Помощь по математике (анализ)

RawonaM · февраля 14, 2011, 21:36

Ну да, я забыл, там в условии неравны.

arseniiv · февраля 15, 2011, 14:10

Offtop

Интересно, почему Нгатечугуни в этой теме не флудят?

RawonaM · февраля 15, 2011, 19:55

Значит все верно в последнем моем решении? Спасибо, Тайльнемер.

Вот полчаса уже потратил на вот это, не смог решить, запутываюсь в рассчетах:
доказать, что $[tex]\sqrt{x}\sin{\sqrt{x}}[/tex]$ равномерно непрерывна. Хотел как с $[tex]\sqrt{x}[/tex]$ , типа берем x>1 и приходим к чему-то А|x-y|, не получилось.

Квас · февраля 15, 2011, 20:36

Цитата: RawonaM от февраля 15, 2011, 19:55
доказать, что

На каком промежутке? На $[tex][0, +\infty)[/tex]$ ?

Bhudh · февраля 15, 2011, 20:47

Offtop

Цитата: arseniivИнтересно, почему Нгатечугуни в этой теме не флудят?

ГСМ мешает.

RawonaM · февраля 15, 2011, 20:51

Да, пардон

Квас · февраля 15, 2011, 21:01

Пусть
$[tex]f(x) = \sqrt x \sin \sqrt x.[/tex]$
Производная:
$[tex] f'(x) = \frac{\sin \sqrt x}{2\sqrt x} + \frac 12 \cos \sqrt x .[/tex]$
Ясно, что при $[tex]x \geqslant 1[/tex]$ производная ограничена. А тогда условие Липшица можно получить с помощью теоремы Лагранжа.

RawonaM · февраля 15, 2011, 21:07

A bon, merci beaucoup!

Квас · февраля 15, 2011, 21:23

Je vous en prie.

RawonaM · февраля 15, 2011, 21:56

Encore une question, si vous le permettez...

Вот смотрите, нужно доказать, что $[tex]\frac{1}{\ln x}-\frac{1}{x-1}[/tex]$ ограничена на промежутке $[tex](1; \infty)[/tex]$ .
Как подходить к такому делу? Я вот что сделал:
Приводим к общему знаменателю, выходит:
$[tex]\frac{(x-1)-\ln x}{\ln x (x-1)}[/tex]$ .

$[tex]\ln x>x-1[/tex]$ , поэтому числитель и знаменатель положительные, следовательно все это ограничено нулем снизу.

Знаменатель всегда больше числителя, поэтому все это ограничено единицей сверху.
Подход верный? Есть ли путь покороче? Вроде как легкая вещь, а рассчетов цу филь, такскать.

Квас · февраля 15, 2011, 21:59

Mais bien sûr !

Цитата: RawonaM от февраля 15, 2011, 21:56
Знаменатель всегда больше числителя, поэтому все это ограничено единицей сверху.

А почему больше? Ведь в знаменателе произведение двух бесконечно малых, он стремительно уменьшается при x →1.

Квас · февраля 15, 2011, 22:07

Нас интересует поведение в окрестности единицы, потому что вне этой окрестности функция ограничена. А чтобы выяснить, как она ведёт себя в окрестности единицы, достаточно предел найти (может, пролопиталить раз-другой). Предел равен 1/2: он конечен, поэтому в окрестности функция ограничена.

RawonaM · февраля 15, 2011, 22:13

Цитата: Квас от февраля 15, 2011, 21:59
ЦитироватьЗнаменатель всегда больше числителя, поэтому все это ограничено единицей сверху.
А почему больше? Ведь в знаменателе произведение двух бесконечно малых, он стремительно уменьшается при x →1.

Э-э па компри...
Я просто сделал неравенство:
$[tex]\ln (x) (x-1)>x-1-\ln x[/tex]$
Вроде вышло верно для х>1.

RawonaM · февраля 15, 2011, 22:16

Цитата: Квас от февраля 15, 2011, 22:07
потому что вне этой окрестности функция ограничена

Это как вы вывели?

Цитата: Квас от февраля 15, 2011, 22:07
Предел равен 1/2: он конечен, поэтому в окрестности функция ограничена.

Я вроде делал предел и у меня 0 вышло...
Все равно не понял куда его притулить, потому что предел в бесконечности не смог высчитать.

Квас · февраля 15, 2011, 22:30

Цитата: RawonaM от февраля 15, 2011, 22:13
Я просто сделал неравенство:

Что-то не очень оно очевидно. Да и верно ли?

Цитата: RawonaM от февраля 15, 2011, 22:16
Цитата: Квас от Сегодня в 23:07
Цитироватьпотому что вне этой окрестности функция ограничена
Это как вы вывели?

Две дроби: числитель единица, и если знаменатель отделён от нуля положительным числом, то дробь ограничена:
$[tex] 0 < \frac 1{x-1} \leqslant \frac 1\varkappa [/tex]$

Цитата: RawonaM от февраля 15, 2011, 22:16
Цитата: Квас от Сегодня в 23:07
ЦитироватьПредел равен 1/2: он конечен, поэтому в окрестности функция ограничена.
Я вроде делал предел и у меня 0 вышло...

Мэпл утверждает, что 1/2. Я бы его с помощью формулы Тейлора посчитал, разложив логарифм
$[tex] \ln x = (x-1) - \frac{(x-1)^2}{2} + o( (x-1)^2 )[/tex]$
Но можно по лопиталю, потом упростить и ещё раз по лопиталю.

RawonaM · февраля 15, 2011, 22:41

Похоже пора спать, ниче уже не въезжаю, завтра буду разбираться.

Вот еще напоследок, подскажите как найти

$[tex]\int \frac{\arcsin x}{x^3}[/tex]$

?

RawonaM · февраля 15, 2011, 22:50

Цитата: RawonaM от февраля 15, 2011, 22:41
$[tex]\int \frac{\arcsin x}{x^3}[/tex]$

то есть, пардон, арктан там...

Квас · февраля 15, 2011, 23:04

Цитата: RawonaM от февраля 15, 2011, 22:41
Вот еще напоследок, подскажите как найти

По частям, арктангенс дифференцировать. Потом получается, если не ошибаюсь, интеграл
$[tex] \int \frac{dx}{x^2(1+x^2)} ,[/tex]$
подынтегральное выражение преобразуется так:
$[tex] \frac{1}{x^2(1+x^2)} = \frac{(1+x^2) - x^2 }{x^2(1+x^2)} = \frac{1}{x^2}- \frac{1}{1+x^2}[/tex]$

RawonaM · февраля 16, 2011, 08:45

Цитата: Квас от февраля 15, 2011, 22:30
Две дроби: числитель единица, и если знаменатель отделён от нуля положительным числом, то дробь ограничена:
$[tex] 0 < \frac 1{x-1} \leqslant \frac 1\varkappa [/tex]$

Не совсем понимаю, что значит "знаменатель отделен от нуля положительным числом"...
А ln x сюда относится?

Квас · февраля 16, 2011, 12:07

Цитата: RawonaM от февраля 16, 2011, 08:45
Не совсем понимаю, что значит "знаменатель отделен от нуля положительным числом"...
А ln x сюда относится?

Ну, множество называют отделённым от нуля, если для его элементов выполняется не просто неравенство $[tex]x > 0[/tex]$ , а более сильное $[tex] x \geqslant \varkappa[/tex]$ с некоторым $[tex] \varkappa > 0 [/tex]$ , не зависящем от x.

А для логарифма такое же неравенство, только в знаменателе логарифм поставить.

Или так ещё можете посмотреть: слагаемые в вашем выражении убывают (аж до нуля!) по модулю. То есть на бесконечности в принципе никаких проблем нет.

RawonaM · февраля 16, 2011, 21:53

В общем, с той задачей так и не разобрался, решил на потом оставить, а то я могу на ней и на неделю зависнуть.

Подскажите, как проинтегрировать: $[tex]\int x^2 \Arctan x dx[/tex]$ ?

Квас · февраля 16, 2011, 22:04

Цитата: RawonaM от февраля 16, 2011, 21:53
Подскажите, как проинтегрировать:

Тоже по частям, арктангенс дифференцировать.

Цитата: RawonaM от февраля 16, 2011, 21:53
В общем, с той задачей так и не разобрался, решил на потом оставить, а то я могу на ней и на неделю зависнуть.

Поскольку
$[tex]\lim_{x\to1 + 0} \left( \frac{1}{\ln x} - \frac {1}{x-1} \right) = \frac 12,[/tex]$
то существует $[tex]\varepsilon > 0[/tex]$ , такое, что при
$[tex] 1 < x < 1+\varepsilon [/tex]$
имеем
$[tex] \left | \frac{1}{\ln x} - \frac {1}{x-1} \right | < 1 [/tex]$
При $[tex]x \geqslant 1+\varepsilon [/tex]$ имеем
$[tex]\left | \frac{1}{\ln x} - \frac {1}{x-1} \right | \leqslant \left | \frac{1}{\ln x} \right | + \left | \frac {1}{x-1} \right | < \frac{1}{\ln (1+ \varepsilon)} + \frac 1\varepsilon. [/tex]$
Таким образом, на $[tex](1,+\infty)[/tex]$ функция ограничена числом
$[tex] \max \left\{ 1, \frac{1}{\ln (1+ \varepsilon)} + \frac 1\varepsilon \right \} [/tex]$

RawonaM · февраля 16, 2011, 22:12

Цитата: Квас от февраля 16, 2011, 22:04
ЦитироватьПодскажите, как проинтегрировать:
Тоже по частям, арктангенс дифференцировать.

Не выходит. Тогда подскажите, как $[tex]\frac {x^3}{1+x^2}[/tex]$ проинтегрировать. Если опять по частям, то возвращается к оригиналу и все.

Квас · февраля 16, 2011, 22:15

Цитата: RawonaM от февраля 16, 2011, 22:12
Тогда подскажите, как $[tex]\frac {x^3}{1+x^2}[/tex]$ проинтегрировать.

Можно же заменить $[tex]x^2[/tex]$ , а ещё лучше — $[tex]1+x^2[/tex]$ , чтобы развесистого знаменателя не было.

А вообще, интегралы от рациональных дробей теоретически всегда берутся.

RawonaM · февраля 16, 2011, 22:22

Цитата: Квас от февраля 16, 2011, 22:15
Можно же заменить $[tex]x^2[/tex]$ , а ещё лучше — $[tex]1+x^2[/tex]$ , чтобы развесистого знаменателя не было.

На что заменить? Тогда будет что-то несъедобное сверху, там же х куб.

Цитата: Квас от февраля 16, 2011, 22:15
А вообще, интегралы от рациональных дробей теоретически всегда берутся.

Я решил не учить интегралы от рациональных, потому что это занимает о-очень много времени, не успеваю подготовиться. У нас в экзамене интегралы на выбор, так что можно и без них сдать. На всякий случай я научился самым основным техникам, т.к. обычно интегралы простые дают.

Лингвофорум

Помощь по математике (анализ)

RawonaM

arseniiv

RawonaM

Квас

Bhudh

RawonaM

Квас

RawonaM

Квас

RawonaM

Квас

Квас

RawonaM

RawonaM

Квас

RawonaM

RawonaM

Квас

RawonaM

Квас

RawonaM

Квас

RawonaM

Квас

RawonaM

Быстрый ответ