Лингвофорум

Я вот подумал, тут ведь есть люди, понимающие хорошо в математике, то почему бы этим не воспользоваться

Непонятно только, как вводить формулы. На сайте универа пользуются одной утилитой, которая только в IE работает. Это негуманно.

В общем, у меня всегда были загвоздки с тригонометрией, вот как раз ломаю голову над двумя задачками с тригонометрическими функциями:

ЦитироватьНайти M>0 такой, чтобы при х>M было верно
(6x² - 7sin(x)) / (3x + 1)

Тут интуитивно понятно, что если взять любой большой М (например 10000), то это будет верно. А вот как это математически доказать? Ведь -7<=7sin(х)<=7, а значит однозначно поставить знак больше или меньше невозможно. 

ЦитироватьНайти все возможные значения х:
|sin(x)|<=sin(2x)

Эта задача тоже интуитивнo понятна, если нарисовать два графика, но рассчеты получаются какие-то удивительные.
Я начал так:
в тех отрезках, где sin(x)>0 будет верно, что
sin(x)<=sin2x=2sin(x)cos(x)   =>
cos(x)>=1/2
Что совершенно не соответствует тому, что я вижу на графике! Где я ошибся?

Цитата: RawonaM от октября 25, 2010, 11:56

ЦитироватьНайти все возможные значения х:
|sin(x)|<=sin(2x)

Эта задача тоже интуитивная понятна, если нарисовать два графика, но рассчеты получаются какие-то удивительные.
Я начал так:
в тех отрезках, где sin(x)>0 будет верно, что
sin(x)<=sin2x=2sin(x)cos(x)   =>
cos(x)>=1/2
Что совершенно не соответствует тому, что я вижу на графике! Где я ошибся?

обе функции с периодом pi, поетому достаточно рассмотреть их на этом интервале. из графика видно, что sin(2x) идёт "круче" до 60 градусов, где обе функции пересекаются, т.е. там где cos(x)>=1/2 (0<=х<=2/3pi) и находится область ваших решений. непонятно, что вас тут смутило.

Цитата: RawonaM от октября 25, 2010, 11:56

ЦитироватьНайти M>0 такой, чтобы при х>M было верно
(6x² - 7sin(x)) / (3x + 1)

сорри, возможно, я просто не догнал, верно что? я не вижу никакого условия в математической записи проблемы.

Цитата: taqseem от октября 25, 2010, 12:43

Цитата: RawonaM от октября 25, 2010, 11:56

ЦитироватьНайти M>0 такой, чтобы при х>M было верно
(6x² - 7sin(x)) / (3x + 1)

сорри, возможно, я просто не догнал, верно что? я не вижу никакого условия в математической записи проблемы.

Ой, пропустил: должно быть так: (6x² - 7sin(x)) / (3x + 1) > 1000

Цитата: taqseem от октября 25, 2010, 12:40
обе функции с периодом pi, поетому достаточно рассмотреть их на этом интервале. из графика видно, что sin(2x) идёт "круче" до 60 градусов, где обе функции пересекаются, т.е. там где cos(x)>=1/2 (0<=х<=2/3pi) и находится область ваших решений. непонятно, что вас тут смутило.

Все-все, понял свою ошибку, спасибо Иногда бывает переклинивает на простых вещах.

Цитировать
Найти M>0 такой, чтобы при х>M было верно
(6x² - 7sin(x)) / (3x + 1) > 1000

Если надо хотя бы одно такое число M найти, то задача очень простая: достаточно взять M = 1000, тогда при x > M имеем

(6x² - 7sin(x)) / (3x + 1) >=  (6x² - 7) / (4x) = 3/2 x - 7/(4x) >= 3/2 * 1000 - 7/4 > 0

(не очень элегантно, но проходит). На самом деле выражение, стоящее в левой части исходного неравенства, обращается в 1000 при x = 500.3314106... (это число можно вычислить только приближённо) а при бóльших x выражение больше 1000, поэтому в качестве M можно взять произвольное число, >= 500.3314106... В принципе, это не так сложно обосновать, если надо.

Цитата: RawonaM от октября 25, 2010, 12:49

Цитата: taqseem от октября 25, 2010, 12:43

Цитата: RawonaM от октября 25, 2010, 11:56

ЦитироватьНайти M>0 такой, чтобы при х>M было верно
(6x² - 7sin(x)) / (3x + 1)

сорри, возможно, я просто не догнал, верно что? я не вижу никакого условия в математической записи проблемы.

Ой, пропустил: должно быть так: (6x² - 7sin(x)) / (3x + 1) > 1000

оба решения не точные, но дают хорошую апприксимацию

способ первый : принимая во внимание, что max[sin(x)]=1, запишем уравнение в виде

6х^2 - 7 > 3000х + 3000

один корень х1~-1, другой - х2~501, т.е. для х>502 условие выполнено

способ второй: глядя на уравнение, сразу ясно, что речь идёт о больших числах (х>>1), поэтому пренебрегая 7sin(x) в числителе и 1 в знаменателе, запишем

6х^2/3х > 1000, откуда х>500

думаю, так.

Цитировать
Найти все возможные значения х:
|sin(x)|<=sin(2x)

Нас в школе такое учили «методом интервалов» решать. Подождите чуть, напишу.

Цитата: taqseem от октября 25, 2010, 13:24
способ второй: глядя на уравнение, сразу ясно, что речь идёт о больших числах (х>>1), поэтому пренебрегая 7sin(x) в числителе и 1 в знаменателе, запишем

6х^2/3х > 1000, откуда х>500

Вот я так изначально и сделал, но мне кажется это не проходит. Как доказать, что этими числами можно пренебречь?

Цитата: Квас от октября 25, 2010, 13:20
3/2 x - 7/(4x) >= 3/2 * 1000 - 7/4 > 0

Тут не понял. Может вы имели в виду:
3/2x - 7/(4x) >= 3/2 * 1000 - 7/4*1000 > 1000
?

Цитата: taqseem от октября 25, 2010, 13:24
х>>1

А что это значит?

Цитата: RawonaM от октября 25, 2010, 13:36
Цитата: Квас от Сегодня в 14:20

Цитировать3/2 x - 7/(4x) >= 3/2 * 1000 - 7/4 > 0

Тут не понял. Может вы имели в виду:
3/2x - 7/(4x) >= 3/2 * 1000 - 7/4*1000 > 1000

Чтобы уменьшить разность, увеличиваем вычитаемое (дробь). Чтобы увеличить дробь, уменьшаем знаменатель: 4x >= 4, так как во всяком случае x >= 1. Так что у меня всё верно.

Цитата: taqseem от октября 25, 2010, 13:24
способ первый : принимая во внимание, что max[sin(x)]=1, запишем уравнение в виде

6х^2 - 7 > 3000х + 3000

один корень х1~-1, другой - х2~501, т.е. для х>502 условие выполнено

Вот, тут тоже кое что неясно. Если условие выполнено для х~501, то стопроцентов для всех х>501 оно будет выполняться? Почему? Давно математикой не занимался

Цитата: Квас от октября 25, 2010, 13:39

Цитировать

Цитировать3/2 x - 7/(4x) >= 3/2 * 1000 - 7/4 > 0

Тут не понял. Может вы имели в виду:
3/2x - 7/(4x) >= 3/2 * 1000 - 7/4*1000 > 1000

Чтобы уменьшить разность, увеличиваем вычитаемое (дробь). Чтобы увеличить дробь, уменьшаем знаменатель: 4x >= 4, так как во всяком случае x >= 1. Так что у меня всё верно.

А-а, теперь ясно. А зачем "> 0"? Ведь в условии >1000.

Цитата: RawonaM от октября 25, 2010, 13:44
А-а, теперь ясно. А зачем "> 0"? Ведь в условии >1000.

Ага, прошу прощения.

Цитата: RawonaM от октября 25, 2010, 13:39

Цитата: taqseem от октября 25, 2010, 13:24
х>>1

А что это значит?

это значит "много больше"

Цитата: taqseem от октября 25, 2010, 13:48

Цитировать

Цитироватьх>>1

А что это значит?

это значит "много больше"

Что, реально есть такое обозначение? И как много это должно быть?

Цитата: RawonaM от октября 25, 2010, 13:42

Цитата: taqseem от октября 25, 2010, 13:24
способ первый : принимая во внимание, что max[sin(x)]=1, запишем уравнение в виде

6х^2 - 7 > 3000х + 3000

один корень х1~-1, другой - х2~501, т.е. для х>502 условие выполнено

Вот, тут тоже кое что неясно. Если условие выполнено для х~501, то стопроцентов для всех х>501 оно будет выполняться? Почему? Давно математикой не занимался

если корни найдены, то неравенство можно записать как (х-х1)*(х-х2)>0, в нашем случае оно принимает вид (х+1)(х-501)>0, откуда видно, что для для х>0 оно выполняется всегда, когда х>501

Цитата: RawonaM от октября 25, 2010, 13:51

Цитата: taqseem от октября 25, 2010, 13:48

Цитировать

Цитироватьх>>1

А что это значит?

это значит "много больше"

Что, реально есть такое обозначение? И как много это должно быть?

конечно есть. я его не сейчас придумал. что значит много больше вы решаете сами. ну, напримет, 2 порядка величины - это много больше.

Цитата: Квас от октября 25, 2010, 13:39
Чтобы увеличить дробь, уменьшаем знаменатель: 4x >= 4, так как во всяком случае x >= 1.

Хотя трудно сказать, почему я x единицей оценивал, а не через M. RawonaM, у вас лучше.

Цитата: taqseem от октября 25, 2010, 13:55
что значит много больше вы решаете сами.

Технарь? В математике «много больше» подразумевает какой‐нибудь предельный переход.

Цитата: Квас от октября 25, 2010, 13:27
Нас в школе такое учили «методом интервалов» решать. Подождите чуть, напишу.

Хотя тут это из пушки во воробьям. Так как период pi, то рассматриваем на [0, pi], и модуль пропадает. Так что к предложению taqseem‐а ничего интересного прибавить нельзя.

Цитата: Квас от октября 25, 2010, 14:06
Так как период pi, то рассматриваем на [0, pi], и модуль пропадает.

Не совсем понял. Надо ведь еще и [-pi, 0] или [pi, 2pi], они же отличаются от [0, pi].

Цитата: RawonaM от октября 25, 2010, 14:15

ЦитироватьТак как период pi, то рассматриваем на [0, pi], и модуль пропадает.

Не совсем понял. Надо ведь еще и [-pi, 0] или [pi, 2pi], они же отличаются от [0, pi].

Пардон, глупость сказал. Действительно, получается только один отрезок.

Всем спасибо за помощь.

При возникновении вопросов в будущем буду писать сюда

Цитата: Квас от октября 25, 2010, 13:59

Цитата: taqseem от октября 25, 2010, 13:55
что значит много больше вы решаете сами.

Технарь? В математике «много больше» подразумевает какой‐нибудь предельный переход.

верно. про большие и малые "О" вы, конечно, же знаете.

http://en.wikipedia.org/wiki/Big_O_notation

а какой у вас бэкграунд? я - инженер-физик, порядком заржавевший, правда, вне академичаской среды.