Лингвофорум

К нулю, жечевище.

А лимит по условию определённый или −∞ покатит?

Цитата: Bhudh от января 22, 2011, 00:23
А лимит по условию определённый или −∞ покатит?

Любой прокатит, но не в лимите дело, а в том, как это решать.

Цитата: RawonaM от января 21, 2011, 23:55
Как решить

Заменой можно свести к известному следствию второго замечательного предела:


Теперь в этом пределе вы можете увидеть расписанное по определению

откуда следует, что можно было бы не вспоминать этого следствия, а разложить экспоненту по формуле Тейлора.

Цитата: Квас от января 22, 2011, 08:40

Цитата: RawonaM от января 21, 2011, 23:55
Как решить

Заменой можно свести к известному следствию второго замечательного предела:


Теперь в этом пределе вы можете увидеть расписанное по определению

откуда следует, что можно было бы не вспоминать этого следствия, а разложить экспоненту по формуле Тейлора.

У нас не было ни Тейлора, ни второго замечательного

Цитата: RawonaM от января 22, 2011, 09:43
У нас не было ни Тейлора, ни второго замечательного

Странная программа. А интегралы, значит, были? Но производную экспоненты ведь знаете? Там она и написана: предел отношения приращения функции к приращению аргумента.

Цитата: Квас от января 22, 2011, 09:45
А интегралы, значит, были?

Так ln ведь через интеграл определяется.

Цитата: Квас от января 22, 2011, 09:45
Но производную экспоненты ведь знаете?

Вы имеете в виду (e^x)'=e^x?

Ну в общем-то я понял: если подставить и по Лопиталю предел найти, то выходит 1

Цитата: RawonaM от января 22, 2011, 10:11
Так ln ведь через интеграл определяется.

Ох... Это тот случай, когда здравый смысл приносится в жертву строгости изложения. Наверно, им так проще, но вообще-то логарифм — это обратная функция к экспоненте.

Цитата: RawonaM от января 22, 2011, 10:11
Вы имеете в виду (e^x)'=e^x?

Да. Если записать определение производной при x = 0, получается как раз мой предел.

Цитата: RawonaM от января 22, 2011, 10:15
Ну в общем-то я понял: если подставить и по Лопиталю предел найти, то выходит 1

Против лома нет приёма.

Цитата: Квас от января 22, 2011, 10:18
Ох... Это тот случай, когда здравый смысл приносится в жертву строгости изложения. Наверно, им так проще, но вообще-то логарифм — это обратная функция к экспоненте.

А экспонента определяется как обратная функция к лану
А если наоборот, то экспонента как определяется?

Цитата: RawonaM от января 22, 2011, 10:36
А экспонента определяется как обратная функция к лану

Ух нифига себе! (Кажется, у нас тоже был такой подход в учебнике 11 класса, но мы теорию по нему не учили). А степень с произвольным основанием тогда определить как

и ну-ка попробовать посчитать

Цитата: RawonaM от января 22, 2011, 10:36
А если наоборот, то экспонента как определяется?

Более естественный способ (так и было исторически) состоит в следующем. Возьмём число a>0, a<>1. Натуральные степени от него определяются через умножение; по определению

целые отрицательные степени определяются как обратные величины к целым положительным, а рациональные степени — следующим образом:

Получается функция , определённая на множестве рациональных чисел. Её можно по непрерывности продолжить на , то есть для каждого вещественного x в качестве берётся предел , где , .

Логарифм тогда определяется как обратная функция к экспоненте. А число e по определению

(это и есть второй замечательный предел; нетривиальное утверждение заключается в том, что предел в левой части существует.)

Это длинная и кропотливая процедура: нужно много раз доказывать корректность определений, проверять выполнение свойства степени при расширении допустимого множества показателей. Поэтому люди могут пойти в обход, например, как у вас сделали (кстати, доказывали ли вы свойства логарифмов исходя из вашего определения? Внутреннюю нетривиальность теории невозможно обойти.) Для сравнения: в книге Шилова «Математический анализ. Функции одного переменного» сначала тоже вводится логарифм, но на основании фундаментального свойства логарифма: log ab = log a + log b; из анализа используется понятие непрерывной функции.

Цитата: Квас от января 22, 2011, 11:03
А степень с произвольным основанием тогда определить как

Именно так

Цитата: Квас от января 22, 2011, 11:03
Логарифм тогда определяется как обратная функция к экспоненте. А число e по определению

(это и есть второй замечательный предел; нетривиальное утверждение заключается в том, что предел в левой части существует.)

А-а, это у нас есть... Только ничем особо примечательно не отмечено, поэтому я даже не обратил особого внимания, просто рядовая теорема

В конце чаптера есть краткое изложение, там написано, что логаритм (кроме лана) опеределен как обратная функция к фунции степени с произвольной базой. Т.е. лан определялся через интеграл, дальше по цепочке что я сказал, а потом логарифм определяется.

Я вспомнил, что на лекциях на сайте рассказывали об этом «замечательном» пределе подробнее и сказали, что мы нашли число е вторым способом, что в общем-то нетривиально. Но в книге общее изложение другое, поэтому я не обратил внимания

Цитата: Квас от января 22, 2011, 11:03
кстати, доказывали ли вы свойства логарифмов исходя из вашего определения? Внутреннюю нетривиальность теории невозможно обойти.

Не понял, что вы имеете в виду? Какие свойства?

Смотрю вот на «алгебраические свойства log_bx, все вроде доказано.

Цитата: RawonaM от января 22, 2011, 11:23
Не понял, что вы имеете в виду? Какие свойства?

Хотя бы

То есть для натурального логарифма тождество из #590 вы из интегралов выводили? Уважаю.

Цитата: Квас от января 22, 2011, 11:38
То есть для натурального логарифма тождество из #590 вы из интегралов выводили? Уважаю.

Да, из интеграла. Мне все равно на экзамен все эти определения надо запомнить, могу пересказать, будет начало подготовки к экзамену

Ну это как хотите.

Я не против разных определений. Часто бывает, что способ введения некоторого понятия мало связан с его природой. Однако это уже требует некоторой математической культуры, и надо не забывать об идеологии.

В случае со степенью и логарифмом идеология такая: степень рождается из многократного умножения; основное свойство степени —
,
показательная и логарифмические функции — взаимно обратные, основное свойство логарифма —
.

Имея всё это в голове, можно пользоваться любым способом определения. Например, преподаватель скажет: «Дети, следовать схеме из #585 — это . Поэтому мы сделаем финт ушами: введём логарифм через интеграл. Это проще, но, как оказывается, в итоге получается одно и то же!» А нельзя говорить так: «Дети, вы убедились, что интеграл от любой степенной функции — степенная функция, кроме 1/x. Давайте же первообразную от этой необычной функции обзовём натуральным логарифмом!» Это называется переворачиванием с ног на голову и высасыванием из пальца.

Объект математики — пространственные формы и количественные отношения, а предмет — логические конструкции. Диалектические противоположности, однако. Надо уметь между ними лавировать.

Честно сказать, не понимаю вашего негодования, поэтому не могу его разделить У нас были определены рациональные степени по обычной схеме, а определение через е и лан дополнило его до всех вещественных чисел.

А где я негодую? Математика — это наука обманывать людей. ©Квас (C'est modeste, n'est-ce pas ?) Я говорю, что одно и то же можно подать под совершенно разными соусами. Чем лучше преподаватель, тем лучше соус!

Цитата: Квас от января 22, 2011, 12:15
Имея всё это в голове, можно пользоваться любым способом определения.

Но ведь это все таки имеют в голове еще со школы (ну кроме тех, кто не помнит ничего ), так что возможно на это и рассчитано.

Цитата: Квас от января 22, 2011, 12:25
А где я негодую? Математика — это наука обманывать людей. ©Квас (C'est modeste, n'est-ce pas ?) Я говорю, что одно и то же можно подать под совершенно разными соусами. Чем лучше преподаватель, тем лучше соус!

История нашего учебника восходит к шестидесятым годам к книге «A Programmed Course in Calculus», подготовленной бай The Committee on Educational Media of The Mathematical Association of America.
Можете винить во всем буржуев, это они нас дурят

А вообще я люблю открытый университет за его книги и строгий порядок и никакой отсебятины!

Идеологию в книгах не напишут, её должен преподаватель доносить. 

Насчёт «наука обманывать людей» — это не в том смысле, что дурят. Это восхищение способностью математиков формализовать что угодно, часто неожиданными способами.

Цитата: Квас от января 22, 2011, 12:50
Идеологию в книгах не напишут, её должен преподаватель доносить.

Ну уж не знаю. Весь открытый университет построен на преподавании без преподавателя, т.е. на самообучении через книги.
По-моему идеология в книгах очень хорошо даже пишется. Я имею в виду в общем смысле, не в математическом.

Скоро мне предстоит готовиться к линейной алгебре, вот думаю посмотреть лекции Gilbert-a Strang-a из MIT на Ютубе, посмотрим, что он до меня донесет Говорят крут