Лингвофорум

Я боюсь, эта интуитивность включается только для тех, кто знает, что такое касательная, а это уже чисто математическое понятие, тоже неинтуитивное. Задним числом отматывать это представление в те года, когда человек не имеет понятия о том, что такое касательная, нечестно.

Для меня куда интуитивным было бы представление, когда хотя бы брали среднее между всеми касательными к каждой точке кривой (я думаю, для дифференцируемых функций это возможно вычислить). Тогда для четверти окружности это будет 45 градусов. А брать единственную точку кривой и считать, что угол - это угол к касательной в этой точке - по мне это, как говорил великий антрополог, тётто. Неинтуитивно.

Цитата: злой от марта 22, 2021, 21:23
Я боюсь, эта интуитивность включается только для тех, кто знает, что такое касательная, а это уже чисто математическое понятие, тоже неинтуитивное.

Его для этого даже знать не надо. Оно само по себе интуитивное, и автоматически возникает в голове, как только встаёт задача подобного рода про измерение угла.

Цитата: злой от марта 22, 2021, 21:28
Для меня куда интуитивным было бы представление, когда хотя бы брали среднее между всеми касательными к каждой точке кривой (я думаю, для дифференцируемых функций это возможно вычислить). Тогда для четверти окружности это будет 45 градусов.

А вот это уже в самом деле какая-то чисто математическая абстракция, непонятно для чего нужная, и уж никак не интуитивная. Ну, для многоугольника с криволинейными отрезками это будут просто углы, если заменить криволинейные отрезки на обычные, прямолинейные. Но нафига? Нам же интересны другие углы именно между криволинейными отрезками, а не какими-то проведёнными через их концы прямолинейными. А если кривая куда-то в бесконечность уходит, то как такое среднее посчитать в общем случае и какой его, так сказать, физический смысл вообще?

Цитата: злой от марта 22, 2021, 21:28
А брать единственную точку кривой и считать, что угол - это угол к касательной в этой точке - по мне это, как говорил великий антрополог, тётто. Неинтуитивно.

Так это ж не какая попало точка, а точка пересечения. Естественно же интересоваться углом в первую очередь именно в этой точке - где обе кривые/прямые реально присутствуют, а не между проводимыми непонятно откуда непонятно куда построениями, тем более ещё как-то усреднёнными.

Цитата: Toman от марта 22, 2021, 22:03
какой его, так сказать, физический смысл вообще?

А какой физический смысл угла к касательной в точке? Так мы, по крайней мере, берём в оборот всю фигуру, а не одну точку.

Цитата: Toman от марта 22, 2021, 22:03

Цитата: злой от Я боюсь, эта интуитивность включается только для тех, кто знает, что такое касательная, а это уже чисто математическое понятие, тоже неинтуитивное.

Его для этого даже знать не надо. Оно само по себе интуитивное, и автоматически возникает в голове, как только встаёт задача подобного рода про измерение угла.

У меня не возникает. Критическое мышление не даёт. Фигура - это вся фигура целиком, а не её часть, и тем более не дополнительное построение к отдельно взятой, пусть даже особенной точке.

Цитата: Janko от марта 22, 2021, 17:16

Цитата: kemerover от марта 22, 2021, 16:17
Давать это семилетним детям, а потом говорить им, что верный ответ «нет», — не нормально.

Цитата: From_Odessa от февраля 26, 2021, 09:22
В вопросе говорится: «Правда или ложь? Эта фигура имеет два прямых угла. Объясните свой ответ».

Простите, kemerover: на какую часть вопроса кто-то говорил, что верный ответ «нет»?

В заглавном же посте в этой теме.

Цитата: From_Odessa от февраля 26, 2021, 09:22
Йейтс позже нашел в интернете правильный ответ на вопрос. Авторы домашнего задания считали, что утверждение ложно. Они объяснили, что дети могут приложить фигуру к углу страницы тетради и понять, что у них получается не прямой угол.

Несмотря на найденные доказательства, доктор математических наук не согласился с ними. Он отметил, что при увеличении масштаба можно будет увидеть, что касательные к полукругу в данной точке будут составлять прямой угол с диаметром. Йейтс пообещал показать этот сложный вопрос своим студентам в университете.

Цитата: Janko от марта 22, 2021, 17:16
А что не так с терминологией и контекстом в логике начальной геометрии по поводу угла? (Мне действительно интересно.)

Что два отрезка образуют угол только если мысленно продолжить их до лучей

Цитата: Ömer от марта 22, 2021, 17:23
Как вы помните, есть функции, интегрируемые по Риману, и не интегрируемые по Лебегу, и наоборот).

Вообще таки, нет. Функция, интегрируема по Риману, интегрируема и по Лебегу

Цитата: Ömer от марта 22, 2021, 17:23
я спрошу "по какому определению"

Есть только одно определение

Цитата: Ömer от марта 22, 2021, 17:23
По Евклидову определению (которое, как вы правильно заметили, нужно подправить на случай отрезков) на картинке углов нет.

Почему? Есть, там же сказано только про лучи, ну так вот это лучи касательных и есть в данном случае, править ничего не нужно. А если и нужно, то что вам мешает так же его подправить как и для треугольников?

Цитата: Agnius от марта 23, 2021, 02:10
Вообще таки, нет. Функция, интегрируема по Риману, интегрируема и по Лебегу

Есть функции, имеющие несобственный интеграл Римана, но не интегрируемые по Лебегу. (Контрпримеры в анализе, стр. 141).

Что ещё раз подтверждает, что нужно уточнять, какой интеграл имеется в виду.

Цитата: Agnius от марта 23, 2021, 02:10
Есть только одно определение

И какое оно?

В Гильбертовом пространстве (векторном пространстве со скалярным произведением), угол определяется как cos(theta) = (u,v)/ (||u||*||v||). К примеру, можно находить углы между функциями, квадратично интегрируемыми по Лебегу. Это обобщение Евклидового угла.

Цитировать
Почему? Есть, там же сказано только про лучи, ну так вот это лучи касательных и есть в данном случае, править ничего не нужно. А если и нужно, то что вам мешает так же его подправить как и для треугольников?

Я и имел в виду для треугольников. Но это неважно, я честно говоря и не помню, есть ли в Евклидовой геометрии оговорки насчёт отрезков.

Цитата: злой от марта 22, 2021, 22:31
А какой физический смысл угла к касательной в точке?

Его величина показывает, насколько меняется направление ломаной в точке излома. У ломаных из отрезков прямых оно только в этих точках излома и меняется. Если есть отрезки кривых, то изменение направления, конечно, происходит и на самих этих отрезках - но в этом случае вроде логично измерять отдельно углы в точках излома (как бы некая характеристика каждой конкретной точки излома) и углы поворота на отрезках кривых (характеристика каждого конкретного отрезка), которые в сумме и составят общий угол поворота ломаной. Брать же для каждого отрезка кривой некоторое среднее направление и измерять углы между ними у соседних отрезков мне представляется не просто искусственным, а даже несколько инопланетным. Тем более, в случае незамкнутой ломаной они в сумме не дадут общего угла поворота всей ломаной - нужно будет ещё добавить половинки углов поворота крайних отрезков.

Цитата: злой от марта 22, 2021, 22:31
Так мы, по крайней мере, берём в оборот всю фигуру, а не одну точку.

А вот зачем это делать, если интересует только какой-то один угол, как раз непонятно. Если у нас какой-нибудь многоугольник, нас не должна трогать вся фигура, чтобы измерить только какой-то один угол.

Цитата: злой от марта 22, 2021, 22:31
У меня не возникает. Критическое мышление не даёт. Фигура - это вся фигура целиком, а не её часть, и тем более не дополнительное построение к отдельно взятой, пусть даже особенной точке.

Так нас же и интересует некоторая характеристика, имеющая отношение именно к этой особенной точке. Про фигуру целиком мы и так, допустим, знаем, что у замкнутой фигуры суммарный угол поворота кратен 360 градусам, а если без самопересечений - то просто равен 360 градусам. А вот на какие углы этот суммарный разбить? Мне вот представляется совершенно естественным разбить так, как описано выше - на углы в точках излома и углы поворота на отрезках. А не между какими-то непонятным образом произвольно выбранными точками где-то на отрезках.

 

Цитата: Toman от марта 23, 2021, 06:25
Так нас же и интересует некоторая характеристика, имеющая отношение именно к этой особенной точке

Простите, не нас, а вас (с) 

Если брать лучи, то мера угла между этими лучами будет одинаковой что в точке их пересечения, что на расстоянии пятьдесят мегапарсек от этой точки. Соответственно, для меня интуитивно угол между двумя линиями (прямыми, кривыми) - это некая мера между линиями, взятыми целиком. В строгом смысле между кривыми такую характеристику между кривыми однозначно задать проблемно, это будет что-то крайне сложное, в пределе приближающееся непосредственно к изображению этих линий. А вот взятие меры угла в точке для меня как раз представляется чем-то искусственным.

Субъективные ощущения - вообще такая вещь, о правильности которой рассуждать чаще бессмысленно. Иногда в рассуждениях человека можно найти ошибки, и указать ему на них, тогда человек может начать воспринимать иначе. Если же вопрос упирается в то, что чем считать (как мы субъективно понимаем угол и т.п.), то тут уже вопрос чистого субъективизма. Математики тоже не боги, их понимание может быть как удачным формулированием того, с чем преобладающее большинство согласно, просто кто-то находит способ хорошо выразить это словами, так и "постановлением съезда", когда дают такое определение, которое всех более-менее устраивает. Как мне кажется, вот это определение криволинейного угла, на которое ссылались выше - это как раз не отражение "предвечной истины", а именно "постановление съезда". Ну а может это я такой корявый,  всем интуиция подсказывает одно и то же, а мне не подсказывает. Но судя по тому, что в теме и кроме меня есть несогласные, то, как минимум, интуиция не у всех работает одинаково.

Интуиция это дело наживное. Вот вам мотивирующий пример: если кинуть мяч под углом, то он, при отсутсвии воздействующих сил, полетит по прямой и отскочит под таким же углом. Если допустить, что на него действует какая-то сила (например, гравитация), то он полетит по кривой, а отскочит по касательной к этой кривой в момент удара.

Цитата: kemerover от марта 23, 2021, 09:12
то он полетит по кривой, а отскочит по касательной к этой кривой

Шо, простите?

О, снова дрожжей подкинули. Вроде ж уже выяснили, что в зависимости от принятых определений можно получить несколько верных ответов:
1. Прямого угла нет и не может быть никогда.
2. Прямой угол есть.
3. Есть угол, бесконечно стремящийся к 90 градусам, но всё же он не прямой.
Может ещё какие-то варианты упустил?

А британскому учёному мужу при решении задачи следовало исходить из определения, данного в учебнике его дочери.

Цитата: злой от марта 22, 2021, 21:23
Я боюсь, эта интуитивность включается только для тех, кто знает, что такое касательная

Мне кажется, в семь лет большинство людей уже подозревает, что такое «касаться» — хотя бы из выражения «Это тебя не касается!»
И задание как будто предлагало подумать над вопросом и поделиться своим мнением, а не требовало дать «правильный» (с какой бы то ни было точки зрения) ответ.

Цитата: злой от марта 23, 2021, 07:45
Как мне кажется, вот это определение криволинейного угла, на которое ссылались выше - это как раз не отражение "предвечной истины", а именно "постановление съезда".

Это общественный договор

Цитата: Agnius от марта 23, 2021, 02:10

Цитата: Janko от марта 22, 2021, 17:16
А что не так с терминологией и контекстом в логике начальной геометрии по поводу угла? (Мне действительно интересно.)

Что два отрезка образуют угол только если мысленно продолжить их до лучей

Я верно понимаю, что это формулировка для начинающих и что в реальности наука на этот вопрос смотрит иначе?

Цитата: kemerover от марта 22, 2021, 22:50
Йейтс позже нашел в интернете правильный ответ на вопрос. Авторы домашнего задания считали, что утверждение ложно.

Не правильный, а правильный с точки зрения авторов домашнего задания. Которую специалисты, как мы видим, отнюдь не разделяют (и которая меня не убедила — как и самоуверенность авторов задания).

Цитата: KW от марта 23, 2021, 09:26
Вроде ж уже выяснили, что в зависимости от принятых определений можно получить несколько верных ответов

Исходя из нескольких разных определений — несколько разных ответов, а как же иначе?
Можно также расщедриться и сформулировать ещё одно, собственное определение, отличное от других. Однако «верным» ответ всегда будет только в зависимости от.
(Мне не «в падлу» ориентироваться в своём мнении на мнение большинства специалистов. Но, конечно, никто не обязан поступать как я.)

Цитата: KW от марта 23, 2021, 09:26
А британскому учёному мужу при решении задачи следовало исходить из определения, данного в учебнике его дочери.

Учебники не гарантированы от глупостей — как показывает практика.

Цитата: kemerover от марта 23, 2021, 09:12
Интуиция это дело наживное. Вот вам мотивирующий пример: если кинуть мяч под углом, то он, при отсутсвии воздействующих сил, полетит по прямой и отскочит под таким же углом. Если допустить, что на него действует какая-то сила (например, гравитация), то он полетит по кривой, а отскочит по касательной к этой кривой в момент удара.

Главное, чтобы никто никого не учил, чья интуиция правильнее, и какая она должна быть. Тогда нормально всё.

Цитата: Janko от марта 23, 2021, 10:48

Цитата: злой от Я боюсь, эта интуитивность включается только для тех, кто знает, что такое касательная

Мне кажется, в семь лет большинство людей уже подозревает, что такое «касаться» — хотя бы из выражения «Это тебя не касается!»

О том, что значит касательная в математическом смысле, я узнал в седьмом или восьмом классе школы, когда мы проходили производную. До этого я не подозревал, что к кривой линии зачем-то нужно прикладывать прямую.

Цитата: злой от марта 23, 2021, 11:56
когда мы проходили производную

В школьном курсе геометрии есть также понятие касательной к окружности... но гугл говорит, что его тоже проходят довольно поздно, аж в 8-ом классе.

Цитата: злой от марта 23, 2021, 11:56
что значит касательная в математическом смысле

Тангенс угла наклона касательной в точке касания — это ж геометрический смысл, не?

Цитата: Ömer от марта 23, 2021, 12:05
В школьном курсе геометрии есть также понятие касательной к окружности... но гугл говорит, что его тоже проходят довольно поздно, аж в 8-ом классе.

Касательная к окружности определяется проще — это прямая, которая имеет с данной окружностью ровно одну общую точку.

С произвольной кривой так не получится.

Цитата: Andrey Lukyanov от марта 23, 2021, 12:17
Касательная к окружности определяется проще — это прямая, которая имеет с данной окружностью ровно одну общую точку.

... и образует с ее радиусом перпендикуляр, ёк-макарёк! 

Цитата: Jumis от марта 23, 2021, 12:21
... и образует с ее радиусом перпендикуляр, ёк-макарёк! 

Это условие излишнее.

Цитата: злой от марта 23, 2021, 11:53
Главное, чтобы никто никого не учил, чья интуиция правильнее, и какая она должна быть.

Насчёт интуиции я согласен: это не предмет для споров. А определение — вполне предмет.

Цитата: злой от марта 23, 2021, 11:56
О том, что значит касательная в математическом смысле, я узнал в седьмом или восьмом классе школы

А у вас был период, когда вы знали слово «касательная», но не понимали, что оно значит?

Цитата: Andrey Lukyanov от марта 23, 2021, 12:17
Касательная к окружности определяется проще — это прямая, которая имеет с данной окружностью ровно одну общую точку.

Тем лучше для нас в плане ответа на топикстартовое домзад: как я понял, в нём эта общая точка должна находиться на пересечении диаметра с окружностью. (Если только схематический рисунок не вводит в заблуждение и это действительно диаметр и полукруг, а не хорда и сегмент.

Цитата: Janko от марта 23, 2021, 12:30
Тем лучше для нас в плане ответа на топикстартовое домзад: как я понял, в нём эта общая точка должна находиться на пересечении диаметра с окружностью.

Для младшего школьника это слишком сложно — сначала достроить полукруг до полного круга и потом ещё понять, почему касательная должна быть перпендикулярна диаметру.

Цитата: Ömer от марта 23, 2021, 02:54
Есть функции, имеющие несобственный интеграл Римана, но не интегрируемые по Лебегу. (Контрпримеры в анализе, стр. 141).

Что ещё раз подтверждает, что нужно уточнять, какой интеграл имеется в виду.

Да, точно 

Цитата: Ömer от марта 23, 2021, 02:54
И какое оно?

Для конечномерных геометрий все определения полностью эквивалентны, так что берите самое стартовое (про лучи)

Цитата: Ömer от марта 23, 2021, 02:54
В Гильбертовом пространстве (векторном пространстве со скалярным произведением), угол определяется как cos(theta) = (u,v)/ (||u||*||v||). К примеру, можно находить углы между функциями, квадратично интегрируемыми по Лебегу. Это обобщение Евклидового угла.

Согласен, но угол для кривых это никакое не обобщение угла для прямых, а просто следствие определения. Да и что касается угла в функциональных пространствах, его же можно понимать как обычный угол в бесконечномерном (даже континуальном) евклидовом пространстве (функций), мы его вычисляем по формулам для обычных геометрических углов, так что это еще вопрос, является ли это обобщением. Вот по мне что такое обобщение, когда мы из более узкого определения не можем напрямую получить более широкое, а наоборот можем.

Цитата: Ömer от марта 23, 2021, 02:54
Я и имел в виду для треугольников. Но это неважно, я честно говоря и не помню, есть ли в Евклидовой геометрии оговорки насчёт отрезков.

Никаких оговорок не нужно, т.к. речь идет про мысленные лучи

Цитата: злой от марта 23, 2021, 11:53
Главное, чтобы никто никого не учил, чья интуиция правильнее, и какая она должна быть. Тогда нормально всё.

Вообще таки учат, на физ-мат факультетах, иначе бы у нас не было ученых. Т.к. многие вещи в мире противоречат нашей интуиции, например что два разлетающихся по прямой космонавта будут наблюдать замедление времени для друг друга, или что точечная квантовая частица не находится в какой-то неизвестной нам точке пространства, а размазана по всему пространству согласно своей волновой функции, или что пустое пространство может искривляться, и т.д. и т.п. 

Цитата: злой от марта 23, 2021, 11:53
О том, что значит касательная в математическом смысле, я узнал в седьмом или восьмом классе школы, когда мы проходили производную. До этого я не подозревал, что к кривой линии зачем-то нужно прикладывать прямую.

Что такое производная на интуитивном уровне понятно всем, это просто скорость. Вот едет велосипедист, постоянно разгоняясь, и очевидно, что у него в каждый момент есть определенная скорость, которая постоянно растет.

Цитата: Andrey Lukyanov от марта 23, 2021, 12:17
С произвольной кривой так не получится.

Почему не получиться? Если ограничится локальностью.

Цитата: Agnius от марта 23, 2021, 13:13

Цитата: Andrey Lukyanov от марта 23, 2021, 12:17
С произвольной кривой так не получится.

Почему не получиться? Если ограничится локальностью.

Как Вы отличите касательную от пересекающей линии?