Лингвофорум

Цитата: RawonaM от декабря 31, 2010, 20:15
А я не слышал вообще ничего про этот сайт.

А как ты на него тогда попал?

Цитата: myst от декабря 31, 2010, 21:02
А как ты на него тогда попал?

Бод ссылку давал в этой теме.

Цитата: RawonaM от декабря 31, 2010, 20:54
Если f дифференцируема дважды и в х0 есть локальный максимум, то f'(x0)=0 и f''(x0)<0.

Наоборот: это достаточное условие, а не необходимое. Пример: f(x) = -x^4, x0 = 0.

Цитата: Квас от декабря 31, 2010, 21:09

ЦитироватьЕсли f дифференцируема дважды и в х0 есть локальный максимум, то f'(x0)=0 и f''(x0)<0.

Наоборот: это достаточное условие, а не необходимое. Пример: f(x) = -x^4, x0 = 0.

Хм... Получается вторая производная тоже ноль?
По идее если производить до упора, то приходим таки к производной <0, по цепочке можно вывести, что это локальный максимум самой верхней функции?

Цитата: RawonaM от декабря 31, 2010, 21:17
По идее если производить до упора, то приходим таки к производной <0, по цепочке можно вывести, что это локальный максимум самой верхней функции?

Контрпример: f(x) = x^3, x = 0. Зависит от чётности номера первой ненулевой производной: если номер нечётный, то экстремума нет. Всё становится очевидным, если воспользоваться формулой Тейлора.

Цитата: Квас от декабря 31, 2010, 21:23
Контрпример: f(x) = x^3, x = 0.

Контрпример чего? Так у него и максимума нет и не приходим ни к чему.
Тейлора еще не проходили. Блин, хочется уже все знать!

Если функция n-1 раз дифференцируема в окрестности точки a, а в самой точке есть n-я производная, то

Доказательство несложное, фактически из определения производной. (Если n-я производная существует в окрестности, то есть более внятные формулы для остаточного члена.)

Нас интересует, когда первые (n-1) производные обращаются в 0. Из формулы видим, что поведение функции f(x) совпадает с поведением простейшей степенной функции с точностью до бесконечно малой высокого порядка.

Что-то вставка формулы взбесилась. Плюс потерялся между f(a) и f'(a).

Цитата: RawonaM от декабря 31, 2010, 21:29
Контрпример чего? Так у него и максимума нет и не приходим ни к чему.

А, погодите.

Цитата: RawonaM от декабря 31, 2010, 21:17
По идее если производить до упора, то приходим таки к производной <0, по цепочке можно вывести, что это локальный максимум самой верхней функции?

А зачем нам верхняя? У нас есть функция, несколько производных которой обращаются в 0, и нам надо понять, что у неё с экстремумами.

Цитата: Квас от декабря 31, 2010, 21:41

У вас в последнем знаменателе опечатка — 2! вместо n!.

Если f дифференциируема в R и f' монотонна в R, то f' непрерывна.

Насколько я понимаю, это верно, потому что в производной функции не может быть непрерывности первого типа в принципе, если функция дифференцируема на всем R.

Цитата: RawonaM от декабря 31, 2010, 23:43
Если f дифференциируема в R и f' монотонна в R, то f' непрерывна.

Насколько я понимаю, это верно, потому что в производной функции не может быть непрерывности первого типа в принципе, если функция дифференцируема на всем R.

Ого! Кажется, верно. Но сначала надо скачать и глянуть Фихтенгольца. Кажется, была теорема Дарбу о том, что производная принимает промежуточные значения; при условии монотонности это означает отсутствие скачков.

А какие это «непрерывности k-го типа»?

Цитата: Квас от января  1, 2011, 00:04
Ого! Кажется, верно. Но сначала надо скачать и глянуть Фихтенгольца. Кажется, была теорема Дарбу о том, что производная принимает промежуточные значения; при условии монотонности это означает отсутствие скачков.

Да, из Дарбу как раз все эти ограничения выводятся.

Цитата: Квас от января  1, 2011, 00:04
А какие это «непрерывности k-го типа»?

Как это? Есть три типа: устраняемая (пер. мой), первого типа и второго типа. У вас они не так называются?

Тьфу. Имелась в виду не непрерывность, а прерывность как раз первого типа

Цитата: RawonaMБод ссылку давал в этой теме.

Что, правда в этой? А я уж и не помню... Хотя... 389 сообщений, немудрено забыть... Хотя помню, что меня на этот сайт myst привёл...

Цитата: RawonaM от января  1, 2011, 00:09
Тьфу. Имелась в виду не непрерывность, а прерывность как раз первого типа

Ага! По-русски это разрывы: устранимый разрыв, разрыв первого или второго рода. Кажется, устранимый был частным случаем разрыва первого рода.

Цитата: Квас от января  1, 2011, 00:11
Кажется, устранимый был частным случаем разрыва первого рода.

А у нас первый род определяется как разные односторонние пределы.

Цитата: RawonaM от января  1, 2011, 00:14
А у нас первый род определяется как разные односторонние пределы.

Кажется, у нас было условие, что оба конечные. Но, во‐первых, я неточно помню, а во-вторых, преподша могла наврать. Надо глянуть книжку какую-нить.

Цитата: Квас от января  1, 2011, 00:16

ЦитироватьА у нас первый род определяется как разные односторонние пределы.

Кажется, у нас было условие, что оба конечные. Но, во‐первых, я неточно помню, а во-вторых, преподша могла наврать. Надо глянуть книжку какую-нить.

Ну да, оба конечные и разные. Нулевой тип (это я так условно называю устранимую) — это оба конечные и одинаковые. Второй тип — все что не нулевой и не первый.

У меня такая задачка: дан полином четвертой степени (первый коэф 1) и дано, что в точке х0 есть корень и производная не равна нулю. Доказать, что есть по меньшей мере два корня.

Вполне логично и решаемо. Т.к. в точке х0 не локальный минимум или максимум (если бы был, то производная должна быть 0), до нее или после нее функция уходит в минус. Берем любую точку в минусе, при х стремится в плюс-минус бесконечность предел является плюс бесконечностью, значит с обоих сторон от этой точки есть как минимум по одному корню.

Меня смущает, что это несколько неуклюже, есть ощущение, что упустил из виду какую-то важную теорему. Писанины тут слишком много, а баллов за это задание мало, подозрительно. Подскажите

Цитата: RawonaM от января  1, 2011, 09:32
У меня такая задачка: дан полином четвертой степени (первый коэф 1) и дано, что в точке х0 есть корень и производная не равна нулю. Доказать, что есть по меньшей мере два корня.

Можно так доказать:

Так как у полиномов с вещественными коэффициентами невещественных корней всегда чётное число (комплексно-сопряжённое от корня является корнем той же кратности), то у нашего полинома чётной степени вещественных корней чётное число.
Из условия вещ. корней больше нуля штук, следовательно, их минимум 2 штуки.
А так как производная в x0 не равна нулю, то корень x0 имеет кратность 1, и, следовательно, эти два корня различны.

Цитата: Тайльнемер от января  1, 2011, 11:11
Так как у полиномов с вещественными коэффициентами невещественных корней всегда чётное число (комплексно-сопряжённое от корня является корнем той же кратности), то у нашего полинома чётной степени вещественных корней чётное число.

Спасибо за подсказку, но не проходит Потому что мы ни комплексные числа не определяли и нигде у нас еще не доказано, что невещественных корней сколько-то там.