Лингвофорум

Можно рассмотреть функцию f(x) = 1/x^p. Если p = 1 (обычная гипербола), то под гиперболой бесконечная площадь и над [0,1], и над [1, ∞). Если взять p > 1, то на бесконечности график будет сильнее прижиматься к оси, и площадь над [1, ∞) оказывается конечной (над [0,1] бесконечна). А если взять p < 1, то наоборот.

Цитата: Bhudh от января 12, 2011, 23:17
Ну так учёбник-то «А. и начала матана»...

Что-то я не припомню там несобственных интегралов.

Цитата: Квас от января 12, 2011, 23:11
Под обыкновенной гиперболой площадь всё-таки бесконечная: граничный случай.

Что такое граничный случай? Моя интуиция отказывается воспринимать, что бесконечно уходящая вверх функция может ограничивать конечную площадь. Разве что приближенно, с округлением.

Цитата: Квасплощадь над [1, ∞) оказывается конечной (над [0,1] бесконечна).

А разве второе не = первое + 1?

В чем же принципиальная разница между 1/x и 1/sqrt(x)?

Цитата: Квас от января 12, 2011, 23:19
на бесконечности график будет сильнее прижиматься к оси, и площадь над [1, ∞) оказывается конечной

А-а-а-а...  Мне сегодня кошмары будут сниться.

Цитата: RawonaM от января 12, 2011, 23:21
Что такое граничный случай?

Граничный с точки зрения показателя. Если к x приписать показатель, хоть немного больший или меньший единицы, то одна из площадей станет конечна.

Цитата: RawonaM от января 12, 2011, 23:24
В чем же принципиальная разница между 1/x и 1/sqrt(x)?

А попробуйте проинтегрировать от эпсилон до 1, а потом эпсилон устремить к 0. Это и называется несобственный интеграл.

А на бесконечном промежутке — интегрировать до b и тоже устремлять b к бесконечности. Площадь вполне может получиться конечной.

В два приёма (интеграл по отрезку и предельный переход) приходится считать только для интеграла Римана. Интеграл Лебега бывает и от неограниченных функций. (Правда, иногда несобственный интеграл Римана существует, а интеграл Лебега не существует, но об этом можно забыть сразу по прочтении.)

Цитата: RawonaM от января 12, 2011, 23:26
Мне сегодня кошмары будут сниться.

Да тут никакой экзотики на самом деле. Берёте квадрат со стороной 1 и режете его на лапшу: каждую следующую пополам. То есть получаются лапшины ширины 1/2, 1/4, 1/8,..., а длина каждой равна 1. Выкладываете эту лапшу в линию — вуаля, бесконечно длинная фигура с площадью 1.

Бывает же невозможное... Может завтра можно будет и пространство согнуть...

Цитата: Квас от января 12, 2011, 23:32Да тут никакой экзотики на самом деле. Берёте квадрат со стороной 1 и режете его на лапшу: каждую следующую пополам. То есть получаются лапшины ширины 1/2, 1/4, 1/8,..., а длина каждой равна 1. Выкладываете эту лапшу в линию — вуаля, бесконечно длинная фигура с площадью 1.

Интересно... А и правда, если я могу бесконечно резать этот квадрат, то я могу и выложить его в бесконечную цепочку. Хм...
Точно сегодня мне будет сниться, как я режу этот квадрат и выстраиваю в бесконечную цепочку...

Цитата: Lugaru от января 12, 2011, 10:32
arcsin x ~ x как доказать=( Help!!!!

Что-то из школы. Можно сделать замену t=arcsin x  - получается Первый замечательный предел. А кому думать не хочется - есть еще более замечательное правило Лопиталя.

Цитата: RawonaM от января 12, 2011, 23:35
Точно сегодня мне будет сниться, как я режу этот квадрат и выстраиваю в бесконечную цепочку...

Можно всю ночь ходить, ходить... - сделал шаг, потом пол-шага, четверть шага... . Камо грядеши?
Или: сделал шаг, потом пол-шага, треть шага... - далеко ли можно уйти? 

Известен парадокс Ахиллеса, который бежит за черепахой со скоростью в 10 раз быстрее. Аналогично: стрелки часов совпадают ровно в 12 часов. Через сколько времени они совпадут снова? Большая стрелка сделает круг, малая - 1/12 циферблата; большая - 1/12, а малая - 1/144... . И так до бесконечности... . Может ли решить задачу ученик начальной школы?

Цитата: langust от января 13, 2011, 05:26
Или: сделал шаг, потом пол-шага, треть шага... — далеко ли можно уйти? 

Если идти бесконечно? То хоть до Луны. Только буффер оверфлоу будет, если шаги считать будет компутер.
Функция-то уходит все-таки в бесконечность и проходит бесконечное расстояние.

Цитата: RawonaM от января 13, 2011, 08:08
Функция-то уходит все-таки в бесконечность и проходит бесконечное расстояние.

Ну  да - гармонический ряд. Или аналог несобственного интеграла от 1/x от 1 до бесконечности. Для часов же геометрическая прогрессия со знаменателем 1/12. Однако, ученик начальной школы не знает, что это за зверь... .

Цитата: RawonaM от января 13, 2011, 08:08

ЦитироватьИли: сделал шаг, потом пол-шага, треть шага... — далеко ли можно уйти? 

Если идти бесконечно? То хоть до Луны. Только буффер оверфлоу будет, если шаги считать будет компутер.

А и правда, если идти по оси Х в сторону нуля и все время уменьшать шаги, то дальше нуля не пройдешь ведь...
Блин, вы меня убъете с этой математикой...

В случае гармонического ряда каждый его член хоть и уменьшается, однако с такой скоростью, что идет накопление. Например, чтобы уйти на сто полноценных шагов, надо сделать миллион маленьких шажков 

При продвижении вещественных чисел к нулю накопления не происходит?

Цитата: RawonaM от января 13, 2011, 08:57
При продвижении вещественных чисел к нулю накопления не происходит?

Что имеется в виду? Если непрерывный интеграл от 1/x для х -> к бесконечности, то картина не меняется. То есть, любая оставшаяся площадь под кривой до оси абцисс, начиная с любого значения х, бесконечна.

Цитата: langust от января 13, 2011, 05:35
Аналогично: стрелки часов совпадают ровно в 12 часов. Через сколько времени они совпадут снова? Большая стрелка сделает круг, малая - 1/12 циферблата; большая - 1/12, а малая - 1/144... . И так до бесконечности... . Может ли решить задачу ученик начальной школы?

В разговор вмешался Вова: Ну, и что же здесь такого? Стрелки совпадают за день ровно 11 раз. Надо поделить 12 часов на 11 частей и получим, что обе стрелки совпадут ровно через 1 час и 1/11 часа... 

Цитата: lugaru
arcsin x ~ x как доказать=( Help!!!!

Это вытекает из 1-ого ЗАМ, если мы заменим sin x на y.

Цитировать
А кому думать не хочется - есть еще более замечательное правило Лопиталя.

Проще по 1 ЗАМ, так как не все помнят производную от арксинуса.

Цитировать
В чем же принципиальная разница между 1/x и 1/sqrt(x)?

В теории несобственных интегралов и рядов есть признак сравнения с интегралом (рядом) от степенной функции с показателем. Зная этот показатель, мы сразу можем сделать вывод о сходимости! Так удобно!

Как посчитать объем, описываемый графиком функции син(х)-кос(х) прокрученной вокруг оси х между -пи/2 и пи/2? Вроде не так просто высчитать интеграл квадрата этой функции.

Достаточно просто: можно раскрыть квадрат и свернуть синус двойного (там ещё будет синус квадрат плюс косинус квадрат), а можно ввести вспомогательный аргумент (так что выражение преобразуется к квадрату синуса или косинуса) и понизить степень.