Помощь по математике (анализ)

Bhudh · февраля 16, 2011, 22:24

Цитата: Квасинтегралы от рациональных дробей теоретически всегда берутся.

Особенно греет душу слово «теоретически»...

Квас · февраля 16, 2011, 22:29

Цитата: RawonaM от февраля 16, 2011, 22:22
На что заменить?

Можно на y, но я обычно на t.

$[tex]1 + x^2 = t\\ x^2 = t-1 \\ 2x\,dx=dt \\ x^3 dx= \frac 12 (t-1) \,dt[/tex]$
Если заменить $[tex]x^2 = t[/tex]$ , то получается в принципе то же самое, но числитель чуть проще, а знаменатель чуть сложней. По мне, пусть лучше знаменатель будет проще.

Цитата: RawonaM от февраля 16, 2011, 22:22
Я решил не учить интегралы от рациональных, потому что это занимает о-очень много времени, не успеваю подготовиться.

Будет охота — могу вкратце рассказать. На самом деле там несложно, но вычисления бывают громоздкие.

Квас · февраля 16, 2011, 22:31

Цитата: Bhudh от февраля 16, 2011, 22:24
Особенно греет душу слово «теоретически»...

Ну, надо для начала знаменатель на множители разложить. Теоретически, опять же, он раскладывается. А ну как он у него есть корень, не выражающийся в радикалах?

RawonaM · февраля 16, 2011, 22:34

Цитата: Квас от февраля 16, 2011, 22:29
ЦитироватьЯ решил не учить интегралы от рациональных, потому что это занимает о-очень много времени, не успеваю подготовиться.
Будет охота — могу вкратце рассказать. На самом деле там несложно, но вычисления бывают громоздкие.

Расскажите, вдруг меня это спасет на экзамене

Сколько я в этой теме начерпался всего...

Цитата: Квас от февраля 16, 2011, 22:29
ЦитироватьНа что заменить?
Можно на y, но я обычно на t.

Не, ну бывает на син(т) заменяют, мало ли...

Я думал эту штуку можно каким-нибудь трюком типа плюс х квадрат и минус х квадрат, а оказывается там нужно по полному... Значит не всегда легкие интегралы дают. Это из прошлых экзаменов.

RawonaM · февраля 16, 2011, 22:36

Цитата: Квас от февраля 16, 2011, 22:31
Ну, надо для начала знаменатель на множители разложить. Теоретически, опять же, он раскладывается. А ну как он у него есть корень, не выражающийся в радикалах?

У меня вроде написано, что в знаменателе должен быть полином без вещественных корней. В общем, там дебри такие, что я решил сконцентрироваться лучше на хакирот функций и этого должно быть достаточно.

Bhudh · февраля 16, 2011, 22:40

Цитата: КвасА ну как он у него есть корень, не выражающийся в радикалах?

Что — «он»?

Квас · февраля 16, 2011, 23:05

Напомню теорему о разложении многочленов на множители. Любой многочлен степени $[tex]\geqslant 1[/tex]$ с действительными коэффициентами единственным образом раскладывается в произведение линейных множителей и квадратичных множителей с отрицательными дискриминантами.

Рациональными дробями называются функции вида $[tex]\frac{P(x)}{Q(x)}[/tex]$ , где P(x), Q(x) — многочлены, Q(x) ненулевой. Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя.

1. Любую рациональную дробь можно представить в виде суммы многочлена и правильной дроби. Для этого нужно числитель поделить с остатком на знаменатель, можно выполнить «уголком».

Следовательно, достаточно изучить вопрос интегрирования правильных дробей.

2. Любую правильную рациональную дробь можно единственным образом представить в виде суммы элементарных дробей, к которым относятся дроби вида $[tex]\frac{a}{(x-b)^m}[/tex]$ и $[tex]\frac{ax + b}{(x^2 + px + q)^n}[/tex]$ , где $[tex]x^2 + px + q[/tex]$ — трёхчлен с отрицательным дискриминантом.

Следовательно, достаточно научиться интегрировать элементарные дроби. Но сначала нужно научиться раскладывать дробь в сумму элементарных. Обычно это самая трудоёмкая часть решения.

Для нахождения такого разложения нужно сначала разложить знаменатель на множители. Каждый множитель знаменателя вида $[tex](x-c)^k[/tex]$ даёт в разложении $[tex]k[/tex]$ членов вида
$[tex]\frac{a_1}{x-c}[/tex]$ , $[tex]\frac{a_2}{(x-c)^2}[/tex]$ ,..., $[tex]\frac{a_k}{(x-c)^k}[/tex]$ ,
а каждый множитель знаменателя вида $[tex](x^2 + px + 1)^l[/tex]$ даёт в разложении l членов вида
$[tex]\frac{a_1x + b_1}{x^2 + px + 1},\ \frac{a_2x + b_2}{(x^2 + px + 1)^2},\ldots,\ \frac{a_kx+b_k}{(x^2 + px + 1)^k}[/tex]$

Например, дробь $[tex]\frac{x}{(x-1)(x-2)^3(x^2+x+1)}[/tex]$ имеет разложение вида
$[tex]\frac{x}{(x-1)(x-2)^3(x^2+x+1)^2} = \\=\frac{A}{x-1} + \frac B{x-2} + \frac C{(x-2)^2}+\frac D{(x-2)^3} + \frac {Ex+F}{x^2+x+1} + \frac{Gx+H}{(x^2+x+1)^2}[/tex]$

Само разложение обычно ищут методом неопределённых коэффициентов: сначала записывают в буквенном виде, потом приводят дроби в правой части к общему знаменателю и приравнивают числители. Получается равенство многочленов, которое равносильно равенству коэффициентов при соответсвующих степенях x.

Пример:
$[tex] \frac{x}{(x-1)(x-2)} = \frac A{x-1} + \frac B{x-2}[/tex]$
$[tex] A(x-2) + B(x-1) = x \qquad (*)[/tex]$
$[tex] (A+B)x + (-2A-B) = x[/tex]$
$[tex]\left\{\begin{array}{l} A+B = 1\\ -2A-B = 0 \end{array} \right. [/tex]$

Но можно схитрить. Тождество (*) справедливо при всех x, поэтому ничто не мешает подставить x = 1 и x = 2, тогда сразу получаем
-A = 1, B = 2.
Следовательно,
$[tex] \frac{x}{(x-1)(x-2)} = -\frac 1{x-1} + \frac 2{x-2}[/tex]$

Квас · февраля 16, 2011, 23:18

Осталось научиться интегрировать элементарные дроби. Дроби первого вида не представляют трудностей. Дроби вида $[tex]\frac{ax + b}{(x^2 + px + q)^n}[/tex]$ рассмотрим только для $[tex]n=1[/tex]$ , отсылая читателя к специальной литературе для рассмотрения случая $[tex]n \geqslant 2[/tex]$ .

Если $[tex]a \neq 0[/tex]$ , то для начала можно избавиться от x в числителе, сделав питуах
$[tex]\int\frac{ax + b}{x^2 + px + q} dx = \int \frac { \frac a2 (2x + p) + \left(p-\frac{pa}2 \right)}{x^2 + px + q} dx =\\= \frac a2 \int \frac{d(x^2+px+q)}{x^2+px+q} + \left(p-\frac{pa}2 \right) \int \frac{dx}{x^2 + px + q} [/tex]$
Питуах несколько страшный на вид, но делается легко: переписываем знаменатель дроби, в числителе ставим производную знаменателя, умножаем её на такое число, чтобы получилось a и добавляем такое число, чтобы ничего не поменялось. Например,
$[tex]\int\frac{3x + 1}{x^2 - x + 2} dx = \int \frac { \frac 32 (2x -1 ) + \frac 52}{x^2 - x + 2} dx[/tex]$
После питуаха задача практически решена: первый интеграл выражается через логарифм, а второй выделением полного квадрата в знаменателе приводится к табличному
$[tex]\int \frac{dx}{x^2+a^2} = \frac 1a \mathop{\mathrm{arctg}} \frac xa + C[/tex]$

Si vous avez des questions, n'hésitez pas à les poser !

Квас · февраля 16, 2011, 23:20

Цитата: RawonaM от февраля 16, 2011, 22:36
хакирот функций

Почему я ещё не знаю этого слова?

(И куда ударение падает?)

Цитата: Bhudh от февраля 16, 2011, 22:40
Цитата: Квас
ЦитироватьА ну как он у него есть корень, не выражающийся в радикалах?
Что — «он»?

Проступило на палимпсесте.

RawonaM · февраля 16, 2011, 23:23

Grand merci, Quase!

Demain matin je vais lire tout ca, maintenant je dois dormir, c'est assez pour aujourd'hui. Bonne nuit

RawonaM · февраля 16, 2011, 23:24

Цитата: Квас от февраля 16, 2011, 23:20
Цитироватьхакирот функций
Почему я ещё не знаю этого слова? (И куда ударение падает?)

Хакира́ (-о́т, мн. ч.)=исследование

Квас · февраля 16, 2011, 23:28

Bonne nuit !

Bhudh · февраля 16, 2011, 23:30

Bonne nuit !

RawonaM · февраля 17, 2011, 08:36

Уже третий день ни хрена формул не вижу

А на работе видно. Похоже мой мобильный айпи забанен на кодкогах.

Квас · февраля 17, 2011, 11:16

Alors, voici ce que j'ai écrit dans les derniers messages.

RawonaM · февраля 17, 2011, 11:47

Merci beaucoup!

RawonaM · февраля 18, 2011, 11:28

Vous expliquez tres clairement, c'est facile a comprendre, merci

Mais je crois que cette chose-la n'est pas possible a apprendre sans passer des jours (ou bien des semaines) en pratiquant des exercises, et je ne les ai pas.

C'est trop difficile cet matane, on ne nous a pas donne assez de temps, je sense...

Квас · февраля 18, 2011, 16:41

Цитата: RawonaM от февраля 18, 2011, 11:28
Mais je crois que cette chose-la n'est pas possible a apprendre sans passer des jours (ou bien des semaines) en pratiquant des exercises, et je ne les ai pas.

Si vous avez besoin des exercices, vous pouvez en trover beaucoup chez Démidovitch. La tâche principale c'est de décomposer la fraction : il me semble qu'une ou deux éxercices suffiriont. Mais peut-être c'est plus pratique de s'occuper d'autres choses.

RawonaM · февраля 18, 2011, 16:47

Цитата: Квас от февраля 18, 2011, 16:41
Цитироватьsans passer des jours (ou bien des semaines) en pratiquant des exercises, et je ne les ai pas.
Si vous avez besoin des exercices, vous pouvez en trover beaucoup chez Démidovitch.

J'ai voulu dire que je n'ai pas de temps pour ca...
Mon exam est ce lundi.

Квас · февраля 18, 2011, 16:52

Цитата: RawonaM от февраля 18, 2011, 16:47
J'ai voulu dire que je n'ai pas de temps pour ca...
Mon exam est ce lundi.

Ah bon... Alors, ces integrals ne vous tomberont pas !

Bhudh · февраля 18, 2011, 19:06

Offtop

Захотелось напомнить правила форума, да это админ с модером...

RawonaM · февраля 18, 2011, 19:17

Цитата: Bhudh от февраля 18, 2011, 19:06
Захотелось напомнить правила форума, да это админ с модером...

Вероятно допотопные правила...

Je viens de calculer $[tex]\int \frac{x+4}{(x^2+x+1)^2}[/tex]$ — c'etait pas facile, mais ce n'est que la technique... aucune theorie ou savoir...

Квас · февраля 18, 2011, 20:05

Цитата: RawonaM от февраля 18, 2011, 19:17
Je viens de calculer

De quelle façon l'avez-vous fait ?

On pourrait cependant appliquer un peu de théorie.

C'est en effect une fraction élémentaire de la deuxième classe que nous avons laissé de côté sauf un cas très simple.

Bhudh · февраля 18, 2011, 20:10

Цитата: RawonaMВероятно допотопные правила...

На форуме был потоп⁈

Что-то я как-то пропустил...

RawonaM · февраля 20, 2011, 21:33

Подкажите как решать какой-нить интеграл попроще из тех, что не отмечены галочками, плиз

Лингвофорум

Помощь по математике (анализ)

Bhudh

Квас

Квас

RawonaM

RawonaM

Bhudh

Квас

Квас

Квас

RawonaM

RawonaM

Квас

Bhudh

RawonaM

Квас

RawonaM

RawonaM

Квас

RawonaM

Квас

Bhudh

RawonaM

Квас

Bhudh

RawonaM

Быстрый ответ