Домашнее задание семилетнего ребенка поставило в тупик доктора наук

[злой]

злой, «в институте» нельзя делить на ноль, даже если то, что там привёл Wolliger Mensch, не катит.

У нуля есть обратный только в т. н. тривиальном (или нулевом) кольце — состоящем из одного нуля. Такое кольцо для технических вещей используется, но само по себе интереса не представляет по понятным причинам, так что когда мы имеем в виду операции в любом другом кольце, у нуля обратного нет и делить на него нельзя.

(Строго говоря деление не обязательно определяется как умножение на обратный. Деление — это как в школе, «операция, обратная умножению», то есть a / b это (единственное) решение уравнения a = b x. Есть алгебраические системы, где деление определяется, а обратные элементы не очень, но в этой теме лучше их не поминать. Ещё можно помянуть, что когда умножение некоммутативно, приходится определять отдельно левое частное и правое частное. Это тоже не важно, ничего существенно нового по отношению к нулю всё это не внесёт.)

Спасибо, вы, по крайней мере, дали предметный комментарий. Как видите, даже вы объясняете по принципу "делить на ноль нельзя, но..." - вот этим "но", среди прочего, занимаются в институтах. Для меня именно этот момент принципиален. А не то, приложимо ли это к объективной действительности хоть каким-то образом. Математика много чего парадоксального изучает, и доказательства в духе тех, которые приводил Wolliger Mensch, хороши для школьников, но не как комментарии от профессиональных математиков. Это как в школе у квадратных уравнений в случае комплексных корней просто пишут "корней нет", а в институте ищут комплексный корень, которому, на минутку, в объективной действительности тоже ничего не соответствует, потому что нет в природе никаких корней из минус единицы. 

[симариллимиллион]

Это как в школе у квадратных уравнений в случае комплексных корней просто пишут "корней нет", а в институте ищут комплексный корень, которому, на минутку, в объективной действительности тоже ничего не соответствует, потому что нет в природе никаких корней из минус единицы.

В природе нет и корней из плюс единицы, и самой единицы.

Кроме того найти вообще все корни уравнения — задача плохо поставленная, так что если в школе проговаривать «действительных корней», ничем страшным эта деятельность не будет. А если искать все корни, нам придётся рассматривать каждую алгебру, в которую вкладываются вещественные числа (или того хуже, рациональные, если коэффициенты уравнения все рациональные), а все эти алгебры никак не объединишь в какую-то одну предельную громадную мега-алгебру. Это значит, что нет смысла искать одно максимальное множество решений, которые потом отсекать по надобности — такого множества не будет существовать.

Кроме того даже если мы например просто возьмём кватернионы и поищем там корни из −1, нас ожидает целая трёхмерная сфера решений. Идя дальше, мы только ухудшим себе задачу описания множества решений (они будут куда хуже такой простой вещи как многомерные сферы).

[симариллимиллион]

нас ожидает целая трёхмерная сфера решений

Двумерная, то есть обычная. Но радоваться не стоит.

[Bhudh]

Строго говоря деление не обязательно определяется как умножение на обратный. Деление — это как в школе, «операция, обратная умножению», то есть a / b это (единственное) решение уравнения a = b x. Есть алгебраические системы, где деление определяется, а обратные элементы не очень, но в этой теме лучше их не поминать.

Поздновато спохватились, уже ж и упомянули и откомментировали:

Есть алгебра колёс, в которой делить на ноль можно.

Да, математики - весёлые ребята.

[симариллимиллион]

Ну доопределить можно, но кольца-поля намного лучше, чем колёса, по свойствам, и гораздо чаще полезны. Даже проективные прямые чаще нужны (там есть обратные элементы для всего, но нет сложения и умножения (и вычитания с делением), а лишь двойное отношение, притом в него нельзя подставлять слишком много одинаковых аргументов).

[Agnius]

Ответ то общепринят и прост - тут два прямых угла, т.к. угол между кривыми линиями определяется как угол между их касательными в точке пересечения. Можно сказать, что мы рассматриваем бесконечно малую область, где части кривых в пределе становятся отрезками. Это определение работает везде и не знает исключений - от школьной геометрии до общей теории относительности, как таблица умножения

Чушь. Это касательные, а не сама линия. Сама линия никогда не будет составлять прямого угла.

Нормальный вопрос. Прямых углов тут нет.
А Йейтс мудрила.

А, ну понятно, понятно...

Проблема в другом: судя по всему, вопрос терминологически некорректен, т.к. угол определяется как фигура, образованная двумя лучами, а окружность к лучу свести невозможно. Соответственно, углов у фигуры нет вообще.

Одно дело, когда человек невежественен, а другое дело когда этим кичится и выпячивает напоказ 

[Agnius]

Берем учебник дочери и читаем определение угла. Если там написано, что угол образован двумя лучами, то на картинке вообще углов нет.

Так их тогда и в треугольнике нет. А если их можно мысленно построить, то тогда есть

Определения могут менятся в зависимости от глубины или предметной области теории (как, например, существует 100500 определений интеграла); и странно, что какой-то "доктор математических наук" может этого не знать.

И тут вы ошибаетесь, определение угла единственно, надо только уметь его правильно понимать. А все определения интегралов экивалентны на множестве функций, где они применимы

[Agnius]

Другими, словами, угол между прямой и кривой  определён?

Откройте учебник по дифф геометрии 

[Agnius]

В школе же есть предмет математика.  Значит, сколько-то раз каждый из нас математик.

Сегодня мы все математики.

Что то по этой теме не видно   

[Andrey Lukyanov]

Знаете ли вы, что сумма всех натуральных чисел (1+2+3+...) равна −1/12?

Конечно, это сумма в каком-то специфическом понимании, но тем не менее.

(wiki/ru) Ряд_из_натуральных_чисел

[Agnius]

Да, и доктор наук - это не доктор наук в нашем понимании, а доктор философии, phD, молодой отец, который хочет стать популярным 

Все наоборот, их доктор философии, это наш доктор наук, просто исторически так называется 

[Agnius]

Знаете ли вы, что сумма всех натуральных чисел (1+2+3+...) равна −1/12?

Конечно, это сумма в каком-то специфическом понимании, но тем не менее.

Да, у Теренса Тау была хорошая статья на эту тему (по анг). Если вкрадце - мы обобщенно суммируем по Абелю, а потом отбрасываем бесконечно большие члены 1/eps^n

[kemerover]

И тут вы ошибаетесь, определение угла единственно, надо только уметь его правильно понимать. А все определения интегралов экивалентны на множестве функций, где они применимы

Так ведь об этом и речь, что на множестве фигур, образованных лучом и кривой, а не двумя лучами, базовое определение угла не применимо.

[Kamil]

Знаете ли вы, что сумма всех натуральных чисел (1+2+3+...) равна −1/12?

Мир непрост. Помню, после того, как наш школьный учитель алгебры показал нам, что сумма бесконечных слагаемых, равных единице, равна -0,5 , я  неделю не мог успокоиться.

[Agnius]

Так ведь об этом и речь, что на множестве фигур, образованных лучом и кривой, а не двумя лучами, базовое определение угла не применимо.

Почему?

[Zavada]

Это как в школе у квадратных уравнений в случае комплексных корней просто пишут "корней нет".

Обобщающий урок по алгебре в 8-м  классе по теме: «Квадратные уравнения»

Образовательные цели: повторить теоретический материал; обеспечить закрепление теоремы Виета, расширить понятие числа, познакомить с решением квадратных уравнений на множестве комплексных чисел...

https://nsportal.ru/shkola/algebra/library/2018/01/09/obobshchayushchiy-urok-po-algebre-v-8-om-klasse-po-teme-kvadratnye

их доктор философии, это наш доктор наук,

(Google) соответствует

[kemerover]

Так ведь об этом и речь, что на множестве фигур, образованных лучом и кривой, а не двумя лучами, базовое определение угла не применимо.

Почему?

Так это по определению фигура, образованная двумя лучами.

[Janko]

это по определению фигура, образованная двумя лучами.

А что образуют два отрезка с общей точкой?

[Agnius]

Так это по определению фигура, образованная двумя лучами.

Ну так лучи строятся из касальных, так же как из отрезков треугольника

[Kamil]

Решение простое, оказывается. Пусть левая вершина криволинейного угла будет А, правая - Б. Симметрично отображаем наш полукруг относительно отрезка АБ, получаем круг.
АБ - диаметр этого круга. Проведем две касательные через точки А и Б. Обе касательные образуют с отрезком АБ прямые углы, ибо касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания. По определению, криволинейный угол измеряется прямолинейным углом, заключенным между касательными, проведенными к сторонам криволинейного угла в его вершине, и т.к. через точки А и Б можно провести только по одной касательной к нашей окружности, то оба криволинейных угла с вершинами А и Б - прямые.

[Janko]

Я, собственно, не понимаю, почему по этому вопросу возник такой продолжительный спор. Если бы определения угла с кривой линией не существовало, можно было бы поспорить о таком определении, но оно ведь есть.

[Kamil]

дело в том, что семилетние обычно не изучают криволинейные углы

[kemerover]

А что образуют два отрезка с общей точкой?

По логике начальной геометрии— ничего. То есть они им не являются, хотя может там и говорят, что отрезки образуют угол. Навряд ли в каждом учебнике всё строго с терминологией. Те же углы считаются элементами треугольника, хоть он определяется только как три попарно смежных отрезка.

Ну так лучи строятся из касальных, так же как из отрезков треугольника

Что в отличие от угла, образованного отрезками, может быть не так очевидно детям, как даже угол между плоскостями.

Я, собственно, не понимаю, почему по этому вопросу возник такой продолжительный спор. Если бы определения угла с кривой линией не существовало, можно было бы поспорить о таком определении, но оно ведь есть.

Потому что половине людей это кажется интуитивно очевидным, а половине — нет. С отрезками и плоскостями такой проблемы не возникает.

[Kamil]

Знаете ли вы, что сумма всех натуральных чисел (1+2+3+...) равна −1/12?
...(wiki/ru) Ряд_из_натуральных_чисел

Хотите прикол?
Известно, что любое положительное натуральное число можно представить в виде суммы единиц, число которых равно его модулю. 1=1, 2=1+1, 3=1+1+1 и т.д.
Представим ряд из натуральных чисел: 1+2+3+... в виде 1+(1+1)+(1+1+1)....  Убрав скобки, получим  1+1+1+1+1+1+....
Разум говорит, что ничего не поменялось, и в обоих случаях сумма должна быть равна вычисленному для  1+2+3+... значению  - 1/12. А нетушки: 1+1+1+1...=-1/2

[kemerover]

Потому что когда по Абелю суммируешь нельзя скобки раскрывать.