Домашнее задание семилетнего ребенка поставило в тупик доктора наук

[yurifromspb]

Обучение, действительно, ведётся шажками от простого к сложному, но я по прежнему считаю. что в том виде, как это здесь изложено, задача вредная. Если надо сказать о чём-то, выходящем за рамки известных определений, то надо сделать это так, чтобы показать верное направление, а не тупик.
Там ведь не говорилось, что это типа не то, что мы зовём углом в нашей школьной геометрии (но по-жизни мы это всё же зовём углом и не зря), подумайте дети, а что же это такое и как тут быть. Было сказано так:

Йейтс позже нашел в интернете правильный ответ на вопрос. Авторы домашнего задания считали, что утверждение ложно. Они объяснили, что дети могут приложить фигуру к углу страницы тетради и понять, что у них получается не прямой угол.

Но если уж угол, то прямой, иначе никак, а если вообще не угол, то так и надо писать, мол мы таких углов не знаем, но не знаю, какая тут педагогическая польза.

[Bhudh]

1307 Докажите, что в кубе можно вырезать сквозное отверстие, через которое можно протащить куб таких же размеров.

Вбросил и убежал.

[Toman]

А тут-то какие проблемы?

[злой]

Обучение, действительно, ведётся шажками от простого к сложному, но я по прежнему считаю. что в том виде, как это здесь изложено, задача вредная. Если надо сказать о чём-то, выходящем за рамки известных определений, то надо сделать это так, чтобы показать верное направление, а не тупик.
Там ведь не говорилось, что это типа не то, что мы зовём углом в нашей школьной геометрии (но по-жизни мы это всё же зовём углом и не зря), подумайте дети, а что же это такое и как тут быть. Было сказано так:

Йейтс позже нашел в интернете правильный ответ на вопрос. Авторы домашнего задания считали, что утверждение ложно. Они объяснили, что дети могут приложить фигуру к углу страницы тетради и понять, что у них получается не прямой угол.

Но если уж угол, то прямой, иначе никак, а если вообще не угол, то так и надо писать, мол мы таких углов не знаем, но не знаю, какая тут педагогическая польза.

А в чём, собственно, проблема? Ребёнка же не спрашивают, прямой это угол, острый или тупой. Для него криволинейный угол - вполне себе угол. И он действительно не прямой.

[злой]

1307 Докажите, что в кубе можно вырезать сквозное отверстие, через которое можно протащить куб таких же размеров.

Вбросил и убежал.

Мне всегда было интересно, есть ли какой-то формализованный способ вычисления, пролезет ли предмет определённой формы через отверстие другой формы? Потому что задачи на площадь криволинейных фигур решаются через разбиение фигуры на интегрируемые части. Можно ли таким образом, беря многомерные интегралы, вычислять, пролезает фигура или нет? Или такая задача каждый раз будет адхочной?

[yurifromspb]

А в чём, собственно, проблема? Ребёнка же не спрашивают, прямой это угол, острый или тупой. Для него криволинейный угол - вполне себе угол. И он действительно не прямой.

А какой? Если ему попробовать приписать меру, то кроме 90° ничего не получится. Фигура, конечно, не из двух лучей, etc.

[Ömer]

Мне всегда было интересно, есть ли какой-то формализованный способ вычисления, пролезет ли предмет определённой формы через отверстие другой формы? Потому что задачи на площадь криволинейных фигур решаются через разбиение фигуры на интегрируемые части. Можно ли таким образом, беря многомерные интегралы, вычислять, пролезает фигура или нет? Или такая задача каждый раз будет адхочной?

Не знаком с формализацией такого рода задач, но навскидку могу предложить вот что. Для случая плоских фигур достаточный критерий "пролезаемости" фигуры f через фигуру F: радиус вписанной окружности фигуры F должен быть больше радиуса описанной окружности фигуры f.


На картинке: квадрат f пролезет через треугольник F, поскольку красный кружок больше синего.

Формулы вписанных и описанных окружностей есть только для правильных многоугольников. Для неправильных фигур нахождение вписанных и описанных радиусов -- типичная задача оптимизации, которая может быть решена приближённо численными методами, типа метода градиентного спуска; аналитически, думаю, в общем виде через интеграл не выражается (доказать не могу, но интуитивно кажется, что там нет связи с интегралом).

В многомерном случае можно ввести понятия вписанных и описанных цилиндров -- если мы протаскиваем фигуру по прямой (но можно и не по прямой, а зигзагом -- тогда задача ещё сложнее), и скорее всего, такие задачи тоже решаются только численно.

Погуглил, нашёл довольно свежую (этого века) статью про алгоритм нахождения радиуса вписанной сферы для многомерного случая:
http://www.cse.yorku.ca/~andy/courses/6114/lecture-notes/MAX-Inscribed-Sphere.pdf

[злой]

А в чём, собственно, проблема? Ребёнка же не спрашивают, прямой это угол, острый или тупой. Для него криволинейный угол - вполне себе угол. И он действительно не прямой.

А какой? Если ему попробовать приписать меру, то кроме 90° ничего не получится. Фигура, конечно, не из двух лучей, etc.

Не знаю, как у вас получается так, что кроме 90 градусов ему не получается приписать никакую меру. По мне так "нормальный" вывод - что не каждый угол можно измерить. То есть ребёнок выходит за рамки и понимает, что есть вещи, не укладывающиеся в шаблоны.

[злой]

Ömer, вот я как раз боюсь, что при переходе из двух измерений в три такую задачу (с возможностью "верчения" фигуры) формализовать нельзя, лишнее измерение даёт лишнюю переменную. Численно - можно изобрести кучу разных способов, мы же как-то в мозгу её решаем, а это аппроксимация.

[BormoGlott]

А в этом треугольнике линии составляют прямые углы?

Тоже нет.

Однако, угол между направлением на север и направлением на восток составляет ровно 90 градусов. Вы можете это объяснить?

[злой]

А в этом треугольнике линии составляют прямые углы?

Тоже нет.

Однако, угол между направлением на север и направлением на восток составляет ровно 90 градусов. Вы можете это объяснить?

Направления на север и восток - это проекции, а не сами дуги. Дуги уходят вниз.

[yurifromspb]

Не знаю, как у вас получается так, что кроме 90 градусов ему не получается приписать никакую меру. По мне так "нормальный" вывод - что не каждый угол можно измерить. То есть ребёнок выходит за рамки и понимает, что есть вещи, не укладывающиеся в шаблоны.

Ну как нельзя. Если мы от круга будем отрезать сегмент не по диаметру, а по хорде, тоже будут два угла и притом меньше, чем по диаметру, и чем меньше хорда, тем меньше угол. Это ведь интуитивно понятно? Т.е. можно измерить угол отношением хорды к диаметру, например. Ещё не градусы, конечно, но уже близко.
Или, другой путь, можно пытаться вставлять полукруг в углы из лучей, так, что диаметр идёт по одному из лучей и заметить, что если угол острый, то вставить нельзя, будет пересечение луча с полуокружностью.
Довольно просто на школьном уровне показать, что при пересечении кривых тоже есть угол и притом однозначно сравнимый с углами, которые образованы лучами.
А если вместо этого сказать, угол измерить нельзя (а потом окажется, что можно), это уже дзен какой-то будет, а не геометрия.

[BormoGlott]

Направления на север и восток - это проекции

Так же можно сказать и об угле в рассматриваемой задаче. Угол между диаметром и касательной, проходящей через его конец  равен 90°.

[злой]

Можно придумать какой угодно способ измерения, другой вопрос - какой у этого измерения будет смысл ("средняя температура по больнице"). Для меня очевидно, что криволинейный угол - однозначно не "прямой" в классическом смысле. А так, если уж производную дробной степени придумали, то конечно можно придумать и то, как измерить криволинейный угол, но эта мера будет ни прямым, ни острым, ни тупым углом в том смысле, в котором этому учат в школе.

[злой]

Направления на север и восток - это проекции

Так же можно сказать и об угле в рассматриваемой задаче. Угол между диаметром и касательной, проходящей через его конец  равен 90°.

Нас просят не проекции искать, а углы между самими фигурами.

[Bhudh]

Какими фигурами? Фигура там одна.

[Andrey Lukyanov]

Могу предложить ещё одну задачу.

Какое число является наименьшим среди натуральных?

а) 0
б) 1

[Bhudh]

Натуральные числа начинаются с единицы.

[BormoGlott]

натуральные числа можно записать римскими цифрами, а ноль придумали арабы

[yurifromspb]

Можно придумать какой угодно способ измерения, другой вопрос - какой у этого измерения будет смысл ("средняя температура по больнице").

Если хотим сравнивать с  углами между прямыми, то выбора-то и нет. По большому счёту, линейкой служит именно угол меду лучами.

Для меня очевидно, что криволинейный угол - однозначно не "прямой" в классическом смысле.
...конечно можно придумать и то, как измерить криволинейный угол, но эта мера будет ни прямым, ни острым, ни тупым углом в том смысле, в котором этому учат в школе.

А что если микроскоп взять и посмотреть на точку пересечения с таким увеличением, чтобы линии нельзя было отличить от прямых? Как тогда?

[Toman]

Для меня очевидно, что криволинейный угол - однозначно не "прямой" в классическом смысле.

Для меня очевидно, что прямой в классическом смысле угол - это тот, который равен 90°, безотносительно прямо- или криволинейности того, что к нему там дальше присобачено. А он именно таков. Если уж он вообще угол. А если нет, то получается хрень: жопа есть, а слова нет мера угла есть и точно определена, а самого угла как бы нет?

А так, если уж производную дробной степени придумали, то конечно можно придумать и то, как измерить криволинейный угол, но эта мера будет ни прямым, ни острым, ни тупым углом в том смысле, в котором этому учат в школе.

Эта мера ничем не отличается от меры для "прямолинейных" углов, поскольку собственно угол там образован касательными, которые прямолинейны. Ничего хитрого или искусственного для этого придумывать не нужно, это естественно и интуитивно понятно.

[Bhudh]

А что если микроскоп взять и посмотреть на точку пересечения с таким увеличением, чтобы линии нельзя было отличить от прямых?

Смотреть в микроскоп на идеальный математический объект это интересно.
Наверное, это такой специальный философский микроскоп?

[yurifromspb]

А что если микроскоп взять и посмотреть на точку пересечения с таким увеличением, чтобы линии нельзя было отличить от прямых?

Смотреть в микроскоп на идеальный математический объект это интересно.
Наверное, это такой специальный философский микроскоп?

Да. 

[злой]

Можно придумать какой угодно способ измерения, другой вопрос - какой у этого измерения будет смысл ("средняя температура по больнице").

Если хотим сравнивать с  углами между прямыми, то выбора-то и нет. По большому счёту, линейкой служит именно угол меду лучами.

Это и есть тот самый "классический" угол, который может быть прямым, острым и тупым. Но это не наш случай.

Для меня очевидно, что криволинейный угол - однозначно не "прямой" в классическом смысле.
...конечно можно придумать и то, как измерить криволинейный угол, но эта мера будет ни прямым, ни острым, ни тупым углом в том смысле, в котором этому учат в школе.

А что если микроскоп взять и посмотреть на точку пересечения с таким увеличением, чтобы линии нельзя было отличить от прямых? Как тогда?

Разговор ни о чём.

[злой]

А так, если уж производную дробной степени придумали, то конечно можно придумать и то, как измерить криволинейный угол, но эта мера будет ни прямым, ни острым, ни тупым углом в том смысле, в котором этому учат в школе.

Эта мера ничем не отличается от меры для "прямолинейных" углов, поскольку собственно угол там образован касательными, которые прямолинейны. Ничего хитрого или искусственного для этого придумывать не нужно, это естественно и интуитивно понятно.

Это будет угол между касательными, а не между линиями, о которых идёт речь. Тем более это не единственный способ измерить угол - можно, скажем, брать среднее значение между "разбросом", или ещё что угодно. В любом случае, это будет некая условность.