Лингвофорум

Цитата: Бенни от марта 25, 2021, 22:23
Приращение функции отличается от дифференциала (приращения её линейной аппроксимации, графиком которой является касательная) на бесконечно малую более высокого порядка.

Про дифференциал мне понятно; мне непонятно, то же самое имеет в виду Toman или нет.

Цитата: Ömer от марта 25, 2021, 18:55
Эквивалентное утверждение: угол зависит только от значения функции в точках, расположенных на нулевом расстоянии от угла. Т.е. от значения в одной точке. Это, очевидно, неверно. Так что с изначальным утверждением что-то не в порядке.

Согласен Тогда вот новое определение - угол не зависит от значений точек, определяемых формулой, которые расположены на равном или большем расстоянии z от угла для любого z>0

Цитата: Andrey Lukyanov от марта 25, 2021, 19:36
Перпендикуляр к касательной тоже локально имеет одну точку с кривой.

Да, надо потребовать, чтобы фигура находилась по одну сторону)

Цитата: Wolliger Mensch от марта 25, 2021, 21:13
И что тут интуитивного? Какое направление может быть в точке?

Можно задать векторное поле, тогда в каждой точке будет направление 

Цитата: Ömer от марта 25, 2021, 23:26
Про дифференциал мне понятно; мне непонятно, то же самое имеет в виду Toman или нет.

Ну, по сути, наверное, то же самое - только чтобы не иметь дела с функциями и произвольно назначенными осями координат (в общем случае может не прокатить), сама касательная (ну т.е. прямая, которую хотим проверить на предмет, является ли она касательной) как бы и считается осью (абсцисс). Измерять ли расстояние до кривой именно как расстояние в строгом смысле, или измерять, например, перпендикулярно оси абсцисс - не принципиально, т.к. хоть так, хоть так отношение этого расстояния или "расстояния" к координате по оси (т.е. по проверяемой прямой) должно стремиться к нулю. Или, иначе говоря, да, расстояние/"расстояние" до кривой - бесконечно малая более высокого порядка, чем координата вдоль прямой.

Возьмем пару аксиом планиметрии:

а) Через две данных точки можно провести прямую, и только одну;

б) Параллельные прямые не пересекаются.

Почему мы их принимаем и ориентируемся на них? Потому что практические выводы, которые следуют из них в итоге, постоянно оказываются верными? И/или потому что это интуитивно вроде бы очевидные вещи? Или как? Как вообще происходит принятие такого рода аксиом?

Мы оперируем понятиями точки и прямой, хотя для них нет определения. Исходим из того, что все интутивно понимают и воспринимают эти объекты одинаково?

Вернусь к поднявшемуся тут вопросу о том, могут ли быть в треугольнике углы, ведь там нет лучей, а только отрезки (стороны треугольника), что не соответствует определению угла. Нельзя ли тут говорить о том, что отрезки, являющиеся сторонами треугольника - это отрезки прямых и, соответственно, лучшей, поэтому, по сути, мы имеем три пары лучей, исходящих из одной точки, которые образуют три угла, просто рассматриваем лишь часть этих лучшей, ограниченную с другой стороны еще одной точкой?

Цитата: From_Odessa от марта 26, 2021, 12:11
Вернусь к поднявшемуся тут вопросу о том, могут ли быть в треугольнике углы, ведь там нет лучей, а только отрезки (стороны треугольника), что не соответствует определению угла.

Что мешает мысленно продлить отрезки до лучей?

Цитата: Janko от марта 26, 2021, 12:27
Что мешает мысленно продлить отрезки до лучей?

Ну так а я о чем написал?

Цитата: Agnius от марта 25, 2021, 18:23

Цитата: злой от Этот угол зависит от формулы, которой описывается линия, на которой можно взять точки. Точки можно и не брать, а вот без формулы, описывающей линию, вы не найдёте касательную.

Бе-бе-бе. Не висит точка в воздухе. Она взята на линии.

И что? Вы путаете два понятия, характеристика точки как геометрического объекта и характеристику среды, которая определяется для одной точки.Угол не зависит от значений точек, определяемых формулой, которые расположены на ненулевом расстоянии от угла.

По крайней мере, чтобы можно было вычислить касательную, в точке, где она ищется, функция должна быть дифференцируемой, то есть для неё должно быть возможным определить приращение, соответственно, по крайней мере у точки должны быть окрестности. Соответственно, чтобы найти так называемый "угол в точке", нужен контекст в виде функции, дифференцируемой в этой точке. Без окрестностей нет касательной. Да и то, эта касательная - так себе показатель "угла в точке". Но уж что имеем.

Цитата: From_Odessa от марта 26, 2021, 12:09
Возьмем пару аксиом планиметрии:

а) Через две данных точки можно провести прямую, и только одну;

б) Параллельные прямые не пересекаются.

б) - не аксиома, а следствие определения параллельных. В а) достаточно постулировать "не более одной", существование следует из других аксиом.

Цитата: From_Odessa от марта 26, 2021, 12:38
Ну так а я о чем написал?

Разве не о том, что для кого-то здесь наличие углов в треугольнике не факт? Вот их я и спросил дополнительно, в нескольких словах.

Цитата: Janko от марта 26, 2021, 17:11
Разве не о том, что для кого-то здесь наличие углов в треугольнике не факт? Вот их я и спросил дополнительно, в нескольких словах.

Я имел в виду, что дальше, по сути, ту же мысль высказал, что и Вы

Цитата: Бенни от марта 26, 2021, 15:31
б) - не аксиома, а следствие определения параллельных. В а) достаточно постулировать "не более одной", существование следует из других аксиом.

Ага, понял, спасибо за уточнение. Подзабыл эти детали. Но мой вопрос остаётся открытым. Только приведу потом другие аксиомы.

Цитата: злой от марта 24, 2021, 08:55
И вообще, мой мозг отказывается считать прямым угол в точке, если в соседней точке линия уже отклоняется от прямой.

Осталось определить, что такое «соседняя точка».

Цитата: злой от марта 26, 2021, 14:22
По крайней мере, чтобы можно было вычислить касательную, в точке, где она ищется, функция должна быть дифференцируемой, то есть для неё должно быть возможным определить приращение, соответственно, по крайней мере у точки должны быть окрестности. Соответственно, чтобы найти так называемый "угол в точке", нужен контекст в виде функции, дифференцируемой в этой точке. Без окрестностей нет касательной. Да и то, эта касательная - так себе показатель "угла в точке". Но уж что имеем.

Ну да, но как условие существование окрестностей опровергает утверждение, что угол определен в точке?

Цитата: Бенни от марта 26, 2021, 15:31
достаточно постулировать "не более одной", существование следует из других аксиом.

Вообще таки, нет. В геометрии Римана нельзя провести ни одной параллельной прямой