Помощь по математике (анализ)

Марбол · октября 26, 2010, 22:06

Здравствуйте!

Смотрите, я составляю комплексный потенциал в виде U+Vi=Qcosф*lnZ, где U - потенциальная функция, V - функция тока, Z - комплексное переменное, Q - обильность источника; ф=arg(Z). Соответственно, U=Qcosф*lnR, V=Qфcosф, где обозначено R=|Z|. Обратите внимение уже на функцию тока при V=a=const: это два пучка прямых фi=const возле направлений ф=+п/2, -п/2 и заодно с ними два луча в промежутке (п/2, =п/2).
Перейдём к скоростям: dU/dR=Qcosф/R - радиальная составляющая; по-моему, линии её постоянного значения соответствуют пучку окружностей в правой полуплоскости, проходящих через 0 касательно к прямой ф=+,-п/2. (dU/dф)/R=-Qsinф/R*lnR - тангенциальная составляющая; по-моему, линии её постоянного значения состоят из вложенных друг в друга овалов в секторе (0<ф<п; 1<R<+inf) и овалов, имеющих общую точку 0, в секторе (0<ф<п; 0<R<1). То есть линии равной радиальной скорости не перпендикулярны линиям равной тангенциальной скорости??

Марбол · октября 28, 2010, 16:10

Здравствуйте!

Написанный мной потенциал, кто бы мог подумать, не отвечает условиям Коши-Римана:
dU/dR=Q/R*cosф,
1/R*dV/dф=Q/R*(cosф-фsinф)<>dU/dR;
1/R*dU/dф=-Q/R*lnR*sinф,
-dV/dR=-0<>1/R*dU/dф, - так что пусть идёт лесом. Но, конечно же, его можно исправить в этом отношении.

RawonaM · октября 31, 2010, 23:51

$\mathop{\lim}\limits_{x \to \infty}x(\sqrt{x^2+1) - x)}=\frac{1}{2}$
Нужно сказать верно или неверно. Я думаю, что верно, но доказать не могу.

Не могу понять хотя б примерно в какую сторону копать, в 12 ночи голова ваще не варит

П.С. Нашел классный способ вводить формулы!

RawonaM · ноября 1, 2010, 00:10

Вот еще:
$\mathop{\lim}\limits_{x \to 4}(\frac{\sqrt{x}}{x-4}-\frac{1}{\sqrt{x}-2})=\infty$

Знаю, что неверно, но как это показать фиг знает.

Ильич · ноября 1, 2010, 00:34

Цитата: RawonaM от октября 31, 2010, 23:51Нашел классный способ вводить формулы!

Ну так напишите свою формулу без ошибок.

Ильич · ноября 1, 2010, 00:44

Цитата: RawonaM от ноября 1, 2010, 00:10
Вот еще:
$\mathop{\lim}\limits_{x \to 4}(\frac{\sqrt{x}}{x-4}-\frac{1}{\sqrt{x}-2})=\infty$

Знаю, что неверно, но как это показать фиг знает.

Сложим дроби. Под знаком предела стоит (-2/(х-4)). Предел слева плюс бесконечность, предел справа минус бесконечность.

Тайльнемер · ноября 1, 2010, 05:43

Цитата: RawonaM от октября 31, 2010, 23:51
$\mathop{\lim}\limits_{x \to \infty}x(\sqrt{x^2+1) - x)}=\frac{1}{2}$

Равонам, у вас скобки расставлены как-то странно. Видимо, должно быть так:
$\mathop{\lim}\limits_{x \to \infty}x\left( \sqrt{x^2+1}-x \right)=\frac12$
Да?

Тайльнемер · ноября 1, 2010, 07:17

Если так, тогда:

$\lim_{x\to+\infty}x\left(\sqrt{x^2+1}-x\right) = \left(\lim_{x\to+0} \frac{1}{x\sqrt{x^2+1}-x^2} \right)^{-1} =$
$= \left(\lim_{x\to+0} \frac{x\sqrt{x^2+1}+x^2}{x^2\left(x^2+1\right)-x^4} \right)^{-1} = \left(\lim_{x\to+0} \frac{x\sqrt{x^2+1}+x^2}{x^2} \right)^{-1} =$
$= \left(1+\lim_{x\to+0} \frac{\sqrt{x^2+1}}{x} \right)^{-1} = \left(1+\sqrt{\lim_{x\to+0} \frac{x^2+1}{x^2}} \right)^{-1} =$
$= \left(1+\sqrt{1} \right)^{-1} = 2^{-1} = \frac 1 2$

Квас · ноября 1, 2010, 09:20

sitmo — в закладки!

Та же идея, что у Тайльнемера:
$\lim_{x\to+\infty} x \left( \sqrt{x^2+1} - x \right) =\lim_{x\to+\infty} \frac{x \left( \sqrt{x^2+1} - x \right)\left(\sqrt{x^2+1} + x\right)}{\sqrt{x^2+1} + x }=\\ =\lim_{x\to+\infty} \frac{x\left( \left( x^2+1\right)-x^2\right)}{\sqrt{x^2+1} + x }=\lim_{x\to+\infty} \frac{x}{\sqrt{x^2+1} + x } = \lim_{x\to+\infty} \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}} +1 } = \frac12$
Приём называется «умножение на сопряженное», то есть на выражение с радикалом, но с другим знаком, чтобы воспользоваться «разностью квадратов». Но это школьный уровень. Продвинутый первокурсник может решить с помощью формулы Тейлора:
$\lim_{x\to+\infty} x \left( \sqrt{x^2+1} - x \right) = \lim_{x\to+\infty} x^2 \left( \sqrt{1+\frac{1}{x^2}} -1 \right) =\\= \lim_{x\to+\infty} x^2 \left(\left(1 + \frac{1}{2x^2} + o\left(\frac{1}{x^2}\right) \right)-1 \right)= \lim_{x\to+\infty} \left(\frac12 + o(1)\right) = \frac12$

RawonaM · ноября 1, 2010, 09:39

Цитата: Тайльнемер от ноября 1, 2010, 05:43
Цитата: RawonaM от октября 31, 2010, 23:51
$\mathop{\lim}\limits_{x \to \infty}x(\sqrt{x^2+1) - x)}=\frac{1}{2}$
Равонам, у вас скобки расставлены как-то странно. Видимо, должно быть так:
$\mathop{\lim}\limits_{x \to \infty}x\left( \sqrt{x^2+1}-x \right)=\frac12$
Да?

Да, благодарю

RawonaM · ноября 1, 2010, 11:55

$\lim_{x\to+\infty}x\left(\sqrt{x^2+1}-x\right) = \left(\lim_{x\to+0} \frac{1}{x\sqrt{x^2+1}-x^2} \right)^{-1} =$
А это вы как сделали? Я такого не знаю, вроде бы...
+0 это 0 имеется в виду?

RawonaM · ноября 1, 2010, 12:09

Цитата: Ильич от ноября 1, 2010, 00:44
Сложим дроби. Под знаком предела стоит (-2/(х-4)). Предел слева плюс бесконечность, предел справа минус бесконечность.

Спасибо, разобрался

RawonaM · ноября 1, 2010, 12:14

$\lim_{x\to+\infty} x \left( \sqrt{x^2+1} - x \right) =\lim_{x\to+\infty} \frac{x \left( \sqrt{x^2+1} - x \right)\left(\sqrt{x^2+1} + x\right)}{\sqrt{x^2+1} + x }=\\ =\lim_{x\to+\infty} \frac{x\left( \left( x^2+1\right)-x^2\right)}{\sqrt{x^2+1} + x }=\lim_{x\to+\infty} \frac{x}{\sqrt{x^2+1} + x } = \lim_{x\to+\infty} \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}} +1 } = \frac12$
А отсюда случайно не следует ли, что и при х в минус бесконечность тоже предел = 1/2?

Тайльнемер · ноября 1, 2010, 14:36

Цитата: RawonaM от ноября 1, 2010, 12:14
А отсюда случайно не следует ли, что и при х в минус бесконечность тоже предел = 1/2?

Нет.
$\frac{x}{\sqrt{x^2+1}+x}= \begin{cases} \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}+1},&x\geqslant 0\\ \frac{1}{-\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}+1},&x\leqslant 0 \end{cases}$
Поэтому предел при x → −∞ равен −∞

Тайльнемер · ноября 1, 2010, 14:46

Цитата: RawonaM от ноября 1, 2010, 11:55
$\lim_{x\to+\infty}x\left(\sqrt{x^2+1}-x\right) = \left(\lim_{x\to+0} \frac{1}{x\sqrt{x^2+1}-x^2} \right)^{-1} =$
А это вы как сделали? Я такого не знаю, вроде бы...
+0 это 0 имеется в виду?

«+0» — это опечатка, извините. Там везде x → +∞.

RawonaM · ноября 1, 2010, 21:10

Опять вечер и опять вдруг становится много чего непонятно...
Смотрите, известно, что:
$\mathop{\lim}\limits_{x \to 0}\frac{sin x}{x}=1$

Тогда выходит, что если например x=ay, а любое число, то:
$\mathop{\lim}\limits_{y \to 0}\frac{sin ay}{ay}=1$

Почему когда я рисую на графическом калькуляторе sin(2x)/2x, там четко видно, что предел в нуле? Как это возможно?

arseniiv · ноября 1, 2010, 21:11

Цитата: RawonaM от октября 31, 2010, 23:51
П.С. Нашел классный способ вводить формулы!

А mathURL видали? Возможно, это немного не то, но он хранит все эти формулы у себя, а картинка имеет простую маленькую ссылочку.

RawonaM · ноября 1, 2010, 21:21

$\mathop{\lim}\limits_{x \to \infty}\frac{sin(ax)}{ax}=0$
Верно ли?
Без а так очевидно верно. А уж после последнего примера, я уж не знаю.

RawonaM · ноября 1, 2010, 21:24

Цитата: arseniiv от ноября 1, 2010, 21:11
ЦитироватьП.С. Нашел классный способ вводить формулы!
А это mathURL[/utl] видали? Возможно, это немного не то, но он хранит все эти формулы у себя, а картинка имеет простую маленькую ссылочку.

Плохое решение. Рано или поздно эти ссылки работать не будут. Сколько памяти он тратит просто так?
Лучше закодировать формулу прямо в ссылку и на ходу генерировать картинку, как там. Иногда мне даже не нужно ходить на тот сайт, я просто сам ссылку редактирую и все.

arseniiv · ноября 1, 2010, 21:29

Цитата: RawonaM от ноября 1, 2010, 21:24
Лучше закодировать формулу прямо в ссылку и на ходу генерировать картинку, как там. Иногда мне даже не нужно ходить на тот сайт, я просто сам ссылку редактирую и все.

А, вот там как (я только в закладки доабвил, чтобы потом разбираться). Ну да. Но, думаю, оба подхода имеют область применимости и область неприменимости.

Цитата: RawonaM от ноября 1, 2010, 21:21
$\mathop{\lim}\limits_{x \to \infty}\frac{\sin ax}{ax}=0$
Верно ли?
Без а так очевидно верно. А уж после последнего примера, я уж не знаю.

Верно, но я уже забыл пределы (это плохо, конечно, но это свойство моей памяти, хотя со справочником, а иногда и просто с интуицией получается правильно; так что знаю, что пишу

), у нас щас кратные интегралы.

Ильич · ноября 1, 2010, 21:32

Цитата: RawonaM от ноября 1, 2010, 21:10
Почему когда я рисую на графическом калькуляторе sin(2x)/2x, там четко видно, что предел в нуле? Как это возможно?

Где-то ошибаетесь. Может быть, скобки не поставили sin(2x)/(2x)

RawonaM · ноября 1, 2010, 21:47

Цитата: Ильич от ноября 1, 2010, 21:32
ЦитироватьПочему когда я рисую на графическом калькуляторе sin(2x)/2x, там четко видно, что предел в нуле? Как это возможно?
Где-то ошибаетесь. Может быть, скобки не поставили sin(2x)/(2x)

Действительно, так и есть. Спасибо, а то думал я уже с ума схожу

RawonaM · ноября 1, 2010, 21:51

$\mathop{\lim}\limits_{x \to 0}(\sqrt[3]{x-8}+2)sin(1/x)$
Как можно высчитать такой предел? Или доказать его несуществование, хотя по-моему он вполне существует себе.

Bhudh · ноября 1, 2010, 22:00

http://www.wolframalpha.com/input/?i=lim (((x-8)^(1/3)+2)sin(1/x))

Квас · ноября 1, 2010, 22:29

Если написать \sin (с пробелом в конце), то получится красивый синус.

Цитата: RawonaM от ноября 1, 2010, 21:51
Как можно высчитать такой предел?

Первый множитель стремится к 0, второй ограничен: произведение бесконечно малой на ограниченную есть бесконечно малая.

Лингвофорум

Помощь по математике (анализ)

Марбол

Марбол

RawonaM

RawonaM

Ильич

Ильич

Тайльнемер

Тайльнемер

Квас

RawonaM

RawonaM

RawonaM

RawonaM

Тайльнемер

Тайльнемер

RawonaM

arseniiv

RawonaM

RawonaM

arseniiv

Ильич

RawonaM

RawonaM

Bhudh

Квас

Быстрый ответ