Лингвофорум

Может, сначала представить дополнительным аргументом?

sin x − cos x = √2 (sin x cos (−π / 4) + cos x sin (−π / 4) ) = √2 sin (x − π / 4).

Ясно, что квадрат этого интегрировать легче, чем квадрат разности из косинусов и синусов!

Ещё можно позабавиться универсальной подстановкой.
Кстати, я не помню, писали ли тут про неё. Вроде забыли. t = tg (x / 2).

(А, Квас уже описал всё на той странице.)

Как найти первообразную к 1/(х^2+1)? А к 1/x?

Первое вообще не знаешь как подойти. Со вторым стандартное угадывание не срабатывает. Что-то странное нам задали.

Цитата: RawonaM от января 14, 2011, 21:27
Со вторым стандартное угадывание не срабатывает.

Найдите производную ln x.

Цитата: RawonaM от января 14, 2011, 21:27
Первое вообще не знаешь как подойти.

Найдите производную arctg x.

Не можем. лн в следующей главе только будет.

Цитата: RawonaM от января 14, 2011, 21:27
Как найти первообразную к 1/(х^2+1)? А к 1/x?

Как arseniiv и намекнул, это самые обычные табличные интегралы, которые надо на память знать.

Цитата: RawonaM от января 14, 2011, 21:33
Не можем. лн в следующей главе только будет.

Значит, ответ выражается через материал следующей главы.

Тогда никак. Но вы можете получить функциональное уравнение для первообразной и назвать первообразную, например, альфа-функцией (бета и гамма уже заняты, дельту как-то некрасиво, омегу страшновато), узнав много её свойств, но без логарифма её не выразить!

Опять опоздал.

Цитата: Квас от января 14, 2011, 21:37

ЦитироватьНе можем. лн в следующей главе только будет.

Значит, ответ выражается через материал следующей главы.

Такого не бывает. Нам дают задания, в которых можно использовать только пройденный материал и использовать другое запрещено.

Цитата: Квас от января 14, 2011, 21:37

ЦитироватьКак найти первообразную к 1/(х^2+1)? А к 1/x?

Как arseniiv и намекнул, это самые обычные табличные интегралы, которые надо на память знать.

Товарищи, не пугайте. Тут должен быть другой способ.

Вижу, что арсений опять украдкой добавил arctg, этого не было, когда я писал. ln нельзя, а тригорометрию можно.

Точно, арктангенс же!
А что с 1/х делать-то...

Ну тогда можно попытаться свести его к арктангенсному интегралу! Сам не пробовал, но вдруг та функция выражается через арктангенс (сходу не додумаюсь). Кстати, может, там не 1/x?

Выражается! Только нужна мнимая единица...
А, заодно до меня дошло, как преобразовывать интеграл. Увы, тут комплекснозначная функция вещественной переменной; например, мы не проходим в курсе просто анализа вообще (он закончился, к слову), хотя там формально можно, наверно, в широком классе случаев применять те же методы, что и в вещественном.
Нет, не до конца дошло, оказалось, но принцип тот же.

Не 1/х, а -1/х, если это имеет значение.

Нужно на отрезке [1,3]

Арсений, перестаньте редактировать сообщения после того как мы их читаем.

Ага! Определённый! Там будет замешано e. Попробуйте вывести что-то относительно такого интеграла от 1 до t как неизвестной функции от t. Тогда можно без логарифмов.

Перестал, просто там были маленькие изменения.

Вот этот текст:

Цитата: arseniiv от января 14, 2011, 21:53
А, заодно до меня дошло, как преобразовывать интеграл. Увы, тут комплекснозначная функция вещественной переменной; например, мы не проходим в курсе просто анализа вообще (он закончился, к слову), хотя там формально можно, наверно, в широком классе случаев применять те же методы, что и в вещественном.
Нет, не до конца дошло, оказалось, но принцип тот же.

маленькие изменения?

Почитал на форуме курса, тоже люди задаются вопросом, но пока официального ответа нет. Похоже таки это прокол составителей заданий.

Скорее всего. Но решение есть, и они очень удивятся, если вы сможете без логарифма. Ведь определённый интеграл — число, а не функция, которую потому не надо ни через что выражать, а только найти некоторые её свойства, чтобы вычислить (F(3) − F(1)).

Цитата: RawonaM от января 14, 2011, 22:03
Вот этот текст:

Цитировать<...>

маленькие изменения?

Там всё равно мало полезного.

Цитата: arseniiv от января 14, 2011, 22:10
Ведь определённый интеграл — число, а не функция, которую потому не надо ни через что выражать, а только найти некоторые её свойства, чтобы вычислить (F(3) − F(1)).

Так нужно неопределный интеграл найти.

Цитата: RawonaM от января 14, 2011, 22:13
Так нужно неопределный интеграл найти.

Кхм. Ну я и говорю про что. Давайте представим, что у нас есть загадочная функция F(t) = ∫[1; t] (−1 / x) dx. Определённый интеграл, который мы ищем, по свойствам определённого интеграла будет равен F(3) − F(1) = F(3) (ага, я лишнего там написал, потому что F(1) по определению F и свойствам опр. инт. равно 0). Теперь оста... так, я запутался. А всё было так замечательно.

Ой. Ой. Ой! Там в ответе не будет e. Да, решить без логарифмов никак.

Есть формула, известная одиннадцатиклассникам:

Этот интеграл — логарифм, закон природы. Если вы его через тригонометрические функции выразите, получится выражение логарифма через тригонометрические функции. Чушь, по-моему.

Цитата: arseniiv от января 14, 2011, 22:19
Теперь оста... так, я запутался. А всё было так замечательно.

Повеселили 

Одинадцатый и двенадцатый классы я прогулял и это было давно и неправда
Да похоже тут анахронизм в заданиях, надо будет разобраться с координатором курса.

И вообще я сегодня все утро ходил довольный и счастливый, что наконец-то вся эта груда формул и частных случаев и вообще не понятно зачем нужных терминов начинает выстраиваться в моей голове в ясную, четкую и взаимосвязанную теорию
Надо было так меня к вечеру обломать

Раз карты вскрылись, скажу, что можно было бы получить чсерез тригонометрию: примерно что-то такое: i(π − 2 arctg 2i), если небрежно обращаться с многозначностью.

Комплексных чисел нет у нас еще. Вообще скоро конец семестра. Может будут в матане 2.
Мне сказали, что разрешат пересдать линейную алгебру, если сдам с первого раза матан. Так что мои планы две недели погулять между семестрами и поехать в Монреаль за снегом отменяются, учеба требует жертв