовсе не в дурацких формулах, или, как некоторые думают, в каких-то рассчётах. Хотя некоторые формулы показывают эти самые зависимости, но не в тригонометрии, где кроме определения функций и теоремы Пифагора, вообще ничего нет.

Цитата: Ильич от декабря 28, 2010, 19:33
Я закончил среднюю школу примерно 45 лет назад. Но никаких проблем с тригонометрией вроде бы не испытываю.

Цитата: Ильич от декабря 28, 2010, 19:33
Я выбрал математику, и одна из причин была в том, что в математике практически никакие фактические данные запоминать не нужно.

Ещё бы математик испытывал проблемы со школьной тригонометрией.

Замечательный ответ, только замечу, что не синус нечётная часть, а умноженный на i.
А ещё альтернатива чётной и нечётной частям — формула Эйлера, поскольку она как раз и гласит e^ix = cos x + i sin x, что то же самое абсолютно, но только в компактной записи это будет удобно ниже.

Ой, Тайльнемер уже упомянул её.

А теперь выведем самостоятельно то, что так напугало RawonaM'а:

Цитата: RawonaM от декабря 27, 2010, 20:04
Умно-умно. Я выучу тригонометрию всем вам на зло и буду тоже над йуолами смеяться.

(0)   e^ix = cos x + i sin x
Будем подставлять в эту формулу что попало:
(1)   e^−ix = cos(−x) + i sin(−x) = cos x − i sin x
Одного раза, думаю, хватит. Теперь сложим (0) и (1):
(2)   e^ix + e^−ix = cos x + i sin x + cos x − i sin x = 2 cos x
Интересненько. А если вычесть (1) из (0)?
(3)   e^ix − e^−ix = cos x + i sin x − cos x + i sin x = 2i sin x
Из (2) и (3) делениями на 2 и 2i получаются формулы. После некоторой сноровки они легко запомнятся, потому что их, хоть и слегка громоздкий, вид напоминает о чётности и нечётности.

Цитата: arseniiv от декабря 28, 2010, 21:41
не синус нечётная часть, а умноженный на i.

Не хотел утяжелять основную мысль.

Цитата: myst от декабря 28, 2010, 19:54
Ещё бы математик испытывал проблемы со школьной тригонометрией.

Я математик по образованию, но последние 35 лет математикой не занимался, ни как научный сотрудник, ни как преподаватель.
Тем не менее считаю, что математика кормила меня почти всю жизнь, потому что её изучение прививает и развивает как способности к творчеству, так и к анализу. В чём-то математика ближе к лингвистике, чем к тому, что называют точными науками. Недаром замечательный физик Фейнман писал, что математика вообще не является наукой.
Есть ещё один аспект изучения математики. Это обучение способности отличать правду от правдоподобных рассуждений. Некоторые математики считают, что в этом собственно и состоит вся математика.

Собрал все теоремы из части по дифференцированию:
Fermat
Rolle
Lagrange
Cauchy
Darboux
L'Hopital

Французы забили патент на дифференциальный счет?

Цитата: RawonaM от декабря 30, 2010, 08:34
Французы забили патент на дифференциальный счет?

Ну да. (По‐русски говорят «дифференциальное исчисление».) Французы — молодцы. В анализе всю теорию Коши придумал (включая интеграл Римана ). Из колоссов (кроме Ньютона) Вейерштрасс на ум приходит, но это уже позже.

А Чебышёв⁈

Честно говоря, историю математики я знаю в основном по названиям теорем. Чебышёв — крупный учёный, но Коши и Вейерштрасс в моих представлениях имеют совсем другой порядок.

(wiki/ru) Многочлены Чебышёва
(wiki/ru) Неравенство Чебышёва
(wiki/ru) Неравенство Чебышёва для сумм

А ещё помню полином Ж(и|е)галкина.

Цитата: Bhudh от декабря 30, 2010, 20:39
(wiki/ru) Многочлены Чебышёва
(wiki/ru) Неравенство Чебышёва

Ну, это я знаю.

Многочлены Чебышёва — да, используются в теории интерполирования. Однако есть куча именованных систем многочленов: полиномы Лежандра, Эрмита, Лагерра...

Неравенство Чебышёва — это теория вероятностей, .

А неравенства Чебышёва для сумм впервые вижу. Неравенства Коши—Буняковского, Гёльдера, Минковского (в виде неравенства треугольника в функциональных пространствах), даже Юнга (в частном случае, названном в честь Коши: |ab| <= (a^2 + b^2)/2) использую постоянно, а вот неравенство Чебышёва как‐то ни к чему было.

Цитата: Quāsus

Натянутые отношения с тервером?

Цитата: Bhudh от декабря 30, 2010, 21:00

Цитата: Quāsus

Натянутые отношения с тервером?

Смайл порвал Тока трохи слишковато ты его натянул, сложно узнать)

Будем подтягивать тервер в следующем семестре вместе.
У меня три курса, иншалла вытяну

Цитата: RawonaMСмайл порвал

Да вроде растянул только...

Цитата: RawonaMТока трохи слишковато ты его натянул, сложно узнать)

Так я его в 3 этапа... Ты на последний попал.

Цитата: Bhudh от декабря 30, 2010, 21:00
Натянутые отношения с тервером?

Да не, сдано на пятёрки и забыто. Просто не нравится. «Либо пациент жив, либо пациент мёртв», «отдельная борода науку не интересует». Правда, нарды несколько реабилитировали стохастику в моих глазах: не зря же теория вероятностей начиналась как теория азартных игр.

Цитата: myst от декабря 30, 2010, 20:49
А ещё помню полином Ж(и|е)галкина.

Так это ж не из анализа. Это из дискретки.

Цитата: Тайльнемер от декабря 31, 2010, 07:10
Так это ж не из анализа. Это из дискретки.

А тут тока из анализа можна?

Цитата: myst от декабря 31, 2010, 09:40
А тут тока из анализа можна?

Цитата: RawonaM от декабря 30, 2010, 08:34
Французы забили патент на дифференциальн[ое исчисление]?

У этого полигнома есть максимум три корня если n нечетный и максимум два — если четный. Верно?

Цитата: RawonaM от декабря 31, 2010, 17:39
У этого полигнома есть максимум три корня если n нечетный и максимум два — если четный. Верно?

Корни, насколько понимаю, вещественные интересуют. А кратность учитывается?

Цитата: Квас от декабря 31, 2010, 18:31
Корни, насколько понимаю, вещественные интересуют. А кратность учитывается?

В анализе тока вещественными занимаются вроде
Как понять кратность?