Главное меню
Мы солидарны с Украиной. Узнайте здесь, как можно поддержать Украину.

Помощь по математике (анализ)

Автор RawonaM, октября 25, 2010, 11:56

0 Пользователи и 1 гость просматривают эту тему.

Ответить Печать
Вниз Страницы 1 ... 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37
Действия пользователя

Alexandra A

#850
февраля 20, 2011, 21:37
А как здесь на форуме можно написать, например, 2 в степени 3, чтобы 3 была маленькая вверху, как обычно?

Спрашиваю, чтобы например писать Bardd:РОД.П не на строчке, а чтобы РОД.П (грамматическое пояснение) был вверху в маленьких буквах, а обычными буквами был только оригинальный текст?
taximagulus segouax caius iulius kent 25 august 55 before the common era
marcus tullius quintus tullius arpinum 6 may 51 before the common era

RawonaM

#851
февраля 20, 2011, 21:40
Цитата: Alexandra A от февраля 20, 2011, 21:37
Спрашиваю, чтобы например писать Bardd:РОД.П не на строчке, а чтобы РОД.П (грамматическое пояснение) был вверху в маленьких буквах, а обычными буквами был только оригинальный текст?
Bardd[sup]РОД.П[/sup]

RawonaM

#852
февраля 20, 2011, 21:45
Тут я на мобильнике обнаружил фотки во время этого ужасного курса. Будет мне на память. Век не забуду этот ужас))

Alexandra A

#853
февраля 20, 2011, 21:48
Спасибо.
taximagulus segouax caius iulius kent 25 august 55 before the common era
marcus tullius quintus tullius arpinum 6 may 51 before the common era

Квас

#854
февраля 20, 2011, 21:52
Хорошие интегральчики, университетский уровень. :yes:

Номер хей.

[tex]\int\frac{x}{(5+4x-x^{2})^{3/2}}dx=\int\frac{x}{(9-(x-2)^{2})^{3/2}}dx=\left|\begin{array}{c}<br />x-2=3\sin t\\<br />(-\frac{\pi}{2}\leqslant t\leqslant\frac{\pi}{2})\end{array}\right|=[/tex]
[tex]=\int\frac{2+3\sin t}{27\cos^{3}t}\cdot3\cos t\, dt=\frac{2}{9}\int\frac{dt}{\cos^{2}t}-\frac{1}{3}\int\frac{d(\cos t)}{\cos^{2}t}[/tex]
Пишите письма! :)

Квас

#855
февраля 20, 2011, 21:54
А-а-а, огромная доска с маркером! :'( У нас — ни-ког-да! Полдня мел поганый не смоешь, а ещё бывает скрипит противно.  >(
Пишите письма! :)

RawonaM

#856
февраля 20, 2011, 21:56
Цитата: Квас от февраля 20, 2011, 21:52
Хорошие интегральчики, университетский уровень. :yes:
А вы что, думали я в школе учусь? :) Жалко, что нас так кинули с этими интегралами на произвол судьбы...

Цитата: Квас от февраля 20, 2011, 21:52
Номер хей.
Благодаря :)

RawonaM

#857
февраля 20, 2011, 21:58
Цитата: Квас от февраля 20, 2011, 21:54
А-а-а, огромная доска с маркером! :'( У нас — ни-ког-да! Полдня мел поганый не смоешь, а ещё бывает скрипит противно.  >(
У нас последние доски с мелом вымерли где-то в 2003-2005 гг.
Учителя арабского очень жаловались, что маркеры слишком скользят и вязью невозможно писать...
Многие до сих пор жалуются, что маркеры сильно воняют и порой от них пьянеют... Что впрочем, правда, на себе помню.
А бывают ситуации, когда рассеяный препод напишет нестираемым маркером...

Квас

#858
февраля 20, 2011, 21:59
Номер тет — универсальная подстановка (через тангенс половинного аргумента), сводится к табличному интегралу [tex]\int \frac{dx}{x^2 + a^2}[/tex]. Подробнее написать?

(Тема о вводе формул заставила меня снова установить LyX. Я его познакомил с AutoHotkey, и получилось классное вспомогательное средство для визуального ввода ТеХовской математики.)
Пишите письма! :)

Квас

#859
февраля 20, 2011, 22:00
Номер зайн: пределы не уточните?
Пишите письма! :)

RawonaM

#860
февраля 20, 2011, 22:01
Цитата: Квас от февраля 20, 2011, 21:59
Номер тет — универсальная подстановка (через тангенс половинного аргумента), сводится к табличному интегралу [tex]\int \frac{dx}{x^2 + a^2}[/tex]. Подробнее написать?
Что-то я не понял... Если можно подробнее, буду в который раз благодарен...

RawonaM

#861
февраля 20, 2011, 22:03
Цитата: Квас от февраля 20, 2011, 22:00
Номер зайн: пределы не уточните?
От 1 по 2е.

Мне в принципе только одного интеграла не хватало, 7 я уже сделал, надо 8 сдать. Хотя конечно знать как все их решать не помешает... Но это уже потом как-нибудь, с завтрашнего вечера и еще на долгие месяцы вперед не хочу видеть это все )))

Квас

#862
февраля 20, 2011, 22:09
Номер хет: подстановка [tex]x = \sin t, \ 0 \leqslant t \leqslant \frac \pi2[/tex].Получается синус квадрат на косинус квадрат, понижать степень. Подробнее?

Кстати, ответы:
хей: [tex]\frac {1}{\sqrt {5+4x-{x}^{2}}}}-\frac19{\frac {4-2x}{\sqrt {5+4x-{x}^{2}}}[/tex]
хет: [tex]\frac \pi{16}[/tex]
тет: [tex]\frac{\sqrt {2}}2 \mathop{\mathrm{arctg}}\left(\sqrt {2}\right)-\frac {\sqrt {2}}2\mathop{\mathrm{arctg}}\left(\frac{\sqrt {2}}4\right)[/tex]
Пишите письма! :)

Квас

#863
февраля 20, 2011, 22:26
Цитата: RawonaM от февраля 20, 2011, 22:01
Что-то я не понял... Если можно подробнее, буду в который раз благодарен...

Легко! :)


[tex]<br />\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{dx}{3+\sin x}=\left|\begin{array}{c}<br />\mathop{\mathrm{tg}}\frac{x}{2}=t\\[3pt]<br />\sin x=\frac{2t}{1+t^{2}}\\[3pt]<br />dx=\frac{2\, dt}{1+t^{2}}\end{array}\right|=\int\limits_{0}^{1}\frac{\frac{2\, dt}{1+t^{2}}}{3+\frac{2t}{1+t^{2}}}=[/tex]
[tex]<br />=\int\limits_{0}^{1}\frac{2\, dt}{3t^{2}+2t+3}=\frac{2}{3}\int\limits_{0}^{1}\frac{dt}{t^{2}+\frac{2}{3}t+1}=\frac{2}{3}\int\limits_{0}^{1}\frac{dt}{(t+\frac{1}{3})^{2}+\frac{8}{9}}=[/tex]
[tex]<br />=\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{2\sqrt{2}}\mathop{\mathrm{arctg}}\frac{3t+1}{2\sqrt{2}}\Bigg|_{0}^{1}=\frac{1}{\sqrt{2}}\mathop{\mathrm{arctg}}\frac{2}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}\mathop{\mathrm{arctg}}\frac{1}{2\sqrt{2}}[/tex]

Зайн: разбить промежуток интегрирования на два, на которых подынтегральное выражение сохраняет знак: от 1 до е и от е до 2е. Тогда модули пропадают. А логарифм интегрируется, как обычно, по частям: логарифм дифференцировать, dx интегрировать. Ответ [tex]2e\ln 2-2[/tex], если интересно.

То есть что, мне останавливаться уже? ;D
Пишите письма! :)

RawonaM

#864
февраля 20, 2011, 22:36
Цитата: Квас от февраля 20, 2011, 22:26
То есть что, мне останавливаться уже? ;D
Если вам нравится, то мне конечно же не помешает :) Но это уже не необходимость :)

Квас

#865
февраля 20, 2011, 22:45
Да тут и осталось-то.

Йуд: произведение функций в сумму (синус суммы минус синус разности пополам, если не путаю).
Пишите письма! :)

Квас

#866
февраля 20, 2011, 22:46
А йуд-бет что-то заставляет задуматься. Можно, конечно, мэплом его огреть и посмотреть, как комп расколол. :-\ Подумаю ещё из спортивного интереса.
Пишите письма! :)

Квас

#867
февраля 20, 2011, 22:53
Йуд-бет — муть какая-то. Неопределённый интеграл мэпл берёт, но с помощью специальных функций и кучу комплексных чисел туда суёт. А определённый интеграл он просто выплёвывает в исходном виде. :donno:
Пишите письма! :)

RawonaM

#868
февраля 20, 2011, 22:59
Цитата: Квас от февраля 20, 2011, 22:09
Номер хет: подстановка [tex]x = \sin t, \ 0 \leqslant t \leqslant \frac \pi2[/tex].Получается синус квадрат на косинус квадрат, понижать степень.
А что значит «понижать степень»?

И вообще, у меня такой вопрос: почему при подстановках можно ограничивать аргумент, а в итоге получается верно для всех, разве это «честно»? :)

RawonaM

#869
февраля 20, 2011, 23:00
На йуд-бет подсказка дана: подставить у=п-х.

RawonaM

#870
февраля 20, 2011, 23:08
Вав кстати, вы пропустили. У меня в книге есть решение, оно занимает добрых полторы страницы А4, я его быстро закрыл.  ;D

Квас

#871
февраля 20, 2011, 23:11
Цитата: RawonaM от февраля 20, 2011, 22:59
А что значит «понижать степень»?

Вроде там получается
[tex]\sin^{2}t\cos^{2}t=\frac{1}{4}\sin^{2}2t=\frac{1}{4}\cdot\frac{1-\cos4t}{2}[/tex]
Вообще, под формулами понижения степени обычно подразумеваются эти:
[tex]\sin^{2}t=\frac{1-\cos2t}{2},\ \cos^{2}t=\frac{1+\cos2t}{2}[/tex]

Цитата: RawonaM от февраля 20, 2011, 22:59
И вообще, у меня такой вопрос: почему при подстановках можно ограничивать аргумент, а в итоге получается верно для всех, разве это «честно»? :)

В хете вообще определённый интеграл: когда t бежит от 0 до pi/2, x как раз пробегает отрезок [0,1]. Но в неопределённых в случае такой подстановки я тоже пишу, что t пробегает от -pi/2 до pi/2: синус всё равно успевает принять все свои значения, а косинус можно выражать без минуса. Так что вполне честно: если t не ограничивать, то sin t всё равно мотается по [-1,1], так что смысла в этом нет.

Цитата: RawonaM от февраля 20, 2011, 23:00
На йуд-бет подсказка дана: подставить у=п-х.

Что-то я гордо её проигнорировал. :D Действительно, если так подставить, то интеграл выражается через такой же интеграл, после чего надо уравнение решить. Сейчас посчитаю.
Пишите письма! :)

Квас

#872
февраля 20, 2011, 23:17
Цитата: RawonaM от февраля 20, 2011, 23:08
Вав кстати, вы пропустили. У меня в книге есть решение, оно занимает добрых полторы страницы А4, я его быстро закрыл.  ;D

А, точно. Идеологически несложный пример, но дело упирается в интегрирование рациональной дроби.
[tex]\int\frac{dx}{\cos^{3}x}=\int\frac{\cos x\, dx}{\cos^{4}x}=\int\frac{d(\sin x)}{(1-\sin^{2}x)^{2}}=\int\frac{dt}{(t^{2}-1)^{2}}=\int\frac{1}{(t-1)^{2}(t+1)^{2}}dt[/tex]

И метод неопределённых коэффициентов, не к ночи будь помянут.

Кстати, есть такое правило интегрирования тригонометрических функций: если выражение меняет знак при замене sin x на -sin x, то работает подстановка cos x=t; если выражение меняет знак при замене cos x на -cos x, то работает подстановка sin x=t; если выражение не меняет знака при одновременной замене sin x на -sin x и cos x на -cos x, то работает замена tg x=t.
Пишите письма! :)

RawonaM

#873
февраля 20, 2011, 23:39
Цитата: Квас от февраля 20, 2011, 23:17
А, точно. Идеологически несложный пример, но дело упирается в интегрирование рациональной дроби.
[tex]\int\frac{dx}{\cos^{3}x}=\int\frac{\cos x\, dx}{\cos^{4}x}=\int\frac{d(\sin x)}{(1-\sin^{2}x)^{2}}=\int\frac{dt}{(t^{2}-1)^{2}}=\int\frac{1}{(t-1)^{2}(t+1)^{2}}dt[/tex]
Да, там что-то похожее, но гораздо нуднее. :) Все, я запаковал последнее домашее задание с интегралами, завтра отнесу на почту, сдам экзамен и больше не хочу слышать слова "предел", "производная" и "интеграл" пока снег не увижу.  ;D

Квас

#874
февраля 20, 2011, 23:42
Нет уж позвольте! :D

Пусть
[tex]<br />I=\int\limits_{0}^{\pi}\frac{x\sin x}{1+\sin^{2}x}dx[/tex]
Имеем:
[tex]<br />I=\int\limits_{0}^{\pi}\frac{x\sin x}{1+\sin^{2}x}dx=\left|x=\pi-y\right|=-\int\limits_{\pi}^{0}\frac{(\pi-y)\sin y}{1+\sin^{2}y}dy=[/tex]
[tex]<br />=\int\limits_{0}^{\pi}\frac{(\pi-y)\sin y}{1+\sin^{2}y}dy=\pi\int\limits_{0}^{\pi}\frac{\sin y\, dy}{1+\sin^{2}y}-\int\limits_{0}^{\pi}\frac{y\sin y}{1+\sin^{2}y}dy=[/tex]
[tex]<br />=\pi\int\limits_{0}^{\pi}\frac{\sin y\, dy}{1+\sin^{2}y}-I[/tex]
[tex]<br />I=\pi\int\limits_{0}^{\pi}\frac{\sin y\, dy}{1+\sin^{2}y}-I[/tex]
[tex]<br />I=\frac{\pi}{2}\int\limits_{0}^{\pi}\frac{\sin y\, dy}{1+\sin^{2}y}[/tex]
[tex]<br />\int\limits_{0}^{\pi}\frac{\sin y\, dy}{1+\sin^{2}y}=\int\limits_{0}^{\pi}\frac{d(\cos y)}{\cos^{2}y-2}=\frac{1}{2\sqrt{2}}\ln\frac{\sqrt{2}-\cos y}{\sqrt{2}+\cos y}\Bigg|_{0}^{\pi}=[/tex]
[tex]<br />=\frac{1}{2\sqrt{2}}\left(\ln\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}-\ln\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\ln\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}=[/tex]
[tex]<br />=\frac{1}{\sqrt{2}}\ln\frac{\left(\sqrt{2}+1\right)^{2}}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}=\sqrt{2}\ln(\sqrt{2}+1)[/tex]
Итого
[tex]<br />I=\frac{\pi\sqrt{2}}{2}\ln(\sqrt{2}+1)[/tex]
Уф. Численно с ответом сходится.
Пишите письма! :)
Ответить Печать
Вверх Страницы 1 ... 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37
Действия пользователя

Быстрый ответ

Обратите внимание: данное сообщение не будет отображаться, пока модератор не одобрит его.

Имя:
Имейл:
Проверка:
Оставьте это поле пустым:
Наберите символы, которые изображены на картинке
Прослушать / Запросить другое изображение

Наберите символы, которые изображены на картинке:

√36:
ALT+S — отправить
ALT+P — предварительный просмотр