Домашнее задание семилетнего ребенка поставило в тупик доктора наук

[Agnius]

Тоже нет. Я похожий вопрос, про координаты, заданные на поверхности шара, задавал учительнице по математике, дескать, на экваторе прямые параллельные, а на полюсах они же пересекаются. Она ответила, что это не прямые, а дуги.

Тут следует сделать оговорку, в геометрии Римана (ну или в сферической), эти дуги таки прямые. Кривыми они выглядят только из нашего неискривленного пространства (так же как наши прямые могут выглядеть как кривые из какого-то внешнего пространства, где наше трехмерное пространство представляет собой 3-мерное многообразие)

[злой]

О том, что значит касательная в математическом смысле, я узнал в седьмом или восьмом классе школы

А у вас был период, когда вы знали слово «касательная», но не понимали, что оно значит?

Не помню. В кино, возможно, слышал что-то вроде "пуля прошла по касательной". То есть "коснулась" и пошла дальше.

[Janko]

Для младшего школьника это слишком сложно — сначала достроить полукруг до полного круга...

Что же тут сложного? IMHO, для восприятия круг естественнее, чем полукруг.

В кино, возможно, слышал что-то вроде "пуля прошла по касательной". То есть "коснулась" и пошла дальше.

Значит, впервые столкнувшись со словом, вы его сразу поняли?

[злой]

Главное, чтобы никто никого не учил, чья интуиция правильнее, и какая она должна быть. Тогда нормально всё.

Вообще таки учат, на физ-мат факультетах, иначе бы у нас не было ученых. Т.к. многие вещи в мире противоречат нашей интуиции, например что два разлетающихся по прямой космонавта будут наблюдать замедление времени для друг друга, или что точечная квантовая частица не находится в какой-то неизвестной нам точке пространства, а размазана по всему пространству согласно своей волновой функции, или что пустое пространство может искривляться, и т.д. и т.п. 

В том, о чём вы говорите, речь идёт о том, что некоторые объективно измеримые вещи контринтуитивны. Здесь речь не идёт о том, что кто-то навязывает другим своё субъективное видение как более правильное только на основании того, что он считает себя самым умным. Если есть формулы, дающие предсказательный результат, который контринтуитивен, а проверить результат вычислений может каждый, то предпочтение будет отдано формулам, а не интуиции.

Что-то такое слышал, на уровне "одна бабка сказала", что, кажется, пяти- или шестимерный шар, вписанный в соответственно пяти- или шестимерный куб, больше по объёму (видимо, столько-же-мерному), чем этот куб. Это контринтуитивно, но вроде как работает. Интуиция как инструмент познания несовершенен.

[Janko]

Agnius, а можно и мне получить ответ?

А что не так с терминологией и контекстом в логике начальной геометрии по поводу угла? (Мне действительно интересно.)

Что два отрезка образуют угол только если мысленно продолжить их до лучей

Я верно понимаю, что это формулировка для начинающих и что в реальности наука на этот вопрос смотрит иначе?

пяти- или шестимерный шар, вписанный в соответственно пяти- или шестимерный куб, больше по объёму (видимо, столько-же-мерному), чем этот куб. Это контринтуитивно

Мной это понимается по аналогии с летосчислением до н. э., где 1000-й год раньше 500-го.

[Ömer]

Кривыми они выглядят только из нашего неискривленного пространства

Неискривленного?.. А суперструнщики говорят, что мы живем в многообразии Калаби-Яу.

(wiki/en) File:CalabiYau5.jpg

[Ömer]

Шутка.

[злой]

В кино, возможно, слышал что-то вроде "пуля прошла по касательной". То есть "коснулась" и пошла дальше.

Значит, впервые столкнувшись со словом, вы его сразу поняли?

Ну, понял как-то, только это ведь не обязательно должна быть прямая. Тем более проведённая единственно правильным образом.

[Janko]

это ведь не обязательно должна быть прямая. Тем более проведённая единственно правильным образом.

Тут, писали, должна быть не прямая, а полупрямая. Но это уже уточнения: полупрямая (она же луч), касательная (-ый) к (дополненной) окружности в точке пересечения последней с диаметром. Хотя, конечно, для семилетних нужна другая лексика.
А образ тут не «правильный», а согласно условию: угол — между чем и чем? Между диаметром подразумеваемого круга (от которого в условии оставили половину) и касательной к его окружности в точке пересечения последней с диаметром.

[злой]

это ведь не обязательно должна быть прямая. Тем более проведённая единственно правильным образом.

Тут, писали, должна быть не прямая, а полупрямая. Но это уже уточнения: полупрямая (она же луч), касательная (-ый) к (дополненной) окружности в точке пересечения последней с диаметром. Хотя, конечно, для семилетних нужна другая лексика.
А образ тут не «правильный», а согласно условию: угол — между чем и чем? Между диаметром подразумеваемого круга (от которого в условии оставили половину) и касательной к его окружности в точке пересечения последней с диаметром.

Короче говоря, не для семилетних, куча неинтуитивной казуистики.

[Agnius]

Здесь речь не идёт о том, что кто-то навязывает другим своё субъективное видение как более правильное только на основании того, что он считает себя самым умным.

Ок, предложите свои видение и покажите, чем оно лучше, полезнее, чем существующее

Что-то такое слышал, на уровне "одна бабка сказала", что, кажется, пяти- или шестимерный шар, вписанный в соответственно пяти- или шестимерный куб, больше по объёму (видимо, столько-же-мерному), чем этот куб. Это контринтуитивно, но вроде как работает.

Про бабку правда, остальное чушь

[Agnius]

Agnius, а можно и мне получить ответ?

Для меня этих вопросов не существует в силу их тривиальности и бессмысленности, в математике есть гораздо более интересные вещи    Ну если на него отвечать, то угол между отрезками существует по лучевому определению, потому что отрезки можно мысленно продлить до лучей

[Andrey Lukyanov]

Ну если на него отвечать, то угол между отрезками существует по лучевому определению, потому что отрезки можно мысленно продлить до лучей

Отрезок определяется двумя точками, луч определяется двумя точками, прямая определяется двумя точками....

[Janko]

куча неинтуитивной казуистики.

Какие ваши доказательства её неинтуитивности?

Для меня этих вопросов не существует в силу их тривиальности и бессмысленности, в математике есть гораздо более интересные вещи    Ну если на него отвечать, то угол между отрезками существует по лучевому определению, потому что отрезки можно мысленно продлить до лучей

Спасибо. Я в математике и есть бессмысленный дилетант...

[Agnius]

Отрезок определяется двумя точками, луч определяется двумя точками, прямая определяется двумя точками....

Касательная определяется двумя точками через предельный переход 

[злой]

Здесь речь не идёт о том, что кто-то навязывает другим своё субъективное видение как более правильное только на основании того, что он считает себя самым умным.

Ок, предложите свои видение и покажите, чем оно лучше, полезнее, чем существующее

Я вообще о другом. Лучше и полезнее - это не про "правильную" и "неправильную" интуицию.

куча неинтуитивной казуистики.

Какие ваши доказательства её неинтуитивности?

Достроить ещё дополнительный дом, скворечник и сарай, и всё станет очевидным.

[Agnius]

Лучше и полезнее - это не про "правильную" и "неправильную" интуицию.

Как раз про нее
Кстати, вам понятно, почему ваше утверждение

пяти- или шестимерный шар, вписанный в соответственно пяти- или шестимерный куб, больше по объёму

очевидно ложно? Показать, или сами справитесь?

[злой]

Лучше и полезнее - это не про "правильную" и "неправильную" интуицию.

Как раз про нее
Кстати, вам понятно, почему ваше утверждение

пяти- или шестимерный шар, вписанный в соответственно пяти- или шестимерный куб, больше по объёму

очевидно ложно? Показать, или сами справитесь?

Не борзейте.

[Agnius]

Не борзейте.

Ну правда, вам надо доказать ложность

пяти- или шестимерный шар, вписанный в соответственно пяти- или шестимерный куб, больше по объёму

?
Делается в три строчки

[Agnius]

злой
Короче, вот вам доказательство того, что любой n-мерный шар, вписанный в n-мерный куб, по своему гиперобъему меньшего этого куба.
Рассмотрим луч, выходящий из центра этого шара/куба. Он пересечет шар в одной точке, и соотвествующий отрезок будет иметь длину 1. А также он пересечет куб в одной точке, но только длина отрезка может быть больше 1, единицей она будет только когда луч перпендикулярен стороне куба, и это минимальное возможное расстояние. А значит, объем такого шара будет меньше, чем куба.
Смотрим в той же вики
Объем 5-мерного шара 5.2638, а куба 32*10^5, 6-мерного шара 5.1677, а куба 64*10^6. Тут мы видим другое противоинтуинтивное утверждение - гиперобъем 5-мерного шара больше, чем гиперобъем 6-мерного, и стремится к нулю с ростом n

[Agnius]

злой
Короче слышали звон, да не знаете где он 

[Ömer]

Для конечномерных геометрий все определения полностью эквивалентны, так что берите самое стартовое (про лучи)

То есть, вы берёте это определение, и "тривиальным образом" обобщаете его на случай угла между кривыми, принимая, что угол равен углу между касательными?

Мне это не кажется удовлетворительным подходом. Как минимум, нужно ответить на вопрос, какие структуры должны существовать на множестве, чтобы вообще можно было использовать понятия "кривая", "касательная", "угол между касательными"?

Мы интуитивно мыслим в рамках R^n; но R^n слишком "мощно" (в том смысле, что на нём определены все структуры, которые только можно пожелать). Давайте выкинем всё лишнее.

"Кривая" и "касательная" определены на дифференцируемом многообразии. Но на нём не существует понятия угла (не определено скалярное произведение).

Удобным объектом будет являться Риманово многообразие -- там определено скалярное произведение на касательном пространстве, и там уже можно ввести понятие угла между кривыми.

Но можно и из Риманова многообразия выкинуть лишнее и ограничиться конформными многообразиями (где метрика определяется с точностью до пропорционального класса -- то есть, расстояния не определены, но определены углы).

Таким образом, с помощью простых рассуждений о формализации понятия угла мы пришли к интересному понятию конформной геометрии (в которой можно изучить вопрос классификации и другие интересные вопросы). Поэтому я бы осторожно проводил "тривиальные" обобщения, чтобы с водой не выплеснуть ребёнка.

[злой]

злой
Короче, вот вам доказательство того, что любой n-мерный шар, вписанный в n-мерный куб, по своему гиперобъему меньшего этого куба.
Рассмотрим луч, выходящий из центра этого шара/куба. Он пересечет шар в одной точке, и соотвествующий отрезок будет иметь длину 1. А также он пересечет куб в одной точке, но только длина отрезка может быть больше 1, единицей она будет только когда луч перпендикулярен стороне куба, и это минимальное возможное расстояние. А значит, объем такого шара будет меньше, чем куба.
Смотрим в той же вики
Объем 5-мерного шара 5.2638, а куба 32*10^5, 6-мерного шара 5.1677, а куба 64*10^6. Тут мы видим другое противоинтуинтивное утверждение - гиперобъем 5-мерного шара больше, чем гиперобъем 6-мерного, и стремится к нулю с ростом n

За доказательство спасибо, но над коммуникативными навыками поработайте. С таким общением вас на форуме скоро забанят, и вы пойдёте осчастливливать своим присутствием какой-нибудь другой форум.

[Agnius]

То есть, вы берёте это определение, и "тривиальным образом" обобщаете его на случай угла между кривыми, принимая, что угол равен углу между касательными?

Ну вы же для отрезков такое делаете

Удобным объектом будет являться Риманово многообразие -- там определено скалярное произведение на касательном пространстве, и там уже можно ввести понятие угла между кривыми.

Да, я все время имел ввиду риманово многообразие (хотя можно взять и псевдориманово, хотя там гиперболический угол будет именно что обобщением привычного евклидова угла)

Но можно и из Риманова многообразия выкинуть лишнее и ограничиться конформными многообразиями (где метрика определяется с точностью до пропорционального класса -- то есть, расстояния не определены, но определены углы).

Таким образом, с помощью простых рассуждений о формализации понятия угла мы пришли к интересному понятию конформной геометрии (в которой можно изучить вопрос классификации и другие интересные вопросы). Поэтому я бы осторожно проводил "тривиальные" обобщения, чтобы с водой не выплеснуть ребёнка.

Давайте-ка конкретизируем. Мы рассматриваем определения углов для евклидова пространства R^n для начала. И тут есть палка о двух концах. Первый конец - у нас есть определение угла через лучи, но оно формально не работает для отрезков, мы его обобщаем до отрезков, но оно не работает для кривых линий, мы его обобщаем до касательных и т.д. И вот оказывается, что в этом пространстве обобщение до касательных является максимально возможным, и т.к. мы неизбежно обобщили определение угла через лучи до отрезков, мы должны так же его неизбежно обобщить и до касательных, а прошлые определения выкинуть в мусорное ведро (т.е. нигде его не использовать, как мы нигде не используем определение угла, при котором у треугольника нету углов)
Второй конец - утверждать, что определение для отрезков можно естественным образом получить из определения для лучей, а следовательно, при последовательном рассмотрении его надо применить и для касательной. В любом из двух случаев определение угла через касательные является самым верным и должно использоваться только оно.
Что касается конформной геометрии, то там еще дается еще более общее понятие угла, не привязанное к расстоянию, и которое в частности можно получить путем естественного обобщение привычного понятия угла, и которое можно применять и к обычной евклидовой геометрии, т.е. это просто некая сермяжная суть угла

[Agnius]

но над коммуникативными навыками поработайте

Кто бы говорил 

Не борзейте.

. С таким общением вас на форуме скоро забанят, и вы пойдёте осчастливливать своим присутствием какой-нибудь другой форум.

Мне не за что даже делать замечания, не то что банить