ЦитироватьДоктор математических наук Кит Йейтс (Kit Yates) из Великобритании поделился домашним заданием семилетней дочери, с решением которого он не смог справиться самостоятельно. Мужчина опубликовал вопрос в Twitter, поставив многих пользователей интернета в тупик.
На картинке из задания изображен полукруг. В вопросе говорится: «Правда или ложь? Эта фигура имеет два прямых угла. Объясните свой ответ».
(https://d.radikal.ru/d03/2102/b8/4c5c7f923e4at.jpg) (https://d.radikal.ru/d03/2102/b8/4c5c7f923e4a.jpg)
Йейтс написал, что даже его знаний не хватает, чтобы подсказать ребенку правильное решение.
Вопрос быстро набрал вирусную популярность: за сутки он получил несколько тысяч лайков и более 260 ретвитов. Некоторые пользователи ответили, что у полукруга действительно есть два прямых угла. Однако другие посчитали утверждение ложным из-за наличия изогнутых линий.
Йейтс позже нашел в интернете правильный ответ на вопрос. Авторы домашнего задания считали, что утверждение ложно. Они объяснили, что дети могут приложить фигуру к углу страницы тетради и понять, что у них получается не прямой угол.
Несмотря на найденные доказательства, доктор математических наук не согласился с ними. Он отметил, что при увеличении масштаба можно будет увидеть, что касательные к полукругу в данной точке будут составлять прямой угол с диаметром. Йейтс пообещал показать этот сложный вопрос своим студентам в университете.
Чушь. Это касательные, а не сама линия. Сама линия никогда не будет составлять прямого угла.
Так в точке пересечения с касательной углы, составляемые исходной линией и касательной, одинаковы, просто по определению касательной.
Цитата: злой от февраля 26, 2021, 09:28
Чушь. Это касательные, а не сама линия. Сама линия никогда не будет составлять прямого угла.
А какой угол будет?
Цитата: Awwal12 от февраля 26, 2021, 09:44
Цитата: злой от февраля 26, 2021, 09:28
Чушь. Это касательные, а не сама линия. Сама линия никогда не будет составлять прямого угла.
А какой угол будет?
Углы будут прямыми в точке, не имеющей размера. :smoke:
Цитата: Awwal12 от февраля 26, 2021, 09:44
Цитата: злой от февраля 26, 2021, 09:28
Чушь. Это касательные, а не сама линия. Сама линия никогда не будет составлять прямого угла.
А какой угол будет?
Там не будет угла. Касательная - не часть этой геометрической фигуры, там прямая линия, и присоединённая к ней кривая. По определению угла, он состоит из двух лучей, а там второго луча нет.
Нормальный вопрос. Прямых углов тут нет.
А Йейтс мудрила.
Я бы Светлану-ханум послушал.
Цитата: злой от февраля 26, 2021, 09:54
По определению угла, он состоит из двух лучей, а там второго луча нет.
Тогда и в треугольнике, например (или любом многоугольнике) углов не будет, внезапно. В нём же нет лучей (бесконечно протяжённых в одну сторону), а только отрезки.
Напомнило шутку:
ЦитироватьДелить на ноль - это как секс. В школе нельзя, а в ВУЗе можно.
Цитата: Toman от февраля 26, 2021, 10:31
Цитата: злой от февраля 26, 2021, 09:54
По определению угла, он состоит из двух лучей, а там второго луча нет.
Тогда и в треугольнике, например (или любом многоугольнике) углов не будет, внезапно. В нём же нет лучей (бесконечно протяжённых в одну сторону), а только отрезки.
Меня это тоже всегда смущало. Но, скажем так, о мере угла треугольника говорить можно, а вот в чём измерять меру "угла", у которого одного сторона криволинейная - это надо какой-то велосипед изобретать, если вообще это имеет какой-то смысл.
Цитата: Awwal12 от февраля 26, 2021, 09:44
Цитата: злой от Сама линия никогда не будет составлять прямого угла.
А какой угол будет?
Кривой ;D
Касательная действительно перпендикулярна радиусу в точке касания, но с окружностью касательная имеет только одну общую точку. А прямая не может быть перпендикулярна точке, как и иметь с ней какой-либо угол вообще, это абсурд.
Цитата: From_Odessa от февраля 26, 2021, 09:22
из Великобритании
А, ну понятно, понятно...
Цитата: KW от февраля 26, 2021, 10:47
Касательная действительно перпендикулярна радиусу в точке касания, но с окружностью касательная имеет только одну общую точку. А прямая не может быть перпендикулярна точке, как и иметь с ней какой-либо угол вообще, это абсурд.
Совершенно верно. К тому же на рисунке нет никакой окружности, а есть кривая и отрезок, пересекающий кривую через ее концы (или проведенный через ее концы, если угодно). То есть, через эти концы можно провести бесчисленное количество касательных. Но все они будут иметь и с кривой и с отрезком только одну общую точку. Не существует никаких двух точек на кривой, которые бы лежали на касательной, проведенной под углом 90 градусов к отрезку через любой из его концов. Определение некриволинейного угла не выполняется, а значит, и вообще никаких прямых углов на рисунке нет,
Цитата: Red Khan от февраля 26, 2021, 10:38
Напомнило шутку:
ЦитироватьДелить на ноль - это как секс. В школе нельзя, а в ВУЗе можно.
Шутка плохая, так как обманывает. Делить на ноль нельзя нигде.
- Василий Иваныч, что у нас в колесе стучит?
- Площадь круга, помнишь? ПиЭрКвадрат. Вот этот квадрат и стучит.
Цитата: Wolliger Mensch от февраля 26, 2021, 12:01
Цитата: Red Khan от февраля 26, 2021, 10:38
Напомнило шутку:
ЦитироватьДелить на ноль - это как секс. В школе нельзя, а в ВУЗе можно.
Шутка плохая, так как обманывает. Делить на ноль нельзя нигде.
А в вузах людей обманывают, да.
Цитата: KW от февраля 26, 2021, 10:47
Кривой ;D
Касательная действительно перпендикулярна радиусу в точке касания, но с окружностью касательная имеет только одну общую точку.
Я вас не понял. Вообще с кривой линией касательная чаще всего имеет ровно одну общую точку. И что?
Проблема в другом: судя по всему, вопрос терминологически некорректен, т.к.
угол определяется как фигура, образованная двумя лучами, а окружность к лучу свести невозможно. Соответственно, углов у фигуры нет вообще.
Цитата: Kamil от февраля 26, 2021, 11:54
есть кривая и отрезок, пересекающий кривую через ее концы (или проведенный через ее концы, если угодно). То есть, через эти концы можно провести бесчисленное количество касательных
Нет, для каждого конца кривой такая касательная_к_непрерывной_кривой_в_конечной_точке единственная.
В рамках школьного определения: углов в приведённой задаче нет. Никаких нет, в том числе прямых углов нет. То есть утверждение "у приведенной в задаче фигуры два прямых угла" ложное.
Но вообще в математике есть обобщение "школьного" угла на углы между касательными. Еще древние греки сравнивали углы между кривыми (например, между "прямыми" на сфере). Очевидно для любого мореплавателя, что угол в один румб меньше, чем угол в два румба. А ведь это углы между касательными!
Цитата: Awwal12 от февраля 26, 2021, 12:08
Я вас не понял. Вообще с кривой линией касательная чаще всего имеет ровно одну общую точку. И что?
Радиус перпендикулярен касательной к окружности. Но это не значит, что он перпендикулярен самой окружности, так как у окружности с касательной всего одна общая точка. Вот если бы у неё с касательной было хотя бы две общих точки... но тогда это была бы уже не окружность.
Цитата: From_Odessa от февраля 26, 2021, 09:22
Йейтс написал, что даже его знаний не хватает, чтобы подсказать ребенку правильное решение.
Берем учебник дочери и читаем определение угла. Если там написано, что угол образован двумя лучами, то на картинке вообще углов нет.
Если же там написано, что угол -- это окрестность точки кривой, имеющая в этой точке производные слева и справа (и соответственно мера угла - это разность аргтангенсов этих производных), то на картинке два угла по 90 градусов.
Определения могут менятся в зависимости от глубины или предметной области теории (как, например, существует 100500 определений интеграла); и странно, что какой-то "доктор математических наук" может этого не знать.
Цитата: Rusiok от февраля 26, 2021, 12:20
В рамках школьного определения: углов в приведённой задаче нет. Никаких нет, в том числе прямых углов нет. То есть утверждение "у приведенной в задаче фигуры два прямых угла" ложное.
Но вообще в математике есть обобщение "школьного" угла на углы между касательными.
Опередили.
Цитата: KW от февраля 26, 2021, 12:22
Радиус перпендикулярен касательной к окружности. Но это не значит, что он перпендикулярен самой окружности, так как у окружности с касательной всего одна общая точка.
Rusiok в общем уже адекватно все обрисовал. Либо между радиусом и окружностью нет никаких углов (при строгом определении угла), либо мы просто рассматриваем угол между радиусом и касательной, т.к. очевидно, что первая производная функции касательной численно равна первой производной функции окружности в точке касания.
Я бы сказала - нет, это не прямой угол. Ибо часть его - не прямая линия, а кривая, которая часть окружности. И таки да, чисто по-бытовому приложила бы линейку с прямым углом: ну вон, не сходится же! Но я ни разу не математик.
Цитата: Ömer от февраля 26, 2021, 12:32
странно, что какой-то "доктор математических наук" может этого не знать.
Эта задача хорошая, так как позволяет понять, что такое математика и как она работает. Каждый из нас ответит, что угол между горизонтальной и вертикальной линиями - прямой. Но ведь вертикаль - это тот самый отрезок прямой из стартовой задачи, проходящая через нас, центр Земли и наших антиподов в Тихом океане. А горизонталь - это та самая полуокружность, идущая от нас по поверхности Земли и моря снова к тем же антиподам.
Цитата: злой от февраля 26, 2021, 09:54
Там не будет угла. Касательная - не часть этой геометрической фигуры, там прямая линия, и присоединённая к ней кривая. По определению угла, он состоит из двух лучей, а там второго луча нет.
А откуда вы знаете «определение угла»?
Одно дело угол между двумя прямыми и совсем другое — угол между прямой и кривой линией.
Для первого случая, да, определение вроде имеется. В школьном курсе математики, во всяком случае. А для второго случая имеется соответствующее определение?
Другими, словами, угол между прямой и кривой определён?
Цитата: Драгана от февраля 26, 2021, 12:44
Но я ни разу не математик.
В школе же есть предмет математика. Значит, сколько-то раз каждый из нас математик.
Папа у Васи силен в математике
Цитата: Awwal12 от февраля 26, 2021, 12:41
либо мы просто рассматриваем угол между радиусом и касательной, т.к. очевидно, что первая производная функции касательной численно равна первой производной функции окружности в точке касания.
Не согласен. Мы не можем говорить о перпендикулярности радиуса одной точке на окружности, требуется как минимум отрезок из двух соседних точек. А вот с этим отрезком из двух соседних точек окружности у радиуса, проведенного к одной из этих точек, прямого угла точно не будет (хотя на практике мы его можем считать таковым, приблизительно).
Цитата: Agabazar от февраля 26, 2021, 13:04
В школе же есть предмет математика. Значит, сколько-то раз каждый из нас математик.
Сегодня мы все математики.
Цитата: Agabazar от февраля 26, 2021, 13:04
Цитата: Драгана от февраля 26, 2021, 12:44
Но я ни разу не математик.
В школе же есть предмет математика. Значит, сколько-то раз каждый из нас математик.
За этот предмет математику мне двойку с плюсом ставить не за что, честно говоря. Не знаю, как со скрипом свою четверку в аттестате получила.
Цитата: Agabazar от февраля 26, 2021, 13:00
А откуда вы знаете «определение угла»?
Из учебника геометрии Погорелова. Он врать не будет.
Цитата: piton от февраля 26, 2021, 13:07
Папа у Васи силен в математике
Вы снова жжёте.
Цитата: злой от февраля 26, 2021, 13:19
Цитата: piton от февраля 26, 2021, 13:07
Папа у Васи силен в математике
Вы снова жжёте.
*напела*
Папа решает, а Вася сдает... :D
Да, это песня моего детства и про меня. Родители как раз так и подшучивали.
Цитата: злой от февраля 26, 2021, 13:19
Цитата: Agabazar от февраля 26, 2021, 13:00
А откуда вы знаете «определение угла»?
Из учебника геометрии Погорелова. Он врать не будет.
Там, надо думать, определятся угол (углы) между двумя прямыми.
А как определяется угол между двумя кривыми? Между кривой и прямой линиями? Если линии кривые, то уже нет там никакого угла? Так считается?
Цитата: Agabazar от февраля 26, 2021, 13:28
Цитата: злой от февраля 26, 2021, 13:19
Цитата: Agabazar от февраля 26, 2021, 13:00
А откуда вы знаете «определение угла»?
Из учебника геометрии Погорелова. Он врать не будет.
Там, надо думать, определятся угол (углы) между двумя прямыми.
А как определяется угол между двумя кривыми? Между кривой и прямой линиями? Если линии кривые, то уже нет там никакого угла? Так считается?
По определению угол между пересекающимися кривыми - это угол между их касательными в точке пересечения.
Прямая - частный случай кривой, с бесконечным радиусом кривизны :green:
Цитата: Agabazar от февраля 26, 2021, 13:00
А для второго случая имеется соответствующее определение?
Другими, словами, угол между прямой и кривой определён?
Цитата: Ömer от февраля 26, 2021, 12:32
угол -- это окрестность точки кривой, имеющая в этой точке производные слева и справа (и соответственно мера угла - это разность аргтангенсов этих производных)
Цитата: Rusiok от февраля 26, 2021, 13:35
Цитата: Ömer от февраля 26, 2021, 12:32
угол -- это окрестность точки кривой, имеющая в этой точке производные слева и справа (и соответственно мера угла - это разность аргтангенсов этих производных)
А-а-а! В учебнике семилетнего ребёнка едва ли имеется такое определение угла. Хотя как знать... Соответствующего учебника я в руки не брал.
Цитата: Agabazar от февраля 26, 2021, 13:48
В учебнике семилетнего ребёнка едва ли имеется такое определение угла.
Цитата: From_Odessa от февраля 26, 2021, 09:22
ЦитироватьАвторы домашнего задания ... объяснили, что дети могут приложить фигуру к углу страницы тетради и понять, что у них получается не прямой угол.
В школьном курсе вроде есть понятие равенства углов. При наложении друг на друга совпадают — значит, равны. Но углы между кривыми линиями так не сравнить. Это означает, что углы между непрямыми там, в школьном курсе, вообще не определяются. Как то вот так.
Цитата: Rusiok от февраля 26, 2021, 14:16
Цитата: Agabazar от февраля 26, 2021, 13:48
В учебнике семилетнего ребёнка едва ли имеется такое определение угла.
Цитата: From_Odessa от февраля 26, 2021, 09:22
ЦитироватьАвторы домашнего задания ... объяснили, что дети могут приложить фигуру к углу страницы тетради и понять, что у них получается не прямой угол.
Небось опять студентов запрягли задачки придумывать.
Цитата: Ömer от февраля 26, 2021, 13:35
угол -- это окрестность точки кривой, имеющаяей в этой точке производные слева и справа (и соответственно мера угла -- это разность аргктангенсов этих производных)
:fp: (Писал наспех с телефона.)
Цитата: Rusiok от февраля 26, 2021, 12:48
Эта задача хорошая, так как позволяет понять, что такое математика и как она работает.
Угу, если учитель открыт к диалогу, и готов выслушать рассуждения ученика насчёт касательных. Нам при поступлении в математический лицей (10-11 классы) задавали такой вопрос на "порассуждать": расскажите, что такое объём. (Строгое определение можно дать только с помощью какого-то рода интеграла, что 9-классникам обычно ещё неизвестно).
А вот ещё одна задачка такого типа.
Чему равен квадратный корень из 4?
а) 2
б) 2 или −2
Думается, сама мысль, что две гладкие кривые, пересекаясь, не образуют четырёх углов с однозначно определимыми величинами (в сумме 360°) может, и даже должна, повредить ребенку, хотящему понять математику.
Цитата: Andrey Lukyanov от февраля 26, 2021, 17:21
А вот ещё одна задачка такого типа.
Чему равен квадратный корень из 4?
а) 2
б) 2 или −2
И какой ответ правильный?
Я тут на форуме уже поднимал вопрос о том, почему в школе часто исходят из того (и не только в школе), что квадратный корень из числа - это только положительное число, хотя, на самом деле, может быть и равное ему по модулю отрицательное. Мне пояснили, что есть понятие "арифметического квадратного корня", который подразумевает только положительный ответ. В Вашей задаче вообще-то должно быть "б", так как не указано, что это арифметический корень.
Цитата: Toman от февраля 26, 2021, 10:31
Цитата: злой от февраля 26, 2021, 09:54
По определению угла, он состоит из двух лучей, а там второго луча нет.
Тогда и в треугольнике, например (или любом многоугольнике) углов не будет, внезапно. В нём же нет лучей (бесконечно протяжённых в одну сторону), а только отрезки.
Вот это любопытный момент. А что за этим стоит реально? Я бы подумал, что, например, имеется в виду, что каждые две стороны треугольника с общей вершиной рассматриваются, как лучи, исходящие из этой вершины, просто нам важна обычно только та часть этих лучей, которая превращена другими вершинами в отрезки.
Цитата: From_Odessa от февраля 26, 2021, 17:30
Цитата: Toman от февраля 26, 2021, 10:31
Цитата: злой от февраля 26, 2021, 09:54
По определению угла, он состоит из двух лучей, а там второго луча нет.
Тогда и в треугольнике, например (или любом многоугольнике) углов не будет, внезапно. В нём же нет лучей (бесконечно протяжённых в одну сторону), а только отрезки.
Вот это любопытный момент. А что за этим стоит реально? Я бы подумал, что, например, имеется в виду, что каждые две стороны треугольника с общей вершиной рассматриваются, как лучи, исходящие из этой вершины, просто нам важна обычно только та часть этих лучей, которая превращена другими вершинами в отрезки.
Омонимия. Угол как фигура, угол как эээ... особенность фигуры и угол как мера.
Цитата: yurifromspb от февраля 26, 2021, 17:44
Омонимия. Угол как фигура и угол как мера.
А разве углы треугольника в планиметрии - это не те же самые углы-фигуры, по сути?
Цитата: From_Odessa от февраля 26, 2021, 17:28
И какой ответ правильный?
Зависит от того, кто спрашивает.
Здесь нужно знание конкретных условностей, принятых в конкретном заведении.
Цитата: From_Odessa от февраля 26, 2021, 17:45
Цитата: yurifromspb от февраля 26, 2021, 17:44
Омонимия. Угол как фигура и угол как мера.
А разве углы треугольника в планиметрии - это не те же самые углы-фигуры, по сути?
Я там недодумал. Фигура и особенность - пересечение линий, если по простому.
Цитата: Toman от февраля 26, 2021, 10:31
Цитата: злой от февраля 26, 2021, 09:54
По определению угла, он состоит из двух лучей, а там второго луча нет.
Тогда и в треугольнике, например (или любом многоугольнике) углов не будет, внезапно. В нём же нет лучей (бесконечно протяжённых в одну сторону), а только отрезки.
Отрезки ЧЕГО? :)
Цитата: From_Odessa от февраля 26, 2021, 09:22
ЦитироватьЙейтс позже нашел в интернете правильный ответ на вопрос. Авторы домашнего задания считали, что утверждение ложно. Они объяснили, что дети могут приложить фигуру к углу страницы тетради и понять, что у них получается не прямой угол.
Здесь не видно понимания того, что должно получиться. Достаточно приложить полукруг к любому острому углу, чтобы понять, что угол в вершине полукруга больше.
Цитата: yurifromspb от февраля 26, 2021, 17:55
Достаточно приложить полукруг к любому острому углу, чтобы понять, что угол в вершине полукруга больше.
... и в то же время меньше любого тупого угла. Тоже интересное наблюдение, чтобы побудить поразмышлять.
Цитата: Ömer от февраля 26, 2021, 18:01
Цитата: yurifromspb от февраля 26, 2021, 17:55
Достаточно приложить полукруг к любому острому углу, чтобы понять, что угол в вершине полукруга больше.
... и в то же время меньше любого тупого угла. Тоже интересное наблюдение, чтобы побудить поразмышлять.
Тут можно рассказать, что такое предел, и почему мы имеем право сказать под каким углом мяч упал на землю, даже если мяч и не летел по прямой.
Цитата: Andrey Lukyanov от февраля 26, 2021, 17:21
А вот ещё одна задачка такого типа.
Чему равен квадратный корень из 4?
а) 2
б) 2 или −2
Утрирую ещё больше: -1 -- число или нет? А sqrt(2) ?
Опять же, видимое "замешательство" происходит из-за того, что есть несколько различных понятий, называемых "число" (И они не обязательно включаются друг в друга; например, есть вот такое (wiki/ru) P-адическое_число (https://ru.wikipedia.org/wiki/P-%D0%B0%D0%B4%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE) ).
Все такие вопросы обычно разруливаются контекстом.
Цитата: Awwal12 от февраля 26, 2021, 09:41
Так в точке пересечения с касательной углы, составляемые исходной линией и касательной, одинаковы, просто по определению касательной.
Меня в школе учили, что касательная это прямая, имеющая в окружностью одну общую точку. Это определение касательной. Где вы видите здесь про прямые углы?
Цитата: From_Odessa от февраля 26, 2021, 17:28
Мне пояснили, что есть понятие "арифметического квадратного корня", который подразумевает только положительный ответ. В Вашей задаче вообще-то должно быть "б", так как не указано, что это арифметический корень.
Не имеет значения арифметический или просто квадратный, в обоих случаях число положительное, потому что матиматики так условились. А вот решение уравнения х
2=4 будет х=2 и х=-2
Цитата: yurifromspb от февраля 26, 2021, 17:25
Думается, сама мысль, что две гладкие кривые, пересекаясь, не образуют четырёх углов с однозначно определимыми величинами (в сумме 360°) может, и даже должна, повредить ребенку, хотящему понять математику.
Этого ребёнку обычно никто не говорит. Просто в школьной математике такого понятия нет. «Не проходят». Тем более в младших классах.
Цитата: злой от февраля 26, 2021, 09:28
Чушь. Это касательные, а не сама линия. Сама линия никогда не будет составлять прямого угла.
А в этом треугольнике линии составляют прямые углы?
(https://vbibl.ru/pars_docs/refs/108/107886/107886_html_75e4b726.jpg)
Цитата: Agabazar от февраля 26, 2021, 19:08
Цитата: yurifromspb от февраля 26, 2021, 17:25
Думается, сама мысль, что две гладкие кривые, пересекаясь, не образуют четырёх углов с однозначно определимыми величинами (в сумме 360°) может, и даже должна, повредить ребенку, хотящему понять математику.
Этого ребёнку обычно никто не говорит. Просто в школьной математике такого понятия нет. «Не проходят». Тем более в младших классах.
В жизни-то ребёнок видит, что кривые тоже пересекаются под разными углами, какие-то под большими, какие-то под меньшими, причём математическое определение угла между кривыми прямо продолжает интуитивное. Да даже без пределов видно, что полукруг именно что плотно входит в угол тетради вопреки авторам задачи. А тут какая-то намеренная ломка разума.
Цитата: BormoGlott от февраля 26, 2021, 18:41
Цитата: From_Odessa от февраля 26, 2021, 17:28
Мне пояснили, что есть понятие "арифметического квадратного корня", который подразумевает только положительный ответ. В Вашей задаче вообще-то должно быть "б", так как не указано, что это арифметический корень.
Не имеет значения арифметический или просто квадратный, в обоих случаях число положительное, потому что матиматики так условились. А вот решение уравнения х2=4 будет х=2 и х=-2
BormoGlott, откуда у вас сведения о такой условности? Сколько работаю математиком, никогда не встречал, и в гугле не нахожу.
Цитата: Бенни от февраля 26, 2021, 19:33
и в гугле не нахожу.
Квадратный корень из четырёх (https://www.google.com/search?q=%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D1%8B%D0%B9+%D0%BA%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%8C+%D0%B8%D0%B7+%D1%87%D0%B5%D1%82%D1%8B%D1%80%D1%91%D1%85&oq=%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D1%8B%D0%B9+%D0%BA%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%8C+%D0%B8%D0%B7+%D1%87%D0%B5%D1%82%D1%8B%D1%80%D1%91%D1%85&aqs=chrome..69i57&sourceid=chrome&ie=UTF-8)
Заметьте, равен 2, а не 2 и -2
Я гуглил просто "квадратный корень". У всякого ненулевого комплексного числа n различных корней n-й степени - почему n=2 должно быть исключением?
Но согласен, что использование терминов определяется договоренностями.
Цитата: BormoGlott от февраля 26, 2021, 18:41
Не имеет значения арифметический или просто квадратный, в обоих случаях число положительное, потому что матиматики так условились.
Так условились потому, что функция должна иметь не больше одного значения в любой точке. Чтобы её можно было использовать в выражениях, не порождая каждый раз при использовании неопределённости в виде расщепления на, в общем случае, хрен знает сколько значений.
Есть и другой способ устранения неоднозначности, как в комплексном анализе: оставляем все значения, но меняем поверхность, на которой задана функция.
(wiki/ru) Риманова_поверхность (https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D0%BF%D0%BE%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%85%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C)
Цитата: BormoGlott от февраля 26, 2021, 19:21
Цитата: злой от февраля 26, 2021, 09:28
Чушь. Это касательные, а не сама линия. Сама линия никогда не будет составлять прямого угла.
А в этом треугольнике линии составляют прямые углы?
(https://vbibl.ru/pars_docs/refs/108/107886/107886_html_75e4b726.jpg)
А это треугольник ли вообще в школьной (начальная школа) математике? Являются ли углы углами?
Цитата: BormoGlott от февраля 26, 2021, 19:21
Цитата: злой от февраля 26, 2021, 09:28
Чушь. Это касательные, а не сама линия. Сама линия никогда не будет составлять прямого угла.
А в этом треугольнике линии составляют прямые углы?
(https://vbibl.ru/pars_docs/refs/108/107886/107886_html_75e4b726.jpg)
Тоже нет. Я похожий вопрос, про координаты, заданные на поверхности шара, задавал учительнице по математике, дескать, на экваторе прямые параллельные, а на полюсах они же пересекаются. Она ответила, что это не прямые, а дуги. Здесь это тоже участки дуги, они нигде не являются прямыми. Раз тут специалисты говорят, что термин "криволинейный угол" существует, и есть способ его описать, то я доверяю им. Но это не угол из школьного учебника.
Цитата: yurifromspb от февраля 26, 2021, 17:25
Думается, сама мысль, что две гладкие кривые, пересекаясь, не образуют четырёх углов с однозначно определимыми величинами (в сумме 360°) может, и даже должна, повредить ребенку, хотящему понять математику.
Вы переоцениваете трагизм ситуации. Ребёнок, который по-настоящему хочет понять математику, встретит на своём пути множество препятствий, он должен быть к ним готов :)
Каков угол между графиками функций y = 1/x и y = −1/x?
Они не пересекаются. Можно говорить только об углах между их асимптотами, которые совпадают.
Цитата: злой от февраля 26, 2021, 21:44
Вы переоцениваете трагизм ситуации.
В данном случае - имхо, нет, это не переоценка. В отличие, например, от натуральных чисел, которые таки действительно натуральные (имеют интуитивно понятный смысл) и других подобных случаев, здесь явно происходит навязывание некого высосанного из пальца определения угла, не имеющие ни интуитивно понятного, ни практического смысла. А уж прикладывание к клеткам - это вообще ни в какие ворота не лезет, тут даже не высосанные из пальца определения, а какое-то обезьянство/демагогия, прости господи. Это реально развращение детей в полном смысле слова.
Цитата: Agabazar от февраля 26, 2021, 13:00
Цитата: злой от февраля 26, 2021, 09:54
Там не будет угла. Касательная - не часть этой геометрической фигуры, там прямая линия, и присоединённая к ней кривая. По определению угла, он состоит из двух лучей, а там второго луча нет.
А откуда вы знаете «определение угла»?
Одно дело угол между двумя прямыми и совсем другое — угол между прямой и кривой линией.
Для первого случая, да, определение вроде имеется. В школьном курсе математики, во всяком случае. А для второго случая имеется соответствующее определение?
Другими, словами, угол между прямой и кривой определён?
Совершенно верно, при решении школьных задач по геометрии можно пользоваться только теми аксиомами, определениями, теоремами и прочими следствиями, которые уже определены. Тем, что не определено, пользоваться нельзя. У внука как раз в этом году началась геометрия. Тщательно читаю учебник ;D чтобы пользоваться только тем, что уже изучено.
Определение.
Угол - геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки-вершины угла. На рисунке один-единственный развёрнутый угол 180 градусов. Других углов на рисунке нет.
Пока не определили угол по-другому, говорить не о чем.
Английский папаня просто хотел привлечь юзеров в свой бложик или что у него там :)
Да, и доктор наук - это не доктор наук в нашем понимании, а доктор философии, phD, молодой отец, который хочет стать популярным :)
Цитата: _Swetlana от февраля 26, 2021, 23:11
Определение. Угол - геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки-вершины угла.
Нас учили, что два луча, исходящие из одной точки, делят плоскость на две части, каждая из которых является углом.
Цитата: _Swetlana от февраля 26, 2021, 23:11
Определение. Угол - геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки-вершины угла.
Повторю свой вопрос про треугольник и т.п. У них - отрезки, а не лучи. Значит, лучи для "изготовления" угла надо так или иначе специально сделать по какой-то процедуре, а иначе и там тоже никаких углов нет. И чем тогда ситуация с треугольником принципиально отличается?
Цитата: Toman от февраля 27, 2021, 00:52Повторю свой вопрос про треугольник и т.п. У них - отрезки, а не лучи. Значит, лучи для "изготовления" угла надо так или иначе специально сделать по какой-то процедуре
Лучом считается продолжение отрезка за одну из граничных точек, прямой — продолжение за обе граничные точки.
И теорема есть соответствующая про единственность прямой, проходящей через отрезок.
Угол вообще - самая мутная, неинтуитивная геометрическая фигура. Вообще, мне кажется, угол зря повысили до звания геометрической фигуры, лучше его было рассматривать как свойство других геометрических фигур, как, скажем, длину, площадь и т.д.
Цитата: Andrey Lukyanov от февраля 27, 2021, 00:36
Цитата: _Swetlana от февраля 26, 2021, 23:11
Определение. Угол - геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки-вершины угла.
Нас учили, что два луча, исходящие из одной точки, делят плоскость на две части, каждая из которых является углом.
Это свойство, а не определение, судя по форме. Только "является" тут не вполне адекватно употреблено, в Интернете в основном пишется "образует угол". Являться - это другая форма связи, хотя "для школьников и так сойдёт".
Цитата: Andrey Lukyanov от февраля 27, 2021, 00:36
Цитата: _Swetlana от февраля 26, 2021, 23:11
Определение. Угол - геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки-вершины угла.
Нас учили, что два луча, исходящие из одной точки, делят плоскость на две части, каждая из которых является углом.
Нет, вас не так учили :)
Если угол неразвёрнутый, то одна часть его называется внутренней областью, а другая - внешней.
Угол один, он образует две области, внутреннюю и внешнюю. Слова "внутренняя область" опускаются, по дефолту речь идёт о внутренней области.
Цитата: Bhudh от февраля 27, 2021, 02:30
Лучом считается продолжение отрезка за одну из граничных точек, прямой — продолжение за обе граничные точки.
И теорема есть соответствующая про единственность прямой, проходящей через отрезок.
Это всё понятно - но это (вот такое продолжение за граничную точку, а проще сказать, проведение прямой/луча через две точки) и есть те самые дополнительные построения. Если на картинке был бы многоугольник (треугольник), там были бы только точки и отрезки, пока не сделаны эти дополнительные построения. А для угла нужны именно лучи, например, чтобы можно было проверять их на равенство путём совмещения.
Цитата: Toman от февраля 27, 2021, 00:52
Цитата: _Swetlana от февраля 26, 2021, 23:11
Определение. Угол - геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки-вершины угла.
Повторю свой вопрос про треугольник и т.п. У них - отрезки, а не лучи. Значит, лучи для "изготовления" угла надо так или иначе специально сделать по какой-то процедуре, а иначе и там тоже никаких углов нет. И чем тогда ситуация с треугольником принципиально отличается?
Я даже вопрос ваш понять не могу. Вы понимаете, что такое бесконечная прямая? бесконечная в обе стороны, апофеоз актуальной бесконечности, потому что всё ея бесконечное множество точек существует одномоментно, назло конструктивистам. Отрезок, конечно, тоже содержит бесконечное число точек, существующих одномоментно, то есть тоже является представителем актуальной бесконечности. Но большинство людей, глядя на отрезок, думают только о его конечности, такой самообман.
В детстве у меня от бесконечности прямой дух захватило ::) Впрочем, ладно.
Геометрия Атанасяна, 7-9 класс
Луч изготовить очень просто: берёте бесконечную прямую, выбираете на ней точку, затем левый или правый луч, какой больше нравится.
Цитата: _Swetlana от февраля 27, 2021, 11:21
Геометрия Атанасяна, 7-9 класс
Луч изготовить очень просто: берёте бесконечную прямую, выбираете на ней точку, затем левый или правый луч, какой больше нравится.
Сильный армянский акцент, ничего не понятно.
Цитата: _Swetlana от февраля 27, 2021, 11:21
Геометрия Атанасяна, 7-9 класс
Луч изготовить очень просто: берёте бесконечную прямую, выбираете на ней точку, затем левый или правый луч, какой больше нравится.
В 1 классе почти так и учим.
Цитата: Easyskanker от февраля 27, 2021, 11:31
Цитата: _Swetlana от февраля 27, 2021, 11:21
Геометрия Атанасяна, 7-9 класс
Луч изготовить очень просто: берёте бесконечную прямую, выбираете на ней точку, затем левый или правый луч, какой больше нравится.
Сильный армянский акцент, ничего не понятно.
Непонятно только про конечные прямые.
Цитата: Toman от февраля 27, 2021, 11:12
Цитата: Bhudh от февраля 27, 2021, 02:30
Лучом считается продолжение отрезка за одну из граничных точек, прямой — продолжение за обе граничные точки.
И теорема есть соответствующая про единственность прямой, проходящей через отрезок.
Это всё понятно - но это (вот такое продолжение за граничную точку, а проще сказать, проведение прямой/луча через две точки) и есть те самые дополнительные построения. Если на картинке был бы многоугольник (треугольник), там были бы только точки и отрезки, пока не сделаны эти дополнительные построения. А для угла нужны именно лучи, например, чтобы можно было проверять их на равенство путём совмещения.
Отрезок это и есть участок прямой. И он уже построен. Не надо никаких дополнительных построений.
Цитата: _Swetlana от февраля 26, 2021, 23:34
Да, и доктор наук - это не доктор наук в нашем понимании, а доктор философии, phD, молодой отец, который хочет стать популярным :)
ЦитироватьDr Kit Yates, co-director of the Centre for Mathematical Biology at the University of Bath and author of The Maths of Life and Death, shared his daughter's maths worksheet to Twitter (https://twitter.com/Kit_Yates_Maths/status/1364474242088239104) in a bid to find out the correct answer.
PhD не обязательно только философии бывают, есть и PhD in Mathematics.
ЦитироватьIn the context of the Doctor of Philosophy and other similarly titled degrees, the term "philosophy" does not refer to the field or academic discipline of philosophy, but is used in a broader sense in accordance with its original Greek meaning, which is "love of wisdom." In most of Europe, all fields (history, philosophy, social sciences, mathematics, and natural philosophy/sciences)[10] other than theology, law, and medicine (the so-called professional, vocational, or technical curriculum) were traditionally known as philosophy, and in Germany and elsewhere in Europe the basic faculty of liberal arts was known as the "faculty of philosophy."
(wiki/en) Doctor_of_Philosophy (https://en.wikipedia.org/wiki/Doctor_of_Philosophy)
Цитата: Red Khan от февраля 27, 2021, 11:50
PhD не обязательно только философии бывают, есть и PhD in Mathematics.
Суть в том, что по-нашему это как кандидат наук. А отдельного "доктора наук по-нашему" у них просто вообще нет.
Цитата: VagneR от февраля 27, 2021, 11:41
Непонятно только про конечные прямые.
Почему просто не сказать, что луч это линия, протянутая из точки в бесконечность? Если уж не говорится о луче как части конечной прямой.
Это понятно, что phD разные бывают. Просто их доктор - примерно как наш кандидат.
Цитата: Easyskanker от февраля 27, 2021, 11:58
Цитата: VagneR от февраля 27, 2021, 11:41
Непонятно только про конечные прямые.
Почему просто не сказать, что луч это линия, направленная из точки в бесконечность? Если уж не говорится о луче как части конечной прямой.
Потому что геометрия, как здание, строится последовательно, начиная от фундамента.
Первый шаг. Ввели понятия точки и прямой.
Второй шаг. С помощью этих и только этих понятий строим луч и отрезок.
Специально для неармян ;D Фиксируем одну точку на прямой - строим два луча. Фиксируем на прямой две несовпадающие точки - строим отрезок с концами в этих точках.
Короче, в религии без ритуалов никак.
Цитата: VagneR от февраля 27, 2021, 11:44
Отрезок это и есть участок прямой. И он уже построен. Не надо никаких дополнительных построений.
Так нам нужен не отрезок, а луч. А дан именно отрезок. Луч из него требует построения.
Цитата: Easyskanker от февраля 27, 2021, 11:58
Цитата: VagneR от февраля 27, 2021, 11:41
Непонятно только про конечные прямые.
Почему просто не сказать, что луч это прямая линия, протянутая из точки в бесконечность? Если уж не говорится о луче как части конечной прямой.
Сказать можно как угодно, но продуктивнее давать знания рёбёнку в системе. Прямая - луч - отрезок - всё взаимосвязано.
Цитата: Easyskanker от февраля 27, 2021, 12:04
Короче, в религии без ритуалов никак.
Удивительно верное замечание!
Это основной принцип всякой религии. Кое-что принимаем на веру (в основаниях математики без этого нельзя), формируем набор непротиворечивых постулатов и развёртываем строительство храма.
Цитата: Toman от февраля 27, 2021, 12:04
Цитата: VagneR от февраля 27, 2021, 11:44
Отрезок это и есть участок прямой. И он уже построен. Не надо никаких дополнительных построений.
Так нам нужен не отрезок, а луч. А дан именно отрезок. Луч из него требует построения.
Не требует. Прямая есть (отрезок - часть прямой), точка тоже - вот вам и луч. Всё.
Цитата: Easyskanker от февраля 27, 2021, 12:04
Короче, в религии без ритуалов никак.
Странный вы человек. С этой точки зрения практически всё - это религия.
Цитата: Toman от февраля 27, 2021, 11:57
Цитата: Red Khan от февраля 27, 2021, 11:50
PhD не обязательно только философии бывают, есть и PhD in Mathematics.
Суть в том, что по-нашему это как кандидат наук. А отдельного "доктора наук по-нашему" у них просто вообще нет.
Цитата: _Swetlana от февраля 27, 2021, 11:58
Это понятно, что phD разные бывают. Просто их доктор - примерно как наш кандидат.
Вики пишет что только для тех стран, у которых PhD не самое высшее звание.
Цитироватьinformally regarded in Russia and many other post-Soviet states as equivalent to the PhD obtained in countries in which the PhD is not the highest academic degree
(wiki/en) Doktor_nauk (https://en.wikipedia.org/wiki/Doktor_nauk)
И даже если - написавший твит вполне себе математик, а не философ-гуманитарий.
Любое явление в математике - интуитивно понимаемое, я когда-то пребывал в иллюзии, что по определению можно понять суть математического явления. Нельзя. Определение только более или менее приблизительно передаёт идею.
Цитата: VagneR от февраля 27, 2021, 12:08
Не требует. Прямая есть (отрезок - часть прямой), точка тоже - вот вам и луч. Всё.
Из части вся прямая считается получающейся сама собой? Окей, тогда что мешает считать так же получающимися/существующими сами собой касательные к кривой в любых интересующих нас точках?
Чем вообще, по-вашему, отличаются действия по построению чего-либо, которые надо явным образом совершать, от тех, которые вы считаете получающимися сами собой, и потому вообще не считаете за построение? А то ведь так можно вообще сказать, что никаких построений нигде не требуется, поскольку они все "происходят/существуют сами собой".
Отрезок уже содержит в себе все параметры соответствующих лучей и прямых, они получаются из него простым удалением конечных точек.
Цитата: Awwal12 от февраля 27, 2021, 12:29
Отрезок уже содержит в себе все параметры соответствующих лучей и прямых, они получаются из него простым удалением конечных точек.
Цитата: _Swetlana от февраля 27, 2021, 11:21
Вы понимаете, что такое бесконечная прямая? бесконечная в обе стороны, апофеоз актуальной бесконечности, потому что всё ея бесконечное множество точек существует одномоментно, назло конструктивистам. Отрезок, конечно, тоже содержит бесконечное число точек, существующих одномоментно, то есть тоже является представителем актуальной бесконечности. Но большинство людей, глядя на отрезок, думают только о его конечности, такой самообман.
Так вот, простым удалением конечных точек из того (бесконечного) множества точек, которое отрезок, то (тоже бесконечное) множество точек, которое прямая, или которое луч, никак не получится. А параметры - это лишь параметры, да, они содержатся и по ним можно
построить недостающую часть. А в кривой так же содержатся параметры всех её касательных, и их тоже можно построить.
Обучение, действительно, ведётся шажками от простого к сложному, но я по прежнему считаю. что в том виде, как это здесь изложено, задача вредная. Если надо сказать о чём-то, выходящем за рамки известных определений, то надо сделать это так, чтобы показать верное направление, а не тупик.
Там ведь не говорилось, что это типа не то, что мы зовём углом в нашей школьной геометрии (но по-жизни мы это всё же зовём углом и не зря), подумайте дети, а что же это такое и как тут быть. Было сказано так:
Цитата: From_Odessa от февраля 26, 2021, 09:22Цитировать
Йейтс позже нашел в интернете правильный ответ на вопрос. Авторы домашнего задания считали, что утверждение ложно. Они объяснили, что дети могут приложить фигуру к углу страницы тетради и понять, что у них получается не прямой угол.
Но если уж угол, то прямой, иначе никак, а если вообще не угол, то так и надо писать, мол мы таких углов не знаем, но не знаю, какая тут педагогическая польза.
Цитата: Задачи повшенной трудности1307 Докажите, что в кубе можно вырезать сквозное отверстие, через которое можно протащить куб таких же размеров.
Вбросил и убежал. ;D
А тут-то какие проблемы?
Цитата: yurifromspb от февраля 27, 2021, 12:57
Обучение, действительно, ведётся шажками от простого к сложному, но я по прежнему считаю. что в том виде, как это здесь изложено, задача вредная. Если надо сказать о чём-то, выходящем за рамки известных определений, то надо сделать это так, чтобы показать верное направление, а не тупик.
Там ведь не говорилось, что это типа не то, что мы зовём углом в нашей школьной геометрии (но по-жизни мы это всё же зовём углом и не зря), подумайте дети, а что же это такое и как тут быть. Было сказано так:
Цитата: From_Odessa от февраля 26, 2021, 09:22Цитировать
Йейтс позже нашел в интернете правильный ответ на вопрос. Авторы домашнего задания считали, что утверждение ложно. Они объяснили, что дети могут приложить фигуру к углу страницы тетради и понять, что у них получается не прямой угол.
Но если уж угол, то прямой, иначе никак, а если вообще не угол, то так и надо писать, мол мы таких углов не знаем, но не знаю, какая тут педагогическая польза.
А в чём, собственно, проблема? Ребёнка же не спрашивают, прямой это угол, острый или тупой. Для него криволинейный угол - вполне себе угол. И он действительно не прямой.
Цитата: Bhudh от февраля 27, 2021, 14:08
Цитата: Задачи повшенной трудности1307 Докажите, что в кубе можно вырезать сквозное отверстие, через которое можно протащить куб таких же размеров.
Вбросил и убежал. ;D
Мне всегда было интересно, есть ли какой-то формализованный способ вычисления, пролезет ли предмет определённой формы через отверстие другой формы? Потому что задачи на площадь криволинейных фигур решаются через разбиение фигуры на интегрируемые части. Можно ли таким образом, беря многомерные интегралы, вычислять, пролезает фигура или нет? Или такая задача каждый раз будет адхочной?
Цитата: злой от февраля 27, 2021, 14:39
А в чём, собственно, проблема? Ребёнка же не спрашивают, прямой это угол, острый или тупой. Для него криволинейный угол - вполне себе угол. И он действительно не прямой.
А какой? Если ему попробовать приписать меру, то кроме 90° ничего не получится. Фигура, конечно, не из двух лучей, etc.
Цитата: злой от февраля 27, 2021, 14:44
Мне всегда было интересно, есть ли какой-то формализованный способ вычисления, пролезет ли предмет определённой формы через отверстие другой формы? Потому что задачи на площадь криволинейных фигур решаются через разбиение фигуры на интегрируемые части. Можно ли таким образом, беря многомерные интегралы, вычислять, пролезает фигура или нет? Или такая задача каждый раз будет адхочной?
Не знаком с формализацией такого рода задач, но навскидку могу предложить вот что. Для случая плоских фигур
достаточный критерий "пролезаемости" фигуры f через фигуру F: радиус вписанной окружности фигуры F должен быть больше радиуса описанной окружности фигуры f.
(https://i.ibb.co/LzCNLVn/image.png)
На картинке: квадрат f пролезет через треугольник F, поскольку красный кружок больше синего.
Формулы вписанных и описанных окружностей есть только для правильных многоугольников. Для неправильных фигур нахождение вписанных и описанных радиусов -- типичная задача оптимизации, которая может быть решена приближённо численными методами, типа метода градиентного спуска (https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D1%80%D0%B0%D0%B4%D0%B8%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D1%81%D0%BF%D1%83%D1%81%D0%BA); аналитически, думаю, в общем виде через интеграл не выражается (доказать не могу, но интуитивно кажется, что там нет связи с интегралом).
В многомерном случае можно ввести понятия вписанных и описанных цилиндров -- если мы протаскиваем фигуру по прямой (но можно и не по прямой, а зигзагом -- тогда задача ещё сложнее), и скорее всего, такие задачи тоже решаются только численно.
Погуглил, нашёл довольно свежую (этого века) статью про алгоритм нахождения радиуса вписанной сферы для многомерного случая:
http://www.cse.yorku.ca/~andy/courses/6114/lecture-notes/MAX-Inscribed-Sphere.pdf
Цитата: yurifromspb от февраля 27, 2021, 15:18
Цитата: злой от февраля 27, 2021, 14:39
А в чём, собственно, проблема? Ребёнка же не спрашивают, прямой это угол, острый или тупой. Для него криволинейный угол - вполне себе угол. И он действительно не прямой.
А какой? Если ему попробовать приписать меру, то кроме 90° ничего не получится. Фигура, конечно, не из двух лучей, etc.
Не знаю, как у вас получается так, что кроме 90 градусов ему не получается приписать никакую меру. По мне так "нормальный" вывод - что не каждый угол можно измерить. То есть ребёнок выходит за рамки и понимает, что есть вещи, не укладывающиеся в шаблоны.
Ömer, вот я как раз боюсь, что при переходе из двух измерений в три такую задачу (с возможностью "верчения" фигуры) формализовать нельзя, лишнее измерение даёт лишнюю переменную. Численно - можно изобрести кучу разных способов, мы же как-то в мозгу её решаем, а это аппроксимация.
Цитата: злой от февраля 26, 2021, 21:39
Цитата: BormoGlott от А в этом треугольнике линии составляют прямые углы?
Тоже нет.
Однако, угол между направлением на север и направлением на восток составляет ровно 90 градусов. Вы можете это объяснить?
Цитата: BormoGlott от февраля 27, 2021, 15:52
Цитата: злой от февраля 26, 2021, 21:39
Цитата: BormoGlott от А в этом треугольнике линии составляют прямые углы?
Тоже нет.
Однако, угол между направлением на север и направлением на восток составляет ровно 90 градусов. Вы можете это объяснить?
Направления на север и восток - это проекции, а не сами дуги. Дуги уходят вниз.
Цитата: злой от февраля 27, 2021, 15:46
Не знаю, как у вас получается так, что кроме 90 градусов ему не получается приписать никакую меру. По мне так "нормальный" вывод - что не каждый угол можно измерить. То есть ребёнок выходит за рамки и понимает, что есть вещи, не укладывающиеся в шаблоны.
Ну как нельзя. Если мы от круга будем отрезать сегмент не по диаметру, а по хорде, тоже будут два угла и притом меньше, чем по диаметру, и чем меньше хорда, тем меньше угол. Это ведь интуитивно понятно? Т.е. можно измерить угол отношением хорды к диаметру, например. Ещё не градусы, конечно, но уже близко.
Или, другой путь, можно пытаться вставлять полукруг в углы из лучей, так, что диаметр идёт по одному из лучей и заметить, что если угол острый, то вставить нельзя, будет пересечение луча с полуокружностью.
Довольно просто на школьном уровне показать, что при пересечении кривых тоже есть угол и притом однозначно сравнимый с углами, которые образованы лучами.
А если вместо этого сказать, угол измерить нельзя (а потом окажется, что можно), это уже дзен какой-то будет, а не геометрия.
Цитата: злой от февраля 27, 2021, 15:55
Направления на север и восток - это проекции
Так же можно сказать и об угле в рассматриваемой задаче. Угол между диаметром и касательной, проходящей через его конец равен 90°.
Можно придумать какой угодно способ измерения, другой вопрос - какой у этого измерения будет смысл ("средняя температура по больнице"). Для меня очевидно, что криволинейный угол - однозначно не "прямой" в классическом смысле. А так, если уж производную дробной степени придумали, то конечно можно придумать и то, как измерить криволинейный угол, но эта мера будет ни прямым, ни острым, ни тупым углом в том смысле, в котором этому учат в школе.
Цитата: BormoGlott от февраля 27, 2021, 16:06
Цитата: злой от февраля 27, 2021, 15:55
Направления на север и восток - это проекции
Так же можно сказать и об угле в рассматриваемой задаче. Угол между диаметром и касательной, проходящей через его конец равен 90°.
Нас просят не проекции искать, а углы между самими фигурами.
Какими фигурами? Фигура там одна.
Могу предложить ещё одну задачу.
Какое число является наименьшим среди натуральных?
а) 0
б) 1
Натуральные числа начинаются с единицы.
натуральные числа можно записать римскими цифрами, а ноль придумали арабы
Цитата: злой от февраля 27, 2021, 16:12
Можно придумать какой угодно способ измерения, другой вопрос - какой у этого измерения будет смысл ("средняя температура по больнице").
Если хотим сравнивать с углами между прямыми, то выбора-то и нет. По большому счёту, линейкой служит именно угол меду лучами.
Цитата: злой от февраля 27, 2021, 16:12
Для меня очевидно, что криволинейный угол - однозначно не "прямой" в классическом смысле.
...конечно можно придумать и то, как измерить криволинейный угол, но эта мера будет ни прямым, ни острым, ни тупым углом в том смысле, в котором этому учат в школе.
А что если микроскоп взять и посмотреть на точку пересечения с таким увеличением, чтобы линии нельзя было отличить от прямых? Как тогда?
Цитата: злой от февраля 27, 2021, 16:12
Для меня очевидно, что криволинейный угол - однозначно не "прямой" в классическом смысле.
Для меня очевидно, что прямой в классическом смысле угол - это тот, который равен 90°, безотносительно прямо- или криволинейности того, что к нему там дальше присобачено. А он именно таков. Если уж он вообще угол. А если нет, то получается хрень:
жопа есть, а слова нет мера угла есть и точно определена, а самого угла как бы нет?
Цитата: злой от февраля 27, 2021, 16:12
А так, если уж производную дробной степени придумали, то конечно можно придумать и то, как измерить криволинейный угол, но эта мера будет ни прямым, ни острым, ни тупым углом в том смысле, в котором этому учат в школе.
Эта мера ничем не отличается от меры для "прямолинейных" углов, поскольку собственно угол там образован касательными, которые прямолинейны. Ничего хитрого или искусственного для этого придумывать не нужно, это естественно и интуитивно понятно.
Цитата: yurifromspb от февраля 27, 2021, 17:25А что если микроскоп взять и посмотреть на точку пересечения с таким увеличением, чтобы линии нельзя было отличить от прямых?
Смотреть в микроскоп на идеальный математический объект это интересно.
Наверное, это такой специальный философский микроскоп?
Цитата: Bhudh от февраля 27, 2021, 17:44
Цитата: yurifromspb от февраля 27, 2021, 17:25А что если микроскоп взять и посмотреть на точку пересечения с таким увеличением, чтобы линии нельзя было отличить от прямых?
Смотреть в микроскоп на идеальный математический объект это интересно.
Наверное, это такой специальный философский микроскоп?
Да. ;D
Цитата: yurifromspb от февраля 27, 2021, 17:25
Цитата: злой от Можно придумать какой угодно способ измерения, другой вопрос - какой у этого измерения будет смысл ("средняя температура по больнице").
Если хотим сравнивать с углами между прямыми, то выбора-то и нет. По большому счёту, линейкой служит именно угол меду лучами.
Это и есть тот самый "классический" угол, который может быть прямым, острым и тупым. Но это не наш случай.
Цитата: yurifromspb от февраля 27, 2021, 17:25
Цитата: злой от Для меня очевидно, что криволинейный угол - однозначно не "прямой" в классическом смысле.
...конечно можно придумать и то, как измерить криволинейный угол, но эта мера будет ни прямым, ни острым, ни тупым углом в том смысле, в котором этому учат в школе.
А что если микроскоп взять и посмотреть на точку пересечения с таким увеличением, чтобы линии нельзя было отличить от прямых? Как тогда?
Разговор ни о чём.
Цитата: Toman от февраля 27, 2021, 17:34
Цитата: злой от А так, если уж производную дробной степени придумали, то конечно можно придумать и то, как измерить криволинейный угол, но эта мера будет ни прямым, ни острым, ни тупым углом в том смысле, в котором этому учат в школе.
Эта мера ничем не отличается от меры для "прямолинейных" углов, поскольку собственно угол там образован касательными, которые прямолинейны. Ничего хитрого или искусственного для этого придумывать не нужно, это естественно и интуитивно понятно.
Это будет угол между касательными, а не между линиями, о которых идёт речь. Тем более это не единственный способ измерить угол - можно, скажем, брать среднее значение между "разбросом", или ещё что угодно. В любом случае, это будет некая условность.
Цитата: Toman от февраля 27, 2021, 17:34
Цитата: злой от Для меня очевидно, что криволинейный угол - однозначно не "прямой" в классическом смысле.
Для меня очевидно, что прямой в классическом смысле угол - это тот, который равен 90°, безотносительно прямо- или криволинейности того, что к нему там дальше присобачено. А он именно таков. Если уж он вообще угол. А если нет, то получается хрень: жопа есть, а слова нет мера угла есть и точно определена, а самого угла как бы нет?
Интуитивность у всех разная. Для меня скруглённый угол прямым быть не может. Любые касательные - это дополнительные построения, не являющиеся самим углом (за исключением случая их совпадения с самими линиями, образующими угол). У вас, как я вижу, интуитивность другая.
Цитата: Bhudh от февраля 27, 2021, 16:39
Натуральные числа начинаются с единицы.
Не общепринято.
(wiki/ru) Натуральное_число#Место_нуля (https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%B0%D1%82%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE#%D0%9C%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%BE_%D0%BD%D1%83%D0%BB%D1%8F)
Цитата: Toman от февраля 27, 2021, 12:45
Цитата: Awwal12 от февраля 27, 2021, 12:29
Отрезок уже содержит в себе все параметры соответствующих лучей и прямых, они получаются из него простым удалением конечных точек.
Цитата: _Swetlana от февраля 27, 2021, 11:21
Вы понимаете, что такое бесконечная прямая? бесконечная в обе стороны, апофеоз актуальной бесконечности, потому что всё ея бесконечное множество точек существует одномоментно, назло конструктивистам. Отрезок, конечно, тоже содержит бесконечное число точек, существующих одномоментно, то есть тоже является представителем актуальной бесконечности. Но большинство людей, глядя на отрезок, думают только о его конечности, такой самообман.
Так вот, простым удалением конечных точек из того (бесконечного) множества точек, которое отрезок, то (тоже бесконечное) множество точек, которое прямая, или которое луч, никак не получится. А параметры - это лишь параметры, да, они содержатся и по ним можно построить недостающую часть. А в кривой так же содержатся параметры всех её касательных, и их тоже можно построить.
Томан, я НЕ ПОНИМАЮ, о чём вы толкуете.
Что вы удаляете из замкнутого отрезка? конечные точки? Получится открытый отрезок. Множества бывают замкнутые (содержат все свои предельные точки) и открытые (не содержат). Ну я сейчас о метрических пространствах говорю. Удаляете из замкнутого множества (отрезок) все его предельные точки, получаете открытое множество - интервал.
Вот это что за поток сознания:
Цитироватьпростым удалением конечных точек из того (бесконечного) множества точек, которое отрезок, то (тоже бесконечное) множество точек, которое прямая, или которое луч, никак не получится.
Что из чего не получится? что откуда удаляется?
Прямая и открытый отрезок гомеоморфны, вообще-то. Если из отрезка удалить его предельные точки, получим объект, в каком-то смысле эквивалентный прямой.
Ну если бы такой доктор предложил бы моему внуку такую задачу, то получил бы ответ: На рисунке четыре прямых угла.
Два верхних образуют верхний развёрнутый угол, два нижних - нижний развёрнутый угол.
;D
Цитата: злой от февраля 27, 2021, 14:44
Цитата: Bhudh от февраля 27, 2021, 14:08
Цитата: Задачи повшенной трудности1307 Докажите, что в кубе можно вырезать сквозное отверстие, через которое можно протащить куб таких же размеров.
Вбросил и убежал. ;D
Мне всегда было интересно, есть ли какой-то формализованный способ вычисления, пролезет ли предмет определённой формы через отверстие другой формы? Потому что задачи на площадь криволинейных фигур решаются через разбиение фигуры на интегрируемые части. Можно ли таким образом, беря многомерные интегралы, вычислять, пролезает фигура или нет? Или такая задача каждый раз будет адхочной?
Если оба куба, допустим, из стали, протащить не получится. А если один из стали, второй из резины, получится легко. Вариантов масса, и при этом вычислять тут нечего. Но у математиков же не реальный мир, а какое-то свое тридевятое царство, поэтому мне сейчас скажут, что материал вообще не подразумевался.
Цитата: злой от февраля 27, 2021, 18:09
Разговор ни о чём.
Об интуициях.
Я понимаю. что эти четыре угла не выглядят одинаковыми:
[imgl]01.png[/imgl]
Но если мы условимся, что величина угла характеризует только его кончик (самый кончик, самый самый кончик ->->->)
то выбора нет.
[imgl]angle.gif[/imgl]
Цитата: Easyskanker от февраля 27, 2021, 19:13
Если оба куба, допустим, из стали, то протащить не получится. А если один из стали, второй из резины, получится легко. Вариантов масса, и при этом вычислять тут нечего. Но у математиков же не реальный мир, а какое-то свое тридевятое царство, поэтому мне сейчас скажут, что материал вообще не подразумевался.
Я не математик, но материал здесь действительно роли не играет. Здесь требуется объёмное мышление.
Цитата: KW от февраля 27, 2021, 19:19
Я не математик, но материал здесь действительно роли не играет. Здесь требуется объёмное мышление.
А с объемным мышлением тут только один вариант, и называется он "черта с два".
Цитата: yurifromspb от февраля 27, 2021, 19:17
Но если мы условимся, что величина угла характеризует только его кончик (самый кончик, самый самый кончик ->->->)
Самый-самый кончик - это точка. А нам нужен луч. Ну то есть нужны хотя бы две точки, лежащие на линии, которая будет строго перпендикулярна другой линии - тогда можно говорить о наличии прямого угла.
Цитата: Easyskanker от февраля 27, 2021, 19:13
Цитата: злой от февраля 27, 2021, 14:44
Цитата: Bhudh от февраля 27, 2021, 14:08
Цитата: Задачи повшенной трудности1307 Докажите, что в кубе можно вырезать сквозное отверстие, через которое можно протащить куб таких же размеров.
Вбросил и убежал. ;D
Мне всегда было интересно, есть ли какой-то формализованный способ вычисления, пролезет ли предмет определённой формы через отверстие другой формы? Потому что задачи на площадь криволинейных фигур решаются через разбиение фигуры на интегрируемые части. Можно ли таким образом, беря многомерные интегралы, вычислять, пролезает фигура или нет? Или такая задача каждый раз будет адхочной?
Если оба куба, допустим, из стали, протащить не получится. А если один из стали, второй из резины, получится легко. Вариантов масса, и при этом вычислять тут нечего. Но у математиков же не реальный мир, а какое-то свое тридевятое царство, поэтому мне сейчас скажут, что материал вообще не подразумевался.
Надо найти сечение куба, большее грани. По-моему, есть такие. Например, можно взять диагональ одной грани и параллельный отрезок на другой грани, упирающийся в ребра, длиной со сторону квадрата. Эта трапеция заведомо больше квадрата: высота длиннее, одно основание длиннее, а другое равно стороне.
Цитата: KW от февраля 27, 2021, 19:22
Цитата: yurifromspb от февраля 27, 2021, 19:17
Но если мы условимся, что величина угла характеризует только его кончик (самый кончик, самый самый кончик ->->->)
Самый-самый кончик - это точка. А нам нужен луч. Ну то есть нужны хотя бы две точки, лежащие на линии, которая будет строго перпендикулярна другой линии.
Имелось в виду, кончик с окрестностью.В малой окрестности гладкие кривые приближаются к прямым.
Цитата: yurifromspb от февраля 27, 2021, 19:22
Цитата: Easyskanker от февраля 27, 2021, 19:13
Цитата: злой от февраля 27, 2021, 14:44
Цитата: Bhudh от февраля 27, 2021, 14:08
Цитата: Задачи повшенной трудности1307 Докажите, что в кубе можно вырезать сквозное отверстие, через которое можно протащить куб таких же размеров.
Вбросил и убежал. ;D
Мне всегда было интересно, есть ли какой-то формализованный способ вычисления, пролезет ли предмет определённой формы через отверстие другой формы? Потому что задачи на площадь криволинейных фигур решаются через разбиение фигуры на интегрируемые части. Можно ли таким образом, беря многомерные интегралы, вычислять, пролезает фигура или нет? Или такая задача каждый раз будет адхочной?
Если оба куба, допустим, из стали, протащить не получится. А если один из стали, второй из резины, получится легко. Вариантов масса, и при этом вычислять тут нечего. Но у математиков же не реальный мир, а какое-то свое тридевятое царство, поэтому мне сейчас скажут, что материал вообще не подразумевался.
Надо найти сечение куба, большее грани. По-моему, есть такие. Например, можно взять диагональ одной грани и параллельный отрезок на другой грани, упирающийся в ребра, длиной со сторону квадрата. Эта трапеция заведомо больше квадрата: высота длиннее, одно основание длиннее, а другое равно стороне.
Нисколько не сомневаюсь, что в математике возможно вырезать в одном кубе такое отверстие, чтобы протащить через него точно такой же куб. Как и не сомневаюсь в том, что в реальном мире это совершенно невозможно. Хотя в реальном мире и несгибаемый "математический материал" невозможен.
Цитата: yurifromspb от февраля 27, 2021, 19:17
Цитата: злой от февраля 27, 2021, 18:09
Разговор ни о чём.
Об интуициях.
Я понимаю. что эти четыре угла не выглядят одинаковыми:
[imgl]01.png[/imgl]
Но если мы условимся, что величина угла характеризует только его кончик (самый кончик, самый самый кончик ->->->)
то выбора нет.
[imgl]angle.gif[/imgl]
Если "самый-самый" кончик, то задача вычисления угла теряет смысл, так как это точка. Это уже обсуждалось.
Цитата: yurifromspb от февраля 27, 2021, 19:24
Цитата: KW от февраля 27, 2021, 19:22
Цитата: yurifromspb от февраля 27, 2021, 19:17
Но если мы условимся, что величина угла характеризует только его кончик (самый кончик, самый самый кончик ->->->)
Самый-самый кончик - это точка. А нам нужен луч. Ну то есть нужны хотя бы две точки, лежащие на линии, которая будет строго перпендикулярна другой линии.
Имелось в виду, кончик с окрестностью.В малой окрестности гладкие кривые приближаются к прямым.
Ключевое слово - приближаются. Откуда у людей такая страсть отождествлять касательные и асимптоты с объектами, которые ими не являются - лично мне непонятно.
Цитата: yurifromspb от февраля 27, 2021, 19:22
Надо найти сечение куба, большее грани.
Только вот какое-то отдельное сечение-то может таким и не оказаться, в общем случае. Нужна проекция, большая грани, но с дополнительным условием, чтобы при этом объект не оказался разрезан отверстием насквозь, и остался топологически как тор.
Я думаю, задача с кубами должна решаться взятием двойного интеграла.
У задачи с кубами, оказывается, есть название:
(wiki/en) Prince_Rupert's_cube (https://en.wikipedia.org/wiki/Prince_Rupert%27s_cube)
Выдвинута гипотеза, что любой 3-мерный выпуклый многогранник можно протащить через самого себя, но она не доказана.
Цитата: злой от февраля 27, 2021, 19:39
Я думаю, задача с кубами должна решаться взятием двойного интеграла.
Вряд ли. Как указал Toman, свойство проходить или не проходить зависит от рода (https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D0%BE%D0%B4_%D0%BF%D0%BE%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%85%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8) оставшейся части, а функция интегрирования не "схватывает" понятие рода (то есть, она не является топологическим инвариантом).
См. также в статье из википедии ссылки на существующие доказательства для других многогранников: использованные там методы алгебраико-геометрические, без привлечения дифференциального исчисления.
(wiki/en) File:Prince_Rupert's_cube.stl#/media/File:Prince_Rupert's_cube.stl (https://en.wikipedia.org/wiki/File:Prince_Rupert%27s_cube.stl#/media/File:Prince_Rupert's_cube.stl)
В реальном мире эта штука просто распадется на четыре части.
Цитата: Easyskanker от февраля 27, 2021, 21:02
В реальном мире эта штука просто распадется на четыре части.
Угу, там получается слишком тонкая перемычка.
Вот чел сделал бумажную модель, но он признаётся, что у него внешний куб на 2% больше, чтобы не распадалось:
https://momath.org/home/math-monday-passing-a-cube-through-another-cube/
(Там есть ссылка на развёртку, если кто-то захочет сам склеить:
http://www.georgehart.com/MakeBlog/Platonic Holes Cube.pdf (http://www.georgehart.com/MakeBlog/Platonic%20Holes%20Cube.pdf) )
Цитата: злой от февраля 27, 2021, 19:33
Откуда у людей такая страсть отождествлять касательные и асимптоты с объектами, которые ими не являются - лично мне непонятно.
Иван-царевич взял лук и пустил стрелу. Стрела полетела и воткнулась в Землю, под каким-то УГЛОМ. И при том, что траектория полёта стрелы и поверхность Земли ПРЯМЫМИ НЕ ЯВЛЯЮТСЯ, но тем не менее угол, под которым стрела вошла в землю можно измерить
Цитата: Ömer от февраля 27, 2021, 21:11Цитата: Easyskanker от февраля 27, 2021, 21:02В реальном мире эта штука просто распадется на четыре части.
Угу, там получается слишком тонкая перемычка.
Я прошу прощения, но "тонкость" перемычки зависит от размера предмета. Можно взять куб с ребром в километр.
Цитата: Bhudh от февраля 27, 2021, 14:08
Цитировать1307 Докажите, что в кубе можно вырезать сквозное отверстие, через которое можно протащить куб таких же размеров.
Требуемое сквозное отверстие должно иметь две перпендикулярных диагонали, равных (вернее, физически чуть больших) диагоналям грани куба. Проекция куба - это или квадрат, с диагоналями равными упомянутым выше (очевидно, что сквозное отверстие в такой проекции вырезает весь куб, то есть невозможное) или шестиугольник, расстояние между противоположными сторонами которого равны одной из упомянутых выше диагоналей. Поэтому при вырезании требуемого отверстия в шести угольной проекции, куб неизбежно распадётся на две части по поверхности, проходящей через размер отверстия, равной той диагонали. То есть условие "в кубе вырезать" снова не будет выполнено: куба не останется, останутся две части, соединённые двумя отрезками нулевой толщины.
Цитата: BormoGlott от февраля 27, 2021, 21:20И при том, что траектория полёта стрелы и поверхность Земли ПРЯМЫМИ НЕ ЯВЛЯЮТСЯ, но тем не менее угол, под которым стрела вошла в землю можно измерить
Можно. И это будет угол между стрелой и поверхностью земли. Но
не между траекторией стрелы и землёй.
Цитата: Rusiok от февраля 27, 2021, 21:25
отрезками нулевой толщины
Точками, конечно!
Цитата: Rusiok от февраля 27, 2021, 21:25
Проекция куба - это или квадрат, с диагоналями равными упомянутым выше (очевидно, что сквозное отверстие в такой проекции вырезает весь куб, то есть невозможно) или шестиугольник, противоположные стороны которого равны одной из упомянутых выше диагоналей.
Во-первых, это только если ограничивать себя проекциями вдоль одной из осей симметрии высших порядков. А условия задачи не запрещают делать проекцию в каком угодно направлении.
В частности, например, вдоль диагонали стороны проекция - уже не квадрат, а прямоугольник со сторонами 1 и √2 (диагональ стороны).
Цитата: Rusiok от февраля 27, 2021, 21:25
или шестиугольник, противоположные стороны которого равны одной из упомянутых выше диагоналей
Только тогда уж не стороны, а расстояния между противоположными сторонами. Впрочем, это не поможет.
Цитата: Easyskanker от февраля 27, 2021, 21:02
В реальном мире эта штука просто распадется на четыре части.
Но эта штука - для протаскивания большего куба. А та, которая для протаскивания только равного куба - вполне может существовать в реальном мире, хоть и не блещет прочностью, конечно.
Цитата: Bhudh от февраля 27, 2021, 21:25
Я прошу прощения, но "тонкость" перемычки зависит от размера предмета. Можно взять куб с ребром в километр.
Конечно, я имел в виду относительную тонкость (в вики указано число -- 6% от размера куба).
Вот эта задача с кубом -- пример красивой математической задачи с интересными обобщениями. А с углами из оригинального поста -- так себе, демагогия вокруг определений.
Цитата: Rusiok от февраля 27, 2021, 21:25
То есть условие "в кубе вырезать" снова не будет выполнено: куба не останется, останутся две части, соединённые двумя отрезками нулевой толщины.
(https://mnogogranniki.ru/images/statya/kub-printsa-ruperta/8.jpg)
Цитироватьголландский математик Питер Ньюланд вычислил, что может быть найдено лучшее решение. Всё дело в том, что физическая модель куба Принца Руперта весьма сложна в изготовлении, так как имеет в четырех точках очень тонкие стенки. Оптимальное решение, предложенное Питером Ньюландом, может быть получено при прорезании отверстия под другим углом, чем пространственная диагональ. Это позволяет увеличить толщину стенок в тонких местах.
Источник: https://mnogogranniki.ru/kub-printsa-ruperta2.html
Цитата: Toman от февраля 27, 2021, 19:37
Цитата: yurifromspb от февраля 27, 2021, 19:22
Надо найти сечение куба, большее грани.
Только вот какое-то отдельное сечение-то может таким и не оказаться, в общем случае. Нужна проекция, большая грани, но с дополнительным условием, чтобы при этом объект не оказался разрезан отверстием насквозь, и остался топологически как тор.
Да, точно.
Цитата: BormoGlott от февраля 27, 2021, 21:20
Цитата: злой от февраля 27, 2021, 19:33
Откуда у людей такая страсть отождествлять касательные и асимптоты с объектами, которые ими не являются - лично мне непонятно.
Иван-царевич взял лук и пустил стрелу. Стрела полетела и воткнулась в Землю, под каким-то УГЛОМ. И при том, что траектория полёта стрелы и поверхность Земли ПРЯМЫМИ НЕ ЯВЛЯЮТСЯ, но тем не менее угол, под которым стрела вошла в землю можно измерить
Если говорить о реальных предметах, то они всегда соответствуют идеальным моделям с некоторым приближением. Я против того, чтобы модели отождествлялись с реальностью, потому что из этого отождествления можно разводить демагогию. Модели живут своей, "модельной" жизнью, и
приблизительно описывают реальность.
Цитата: Ömer от февраля 27, 2021, 21:11
Вот чел сделал бумажную модель, но он признаётся, что у него внешний куб на 2% больше, чтобы не распадалось:
С разницей в размерах два процента можно было бы протащить и самым тупым способом, по прямой.
Цитата: BormoGlott от февраля 27, 2021, 21:56
Цитата: Rusiok от февраля 27, 2021, 21:25
То есть условие "в кубе вырезать" снова не будет выполнено: куба не останется, останутся две части, соединённые двумя отрезками нулевой толщины.
(https://mnogogranniki.ru/images/statya/kub-printsa-ruperta/8.jpg)
Цитироватьголландский математик Питер Ньюланд вычислил, что может быть найдено лучшее решение. Всё дело в том, что физическая модель куба Принца Руперта весьма сложна в изготовлении, так как имеет в четырех точках очень тонкие стенки. Оптимальное решение, предложенное Питером Ньюландом, может быть получено при прорезании отверстия под другим углом, чем пространственная диагональ. Это позволяет увеличить толщину стенок в тонких местах.
Источник: https://mnogogranniki.ru/kub-printsa-ruperta2.html
Верхнюю грань удалось сохранить, но нижней все равно лишаемся. Та пирамидка внизу ни на чем не держится.
Цитата: злой от февраля 28, 2021, 07:30
Если говорить о реальных предметах, то они всегда соответствуют идеальным моделям с некоторым приближением. Я против того, чтобы модели отождествлялись с реальностью, потому что из этого отождествления можно разводить демагогию. Модели живут своей, "модельной" жизнью, и приблизительно описывают реальность.
Поэтому мы со Светланой и сходимся в том, что математика это религия :)
Цитата: Easyskanker от февраля 28, 2021, 09:55
Поэтому мы со Светланой и сходимся в том, что математика это религия
Ну да. Математики в общем-то и не скрывают, что бóльшая часть того, чем они занимаются, с реальной жизнью вообще никак не связана.
Например, один из результатов из теории множеств, известный как парадокс Банаха-Тарского, утверждает, что шар можно разобрать на пять частей, из которых можно собрать два таких же шара (то есть, с суммарным объёмом в два раза больше). И это с точки зрения математики совершенно верный и доказуемый результат.
Лично я не соглашусь с тем, что математика - это религия.
Во-первых, математика во многом имеет дело с законами, закономерностями и свойствами, которые соответствуют таковым в реальном физическом мире. В математике это абстрактные модели, которые в той или иной степени упрощены или идеализированы, потому необходимо правильно соотносить математические законы и методы с реальной действительностью, но, тем не менее, математика взята не из воздуха, она изучается и формулирует реальные закономерности, законы, свойства, соотношения, которые актуальны не только для нее самой, а для физического мира в целом (с исключениями, уточнениями и так далее, но это другой разговор).
Да, математика базируется на системе аксиом, то есть, их действительно нужно принять на веру и/или согласиться с ними интуитивно. И остается вероятность того, что когда-нибудь эта система пошатнется или будет разрушена. Но это не делает математику религией, если под религией понимать набор догм и постулатов, принимаемых на веру. Хотя здесь и принимаются аксиомы, это другая ситуация.
Что же касается исследований внутри самой математики, которые уже не имеют прямой связи с реальностью, то, во-первых, они могут и иметь, просто мы ее не замечаем, еще не установили, во-вторых, эти исследования могут помочь работать с теми свойствами и моделями, которые соответствуют физическому миру, в-третьих, эти исследования являются использованием тех же математических методов относительно самой математики, и не знаю, что в этом религиозного.
Я при этом вовсе не хочу сказать, что религия - это что-то плохое. Вовсе нет. Просто не согласен с тем, что математику можно даже с натяжкой назвать религией.
Математика - для людей.
А религия для кого? ;D
Предлагаю создать на лингвофоруме культ математиков. Светлану в вожди. Я присоединяюсь. Будем петь мантры из Погорелова, и раз в год устраивать жертвоприношения Бурбакам.
Цитата: злой от февраля 27, 2021, 19:32
Если "самый-самый" кончик, то задача вычисления угла теряет смысл, так как это точка. Это уже обсуждалось.
Математический смысл угла - первая производная, упрощенно говоря. Производная спокойно существует и в точке.
Цитата: Awwal12 от февраля 28, 2021, 14:30
Цитата: злой от февраля 27, 2021, 19:32
Если "самый-самый" кончик, то задача вычисления угла теряет смысл, так как это точка. Это уже обсуждалось.
Математический смысл угла - первая производная, упрощенно говоря. Производная спокойно существует и в точке.
Наша песня хороша, начинай сначала. Не является эта производная углом.
Цитата: Easyskanker от февраля 28, 2021, 09:50Цитата: BormoGlott от февраля 27, 2021, 21:56(https://mnogogranniki.ru/images/statya/kub-printsa-ruperta/8.jpg)
Верхнюю грань удалось сохранить, но нижней все равно лишаемся. Та пирамидка внизу ни на чем не держится.
:fp: Это эффект перспективы и не очень точного рисунка. Получившаяся фигура симметрична, расстояние от угла до стенки и вверху, и внизу одинаково.
Цитата: Ömer от февраля 28, 2021, 13:48
Предлагаю создать на лингвофоруме культ математиков. Светлану в вожди. Я присоединяюсь. Будем петь мантры из Погорелова, и раз в год устраивать жертвоприношения Бурбакам.
"Ты в моём сердце читаешь, все мои угадываешь мысли" ;D
Именно Бурбакам! Формальный подход - наше всё.
Осталось только выяснить, кого будем в жертву приносить. С форума или как...
Цитата: _Swetlana от февраля 28, 2021, 13:28
Математика - для людей.
А религия для кого? ;D
А религия для людей.
Цитата: Easyskanker от февраля 28, 2021, 09:55
Поэтому мы со Светланой и сходимся в том, что математика это религия :)
Религий много, а математика одна.
Цитата: Bhudh от февраля 28, 2021, 15:08
Цитата: Easyskanker от февраля 28, 2021, 09:50Цитата: BormoGlott от февраля 27, 2021, 21:56(https://mnogogranniki.ru/images/statya/kub-printsa-ruperta/8.jpg)
Верхнюю грань удалось сохранить, но нижней все равно лишаемся. Та пирамидка внизу ни на чем не держится.
:fp: Это эффект перспективы и не очень точного рисунка. Получившаяся фигура симметрична, расстояние от угла до стенки и вверху, и внизу одинаково.
Нарисуете нормально - приходите, поговорим.
Цитата: _Swetlana от февраля 28, 2021, 15:31Именно Бурбакам!
Удобно. Жертвоприношение — это некоторое натуральное число жертвенных вещей.
А у них в натуральные числа ноль входит! Так что можно без зазрения совести жертвовать ноль вещей.
Цитата: Andrey Lukyanov от февраля 28, 2021, 15:33
Цитата: Easyskanker от февраля 28, 2021, 09:55
Поэтому мы со Светланой и сходимся в том, что математика это религия :)
Религий много, а математика одна.
Математик две - элементарная и высшая.
Цитата: Easyskanker от февраля 28, 2021, 15:33Нарисуете нормально - приходите, поговорим.
Так нарисовано ж нормально. Вот угол при увеличении в 10 раз средствами браузера:
(http://puu.sh/HkTRU.png)
Зелёную полоску видите? И с другой стороны такая же за счёт симметричности.
Цитата: Easyskanker от февраля 28, 2021, 15:37
Математик две - элементарная и высшая.
В какой из них 2+2≠4?
Цитата: Andrey Lukyanov от февраля 28, 2021, 15:40
Цитата: Easyskanker от февраля 28, 2021, 15:37
Математик две - элементарная и высшая.
В какой из них 2+2≠4?
У вас логическая ошибка. Разделение математики на элементарную и высшую совершенно не требует, чтобы в одной два плюс два давало четыре, а в другой пять.
Цитата: Bhudh от февраля 28, 2021, 15:37
Цитата: Easyskanker от февраля 28, 2021, 15:33Нарисуете нормально - приходите, поговорим.
Так нарисовано ж нормально. Вот угол при увеличении в 10 раз средствами браузера:
(http://puu.sh/HkTRU.png)
Зелёную полоску видите? И с другой стороны такая же за счёт симметричности.
Короче, нужна 3D-модель.
Цитата: Easyskanker от февраля 28, 2021, 15:45
У вас логическая ошибка. Разделение математики на элементарную и высшую совершенно не требует, чтобы в одной два плюс два давало четыре, а в другой пять.
Если обе математики всегда дают одинаковые результаты, то в чём смысл такого разделения?
Многимъ, быть можетъ, кажется преувеличеніемъ или эпатажемъ мнѣніе одного знаменитаго нашего геометра (http://vivovoco.astronet.ru/VV/PAPERS/NATURE/BURBAKI.HTM), что бурбакизмъ есть истое мракобѣсіе, но что же, господа, что видимъ мы, что лицезреемъ не на тайныхъ собраніяхъ запрещенныхъ обществъ, что мы читаемъ не во вздорныхъ разсказахъ для незрѣлыхъ умовъ, но въ публичномъ треде семъ? Бурбакисты готовятся напоить своихъ идоловъ человѣческою кровію!
Цитата: Bhudh от февраля 28, 2021, 15:35
Цитата: _Swetlana от февраля 28, 2021, 15:31Именно Бурбакам!
Удобно. Жертвоприношение — это некоторое натуральное число жертвенных вещей.
А у них в натуральные числа ноль входит! Так что можно без зазрения совести жертвовать ноль вещей.
Бхудха назначаю жрецом и казначаем ;D
Цитата: yurifromspb от февраля 28, 2021, 16:21
Многимъ, быть можетъ, кажется преувеличеніемъ или эпатажемъ мнѣніе одного знаменитаго нашего геометра (http://vivovoco.astronet.ru/VV/PAPERS/NATURE/BURBAKI.HTM), что бурбакизмъ есть истое мракобѣсіе, но что же, господа, что видимъ мы, что лицезреемъ не на тайныхъ собраніяхъ запрещенныхъ обществъ, что мы читаемъ не во вздорныхъ разсказахъ для незрѣлыхъ умовъ, но въ публичномъ треде семъ? Бурбакисты готовятся напоить своихъ идоловъ человѣческою кровію!
На костёр :down:
Надевает ноль тиар и ноль стихарей, придирчиво осматривает себя перед зеркалом.
Цитата: Andrey Lukyanov от февраля 28, 2021, 15:59
Цитата: Easyskanker от февраля 28, 2021, 15:45
У вас логическая ошибка. Разделение математики на элементарную и высшую совершенно не требует, чтобы в одной два плюс два давало четыре, а в другой пять.
Если обе математики всегда дают одинаковые результаты, то в чём смысл такого разделения?
Все претензии к математикам - это не я придумал разделять, а они. Видимо, дваплюсдвасом там дело не ограничивается.
Цитата: Bhudh от февраля 28, 2021, 16:46
Надевает ноль тиар и ноль стихарей, придирчиво осматривает себя перед зеркалом.
в зеркальном отображении
Цитата: Andrey Lukyanov от февраля 28, 2021, 15:40
Цитата: Easyskanker от февраля 28, 2021, 15:37
Математик две - элементарная и высшая.
В какой из них 2+2≠4?
Как известно, в военное время значение синуса может доходить до четырех.
Цитата: Andrey Lukyanov от февраля 28, 2021, 15:59
Цитата: Easyskanker от февраля 28, 2021, 15:45
У вас логическая ошибка. Разделение математики на элементарную и высшую совершенно не требует, чтобы в одной два плюс два давало четыре, а в другой пять.
Если обе математики всегда дают одинаковые результаты, то в чём смысл такого разделения?
Такое разделение не то что условное, а просто почти житейское. Оно придумано, например, ради того, чтобы каким то образом назвать некоторые кафедры в вузах. Или вот учебные пособия как-то надо назвать.
Цитата: Ömer от февраля 28, 2021, 13:48
Будем петь мантры из Погорелова
Меня, пожалуйста, назначьте за это ответственным.
нараспевКакова бы ни была прямая, есть точки, принадлежащие ей, и не принадлежащие ей.
Какова бы ни была прямая, есть точки, принадлежащие ей, и не принадлежащие ей...
Цитата: _Swetlana от февраля 28, 2021, 17:00
Цитата: Bhudh от февраля 28, 2021, 16:46
Надевает ноль тиар и ноль стихарей, придирчиво осматривает себя перед зеркалом.
в зеркальном отображении
Этими вещами, кстати, не только математики, но и физики грешат. Помню, нас учили, что в зеркальном отражении предметы могут быть "ближе" и "дальше" по отношению к зрителю, этот эффект можно даже измерить линейкой.
Цитата: злой от февраля 28, 2021, 19:40
Цитата: Ömer от февраля 28, 2021, 13:48
Будем петь мантры из Погорелова
Меня, пожалуйста, назначьте за это ответственным.
нараспев
Какова бы ни была прямая, есть точки, принадлежащие ей, и не принадлежащие ей.
Какова бы ни была прямая, есть точки, принадлежащие ей, и не принадлежащие ей...
А штрафы с нематрящихся тоже вы собирать будете?
Цитата: Agabazar от февраля 28, 2021, 19:05
Такое разделение не то что условное, а просто почти житейское.
А в мат. ВУЗах понятия или предмета "высшая математика" просто нет.
Цитата: wiki
Высшая математика включает обычно аналитическую геометрию, элементы высшей и линейной алгебры, дифференциальное и интегральное исчисления, дифференциальные уравнения, теорию множеств, теорию вероятностей и элементы математической статистики.
Все эти предметы у нас были по отдельности.
Цитата: Ömer от февраля 28, 2021, 20:25
элементы высшей ... алгебры
Такого кстати тоже не было. Кликнул по ссылке: оказывается, это общая алгебра, вот она была.
У нас на первом курсе была высшая алгебра.
Наш набор: матлогика, высшая алгебра, линейная алгебра, аналитическая геометрия, диф. геометрия и топология, матанализ, анализ -III, ТФКП, функан, дифуравнения, УРЧП, теория вероятностей и статистика, оптимальное управление (Тихомиров прекрасно читал!), а дальше плохо помню ;D
Цитата: _Swetlana от февраля 28, 2021, 20:35
У нас на первом курсе была высшая алгебра.
У нас она называлась просто "алгебра". Моя самая любимая математическая книжка:
(https://cdn1.ozone.ru/multimedia/wc1200/1002365620.jpg)
(Теорию Галуа очень здорово объясняет, ту, которая доказывает, что уравнения выше 4 степени неразрешимы в радикалах).
Цитата: Ömer от февраля 28, 2021, 20:25
Все эти предметы у нас были по отдельности.
Ну да, в матВУЗе или на матфакультете, как я понимаю, да? У меня-то в обоих ВУЗах была именно высшая математика, так называлось. Хотя... Может, название было несколько иное. Но предмет был один. В первом ВУЗе в его рамках были линейная алгебра, аналитическая геометрия, пределы, дифференциальное и интегральное вычисление. Во втором ВУЗе: теория множеств и комбинаторика. В первом еще отдельным предметом шли теория вероятностей и матстатистика (в рамках одного курса).
Цитата: злой от февраля 26, 2021, 12:05
Цитата: Wolliger Mensch от февраля 26, 2021, 12:01
Цитата: Red Khan от февраля 26, 2021, 10:38
Напомнило шутку:
ЦитироватьДелить на ноль - это как секс. В школе нельзя, а в ВУЗе можно.
Шутка плохая, так как обманывает. Делить на ноль нельзя нигде.
А в вузах людей обманывают, да.
Не понял вашего ответа.
Цитата: Wolliger Mensch от марта 1, 2021, 07:40
Цитата: злой от февраля 26, 2021, 12:05
Цитата: Wolliger Mensch от февраля 26, 2021, 12:01
Цитата: Red Khan от февраля 26, 2021, 10:38
Напомнило шутку:
ЦитироватьДелить на ноль - это как секс. В школе нельзя, а в ВУЗе можно.
Шутка плохая, так как обманывает. Делить на ноль нельзя нигде.
А в вузах людей обманывают, да.
Не понял вашего ответа.
Можно ли "строгий" ноль (который ничего, пустота) делить на такой же "строгий" ноль, я бы спросил у математиков, возможно, это ничему не противоречит. Но неопределённости типа ноль на ноль, когда делят друг на друга бесконечно малые величины, на первом курсе проходят. Это, строго говоря, не деление ноля на ноль, но рисуется именно так: (0/0)
Есть алгебра колёс (https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BB%D0%B5%D1%81%D0%BE_(%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0)), в которой делить на ноль можно.
Да, математики - весёлые ребята.
Цитата: злой от марта 1, 2021, 08:25
Можно ли "строгий" ноль (который ничего, пустота) делить на такой же "строгий" ноль, я бы спросил у математиков, возможно, это ничему не противоречит. Но неопределённости типа ноль на ноль, когда делят друг на друга бесконечно малые величины, на первом курсе проходят. Это, строго говоря, не деление ноля на ноль, но рисуется именно так: (0/0)
Почему, и строгий 0 можно поделить на 0. Просто ответом будет любое число, так как при умножении на 0 любого числа будет 0.
Цитата: Wolliger Mensch от марта 1, 2021, 10:54
Цитата: злой от марта 1, 2021, 08:25
Можно ли "строгий" ноль (который ничего, пустота) делить на такой же "строгий" ноль, я бы спросил у математиков, возможно, это ничему не противоречит. Но неопределённости типа ноль на ноль, когда делят друг на друга бесконечно малые величины, на первом курсе проходят. Это, строго говоря, не деление ноля на ноль, но рисуется именно так: (0/0)
Почему, и строгий 0 можно поделить на 0. Просто ответом будет любое число, так как при умножении на 0 любого числа будет 0.
Уже где-то на форуме приводили пример того, что если разрешить операцию деления на ноль (в "школьной" алгебре), по крайней мере, обычного числа (не ноля), то в итоге ломаются некоторые равенства, поэтому эта операция в "школьной" алгебре должна быть явно запрещена. Я не знаю, расширяется ли этот случай на деления на ноль самого ноля - т.е. ломаются ли при этом алгебраические равенства. Тут нужны специальные знания, которых мне недостаёт.
А вообще математика - это "не про жизнь", как уже было сказано выше. Если нельзя делить на ноль в одной математике, можно легко изобрести другую, где на ноль делить можно. В некоторых вузах этим и занимаются.
ЧТД, собственно.
Цитата: злой от марта 1, 2021, 12:01
Уже где-то на форуме приводили пример того, что если разрешить операцию деления на ноль (в "школьной" алгебре), по крайней мере, обычного числа (не ноля), то в итоге ломаются некоторые равенства, поэтому эта операция в "школьной" алгебре должна быть явно запрещена. Я не знаю, расширяется ли этот случай на деления на ноль самого ноля - т.е. ломаются ли при этом алгебраические равенства. Тут нужны специальные знания, которых мне недостаёт.
N/0 нельзя просто потому, что не такого числа, которое при умножении на 0 давало бы N. Вот и всё.
Цитата: Wolliger Mensch от марта 1, 2021, 10:54
Почему, и строгий 0 можно поделить на 0. Просто ответом будет любое число, так как при умножении на 0 любого числа будет 0.
Пусть 0/0=a
Тогда 0/0+0/0=a+a=2a
С другой стороны, 0/0+0/0=(0+0)/0=0/0=a
Получается, что a=2a, следовательно, a=0.
Цитата: Andrey Lukyanov от марта 1, 2021, 12:26
Цитата: Wolliger Mensch от марта 1, 2021, 10:54
Почему, и строгий 0 можно поделить на 0. Просто ответом будет любое число, так как при умножении на 0 любого числа будет 0.
Пусть 0/0=a
Тогда 0/0+0/0=a+a=2a
С другой стороны, 0/0+0/0=(0+0)/0=0/0=a
Получается, что a=2a, следовательно, a=0.
Как бы не получилось, что для какого-то другого равенства там вылезал совершенно неприемлемый результат. Ну и интуитивно действительно 0/0 должно давать абстрактную сущность "любое действительное число". Эти манипуляции с нулём только с виду простые, по факту наверно эти вещи доказываются где-нибудь в высшей алгебре, там же, где доказывается существование у уравнений корней.
Цитата: злой от марта 1, 2021, 12:42
Как бы не получилось, что для какого-то другого равенства там вылезал совершенно неприемлемый результат.
5/5+0/0=(5*0+5*0)/(5*0)=0/0
Следовательно, 5/5+0/0=0/0, то есть 5/5=0 или 1=0
Что мешает считать, что 0 в любой степени = 0 ?
Наверное ничто не мешает. Но надо исходить из тех определений, которые «официально» существуют на данный момент.
Он там показал график функции y=xx, который при приближении к нулю (при x<0,3) постепенно загибается вверх.
Цитата: zwh от марта 1, 2021, 15:55
Он там показал график функции y=xx, который при приближении к нулю (при x<0,3) постепенно загибается вверх.
Зато график функции y=0
x никуда не загибается, а так и идёт по нулям.
Цитата: Andrey Lukyanov от марта 1, 2021, 18:53
Цитата: zwh от марта 1, 2021, 15:55
Он там показал график функции y=xx, который при приближении к нулю (при x<0,3) постепенно загибается вверх.
Зато график функции y=0x никуда не загибается, а так и идёт по нулям.
А 0,0000001
0,0000001 почти равно единице. И чё делать будем?
Цитата: zwh от марта 1, 2021, 21:06И чё делать будем?
Наверное, не принимать предел одной конкретной функции за истину в высшей инстанции. В математике очень много функций, и они принимают при стремлении к нулю очень много значений.
Я просто оставлю это здесь: https://dxdy.ru/topic144472.html
Для определения значения 0⁰ не нужно говорить ничего о пределах, ровно как и не возникает никакой нужды считать 0⁰ неопределённым из-за пределов.
Мешает считать 0⁰ = 0 банальное удобство использования и принцип «частный случай не должен перечить общему случаю, специализированному до такой же конкретности»: x⁰ = 1 определяется для всех моноидов разом для всех их элементов, в то время как x^0, равное чему-то ещё, требует особых условий.
Цитата: Andrey Lukyanov от марта 1, 2021, 12:26
Цитата: Wolliger Mensch от марта 1, 2021, 10:54
Почему, и строгий 0 можно поделить на 0. Просто ответом будет любое число, так как при умножении на 0 любого числа будет 0.
Пусть 0/0=a
Тогда 0/0+0/0=a+a=2a
С другой стороны, 0/0+0/0=(0+0)/0=0/0=a
Получается, что a=2a, следовательно, a=0.
Я выше доказал, что 0/0 не равно никакому конкретному а, оно не определено. Поэтому дальнейшие манипуляции с ним — просто игра математическими обозначениями, похожая на правду, но не имеющая при 0/0 смысла.
Цитата: zwh от марта 1, 2021, 21:06
А 0,00000010,0000001 почти равно единице. И чё делать будем?
Какое отношение 0,0000001 имеет к нулю?
В быту, конечно, можно считать, что 0,0000001 — это «почти ноль». Но в математике такое не катит.
Цитата: Wolliger Mensch от марта 2, 2021, 05:23
Цитата: Andrey Lukyanov от марта 1, 2021, 12:26
Цитата: Wolliger Mensch от марта 1, 2021, 10:54
Почему, и строгий 0 можно поделить на 0. Просто ответом будет любое число, так как при умножении на 0 любого числа будет 0.
Пусть 0/0=a
Тогда 0/0+0/0=a+a=2a
С другой стороны, 0/0+0/0=(0+0)/0=0/0=a
Получается, что a=2a, следовательно, a=0.
Я выше доказал, что 0/0 не равно никакому конкретному а, оно не определено. Поэтому дальнейшие манипуляции с ним — просто игра математическими обозначениями, похожая на правду, но не имеющая при 0/0 смысла.
А мы вам доказали, что в институте делить на ноль можно.
Забыл добавить - бе-бе-бе.
Цитата: злой от марта 2, 2021, 09:17
А мы вам доказали, что в институте делить на ноль можно.
Только в военное время.
Цитата: Andrey Lukyanov от марта 2, 2021, 08:30
Цитата: zwh от А 0,00000010,0000001 почти равно единице. И чё делать будем?
Какое отношение 0,0000001 имеет к нулю?
Вопрос, к чему стремится функция при приближении к определенному значению переменной, как бы немаловажен.
Цитата: Awwal12 от марта 2, 2021, 09:38
Вопрос, к чему стремится функция при приближении к определенному значению переменной, как бы немаловажен.
Какая функция Вам важнее?
x
x → 1
0
x → 0
(при x → 0)
Цитата: злой от марта 2, 2021, 09:17
А мы вам доказали, что в институте делить на ноль можно.
Я не понимаю, что вы пишете. Шутите? Дурака валяете? Зачем вы вообще это пишете — ничего не ясно.
Цитата: Wolliger Mensch от марта 2, 2021, 10:47
Цитата: злой от марта 2, 2021, 09:17
А мы вам доказали, что в институте делить на ноль можно.
Я не понимаю, что вы пишете. Шутите? Дурака валяете? Зачем вы вообще это пишете — ничего не ясно.
Вас что-то беспокоит? Хотите, чтобы я поработал вашим психоаналитиком? По-моему дурака тут вы валяете.
Цитата: Rusiok от февраля 26, 2021, 12:20
В рамках школьного определения: углов в приведённой задаче нет. Никаких нет, в том числе прямых углов нет. То есть утверждение "у приведенной в задаче фигуры два прямых угла" ложное.
Но вообще в математике есть обобщение "школьного" угла на углы между касательными. Еще древние греки сравнивали углы между кривыми (например, между "прямыми" на сфере). Очевидно для любого мореплавателя, что угол в один румб меньше, чем угол в два румба. А ведь это углы между касательными!
У меня были похожие мысли, поэтому считаю, что задача плохая, ведь что некоторые дети поймут, что какая-то идея угла тут есть, а им говорят, что его тут нет, и у них останется от такого неприятное впечатление. А другие дети скажут, что всё нормально и как по учебнику.
Сам вопрос интересный, он может быть использован как мотивирующий пример введения нового определения; но в контексте, где он был представлен, он лишь вызывает ненужные вопросы.
О, Господи! Да есть там прямой угол и даже 4 прямых угла: два развёрнутых угла по 180, каждый из которых сложен из двух прямых углов.
Почему два, а не бесконечно много? Любая точка на прямой может быть вершиной развёрнутого угла.
Да, прямых углов бесконечно много. Если разбивать их на классы эквивалентности, разрешив только параллельный перенос без поворота, то их будет 4 представителя своего класса.
А если разрешить и поворот, то прямой угол будет ровно один.
злой, «в институте» нельзя делить на ноль, даже если то, что там привёл Wolliger Mensch, не катит.
У нуля есть обратный только в т. н. тривиальном (или нулевом) кольце — состоящем из одного нуля. Такое кольцо для технических вещей используется, но само по себе интереса не представляет по понятным причинам, так что когда мы имеем в виду операции в любом другом кольце, у нуля обратного нет и делить на него нельзя.
(Строго говоря деление не обязательно определяется как умножение на обратный. Деление — это как в школе, «операция, обратная умножению», то есть a / b это (единственное) решение уравнения a = b x. Есть алгебраические системы, где деление определяется, а обратные элементы не очень, но в этой теме лучше их не поминать. Ещё можно помянуть, что когда умножение некоммутативно, приходится определять отдельно левое частное и правое частное. Это тоже не важно, ничего существенно нового по отношению к нулю всё это не внесёт.)
Стало-таки интересно, с чего начался сыр-бор. Как полагается, он начался сразу же с глупостей:
Цитата: злой от февраля 26, 2021, 09:28
Чушь. Это касательные, а не сама линия. Сама линия никогда не будет составлять прямого угла.
[/list]
Угол между кривыми в точке их пересечения прекрасно определён. Во всех курсах, где кривые изучаются сколь-нибудь полно, он вводится именно с таким названием, не «угол между касательными к кривым» — that's a mouthful.
Это, конечно, не говорит, что ту задачу вообще стоит обсуждать как-то иначе кроме того, что авторы учебника должны были быть строже к своим определениям и аккуратнее с составом материала. Школьные учебники как в США, так и в РФ, к сожалению, не эталон ничего, и их многочисленные авторы нередко находятся в методическом помутнении рассудка. Как лучше всего научить кого-то чему-то в школе — вопрос сложный, но типично встречающиеся проблемы с учебниками почти исключительно бландеры и не что-то тонкое и многогранное.
«Количество углов» можно было бы достаточно удовлетворительно определить как количество точек излома на границе фигуры, при условии, что граница фигуры — простая несамопересекающаяся кривая. Здесь придётся считать, что применение такой величины к «количеству углов мерой в 180°» нам придётся игнорировать, но применить её к подсчёту количества прямых углов будет straightforward. Но вообще не очень понятно, какая польза от такой величины, чтобы о ней вообще спрашивать, особенно в школе: введи ломаные и многоугольники и тогда уже спрашивай, потому что это будет сильно связанным с основными свойствами этих фигур.
Цитата: симариллимиллион от марта 2, 2021, 17:48
злой, «в институте» нельзя делить на ноль, даже если то, что там привёл Wolliger Mensch, не катит.
У нуля есть обратный только в т. н. тривиальном (или нулевом) кольце — состоящем из одного нуля. Такое кольцо для технических вещей используется, но само по себе интереса не представляет по понятным причинам, так что когда мы имеем в виду операции в любом другом кольце, у нуля обратного нет и делить на него нельзя.
(Строго говоря деление не обязательно определяется как умножение на обратный. Деление — это как в школе, «операция, обратная умножению», то есть a / b это (единственное) решение уравнения a = b x. Есть алгебраические системы, где деление определяется, а обратные элементы не очень, но в этой теме лучше их не поминать. Ещё можно помянуть, что когда умножение некоммутативно, приходится определять отдельно левое частное и правое частное. Это тоже не важно, ничего существенно нового по отношению к нулю всё это не внесёт.)
Спасибо, вы, по крайней мере, дали предметный комментарий. Как видите, даже вы объясняете по принципу "делить на ноль нельзя, но..." - вот этим "но", среди прочего, занимаются в институтах. Для меня именно этот момент принципиален. А не то, приложимо ли это к объективной действительности хоть каким-то образом. Математика много чего парадоксального изучает, и доказательства в духе тех, которые приводил Wolliger Mensch, хороши для школьников, но не как комментарии от профессиональных математиков. Это как в школе у квадратных уравнений в случае комплексных корней просто пишут "корней нет", а в институте ищут комплексный корень, которому, на минутку, в объективной действительности тоже ничего не соответствует, потому что нет в природе никаких корней из минус единицы.
Цитата: злой от марта 2, 2021, 18:03
Это как в школе у квадратных уравнений в случае комплексных корней просто пишут "корней нет", а в институте ищут комплексный корень, которому, на минутку, в объективной действительности тоже ничего не соответствует, потому что нет в природе никаких корней из минус единицы.
В природе нет и корней из плюс единицы, и самой единицы.
Кроме того найти вообще все корни уравнения — задача плохо поставленная, так что если в школе проговаривать «действительных корней», ничем страшным эта деятельность не будет. :) А если искать все корни, нам придётся рассматривать каждую алгебру, в которую вкладываются вещественные числа (или того хуже, рациональные, если коэффициенты уравнения все рациональные), а все эти алгебры никак не объединишь в какую-то одну предельную громадную мега-алгебру. Это значит, что нет смысла искать одно максимальное множество решений, которые потом отсекать по надобности — такого множества не будет существовать.
Кроме того даже если мы например просто возьмём кватернионы и поищем там корни из −1, нас ожидает целая трёхмерная сфера решений. Идя дальше, мы только ухудшим себе задачу описания множества решений (они будут куда хуже такой простой вещи как многомерные сферы).
Цитата: симариллимиллион от марта 2, 2021, 18:10
нас ожидает целая трёхмерная сфера решений
Двумерная, то есть обычная. Но радоваться не стоит.
Цитата: симариллимиллион от марта 2, 2021, 17:48Строго говоря деление не обязательно определяется как умножение на обратный. Деление — это как в школе, «операция, обратная умножению», то есть a / b это (единственное) решение уравнения a = b x. Есть алгебраические системы, где деление определяется, а обратные элементы не очень, но в этой теме лучше их не поминать.
Поздновато спохватились, уже ж и упомянули и откомментировали:
Цитата: Bhudh от марта 1, 2021, 09:12Есть алгебра колёс (https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BB%D0%B5%D1%81%D0%BE_(%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0)), в которой делить на ноль можно.
Цитата: злой от марта 1, 2021, 09:27Да, математики - весёлые ребята.
Ну доопределить можно, но кольца-поля намного лучше, чем колёса, по свойствам, и гораздо чаще полезны. Даже проективные прямые чаще нужны (там есть обратные элементы для всего, но нет сложения и умножения (и вычитания с делением), а лишь двойное отношение, притом в него нельзя подставлять слишком много одинаковых аргументов).
Ответ то общепринят и прост - тут два прямых угла, т.к. угол между кривыми линиями определяется как угол между их касательными в точке пересечения. Можно сказать, что мы рассматриваем бесконечно малую область, где части кривых в пределе становятся отрезками. Это определение работает везде и не знает исключений - от школьной геометрии до общей теории относительности, как таблица умножения
Цитата: злой от февраля 26, 2021, 09:28
Чушь. Это касательные, а не сама линия. Сама линия никогда не будет составлять прямого угла.
Цитата: Мечтатель от февраля 26, 2021, 09:56
Нормальный вопрос. Прямых углов тут нет.
А Йейтс мудрила.
Цитата: KW от февраля 26, 2021, 10:47
А, ну понятно, понятно...
Цитата: Awwal12 от февраля 26, 2021, 12:08
Проблема в другом: судя по всему, вопрос терминологически некорректен, т.к. угол определяется как фигура, образованная двумя лучами, а окружность к лучу свести невозможно. Соответственно, углов у фигуры нет вообще.
Одно дело, когда человек невежественен, а другое дело когда этим кичится и выпячивает напоказ ;D
Цитата: Ömer от февраля 26, 2021, 12:32
Берем учебник дочери и читаем определение угла. Если там написано, что угол образован двумя лучами, то на картинке вообще углов нет.
Так их тогда и в треугольнике нет. А если их можно мысленно построить, то тогда есть
Цитата: Ömer от февраля 26, 2021, 12:32
Определения могут менятся в зависимости от глубины или предметной области теории (как, например, существует 100500 определений интеграла); и странно, что какой-то "доктор математических наук" может этого не знать.
И тут вы ошибаетесь, определение угла единственно, надо только уметь его правильно понимать. А все определения интегралов экивалентны на множестве функций, где они применимы
Цитата: Agabazar от февраля 26, 2021, 13:00
Другими, словами, угол между прямой и кривой определён?
Откройте учебник по дифф геометрии ;D
Цитата: Agabazar от февраля 26, 2021, 13:04
В школе же есть предмет математика. Значит, сколько-то раз каждый из нас математик.
Цитата: KW от февраля 26, 2021, 13:09
Сегодня мы все математики.
Что то по этой теме не видно ;D
Знаете ли вы, что сумма всех натуральных чисел (1+2+3+...) равна −1/12?
Конечно, это сумма в каком-то специфическом понимании, но тем не менее.
(wiki/ru) Ряд_из_натуральных_чисел (https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D1%8F%D0%B4_%D0%B8%D0%B7_%D0%BD%D0%B0%D1%82%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D1%85_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%B5%D0%BB)
Цитата: _Swetlana от февраля 26, 2021, 23:34
Да, и доктор наук - это не доктор наук в нашем понимании, а доктор философии, phD, молодой отец, который хочет стать популярным :)
Все наоборот, их доктор философии, это наш доктор наук, просто исторически так называется :E:
Цитата: Andrey Lukyanov от марта 22, 2021, 13:46
Знаете ли вы, что сумма всех натуральных чисел (1+2+3+...) равна −1/12?
Конечно, это сумма в каком-то специфическом понимании, но тем не менее.
Да, у Теренса Тау была хорошая статья на эту тему (по анг). Если вкрадце - мы обобщенно суммируем по Абелю, а потом отбрасываем бесконечно большие члены 1/eps^n
Цитата: Agnius от марта 22, 2021, 13:37
И тут вы ошибаетесь, определение угла единственно, надо только уметь его правильно понимать. А все определения интегралов экивалентны на множестве функций, где они применимы
Так ведь об этом и речь, что на множестве фигур, образованных лучом и кривой, а не двумя лучами, базовое определение угла не применимо.
Цитата: Andrey Lukyanov от марта 22, 2021, 13:46
Знаете ли вы, что сумма всех натуральных чисел (1+2+3+...) равна −1/12?
Мир непрост. Помню, после того, как наш школьный учитель алгебры показал нам, что сумма бесконечных слагаемых, равных единице, равна -0,5 , я неделю не мог успокоиться.
Цитата: kemerover от марта 22, 2021, 14:12
Так ведь об этом и речь, что на множестве фигур, образованных лучом и кривой, а не двумя лучами, базовое определение угла не применимо.
Почему?
Цитата: злой от марта 2, 2021, 18:03
Это как в школе у квадратных уравнений в случае комплексных корней просто пишут "корней нет".
Обобщающий урок по алгебре
в 8-м классе по теме: «Квадратные уравнения»
Образовательные цели: повторить теоретический материал; обеспечить закрепление теоремы Виета, расширить понятие числа,
познакомить с решением квадратных уравнений на множестве комплексных чисел...
https://nsportal.ru/shkola/algebra/library/2018/01/09/obobshchayushchiy-urok-po-algebre-v-8-om-klasse-po-teme-kvadratnye
Цитата: Agnius от марта 22, 2021, 14:07
их доктор философии, это наш доктор наук,
(Google) соответствует (https://www.google.com.ua/search?q=%D1%81%D0%BE%D0%BE%D1%82%D0%B2%D0%B5%D1%82%D1%81%D1%82%D0%B2%D1%83%D0%B5%D1%82+%22%D0%B4%D0%BE%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80+%D1%84%D0%B8%D0%BB%D0%BE%D1%81%D0%BE%D1%84%D0%B8%D0%B8%22+%22%D0%BA%D0%B0%D0%BD%D0%B4%D0%B8%D0%B4%D0%B0%D1%82+%D0%BD%D0%B0%D1%83%D0%BA%22&num=100&hl=ru&source=lnms&sa=X&ved=0ahUKEwij5cLh88PvAhWLAhAIHbCLDNoQ_AUICigA&biw=1067&bih=675&dpr=1.2)
Цитата: Agnius от марта 22, 2021, 14:15
Цитата: kemerover от марта 22, 2021, 14:12
Так ведь об этом и речь, что на множестве фигур, образованных лучом и кривой, а не двумя лучами, базовое определение угла не применимо.
Почему?
Так это по определению фигура, образованная двумя лучами.
Цитата: kemerover от марта 22, 2021, 14:24
это по определению фигура, образованная двумя лучами.
А что образуют два
отрезка с общей точкой?
Цитата: kemerover от марта 22, 2021, 14:24
Так это по определению фигура, образованная двумя лучами.
Ну так лучи строятся из касальных, так же как из отрезков треугольника
Решение простое, оказывается. Пусть левая вершина криволинейного угла будет А, правая - Б. Симметрично отображаем наш полукруг относительно отрезка АБ, получаем круг.
АБ - диаметр этого круга. Проведем две касательные через точки А и Б. Обе касательные образуют с отрезком АБ прямые углы, ибо касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания. По определению, криволинейный угол измеряется прямолинейным углом, заключенным между касательными, проведенными к сторонам криволинейного угла в его вершине, и т.к. через точки А и Б можно провести только по одной касательной к нашей окружности, то оба криволинейных угла с вершинами А и Б - прямые.
Я, собственно, не понимаю, почему по этому вопросу возник такой продолжительный спор. Если бы определения угла с кривой линией не существовало, можно было бы поспорить о таком определении, но оно ведь есть.
дело в том, что семилетние обычно не изучают криволинейные углы
Цитата: Janko от марта 22, 2021, 14:52
А что образуют два отрезка с общей точкой?
По логике начальной геометрии— ничего. То есть они им не являются, хотя может там и говорят, что отрезки образуют угол. Навряд ли в каждом учебнике всё строго с терминологией. Те же углы считаются элементами треугольника, хоть он определяется только как три попарно смежных отрезка.
Цитата: Agnius от марта 22, 2021, 15:04
Ну так лучи строятся из касальных, так же как из отрезков треугольника
Что в отличие от угла, образованного отрезками, может быть не так очевидно детям, как даже угол между плоскостями.
Цитата: Janko от марта 22, 2021, 15:19
Я, собственно, не понимаю, почему по этому вопросу возник такой продолжительный спор. Если бы определения угла с кривой линией не существовало, можно было бы поспорить о таком определении, но оно ведь есть.
Потому что половине людей это кажется интуитивно очевидным, а половине — нет. С отрезками и плоскостями такой проблемы не возникает.
Цитата: Andrey Lukyanov от марта 22, 2021, 13:46
Знаете ли вы, что сумма всех натуральных чисел (1+2+3+...) равна −1/12?
...(wiki/ru) Ряд_из_натуральных_чисел (https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D1%8F%D0%B4_%D0%B8%D0%B7_%D0%BD%D0%B0%D1%82%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D1%85_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%B5%D0%BB)
Хотите прикол?
Известно, что любое положительное натуральное число можно представить в виде суммы единиц, число которых равно его модулю. 1=1, 2=1+1, 3=1+1+1 и т.д.
Представим ряд из натуральных чисел: 1+2+3+... в виде 1+(1+1)+(1+1+1).... Убрав скобки, получим 1+1+1+1+1+1+....
Разум говорит, что ничего не поменялось, и в обоих случаях сумма должна быть равна вычисленному для 1+2+3+... значению - 1/12. А нетушки: 1+1+1+1...=-1/2
Потому что когда по Абелю суммируешь нельзя скобки раскрывать.
Цитата: kemerover от марта 22, 2021, 15:44
Потому что когда по Абелю суммируешь нельзя скобки раскрывать.
Да )
Цитата: Kamil от марта 22, 2021, 15:20
семилетние обычно не изучают криволинейные углы
Именно поэтому им нормально задавать такую задачу, предлагая им построить своё определение того, каков должен быть угол окружности и диаметра. Взрослые должны если не знать существующее определение криволинейного угла, то понимать, что оно несомненно существует и даёт правильный ответ на задачу.
Цитата: Janko от марта 22, 2021, 14:52
А что образуют два отрезка с общей точкой?
Цитата: kemerover от марта 22, 2021, 15:39
По логике начальной геометрии— ничего.
Agnius, это так?
Цитата: Janko от марта 22, 2021, 15:51
Именно поэтому им нормально задавать такую задачу, предлагая им построить своё определение того, каков должен быть угол окружности и диаметра. Взрослые должны если не знать существующее определение криволинейного угла, то понимать, что оно несомненно существует и даёт правильный ответ на задачу.
Это — нормально. Давать это семилетним детям, а потом говорить им, что верный ответ «нет», — не нормально.
Цитата: Janko от марта 22, 2021, 15:51
Именно поэтому им нормально задавать такую задачу, предлагая им построить своё определение того, каков должен быть угол окружности и диаметра
Ну так и строят его, криволинейный угол. Они еще не знают даже школьное определение угла, так что имеют право.
Цитата: Janko от марта 22, 2021, 15:55
Agnius, это так?
Зависит от терминологии и контекста
Цитата: Janko от марта 22, 2021, 15:51
Цитата: Kamil от марта 22, 2021, 15:20
семилетние обычно не изучают криволинейные углы
Именно поэтому им нормально задавать такую задачу, предлагая им построить своё определение того, каков должен быть угол окружности и диаметра. Взрослые должны если не знать существующее определение криволинейного угла, то понимать, что оно несомненно существует и даёт правильный ответ на задачу.
Определение криволинейного угла через касательную - чистая договорённость (и то, я другим участникам на слово поверил). Математики решили, что будут вот так мерить, ребёнок не обязан этого знать, и в принципе это неинтуитивно. Среди ваших знакомых много людей, которые знают как измерить криволинейный угол? По-моему, с такими фигурами имеют дело только профессиональные математики.
Ну и ещё раз - это не прямой угол в том смысле, в котором нас этому учат с детства. Скажем, к прямой на плоскости можно построить только два прямолинейных прямых угла, а криволинейных, по такому определению, вообще бесконечное множество.
И, кстати, как быть с кривыми, которые не дифференцируются в центре угла? Балалайка, нету угла?
Определение криволинейного угла через касательную с практической точки зрения может и удобно, но как-то искусственно. Ну вот нет у точки окрестности, не дифференцируются функция в этой точке, нельзя построить касательную, а дальше фигура продолжается. Как быть?
Цитата: kemerover от марта 22, 2021, 16:17
Давать это семилетним детям, а потом говорить им, что верный ответ «нет», — не нормально.
Цитата: From_Odessa от февраля 26, 2021, 09:22
В вопросе говорится: «Правда или ложь? Эта фигура имеет два прямых угла. Объясните свой ответ».
Простите,
kemerover: на какую часть вопроса кто-то говорил, что верный ответ «нет»?
Цитата: Agnius от марта 22, 2021, 16:36
имеют право.
Разумеется. Дети — имеют.
Цитата: Agnius от марта 22, 2021, 16:36
Зависит от терминологии и контекста
А что не так с терминологией и контекстом в логике начальной геометрии по поводу угла? (Мне действительно интересно.)
Цитата: злой от марта 22, 2021, 16:42
Ну и ещё раз - это не прямой угол в том смысле, в котором нас этому учат с детства.
Я поверил на слово профессиональным математикам, что те, кто учил вас с детства, не знали договорённостей и поэтому учили вас неправильно :) Кстати: как именно вас с детства учили определять криволинейный угол? Спрашиваю потому, что меня, кажется, этому определению не учили ни в детстве, ни позже.
Цитата: злой от марта 22, 2021, 16:52
И, кстати, как быть с кривыми, которые не дифференцируются в центре угла? Балалайка, нету угла?
Определение криволинейного угла через касательную с практической точки зрения может и удобно, но как-то искусственно. Ну вот нет у точки окрестности, не дифференцируются функция в этой точке, нельзя построить касательную, а дальше фигура продолжается. Как быть?
Можно построить отдельно «правую» и «левую» касательную.
Цитата: Agnius от марта 22, 2021, 13:41
А все определения интегралов экивалентны на множестве функций, где они применимы
Я об этом и говорю. Определения вкладываются друг в друга; но для того, чтобы правильно ответить на вопрос (любой, про угол, или про интеграл), нужно знать, с каким именно определением из этой "матрёшки" мы работаем.
Пример:
Если кто-то спросит вас без контекста, интегрируема ли данная хитрая функция, разве вы не спросите, в каком смысле интегрируема? (Как вы помните, есть функции, интегрируемые по Риману, и не интегрируемые по Лебегу, и наоборот).
Точно так же я отношусь к вопросу с углом. Когда меня спрашивают "есть ли на картинке угол", понятно, что это какой-то вопрос с подвохом, зависящий от определения, поэтому я спрошу "по какому определению". По Евклидову определению (которое, как вы правильно заметили, нужно подправить на случай отрезков) на картинке углов нет.
Цитата: Janko от марта 22, 2021, 17:16
Я поверил на слово профессиональным математикам, что те, кто учил вас с детства, не знали договорённостей и поэтому учили вас неправильно :) Кстати: как именно вас с детства учили определять криволинейный угол? Спрашиваю потому, что меня, кажется, этому определению не учили ни в детстве, ни позже.
Вы меня не так поняли, или я нечётко выразился. Меня в школе учили определению прямолинейного угла.
злой, но в вашем школьном определении было, что прямой угол обязательно должен состоять из прямых линий? Может быть, нас учили именно так, но я вот этого момента не помню.
Цитата: Andrey Lukyanov от марта 22, 2021, 17:19
Цитата: злой от марта 22, 2021, 16:52
И, кстати, как быть с кривыми, которые не дифференцируются в центре угла? Балалайка, нету угла?
Определение криволинейного угла через касательную с практической точки зрения может и удобно, но как-то искусственно. Ну вот нет у точки окрестности, не дифференцируются функция в этой точке, нельзя построить касательную, а дальше фигура продолжается. Как быть?
Можно построить отдельно «правую» и «левую» касательную.
Можно вообще что угодно, другой вопрос, что это уже казуистика. "Нельзя, но", "можно, но". Я вижу следующую ситуацию: прямолинейные углы меряются однозначным образом, процедура их измерения интуитивна. Чтобы измерить криволинейные углы, нужно сначала определиться с тем, что мы понимаем под измерением. Если брать вот это определение через касательную, то это получается, что мы с кривыми линиями определённым образом (построив касательные) ассоциируем прямые линии, и далее осуществляем уже привычные нам операции с прямыми. Но почему измерение угла между прямыми, вполне определённым образом ассоциированных с кривыми, мы считаем измерением углов между кривыми - это уже скорее вопрос к тем людям, которые придумали этот способ измерения. Возможно, он удобнее других, так проще всего, или этот способ позволяет практические задачи решать более эффективно.
Цитата: Janko от марта 22, 2021, 17:55
злой, но в вашем школьном определении было, что прямой угол обязательно должен состоять из прямых линий? Может быть, нас учили именно так, но я вот этого момента не помню.
Из лучей. Которые по определению являются полупрямыми.
Цитата: злой от марта 22, 2021, 17:55
Но почему измерение угла между прямыми, вполне определённым образом ассоциированных с кривыми, мы считаем измерением углов между кривыми - это уже скорее вопрос к тем людям, которые придумали этот способ измерения. Возможно, он удобнее других, так проще всего, или этот способ позволяет практические задачи решать более эффективно.
Это основная идея дисциплины "анализ" (что в полном варианте называется "анализ бесконечно малых") -- спуститься на бесконечный уровень и приблизить кривые прямыми. Эта идея позволяет, в частности, определять углы и расстояния (как бесконечную сумму отрезков) на "кривых" поверхностях типа сферы.
Цитата: злой от марта 22, 2021, 17:57
полупрямыми.
Хорошее слово! ;up: У нас его не говорили. Полупрямыми, полу- — какими?
Цитата: Janko от марта 22, 2021, 18:29У нас его не говорили.
Это где ж Вы учились? У нас в учебниках сразу было написано: «Луч (полупрямая)» (да, "полупрямая" — это субстанцированное прилагательное).
Собственно, (wiki/ru) Полупрямая (https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%BE%D0%BB%D1%83%D0%BF%D1%80%D1%8F%D0%BC%D0%B0%D1%8F).
Цитата: Bhudh от марта 22, 2021, 18:46
"полупрямая" — это субстанцированное прилагательное
Это я знаю. Но всё равно могу поклясться, что я этого слова никогда не слышал — ни от учителя, ни в ответах. Ни вне школы и уроков геометрии.
Возможно, в учебнике, в определении луча, оно действительно стояло, и я его не запомнил. Но при мне его никто никогда не произносил.
Кстати, именно это я и написал:
не говорили.Цитата: Bhudh от марта 22, 2021, 18:46
Собственно, (wiki/ru) Полупрямая. (https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9B%D1%83%D1%87_(%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F))
Собственно, да. Вообще разумное понимание этого слова и может быть только таким:
ЦитироватьЛуч (в геометрии) или полупрямая — линия, имеющая начало, но не имеющая конца
Тем не менее к
полупрямой всё-таки напрашивается антоним:
полукривая ::)
Цитата: Bhudh от марта 22, 2021, 18:46
Это где ж Вы учились? У нас в учебниках сразу было написано: «Луч (полупрямая)» (да, "полупрямая" — это субстанцированное прилагательное).
Собственно, (wiki/ru) Полупрямая (https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%BE%D0%BB%D1%83%D0%BF%D1%80%D1%8F%D0%BC%D0%B0%D1%8F).
Ещё есть «полуплоскость» и «полупространство».
Цитата: Andrey Lukyanov от марта 22, 2021, 19:23
«полуплоскость» и «полупространство».
Тут всё нормально, антонимы не напрашиваются :)
Цитата: Janko от марта 22, 2021, 19:18
Тем не менее к полупрямой всё-таки напрашивается антоним: полукривая ::)
(Google) полукривая (https://www.google.com.ua/search?hl=ru&tbo=p&tbm=bks&q=%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D1%83%D0%BA%D1%80%D0%B8%D0%B2%D0%B0%D1%8F+%D1%81%D0%B8%D0%BC%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%BE%D0%B9+OR+%D1%84%D0%B8%D0%BA%D1%81%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%83%D1%8E+OR+%D0%B0%D1%81%D0%B8%D0%BC%D0%BF%D1%82%D0%BE%D1%82%D1%83+OR+%D0%B2%D0%BE%D1%81%D0%BF%D1%80%D0%B8%D0%B8%D0%BC%D1%87%D0%B8%D0%B2%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8+OR+%D0%BC%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BE%D0%B6%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F+OR+%D0%B3%D0%B0%D1%83%D1%81%D1%81%D0%BE%D0%B2%D1%83+OR+%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%BF%D0%BE%D1%80%D1%86%D0%B8%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B5+OR+%D1%80%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F+OR+%D0%94%D0%B8%D1%84%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B5+OR+%D0%B0%D1%81%D0%B8%D0%BC%D0%BF%D1%82%D0%BE%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B5&num=100)
В связи есть забавное понятие "полупостоянное соединение".
Цитата: Zavada от марта 22, 2021, 20:05
(Google) полукривая (https://www.google.com.ua/search?hl=ru&tbo=p&tbm=bks&q=%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D1%83%D0%BA%D1%80%D0%B8%D0%B2%D0%B0%D1%8F+%D1%81%D0%B8%D0%BC%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%BE%D0%B9+OR+%D1%84%D0%B8%D0%BA%D1%81%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%83%D1%8E+OR+%D0%B0%D1%81%D0%B8%D0%BC%D0%BF%D1%82%D0%BE%D1%82%D1%83+OR+%D0%B2%D0%BE%D1%81%D0%BF%D1%80%D0%B8%D0%B8%D0%BC%D1%87%D0%B8%D0%B2%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8+OR+%D0%BC%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BE%D0%B6%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F+OR+%D0%B3%D0%B0%D1%83%D1%81%D1%81%D0%BE%D0%B2%D1%83+OR+%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%BF%D0%BE%D1%80%D1%86%D0%B8%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B5+OR+%D1%80%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F+OR+%D0%94%D0%B8%D1%84%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B5+OR+%D0%B0%D1%81%D0%B8%D0%BC%D0%BF%D1%82%D0%BE%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B5&num=100)
Я так и думал, что это слово должно существовать! :=
Цитата: злой от марта 22, 2021, 20:15
"полупостоянное соединение".
Это тоже прекрасно!
Цитата: злой от марта 22, 2021, 16:42
Математики решили, что будут вот так мерить, ребёнок не обязан этого знать, и в принципе это неинтуитивно.
Абсолютно интуитивно и естественно. По крайней мере с моей точки зрения типичного не математика. Напомню, матан изначально придумали не математики, а практики/естественники - ну т.е. инженеры, физики и иже с ними.
Цитата: злой от марта 22, 2021, 16:52
И, кстати, как быть с кривыми, которые не дифференцируются в центре угла? Балалайка, нету угла?
Наверное, нет. И что такого? Там нет, а тут - есть.
Цитата: злой от марта 22, 2021, 16:52
Определение криволинейного угла через касательную с практической точки зрения может и удобно, но как-то искусственно. Ну вот нет у точки окрестности, не дифференцируются функция в этой точке, нельзя построить касательную, а дальше фигура продолжается. Как быть?
У тех кривых и фигур, которые обычно встречаются в жизни, этой проблемы нет. Ну, если хотите, можно сделать чуть другое определение для чуть более широкого частного случая. Например, как предел угла между касательными, проведёнными через точки на некотором равном расстоянии от вершины, при стремлении этого расстояния к нулю (при этом возможны разные варианты измерения этого расстояния - вдоль самой кривой (что годится, если её длина конечна со стороны этой вершины) или по прямой) - это даст возможность разобраться с некоторыми спиралями, например, с которыми не выйдет провести касательные в самой вершине. У каких-то кривых/фигур и в этом случае угла не окажется - ну и как бы опять ничего страшного. Но даже эти спирали - уже некоторый искуственный изврат, с точки зрения обычной жизни.
Цитата: Toman от марта 22, 2021, 20:29
Абсолютно интуитивно и естественно.
Мне тоже так кажется.
Я боюсь, эта интуитивность включается только для тех, кто знает, что такое касательная, а это уже чисто математическое понятие, тоже неинтуитивное. Задним числом отматывать это представление в те года, когда человек не имеет понятия о том, что такое касательная, нечестно.
Для меня куда интуитивным было бы представление, когда хотя бы брали среднее между всеми касательными к каждой точке кривой (я думаю, для дифференцируемых функций это возможно вычислить). Тогда для четверти окружности это будет 45 градусов. А брать единственную точку кривой и считать, что угол - это угол к касательной в этой точке - по мне это, как говорил великий антрополог, тётто. Неинтуитивно.
Цитата: злой от марта 22, 2021, 21:23
Я боюсь, эта интуитивность включается только для тех, кто знает, что такое касательная, а это уже чисто математическое понятие, тоже неинтуитивное.
Его для этого даже знать не надо. Оно само по себе интуитивное, и автоматически возникает в голове, как только встаёт задача подобного рода про измерение угла.
Цитата: злой от марта 22, 2021, 21:28
Для меня куда интуитивным было бы представление, когда хотя бы брали среднее между всеми касательными к каждой точке кривой (я думаю, для дифференцируемых функций это возможно вычислить). Тогда для четверти окружности это будет 45 градусов.
А вот это уже в самом деле какая-то чисто математическая абстракция, непонятно для чего нужная, и уж никак не интуитивная. Ну, для многоугольника с криволинейными отрезками это будут просто углы, если заменить криволинейные отрезки на обычные, прямолинейные. Но нафига? Нам же интересны другие углы именно между криволинейными отрезками, а не какими-то проведёнными через их концы прямолинейными. А если кривая куда-то в бесконечность уходит, то как такое среднее посчитать в общем случае и какой его, так сказать, физический смысл вообще?
Цитата: злой от марта 22, 2021, 21:28
А брать единственную точку кривой и считать, что угол - это угол к касательной в этой точке - по мне это, как говорил великий антрополог, тётто. Неинтуитивно.
Так это ж не какая попало точка, а точка пересечения. Естественно же интересоваться углом в первую очередь именно в этой точке - где обе кривые/прямые реально присутствуют, а не между проводимыми непонятно откуда непонятно куда построениями, тем более ещё как-то усреднёнными.
Цитата: Toman от марта 22, 2021, 22:03
какой его, так сказать, физический смысл вообще?
А какой физический смысл угла к касательной в точке? Так мы, по крайней мере, берём в оборот всю фигуру, а не одну точку.
Цитата: Toman от марта 22, 2021, 22:03
Цитата: злой от Я боюсь, эта интуитивность включается только для тех, кто знает, что такое касательная, а это уже чисто математическое понятие, тоже неинтуитивное.
Его для этого даже знать не надо. Оно само по себе интуитивное, и автоматически возникает в голове, как только встаёт задача подобного рода про измерение угла.
У меня не возникает. Критическое мышление не даёт. Фигура - это вся фигура целиком, а не её часть, и тем более не дополнительное построение к отдельно взятой, пусть даже особенной точке.
Цитата: Janko от марта 22, 2021, 17:16
Цитата: kemerover от марта 22, 2021, 16:17
Давать это семилетним детям, а потом говорить им, что верный ответ «нет», — не нормально.
Цитата: From_Odessa от февраля 26, 2021, 09:22
В вопросе говорится: «Правда или ложь? Эта фигура имеет два прямых угла. Объясните свой ответ».
Простите, kemerover: на какую часть вопроса кто-то говорил, что верный ответ «нет»?
В заглавном же посте в этой теме. :)
Цитата: From_Odessa от февраля 26, 2021, 09:22
Йейтс позже нашел в интернете правильный ответ на вопрос. Авторы домашнего задания считали, что утверждение ложно. Они объяснили, что дети могут приложить фигуру к углу страницы тетради и понять, что у них получается не прямой угол.
Несмотря на найденные доказательства, доктор математических наук не согласился с ними. Он отметил, что при увеличении масштаба можно будет увидеть, что касательные к полукругу в данной точке будут составлять прямой угол с диаметром. Йейтс пообещал показать этот сложный вопрос своим студентам в университете.
Цитата: Janko от марта 22, 2021, 17:16
А что не так с терминологией и контекстом в логике начальной геометрии по поводу угла? (Мне действительно интересно.)
Что два отрезка образуют угол только если мысленно продолжить их до лучей
Цитата: Ömer от марта 22, 2021, 17:23
Как вы помните, есть функции, интегрируемые по Риману, и не интегрируемые по Лебегу, и наоборот).
Вообще таки, нет. Функция, интегрируема по Риману, интегрируема и по Лебегу
Цитата: Ömer от марта 22, 2021, 17:23
я спрошу "по какому определению"
Есть только одно определение
Цитата: Ömer от марта 22, 2021, 17:23
По Евклидову определению (которое, как вы правильно заметили, нужно подправить на случай отрезков) на картинке углов нет.
Почему? Есть, там же сказано только про лучи, ну так вот это лучи касательных и есть в данном случае, править ничего не нужно. А если и нужно, то что вам мешает так же его подправить как и для треугольников?
Цитата: Agnius от марта 23, 2021, 02:10
Вообще таки, нет. Функция, интегрируема по Риману, интегрируема и по Лебегу
Есть функции, имеющие
несобственный интеграл Римана, но не интегрируемые по Лебегу. (Контрпримеры в анализе, стр. 141).
Что ещё раз подтверждает, что нужно уточнять, какой интеграл имеется в виду.
Цитата: Agnius от марта 23, 2021, 02:10
Есть только одно определение
И какое оно?
В Гильбертовом пространстве (векторном пространстве со скалярным произведением), угол определяется как cos(theta) = (u,v)/ (||u||*||v||). К примеру, можно находить углы между функциями, квадратично интегрируемыми по Лебегу. Это обобщение Евклидового угла.
Цитировать
Почему? Есть, там же сказано только про лучи, ну так вот это лучи касательных и есть в данном случае, править ничего не нужно. А если и нужно, то что вам мешает так же его подправить как и для треугольников?
Я и имел в виду для треугольников. Но это неважно, я честно говоря и не помню, есть ли в Евклидовой геометрии оговорки насчёт отрезков.
Цитата: злой от марта 22, 2021, 22:31
А какой физический смысл угла к касательной в точке?
Его величина показывает, насколько меняется направление ломаной в точке излома. У ломаных из отрезков прямых оно только в этих точках излома и меняется. Если есть отрезки кривых, то изменение направления, конечно, происходит и на самих этих отрезках - но в этом случае вроде логично измерять отдельно углы в точках излома (как бы некая характеристика каждой конкретной точки излома) и углы поворота на отрезках кривых (характеристика каждого конкретного отрезка), которые в сумме и составят общий угол поворота ломаной. Брать же для каждого отрезка кривой некоторое среднее направление и измерять углы между ними у соседних отрезков мне представляется не просто искусственным, а даже несколько инопланетным. Тем более, в случае незамкнутой ломаной они в сумме не дадут общего угла поворота всей ломаной - нужно будет ещё добавить половинки углов поворота крайних отрезков.
Цитата: злой от марта 22, 2021, 22:31
Так мы, по крайней мере, берём в оборот всю фигуру, а не одну точку.
А вот зачем это делать, если интересует только какой-то один угол, как раз непонятно. Если у нас какой-нибудь многоугольник, нас не должна трогать вся фигура, чтобы измерить только какой-то один угол.
Цитата: злой от марта 22, 2021, 22:31
У меня не возникает. Критическое мышление не даёт. Фигура - это вся фигура целиком, а не её часть, и тем более не дополнительное построение к отдельно взятой, пусть даже особенной точке.
Так нас же и интересует некоторая характеристика, имеющая отношение именно к этой особенной точке. Про фигуру целиком мы и так, допустим, знаем, что у замкнутой фигуры суммарный угол поворота кратен 360 градусам, а если без самопересечений - то просто равен 360 градусам. А вот на какие углы этот суммарный разбить? Мне вот представляется совершенно естественным разбить так, как описано выше - на углы в точках излома и углы поворота на отрезках. А не между какими-то непонятным образом произвольно выбранными точками где-то на отрезках.
:UU:
Цитата: Toman от марта 23, 2021, 06:25
Так нас же и интересует некоторая характеристика, имеющая отношение именно к этой особенной точке
Простите, не нас, а вас (с) :)
Если брать лучи, то мера угла между этими лучами будет одинаковой что в точке их пересечения, что на расстоянии пятьдесят мегапарсек от этой точки. Соответственно, для меня интуитивно угол между двумя линиями (прямыми, кривыми) - это некая мера между линиями, взятыми целиком. В строгом смысле между кривыми такую характеристику между кривыми однозначно задать проблемно, это будет что-то крайне сложное, в пределе приближающееся непосредственно к изображению этих линий. А вот взятие меры угла в точке для меня как раз представляется чем-то искусственным.
Субъективные ощущения - вообще такая вещь, о правильности которой рассуждать чаще бессмысленно. Иногда в рассуждениях человека можно найти ошибки, и указать ему на них, тогда человек может начать воспринимать иначе. Если же вопрос упирается в то, что чем считать (как мы субъективно понимаем угол и т.п.), то тут уже вопрос чистого субъективизма. Математики тоже не боги, их понимание может быть как удачным формулированием того, с чем преобладающее большинство согласно, просто кто-то находит способ хорошо выразить это словами, так и "постановлением съезда", когда дают такое определение, которое всех более-менее устраивает. Как мне кажется, вот это определение криволинейного угла, на которое ссылались выше - это как раз не отражение "предвечной истины", а именно "постановление съезда". Ну а может это я такой корявый, всем интуиция подсказывает одно и то же, а мне не подсказывает. Но судя по тому, что в теме и кроме меня есть несогласные, то, как минимум, интуиция не у всех работает одинаково.
Интуиция это дело наживное. Вот вам мотивирующий пример: если кинуть мяч под углом, то он, при отсутсвии воздействующих сил, полетит по прямой и отскочит под таким же углом. Если допустить, что на него действует какая-то сила (например, гравитация), то он полетит по кривой, а отскочит по касательной к этой кривой в момент удара.
Цитата: kemerover от марта 23, 2021, 09:12
то он полетит по кривой, а отскочит по касательной к этой кривой
Шо, простите? :o
О, снова дрожжей подкинули. Вроде ж уже выяснили, что в зависимости от принятых определений можно получить несколько верных ответов:
1. Прямого угла нет и не может быть никогда.
2. Прямой угол есть.
3. Есть угол, бесконечно стремящийся к 90 градусам, но всё же он не прямой.
Может ещё какие-то варианты упустил?
А британскому учёному мужу при решении задачи следовало исходить из определения, данного в учебнике его дочери.
Цитата: злой от марта 22, 2021, 21:23
Я боюсь, эта интуитивность включается только для тех, кто знает, что такое касательная
Мне кажется, в семь лет большинство людей уже подозревает, что такое «касаться» — хотя бы из выражения «Это тебя не касается!»
И задание как будто предлагало подумать над вопросом и поделиться своим мнением, а не требовало дать «правильный» (с какой бы то ни было точки зрения) ответ.
Цитата: злой от марта 23, 2021, 07:45
Как мне кажется, вот это определение криволинейного угла, на которое ссылались выше - это как раз не отражение "предвечной истины", а именно "постановление съезда".
Это
общественный договор :)
Цитата: Agnius от марта 23, 2021, 02:10
Цитата: Janko от марта 22, 2021, 17:16
А что не так с терминологией и контекстом в логике начальной геометрии по поводу угла? (Мне действительно интересно.)
Что два отрезка образуют угол только если мысленно продолжить их до лучей
Я верно понимаю, что это формулировка для начинающих и что в реальности наука на этот вопрос смотрит иначе?
Цитата: kemerover от марта 22, 2021, 22:50
Йейтс позже нашел в интернете правильный ответ на вопрос. Авторы домашнего задания считали, что утверждение ложно.
Не правильный, а
правильный с точки зрения авторов домашнего задания. Которую специалисты, как мы видим, отнюдь не разделяют (и которая меня не убедила — как и самоуверенность авторов задания).
Цитата: KW от марта 23, 2021, 09:26
Вроде ж уже выяснили, что в зависимости от принятых определений можно получить несколько верных ответов
Исходя из нескольких разных определений — несколько разных ответов, а как же иначе?
Можно также расщедриться и сформулировать ещё одно, собственное определение, отличное от других. Однако «верным» ответ всегда будет только в зависимости от.
(Мне не «в падлу» ориентироваться в своём мнении на мнение большинства специалистов. Но, конечно, никто не обязан поступать как я.)
Цитата: KW от марта 23, 2021, 09:26
А британскому учёному мужу при решении задачи следовало исходить из определения, данного в учебнике его дочери.
Учебники не гарантированы от глупостей — как показывает практика.
Цитата: kemerover от марта 23, 2021, 09:12
Интуиция это дело наживное. Вот вам мотивирующий пример: если кинуть мяч под углом, то он, при отсутсвии воздействующих сил, полетит по прямой и отскочит под таким же углом. Если допустить, что на него действует какая-то сила (например, гравитация), то он полетит по кривой, а отскочит по касательной к этой кривой в момент удара.
Главное, чтобы никто никого не учил, чья интуиция правильнее, и какая она должна быть. Тогда нормально всё.
Цитата: Janko от марта 23, 2021, 10:48
Цитата: злой от Я боюсь, эта интуитивность включается только для тех, кто знает, что такое касательная
Мне кажется, в семь лет большинство людей уже подозревает, что такое «касаться» — хотя бы из выражения «Это тебя не касается!»
О том, что значит касательная в математическом смысле, я узнал в седьмом или восьмом классе школы, когда мы проходили производную. До этого я не подозревал, что к кривой линии зачем-то нужно прикладывать прямую.
Цитата: злой от марта 23, 2021, 11:56
когда мы проходили производную
В школьном курсе геометрии есть также понятие касательной к окружности... но гугл говорит, что его тоже проходят довольно поздно, аж в 8-ом классе.
Цитата: злой от марта 23, 2021, 11:56
что значит касательная в математическом смысле
Тангенс угла наклона касательной в точке касания — это ж геометрический смысл, не?
Цитата: Ömer от марта 23, 2021, 12:05
В школьном курсе геометрии есть также понятие касательной к окружности... но гугл говорит, что его тоже проходят довольно поздно, аж в 8-ом классе.
Касательная к окружности определяется проще — это прямая, которая имеет с данной окружностью ровно одну общую точку.
С произвольной кривой так не получится.
Цитата: Andrey Lukyanov от марта 23, 2021, 12:17
Касательная к окружности определяется проще — это прямая, которая имеет с данной окружностью ровно одну общую точку.
... и образует с ее радиусом перпендикуляр, ёк-макарёк! >(
Цитата: Jumis от марта 23, 2021, 12:21
... и образует с ее радиусом перпендикуляр, ёк-макарёк! >(
Это условие излишнее.
Цитата: злой от марта 23, 2021, 11:53
Главное, чтобы никто никого не учил, чья интуиция правильнее, и какая она должна быть.
Насчёт интуиции я согласен: это не предмет для споров. А определение — вполне предмет.
Цитата: злой от марта 23, 2021, 11:56
О том, что значит касательная в математическом смысле, я узнал в седьмом или восьмом классе школы
А у вас был период, когда вы знали слово «касательная», но не понимали, что оно значит?
Цитата: Andrey Lukyanov от марта 23, 2021, 12:17
Касательная к окружности определяется проще — это прямая, которая имеет с данной окружностью ровно одну общую точку.
Тем лучше для нас в плане ответа на топикстартовое домзад: как я понял, в нём эта общая точка должна находиться на пересечении диаметра с окружностью. (Если только схематический рисунок не вводит в заблуждение и это действительно диаметр и полукруг, а не хорда и сегмент.
Цитата: Janko от марта 23, 2021, 12:30
Тем лучше для нас в плане ответа на топикстартовое домзад: как я понял, в нём эта общая точка должна находиться на пересечении диаметра с окружностью.
Для младшего школьника это слишком сложно — сначала достроить полукруг до полного круга и потом ещё понять, почему касательная должна быть перпендикулярна диаметру.
Цитата: Ömer от марта 23, 2021, 02:54
Есть функции, имеющие несобственный интеграл Римана, но не интегрируемые по Лебегу. (Контрпримеры в анализе, стр. 141).
Что ещё раз подтверждает, что нужно уточнять, какой интеграл имеется в виду.
Да, точно :)
Цитата: Ömer от марта 23, 2021, 02:54
И какое оно?
Для конечномерных геометрий все определения полностью эквивалентны, так что берите самое стартовое (про лучи)
Цитата: Ömer от марта 23, 2021, 02:54
В Гильбертовом пространстве (векторном пространстве со скалярным произведением), угол определяется как cos(theta) = (u,v)/ (||u||*||v||). К примеру, можно находить углы между функциями, квадратично интегрируемыми по Лебегу. Это обобщение Евклидового угла.
Согласен, но угол для кривых это никакое не обобщение угла для прямых, а просто следствие определения. Да и что касается угла в функциональных пространствах, его же можно понимать как обычный угол в бесконечномерном (даже континуальном) евклидовом пространстве (функций), мы его вычисляем по формулам для обычных геометрических углов, так что это еще вопрос, является ли это обобщением. Вот по мне что такое обобщение, когда мы из более узкого определения не можем напрямую получить более широкое, а наоборот можем.
Цитата: Ömer от марта 23, 2021, 02:54
Я и имел в виду для треугольников. Но это неважно, я честно говоря и не помню, есть ли в Евклидовой геометрии оговорки насчёт отрезков.
Никаких оговорок не нужно, т.к. речь идет про мысленные лучи
Цитата: злой от марта 23, 2021, 11:53
Главное, чтобы никто никого не учил, чья интуиция правильнее, и какая она должна быть. Тогда нормально всё.
Вообще таки учат, на физ-мат факультетах, иначе бы у нас не было ученых. Т.к. многие вещи в мире противоречат нашей интуиции, например что два разлетающихся по прямой космонавта будут наблюдать замедление времени для друг друга, или что точечная квантовая частица не находится в какой-то неизвестной нам точке пространства, а размазана по всему пространству согласно своей волновой функции, или что пустое пространство может искривляться, и т.д. и т.п. 8-)
Цитата: злой от марта 23, 2021, 11:53
О том, что значит касательная в математическом смысле, я узнал в седьмом или восьмом классе школы, когда мы проходили производную. До этого я не подозревал, что к кривой линии зачем-то нужно прикладывать прямую.
Что такое производная на интуитивном уровне понятно всем, это просто скорость. Вот едет велосипедист, постоянно разгоняясь, и очевидно, что у него в каждый момент есть определенная скорость, которая постоянно растет.
Цитата: Andrey Lukyanov от марта 23, 2021, 12:17
С произвольной кривой так не получится.
Почему не получиться? Если ограничится локальностью.
Цитата: Agnius от марта 23, 2021, 13:13
Цитата: Andrey Lukyanov от марта 23, 2021, 12:17
С произвольной кривой так не получится.
Почему не получиться? Если ограничится локальностью.
Как Вы отличите касательную от пересекающей линии?
Цитата: злой от февраля 26, 2021, 21:39
Тоже нет. Я похожий вопрос, про координаты, заданные на поверхности шара, задавал учительнице по математике, дескать, на экваторе прямые параллельные, а на полюсах они же пересекаются. Она ответила, что это не прямые, а дуги.
Тут следует сделать оговорку, в геометрии Римана (ну или в сферической), эти дуги таки прямые. Кривыми они выглядят только из нашего неискривленного пространства (так же как наши прямые могут выглядеть как кривые из какого-то внешнего пространства, где наше трехмерное пространство представляет собой 3-мерное многообразие)
Цитата: Janko от марта 23, 2021, 12:30
Цитата: злой от О том, что значит касательная в математическом смысле, я узнал в седьмом или восьмом классе школы
А у вас был период, когда вы знали слово «касательная», но не понимали, что оно значит?
Не помню. В кино, возможно, слышал что-то вроде "пуля прошла по касательной". То есть "коснулась" и пошла дальше.
Цитата: Andrey Lukyanov от марта 23, 2021, 12:40
Для младшего школьника это слишком сложно — сначала достроить полукруг до полного круга...
Что же тут сложного? IMHO, для восприятия круг естественнее, чем полукруг.
Цитата: злой от марта 23, 2021, 13:18
В кино, возможно, слышал что-то вроде "пуля прошла по касательной". То есть "коснулась" и пошла дальше.
Значит, впервые столкнувшись со словом, вы его сразу поняли?
Цитата: Agnius от марта 23, 2021, 13:13
Цитата: злой от Главное, чтобы никто никого не учил, чья интуиция правильнее, и какая она должна быть. Тогда нормально всё.
Вообще таки учат, на физ-мат факультетах, иначе бы у нас не было ученых. Т.к. многие вещи в мире противоречат нашей интуиции, например что два разлетающихся по прямой космонавта будут наблюдать замедление времени для друг друга, или что точечная квантовая частица не находится в какой-то неизвестной нам точке пространства, а размазана по всему пространству согласно своей волновой функции, или что пустое пространство может искривляться, и т.д. и т.п. 8-)
В том, о чём вы говорите, речь идёт о том, что некоторые объективно измеримые вещи контринтуитивны. Здесь речь не идёт о том, что кто-то навязывает другим своё субъективное видение как более правильное только на основании того, что он считает себя самым умным. Если есть формулы, дающие предсказательный результат, который контринтуитивен, а проверить результат вычислений может каждый, то предпочтение будет отдано формулам, а не интуиции.
Что-то такое слышал, на уровне "одна бабка сказала", что, кажется, пяти- или шестимерный шар, вписанный в соответственно пяти- или шестимерный куб, больше по объёму (видимо, столько-же-мерному), чем этот куб. Это контринтуитивно, но вроде как работает. Интуиция как инструмент познания несовершенен.
Agnius, а можно и мне получить ответ?
Цитата: Janko от марта 23, 2021, 10:48
Цитата: Agnius от Цитата: Janko от А что не так с терминологией и контекстом в логике начальной геометрии по поводу угла? (Мне действительно интересно.)
Что два отрезка образуют угол только если мысленно продолжить их до лучей
Я верно понимаю, что это формулировка для начинающих и что в реальности наука на этот вопрос смотрит иначе?
Цитата: злой от марта 23, 2021, 13:33
пяти- или шестимерный шар, вписанный в соответственно пяти- или шестимерный куб, больше по объёму (видимо, столько-же-мерному), чем этот куб. Это контринтуитивно
Мной это понимается по аналогии с летосчислением до н. э., где 1000-й год раньше 500-го.
Цитата: Agnius от марта 23, 2021, 13:17
Кривыми они выглядят только из нашего неискривленного пространства
Неискривленного?.. А суперструнщики говорят, что мы живем в многообразии Калаби-Яу.
(wiki/en) File:CalabiYau5.jpg (https://en.m.wikipedia.org/wiki/File:CalabiYau5.jpg)
Шутка. :)
Цитата: Janko от марта 23, 2021, 13:33
Цитата: злой от В кино, возможно, слышал что-то вроде "пуля прошла по касательной". То есть "коснулась" и пошла дальше.
Значит, впервые столкнувшись со словом, вы его сразу поняли?
Ну, понял как-то, только это ведь не обязательно должна быть прямая. Тем более проведённая единственно правильным образом.
Цитата: злой от марта 23, 2021, 14:03
это ведь не обязательно должна быть прямая. Тем более проведённая единственно правильным образом.
Тут, писали, должна быть не прямая, а полупрямая. Но это уже уточнения: полупрямая (она же луч), касательная (-ый) к (дополненной) окружности в точке пересечения последней с диаметром. Хотя, конечно, для семилетних нужна другая лексика.
А образ тут не «правильный», а согласно условию: угол — между чем и чем? Между диаметром подразумеваемого круга (от которого в условии оставили половину) и касательной к его окружности в точке пересечения последней с диаметром.
Цитата: Janko от марта 23, 2021, 14:34
Цитата: злой от марта 23, 2021, 14:03
это ведь не обязательно должна быть прямая. Тем более проведённая единственно правильным образом.
Тут, писали, должна быть не прямая, а полупрямая. Но это уже уточнения: полупрямая (она же луч), касательная (-ый) к (дополненной) окружности в точке пересечения последней с диаметром. Хотя, конечно, для семилетних нужна другая лексика.
А образ тут не «правильный», а согласно условию: угол — между чем и чем? Между диаметром подразумеваемого круга (от которого в условии оставили половину) и касательной к его окружности в точке пересечения последней с диаметром.
Короче говоря, не для семилетних, куча неинтуитивной казуистики.
Цитата: злой от марта 23, 2021, 13:33
Здесь речь не идёт о том, что кто-то навязывает другим своё субъективное видение как более правильное только на основании того, что он считает себя самым умным.
Ок, предложите свои видение и покажите, чем оно лучше, полезнее, чем существующее
Цитата: злой от марта 23, 2021, 13:33
Что-то такое слышал, на уровне "одна бабка сказала", что, кажется, пяти- или шестимерный шар, вписанный в соответственно пяти- или шестимерный куб, больше по объёму (видимо, столько-же-мерному), чем этот куб. Это контринтуитивно, но вроде как работает.
Про бабку правда, остальное чушь :)
Цитата: Janko от марта 23, 2021, 13:38
Agnius, а можно и мне получить ответ?
Для меня этих вопросов не существует в силу их тривиальности и бессмысленности, в математике есть гораздо более интересные вещи :smoke: Ну если на него отвечать, то угол между отрезками существует по лучевому определению, потому что отрезки можно мысленно продлить до лучей
Цитата: Agnius от марта 23, 2021, 14:46
Ну если на него отвечать, то угол между отрезками существует по лучевому определению, потому что отрезки можно мысленно продлить до лучей
Отрезок определяется двумя точками, луч определяется двумя точками, прямая определяется двумя точками....
Цитата: злой от марта 23, 2021, 14:37
куча неинтуитивной казуистики.
Какие ваши доказательства её неинтуитивности? :)
Цитата: Agnius от марта 23, 2021, 14:46
Для меня этих вопросов не существует в силу их тривиальности и бессмысленности, в математике есть гораздо более интересные вещи :smoke: Ну если на него отвечать, то угол между отрезками существует по лучевому определению, потому что отрезки можно мысленно продлить до лучей
Спасибо. Я в математике и есть бессмысленный дилетант... :-[
Цитата: Andrey Lukyanov от марта 23, 2021, 14:58
Отрезок определяется двумя точками, луч определяется двумя точками, прямая определяется двумя точками....
Касательная определяется двумя точками через предельный переход :pop:
Цитата: Agnius от марта 23, 2021, 14:41
Цитата: злой от Здесь речь не идёт о том, что кто-то навязывает другим своё субъективное видение как более правильное только на основании того, что он считает себя самым умным.
Ок, предложите свои видение и покажите, чем оно лучше, полезнее, чем существующее
Я вообще о другом. Лучше и полезнее - это не про "правильную" и "неправильную" интуицию.
Цитата: Janko от марта 23, 2021, 15:06
Цитата: злой от куча неинтуитивной казуистики.
Какие ваши доказательства её неинтуитивности?
Достроить ещё дополнительный дом, скворечник и сарай, и всё станет очевидным.
Цитата: злой от марта 23, 2021, 15:12
Лучше и полезнее - это не про "правильную" и "неправильную" интуицию.
Как раз про нее
Кстати, вам понятно, почему ваше утверждение
Цитата: злой от марта 23, 2021, 13:33
пяти- или шестимерный шар, вписанный в соответственно пяти- или шестимерный куб, больше по объёму
очевидно ложно? Показать, или сами справитесь?
Цитата: Agnius от марта 23, 2021, 15:28
Цитата: злой от марта 23, 2021, 15:12
Лучше и полезнее - это не про "правильную" и "неправильную" интуицию.
Как раз про нее
Кстати, вам понятно, почему ваше утверждение
Цитата: злой от марта 23, 2021, 13:33
пяти- или шестимерный шар, вписанный в соответственно пяти- или шестимерный куб, больше по объёму
очевидно ложно? Показать, или сами справитесь?
Не борзейте.
Цитата: злой от марта 23, 2021, 15:29
Не борзейте.
Ну правда, вам надо доказать ложность
Цитата: злой от марта 23, 2021, 13:33
пяти- или шестимерный шар, вписанный в соответственно пяти- или шестимерный куб, больше по объёму
?
Делается в три строчки
злой
Короче, вот вам доказательство того, что любой n-мерный шар, вписанный в n-мерный куб, по своему гиперобъему меньшего этого куба.
Рассмотрим луч, выходящий из центра этого шара/куба. Он пересечет шар в одной точке, и соотвествующий отрезок будет иметь длину 1. А также он пересечет куб в одной точке, но только длина отрезка может быть больше 1, единицей она будет только когда луч перпендикулярен стороне куба, и это минимальное возможное расстояние. А значит, объем такого шара будет меньше, чем куба.
Смотрим в той же вики (https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0%B8%D0%BF%D0%B5%D1%80%D1%81%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B0)
Объем 5-мерного шара 5.2638, а куба 32*10^5, 6-мерного шара 5.1677, а куба 64*10^6. Тут мы видим другое противоинтуинтивное утверждение - гиперобъем 5-мерного шара больше, чем гиперобъем 6-мерного, и стремится к нулю с ростом n
злой
Короче слышали звон, да не знаете где он ;D
Цитата: Agnius от марта 23, 2021, 13:02
Для конечномерных геометрий все определения полностью эквивалентны, так что берите самое стартовое (про лучи)
То есть, вы берёте это определение, и "тривиальным образом" обобщаете его на случай угла между кривыми, принимая, что угол равен углу между касательными?
Мне это не кажется удовлетворительным подходом. Как минимум, нужно ответить на вопрос, какие структуры должны существовать на множестве, чтобы вообще можно было использовать понятия "кривая", "касательная", "угол между касательными"?
Мы интуитивно мыслим в рамках R^n; но R^n слишком "мощно" (в том смысле, что на нём определены все структуры, которые только можно пожелать). Давайте выкинем всё лишнее.
"Кривая" и "касательная" определены на дифференцируемом многообразии. Но на нём не существует понятия угла (не определено скалярное произведение).
Удобным объектом будет являться Риманово многообразие -- там определено скалярное произведение на касательном пространстве, и там уже можно ввести понятие угла между кривыми.
Но можно и из Риманова многообразия выкинуть лишнее и ограничиться конформными многообразиями (где метрика определяется с точностью до пропорционального класса -- то есть, расстояния не определены, но определены углы).
Таким образом, с помощью простых рассуждений о формализации понятия угла мы пришли к интересному понятию конформной геометрии (в которой можно изучить вопрос классификации и другие интересные вопросы). Поэтому я бы осторожно проводил "тривиальные" обобщения, чтобы с водой не выплеснуть ребёнка.
Цитата: Agnius от марта 23, 2021, 15:44
злой
Короче, вот вам доказательство того, что любой n-мерный шар, вписанный в n-мерный куб, по своему гиперобъему меньшего этого куба.
Рассмотрим луч, выходящий из центра этого шара/куба. Он пересечет шар в одной точке, и соотвествующий отрезок будет иметь длину 1. А также он пересечет куб в одной точке, но только длина отрезка может быть больше 1, единицей она будет только когда луч перпендикулярен стороне куба, и это минимальное возможное расстояние. А значит, объем такого шара будет меньше, чем куба.
Смотрим в той же вики (https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0%B8%D0%BF%D0%B5%D1%80%D1%81%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B0)
Объем 5-мерного шара 5.2638, а куба 32*10^5, 6-мерного шара 5.1677, а куба 64*10^6. Тут мы видим другое противоинтуинтивное утверждение - гиперобъем 5-мерного шара больше, чем гиперобъем 6-мерного, и стремится к нулю с ростом n
За доказательство спасибо, но над коммуникативными навыками поработайте. С таким общением вас на форуме скоро забанят, и вы пойдёте осчастливливать своим присутствием какой-нибудь другой форум.
Цитата: Ömer от марта 23, 2021, 15:52
То есть, вы берёте это определение, и "тривиальным образом" обобщаете его на случай угла между кривыми, принимая, что угол равен углу между касательными?
Ну вы же для отрезков такое делаете
Цитата: Ömer от марта 23, 2021, 15:52
Удобным объектом будет являться Риманово многообразие -- там определено скалярное произведение на касательном пространстве, и там уже можно ввести понятие угла между кривыми.
Да, я все время имел ввиду риманово многообразие (хотя можно взять и псевдориманово, хотя там гиперболический угол будет именно что обобщением привычного евклидова угла)
Цитата: Ömer от марта 23, 2021, 15:52
Но можно и из Риманова многообразия выкинуть лишнее и ограничиться конформными многообразиями (где метрика определяется с точностью до пропорционального класса -- то есть, расстояния не определены, но определены углы).
Таким образом, с помощью простых рассуждений о формализации понятия угла мы пришли к интересному понятию конформной геометрии (в которой можно изучить вопрос классификации и другие интересные вопросы). Поэтому я бы осторожно проводил "тривиальные" обобщения, чтобы с водой не выплеснуть ребёнка.
Давайте-ка конкретизируем. Мы рассматриваем определения углов для евклидова пространства R^n для начала. И тут есть палка о двух концах. Первый конец - у нас есть определение угла через лучи, но оно формально не работает для отрезков, мы его обобщаем до отрезков, но оно не работает для кривых линий, мы его обобщаем до касательных и т.д. И вот оказывается, что в этом пространстве обобщение до касательных является максимально возможным, и т.к. мы неизбежно обобщили определение угла через лучи до отрезков, мы должны так же его неизбежно обобщить и до касательных, а прошлые определения выкинуть в мусорное ведро (т.е. нигде его не использовать, как мы нигде не используем определение угла, при котором у треугольника нету углов)
Второй конец - утверждать, что определение для отрезков можно естественным образом получить из определения для лучей, а следовательно, при последовательном рассмотрении его надо применить и для касательной. В любом из двух случаев определение угла через касательные является самым верным и должно использоваться только оно.
Что касается конформной геометрии, то там еще дается еще более общее понятие угла, не привязанное к расстоянию, и которое в частности можно получить путем естественного обобщение привычного понятия угла, и которое можно применять и к обычной евклидовой геометрии, т.е. это просто некая сермяжная суть угла
Цитата: злой от марта 23, 2021, 16:14
но над коммуникативными навыками поработайте
Кто бы говорил :pop:
Цитата: злой от марта 23, 2021, 15:29
Не борзейте.
Цитата: злой от марта 23, 2021, 16:14
. С таким общением вас на форуме скоро забанят, и вы пойдёте осчастливливать своим присутствием какой-нибудь другой форум.
Мне не за что даже делать замечания, не то что банить :dayatakoy:
Цитата: Agnius от марта 23, 2021, 16:19
Кто бы говорил :pop:
:) N
oblesseick oblige!
Цитата: Agnius от марта 23, 2021, 16:16
Ну вы же для отрезков такое делаете
Я не делал. Я противник недоговоренных допущений. В любом случае, я вижу, что мы говорим об одном и том же.
Можно обобщить и дальше: соединить определение угла на гильбертовом пространстве между векторами, и на римановом многообразии между кривыми, и рассмотреть гильбертовы многообразия (многообразия, в каждой точке локально гомеоморфные гильбертову пространству)...
Цитата: злой от марта 22, 2021, 21:23
Я боюсь, эта интуитивность включается только для тех, кто знает, что такое касательная,
Я знал, что такое касательная ещё не зная как она называется. Думаю, что и для большинства так.
Цитата: Agnius от марта 23, 2021, 15:44
Объем 5-мерного шара 5.2638, а куба 32*10^5, 6-мерного шара 5.1677, а куба 64*10^6.
10^5 и 10^6 тут явно лишние.
Цитата: BormoGlott от марта 23, 2021, 17:03
Я знал, что такое касательная ещё не зная как она называется.
Аналогично.
Цитата: Awwal12 от марта 23, 2021, 09:23
Цитата: kemerover от марта 23, 2021, 09:12
то он полетит по кривой, а отскочит по касательной к этой кривой
Шо, простите? :o
Под углом равному углу касательной имелось ввиду.
Цитата: BormoGlott от марта 23, 2021, 17:03
Цитата: злой от марта 22, 2021, 21:23
Я боюсь, эта интуитивность включается только для тех, кто знает, что такое касательная,
Я знал, что такое касательная ещё не зная как она называется. Думаю, что и для большинства так.
Почему вы считаете, что так для большинства? И что, если не секрет, вы понимали под касательной, когда не знали, как она называется?
Цитата: злой от марта 23, 2021, 18:26
что, если не секрет, вы понимали под касательной, когда не знали, как она называется
Когда из лука в яблоко стреляешь, но попадаешь стрелой не в центр, а только чуть-чуть задел
Цитата: BormoGlott от марта 24, 2021, 06:59
Цитата: злой от марта 23, 2021, 18:26
что, если не секрет, вы понимали под касательной, когда не знали, как она называется
Когда из лука в яблоко стреляешь, но попадаешь стрелой не в центр, а только чуть-чуть задел
Ну это примерно та же самая "пуля по касательной". По-моему это довольно далеко от того, что под этим понимают в математике.
Цитата: злой от марта 24, 2021, 07:19
пуля по касательной
Я же не в Америке жил, кто ж мне пацану доверит из ружья стрелять, разве только в тире из пневматики, но на это деньги нужны, которые лучше на мороженку потратить. А ещё в бильярд играли, детский с металлическими шариками, там тоже касательный удар был.
ЦитироватьПо-моему это довольно далеко от того, что под этим понимают в математике.
Для вас математика — это какая-то абстракция, а на самом деле мозг постоянно занят вычислениями на подсознательном уровне, когда вы ходите, чтоб удерживать равновесие, когда вы бросаете баскетбольный мяч в корзину, чтоб рассчитать траекторию его полёта, и пр.
Цитата: BormoGlott от марта 24, 2021, 07:46
ЦитироватьПо-моему это довольно далеко от того, что под этим понимают в математике.
Для вас математика — это какая-то абстракция, а на самом деле мозг постоянно занят вычислениями на подсознательном уровне, когда вы ходите, чтоб удерживать равновесие, когда вы бросаете баскетбольный мяч в корзину, чтоб рассчитать траекторию его полёта, и пр.
Вычисления в мозгу причём здесь вообще? Касательная в точке вычисляется по конкретной формуле, и имеет чёткое определение. Если ваше яблоко имеет строго круглую в плане форму, то если вы попадёте по самому краешку, линия полёта стрелы совпадёт с касательной в математическом смысле, но в общем случае, для предмета произвольной формы, такая тема не работает. Как там наш мозг вычисляет, и имеет ли это вычисление хоть какую-то связь с математическим формализмом, принятым в профессиональном кругу, это ещё большой вопрос.
Цитата: злой от марта 24, 2021, 08:26
Вычисления в мозгу причём здесь вообще?
Потому что он постоянно этим занимается. И если поставлен вопрос, какой угол между половинкой окружности и радиусом в точке их пересечения, мозг автоматически выдаёт ответ — угол прямой. Никакие знания определений для этого не требуются.
Цитата: BormoGlott от марта 24, 2021, 08:34
Цитата: злой от марта 24, 2021, 08:26
Вычисления в мозгу причём здесь вообще?
Потому что он постоянно этим занимается. И если поставлен вопрос, какой угол между половинкой окружности и радиусом в точке их пересечения, мозг автоматически выдаёт ответ — угол прямой. Никакие знания определений для этого не требуются.
А понятие "прямой угол" - это не определение?
И вообще, мой мозг отказывается считать прямым угол в точке, если в соседней точке линия уже отклоняется от прямой. Можно, конечно, придумать себе абстракцию, что в "самой" точке есть некий угол, существующий автономно от соседних точек, но это будет какой-то бред. Математики и то идут другим путём, через предельный переход, то есть через идею о том, что разницей между прямой и кривой можно пренебречь в практических целях.
Цитата: злой от марта 24, 2021, 08:42
А понятие "прямой угол" - это не определение?
Нет это понятие, от слова "понимать", такое же как понятия "острый угол" и "тупой угол". Но для формальности математики этим понятиям дают определения: "Острый угол — это угол значение которого меньше 90 градусов. Тупой угол — это угол значение которого больше 90 градусов. Прямой угол — это угол значение которого равно 90 градусам. 90 градусов — это одна четвёртая полного оборота. И т.д."
Цитата: BormoGlott от марта 24, 2021, 08:56
Цитата: злой от марта 24, 2021, 08:42
А понятие "прямой угол" - это не определение?
Нет это понятие, от слова "понимать", такое же как понятия "острый угол" и "тупой угол". Но для формальности математики этим понятиям дают определения: "Острый угол — это угол значение которого меньше 90 градусов. Тупой угол — это угол значение которого больше 90 градусов. Прямой угол — это угол значение которого равно 90 градусам. 90 градусов — это одна четвёртая полного оборота. И т.д."
Вот здесь я с вами соглашусь, пожалуй. Прямой угол можно показать жестом. Также как, скажем, параллельные линии - это линии, которые не пересекаются, но если показать жестом, то станет понятно, о чём речь.
Цитата: злой от марта 24, 2021, 08:26
Касательная в точке вычисляется по конкретной формуле, и имеет чёткое определение.
Ошибаетесь, многие понятия имеют изначальное интуитивное понимание, а определения даются потом. Лейбниц и Ньютон не давали никаких формальных определений дифференциалам, бесконечно малым, предельным переходам, хотя все их выкладки были корректными. Это было сделано спустя 200 лет Коши и др. И только для решения более широкого круга задач, где старого понимания стало не хватать
Цитата: злой от марта 24, 2021, 08:55
Можно, конечно, придумать себе абстракцию, что в "самой" точке есть некий угол, существующий автономно от соседних точек, но это будет какой-то бред. Математики и то идут другим путём, через предельный переход,
Ну собственно, предельный переход и показывает, что угол существует автономно от точек, которые расположены на каком то ненулевом расстоянии от вершины угла ;D
Цитата: Agnius от марта 24, 2021, 15:36Ну собственно, предельный переход и показывает, что угол существует автономно от точек
Предельный переход: это переход к точке.
Так что получается, угол существует как одна-единственная точка. Автономно от остальных точек. :what:
Цитата: Agnius от марта 24, 2021, 15:36
Цитата: злой от марта 24, 2021, 08:55
Можно, конечно, придумать себе абстракцию, что в "самой" точке есть некий угол, существующий автономно от соседних точек, но это будет какой-то бред. Математики и то идут другим путём, через предельный переход,
Ну собственно, предельный переход и показывает, что угол существует автономно от точек, которые расположены на каком то ненулевом расстоянии от вершины угла ;D
Угол между чем и чем? Между ничем и ничем?
Цитата: злой от марта 24, 2021, 08:26
Если ваше яблоко имеет строго круглую в плане форму, то если вы попадёте по самому краешку, линия полёта стрелы совпадёт с касательной в математическом смысле, но в общем случае, для предмета произвольной формы, такая тема не работает.
Работает для любого предмета произвольной формы, лишь бы с конечной кривизной поверхности в любой точке. (Естественно, при бесконечной кривизне - т.е. в ребре или вершине - касательную в таком сечении определить не получится). И уж строго круглая форма тем более не требуется.
Цитата: Bhudh от марта 24, 2021, 15:39
Предельный переход: это переход к точке.
Значение предельного перехода относится к одной точке. Вы помните определение по Коши? - ну там для любого n найдется e и т.д. Если бы угол зависил от точек на ненулевом расстоянии, то не было бы "для любого n" :pop:
Цитата: злой от марта 24, 2021, 15:50
Угол между чем и чем? Между ничем и ничем?
Между касательными, а касательная существует в точке :yes:
Цитата: Toman от марта 24, 2021, 16:11
Работает для любого предмета произвольной формы, лишь бы с конечной кривизной поверхности в любой точке.
Вот обратное - да, неверно для не всюду выпуклого предмета - касательная может его где-нибудь в другом месте пересечь.
Цитата: Toman от марта 24, 2021, 16:20
неверно для не всюду выпуклого предмета - касательная может его где-нибудь в другом месте пересечь.
Можно ограничится малыми областями, тогда выпуклость излишняя
Цитата: Agnius от марта 24, 2021, 16:12
Цитата: злой от Угол между чем и чем? Между ничем и ничем?
Между касательными, а касательная существует в точке
Ну так это не точка, висящая посреди Вселенной, отдельно от всего. А касательные ассоциированы со вполне реальными точками. Соответственно, и понятие угла существует не для точки самой по себе, а для точки в некотором контексте.
Цитата: Toman от марта 24, 2021, 16:11
Цитата: злой от марта 24, 2021, 08:26
Если ваше яблоко имеет строго круглую в плане форму, то если вы попадёте по самому краешку, линия полёта стрелы совпадёт с касательной в математическом смысле, но в общем случае, для предмета произвольной формы, такая тема не работает.
Работает для любого предмета произвольной формы, лишь бы с конечной кривизной поверхности в любой точке. (Естественно, при бесконечной кривизне - т.е. в ребре или вершине - касательную в таком сечении определить не получится). И уж строго круглая форма тем более не требуется.
Предметы в материальном мире, как правило, вообще не описываются математическими формулами, а имеют какую-то "корявую" форму. Ну и ещё, если, скажем, попасть в угол квадрата, то там касательная тоже будет другая, насколько я понимаю.
злой
Ну да, и?
Наш разговор про шар навел меня на интереснейший факт
- n-мерный гиперобъем шара с фиксированным радиусом стремится к нулю при стремлении n к бесконечности (радиус может быть хоть миллион)
- n-мерный гиперобъем пирамиды с фиксированным максимальным значением грани стремится к нулю при стремлении n к бесконечности
- n-мерный гиперобъем многогранника с 2^n-вершинами (неправильный гиперкуб) стремится к нулю при стремлении n к бесконечности только если он не совпадает с гиперпараллелограммом (у которого все углы прямые)
Цитата: злой от марта 24, 2021, 16:45
Предметы в материальном мире, как правило, вообще не описываются математическими формулами, а имеют какую-то "корявую" форму
С определенной точностью описываются. Иначе наука была бы невозможна
Цитата: Agnius от марта 24, 2021, 16:52
Цитата: злой от марта 24, 2021, 16:45
Предметы в материальном мире, как правило, вообще не описываются математическими формулами, а имеют какую-то "корявую" форму
С определенной точностью описываются. Иначе наука была бы невозможна
С бесконечной (в теории) степенью приближения, но почти никогда - со стопроцентной точностью. Для практики - нормально, но если рассуждать о чисто мысленных операциях, то о разнице нужно помнить.
Цитата: злой от марта 24, 2021, 20:25
Уел я вас.
Срезал, не побоюсь этого слова! :D
Цитата: злой от марта 24, 2021, 20:25
Уел я вас.
Ок, этот угол для точки в некотором контексте не зависит от конкретных значений координат других точек, а следовательно можно говорить про угол в точке.
Срезал я вас :green:
Почему, например, я совершенно не против угла в точке, а других такая идея оскорбляет в лучших чувствах? Загадка...
Цитата: Janko от марта 24, 2021, 22:32Почему, например, я совершенно не против угла в точке, а других такая идея оскорбляет в лучших чувствах?
Потому, что через 1 точку можно провести бесконечное множество прямых.
Цитата: Bhudh от марта 25, 2021, 01:15
Потому, что через 1 точку можно провести бесконечное множество прямых.
А касательную только одну :pop:
Я тоже не понимаю, почему многих смущает идея, что какие-то нетривиальные понятия могут относится только к одной точке, в математике такие примеры на каждом шагу. Вот вселенная появилась из сингулярности, которая была в определенном смысле точкой :green:
Цитата: Agnius от марта 24, 2021, 21:39
Цитата: злой от марта 24, 2021, 20:25
Уел я вас.
Ок, этот угол для точки в некотором контексте не зависит от конкретных значений координат других точек, а следовательно можно говорить про угол в точке.
Срезал я вас :green:
Этот угол зависит от формулы, которой описывается линия, на которой можно взять точки. Точки можно и не брать, а вот без формулы, описывающей линию, вы не найдёте касательную.
Бе-бе-бе. Не висит точка в воздухе. Она взята на линии.
Цитата: злой от марта 25, 2021, 16:05
Этот угол зависит от формулы, которой описывается линия, на которой можно взять точки. Точки можно и не брать, а вот без формулы, описывающей линию, вы не найдёте касательную.
Бе-бе-бе. Не висит точка в воздухе. Она взята на линии.
И что? Вы путаете два понятия, характеристика точки как геометрического объекта и характеристику среды, которая определяется для одной точки.Угол не зависит от значений точек, определяемых формулой, которые расположены на ненулевом расстоянии от угла. Вы боретесь с ветрянными мельницами, в математике характеристика определена в точке, если верно, что она не изменится при изменении характеристик среды в других точках. Например все производные высших порядков определены в точке, хотя если определять первую производную как предел секущей, то для секущей нужны две точки. Для второй производной нужны уже три точки и т.д. Из того, что в предельном переходе используются n точек не следует, что для понятия, определяемого предельным переходом, требуется n точек. Вон касательную уже определили через одну точку - это прямая, имеющая локально одну точку с кривой
Цитата: Agnius от марта 25, 2021, 18:23
Угол не зависит от значений точек, определяемых формулой, которые расположены на ненулевом расстоянии от угла.
Эквивалентное утверждение: угол зависит только от значения функции в точках, расположенных на нулевом расстоянии от угла. Т.е. от значения в одной точке. Это, очевидно, неверно. Так что с изначальным утверждением что-то не в порядке.
Цитата: Ömer от марта 25, 2021, 18:55
Эквивалентное утверждение: угол зависит только от значения функции в точках, расположенных на нулевом расстоянии от угла. Т.е. от значения в одной точке. Это, очевидно, неверно.
Почему же это неверно да ещё и очевидно?
Цитата: Agnius от марта 25, 2021, 18:23
Вон касательную уже определили через одну точку - это прямая, имеющая локально одну точку с кривой
Перпендикуляр к касательной тоже локально имеет одну точку с кривой.
Цитата: Janko от марта 25, 2021, 19:32
Почему же это неверно да ещё и очевидно?
Потому что тогда бы было, что если функции f и g совпадают в одной точке, то и производные в этой точке должны совпадать. Но есть контрпримеры. (Функции x и x^2 совпадают в точке 0, но в этой точке производные у них разные).
Цитата: Andrey Lukyanov от марта 25, 2021, 19:36
Перпендикуляр к касательной тоже локально имеет одну точку с кривой.
Да, через одну общую точку определить проблематично. Для локально выпуклых кривых можно дополнительно потребовать, чтобы была окрестность, в которой касательная остаётся по одну сторону от кривой. Но для кривых типа x^3 в точке 0 это не сработает.
Цитата: Ömer от марта 25, 2021, 20:13
Но для кривых типа x^3 в точке 0 это не сработает.
Интересно, а касательная в точке перегиба является касательной в интуитивном смысле?
Цитата: Andrey Lukyanov от марта 25, 2021, 20:38
Интересно, а касательная в точке перегиба является касательной в интуитивном смысле?
В моём понимании - несомненно. Потому что это интуитивное понимание - оно (у меня) не от слова или понятия "касаться", а от понятия направления-в-данной-точке.
Цитата: Toman от марта 25, 2021, 21:08
... а от понятия направления-в-данной-точке.
И что тут интуитивного? Какое направление может быть в точке? :what:
Цитата: Ömer от марта 25, 2021, 20:13
Да, через одну общую точку определить проблематично. Для локально выпуклых кривых можно дополнительно потребовать, чтобы была окрестность, в которой касательная остаётся по одну сторону от кривой. Но для кривых типа x^3 в точке 0 это не сработает.
Окрестность, в которой отношение расстояния от точки на прямой до кривой к расстоянию от этой точки до точки касания стремится к нулю при стремлении к нулю второго расстояния. Так пойдёт?
Цитата: Toman от марта 25, 2021, 21:13
Окрестность, в которой отношение расстояния от точки на прямой до кривой к расстоянию от этой точки до точки касания стремится к нулю при стремлении к нулю второго расстояния. Так пойдёт?
Непонятно. Нарисуйте.
В этой теме (https://lingvoforum.net/index.php?topic=103283.0) картинка вроде бы подходящая. Приращение функции отличается от дифференциала (приращения её линейной аппроксимации, графиком которой является касательная) на бесконечно малую более высокого порядка.
А я бы ответил, что there is one right angle and one left angle.
Цитата: Бенни от марта 25, 2021, 22:23
Приращение функции отличается от дифференциала (приращения её линейной аппроксимации, графиком которой является касательная) на бесконечно малую более высокого порядка.
Про дифференциал мне понятно; мне непонятно, то же самое имеет в виду Toman или нет.
Цитата: Ömer от марта 25, 2021, 18:55
Эквивалентное утверждение: угол зависит только от значения функции в точках, расположенных на нулевом расстоянии от угла. Т.е. от значения в одной точке. Это, очевидно, неверно. Так что с изначальным утверждением что-то не в порядке.
Согласен :) Тогда вот новое определение - угол не зависит от значений точек, определяемых формулой, которые расположены на равном или большем расстоянии z от угла для любого z>0
Цитата: Andrey Lukyanov от марта 25, 2021, 19:36
Перпендикуляр к касательной тоже локально имеет одну точку с кривой.
Да, надо потребовать, чтобы фигура находилась по одну сторону)
Цитата: Wolliger Mensch от марта 25, 2021, 21:13
И что тут интуитивного? Какое направление может быть в точке?
Можно задать векторное поле, тогда в каждой точке будет направление :yes:
Цитата: Ömer от марта 25, 2021, 23:26
Про дифференциал мне понятно; мне непонятно, то же самое имеет в виду Toman или нет.
Ну, по сути, наверное, то же самое - только чтобы не иметь дела с функциями и произвольно назначенными осями координат (в общем случае может не прокатить), сама касательная (ну т.е. прямая, которую хотим проверить на предмет, является ли она касательной) как бы и считается осью (абсцисс). Измерять ли расстояние до кривой именно как расстояние в строгом смысле, или измерять, например, перпендикулярно оси абсцисс - не принципиально, т.к. хоть так, хоть так отношение этого расстояния или "расстояния" к координате по оси (т.е. по проверяемой прямой) должно стремиться к нулю. Или, иначе говоря, да, расстояние/"расстояние" до кривой - бесконечно малая более высокого порядка, чем координата вдоль прямой.
Возьмем пару аксиом планиметрии:
а) Через две данных точки можно провести прямую, и только одну;
б) Параллельные прямые не пересекаются.
Почему мы их принимаем и ориентируемся на них? Потому что практические выводы, которые следуют из них в итоге, постоянно оказываются верными? И/или потому что это интуитивно вроде бы очевидные вещи? Или как? Как вообще происходит принятие такого рода аксиом?
Мы оперируем понятиями точки и прямой, хотя для них нет определения. Исходим из того, что все интутивно понимают и воспринимают эти объекты одинаково?
Вернусь к поднявшемуся тут вопросу о том, могут ли быть в треугольнике углы, ведь там нет лучей, а только отрезки (стороны треугольника), что не соответствует определению угла. Нельзя ли тут говорить о том, что отрезки, являющиеся сторонами треугольника - это отрезки прямых и, соответственно, лучшей, поэтому, по сути, мы имеем три пары лучей, исходящих из одной точки, которые образуют три угла, просто рассматриваем лишь часть этих лучшей, ограниченную с другой стороны еще одной точкой?
Цитата: From_Odessa от марта 26, 2021, 12:11
Вернусь к поднявшемуся тут вопросу о том, могут ли быть в треугольнике углы, ведь там нет лучей, а только отрезки (стороны треугольника), что не соответствует определению угла.
Что мешает мысленно продлить отрезки до лучей?
Цитата: Janko от марта 26, 2021, 12:27
Что мешает мысленно продлить отрезки до лучей?
Ну так а я о чем написал? :)
Цитата: Agnius от марта 25, 2021, 18:23
Цитата: злой от Этот угол зависит от формулы, которой описывается линия, на которой можно взять точки. Точки можно и не брать, а вот без формулы, описывающей линию, вы не найдёте касательную.
Бе-бе-бе. Не висит точка в воздухе. Она взята на линии.
И что? Вы путаете два понятия, характеристика точки как геометрического объекта и характеристику среды, которая определяется для одной точки.Угол не зависит от значений точек, определяемых формулой, которые расположены на ненулевом расстоянии от угла.
По крайней мере, чтобы можно было вычислить касательную, в точке, где она ищется, функция должна быть дифференцируемой, то есть для неё должно быть возможным определить приращение, соответственно, по крайней мере у точки должны быть окрестности. Соответственно, чтобы найти так называемый "угол в точке", нужен контекст в виде функции, дифференцируемой в этой точке. Без окрестностей нет касательной. Да и то, эта касательная - так себе показатель "угла в точке". Но уж что имеем.
Цитата: From_Odessa от марта 26, 2021, 12:09
Возьмем пару аксиом планиметрии:
а) Через две данных точки можно провести прямую, и только одну;
б) Параллельные прямые не пересекаются.
б) - не аксиома, а следствие определения параллельных. В а) достаточно постулировать "не более одной", существование следует из других аксиом.
Цитата: From_Odessa от марта 26, 2021, 12:38
Ну так а я о чем написал? :)
Разве не о том, что для кого-то здесь наличие углов в треугольнике не факт? Вот их я и спросил дополнительно, в нескольких словах.
Кстати, у вас там опечатка — пишу об этом потому, что меня она на несколько секунд сбила с толку: «...это отрезки прямых и, соответственно, лучшей».
Janko, спасибо за поправку :) Видимо, автозамена постаралась :)
Цитата: Janko от марта 26, 2021, 17:11
Разве не о том, что для кого-то здесь наличие углов в треугольнике не факт? Вот их я и спросил дополнительно, в нескольких словах.
Я имел в виду, что дальше, по сути, ту же мысль высказал, что и Вы :)
Цитата: Бенни от марта 26, 2021, 15:31
б) - не аксиома, а следствие определения параллельных. В а) достаточно постулировать "не более одной", существование следует из других аксиом.
Ага, понял, спасибо за уточнение. Подзабыл эти детали. Но мой вопрос остаётся открытым. Только приведу потом другие аксиомы.
Цитата: злой от марта 24, 2021, 08:55
И вообще, мой мозг отказывается считать прямым угол в точке, если в соседней точке линия уже отклоняется от прямой.
Осталось определить, что такое «соседняя точка».
Цитата: злой от марта 26, 2021, 14:22
По крайней мере, чтобы можно было вычислить касательную, в точке, где она ищется, функция должна быть дифференцируемой, то есть для неё должно быть возможным определить приращение, соответственно, по крайней мере у точки должны быть окрестности. Соответственно, чтобы найти так называемый "угол в точке", нужен контекст в виде функции, дифференцируемой в этой точке. Без окрестностей нет касательной. Да и то, эта касательная - так себе показатель "угла в точке". Но уж что имеем.
Ну да, но как условие существование окрестностей опровергает утверждение, что угол определен в точке?
Цитата: Бенни от марта 26, 2021, 15:31
достаточно постулировать "не более одной", существование следует из других аксиом.
Вообще таки, нет. В геометрии Римана нельзя провести ни одной параллельной прямой :pop: