Лингвофорум

Давайте я перескажу, читая. Там немного:

Решётка — алгеба на множестве M с двумя операциями ∩ и ∪, такими, что выполнены аксиомы решётки:
1. Идемпотентность.
2. Коммутативность.
3. Ассоциативность.
4. Поглощение: (a ∩ b) ∪ a = (a ∪ b) ∩ a = a.
(5. Дистрибутивность (взаимная) — тогда решётка дистрибутивная.)

∃0 ∈ M (∀a 0 ∩ a = 0) ⇒ 0 — нуль решётки или нижняя грань (ай; не граница!).
∃1 ∈ M (∀a 1 ∪ a = 1) ⇒ 1 — единица решётки или верхняя грань.
Ограниченная решётка имеет обе грани.

Потом там идут две теоремы: о единственности грани, когда она есть, и о
a ∪ b = b ⇔ a ∩ b = a. Следствие: a ∪ 0 = a ∩ 1 = a.

Если в ограниченной решётке a′ ∩ a = 0 & a′ ∪ a = 1, то a′ — дополнение a. Если ∀a ∃a′, то решётка наз-ся решёткой с дополнением.
Потом следующая теорема: «В ограниченной дистрибутивной решётке с дополнением дополнение единственно и инволютивно (a′′ = a), грани дополняют друг друга и выполняются законы де Моргана».

Потом вводится частичный порядок в решётке: a ≺ b ⇔ a ∩ b = a. Говорится, что традиционно как раз и начинают определять решётку с частичного порядка (можно это увидеть в википедии, но там мало).
Нижняя грань двух элементов a = inf(x, y) ⇔ a ≺ x & a ≺ y. Верхняя грань аналогично.
Следующая теорема показывает единственность верхней/нижней грани двух элементов, а ещё одна как раз доказывает, что частично упорядоченное множество с нижней и верхней гранями для любых двух элементов — решётка относительно них (они же бинарные операции).

Булева алгебра получается как раз дистрибутивной ограниченной решёткой со всеми дополняемыми элементами.
Идут примеры: булеан с объединением, пересечением и вычитанием из него; двоичная арифметика с &, ∨ и ¬; множество всех произведений некоторого набора взаимно-простых чисел с НОК, НОД и специально определённым дополнением. Тут частичный порядок n ÷ m.

Всё остальное уже говорится через главу про булевы алгебры и больше про функции.


Т.е. примеров просто решёток, не являющихся булевыми алгебрами, не приведено. Пример неограниченной решётки не получается пока, хотя это, может, кажется. Их 4 элементов нарисовал граф и колдую над ним.

Получилось ч. упорядоченное множество, но не все пары элементов имеют sup и inf. Попробую по-другому.

А по-другому получилась тернарная (решил обойтись тремя элементами) булева алгебра... Ограниченная и с дополнениями.

P.S. (Мысли вслух.) Т.е. решётка по каждой из бинарных операций в отдельности — коммутативная полугруппа. Интересно, кроме ℤ₂ много ещё решёток-колец?

Матерь божья... о чем говорят эти люди? Нам хватало и кратных интегралов

А что такое "производная в криволинейной системе координат" и кому от нее польза?

Цитата: злой от января 18, 2010, 17:31
Матерь божья... о чем говорят эти люди? Нам хватало и кратных интегралов

  Можно поговорить об определённых и неопределённых, если есть желание.      

Нууу, там надо на коэффициенты матрицы перехода умножать, какой-то. Точнее не интересовался. А нужна для того же, для чего обычная, но чтобы не перемещаться в координатах зря. Формулы-то громоздкие!

Кстати, может, мне сюда свой research выложить, вдруг кто-нибудь поможет? Хочу сделать программу рисования по сфере и отображения таких. Пока надо базу подвести. Почти вся подвелась уже, некоторое и сам выведу, но одно важное уравнение хотелось бы получить решённым... Или нерешаемым (тогда придётся подбирать функцию на глаз...)
Хотя нет. Рисование проекций сферических треугольников на плоскость (получатся фигуры, ограниченные дугами — кроме "бокового" расположения) интересует...

Цитата: Тася от января 18, 2010, 17:34

Цитата: злой от января 18, 2010, 17:31
Матерь божья... о чем говорят эти люди? Нам хватало и кратных интегралов

  Можно поговорить об определённых и неопределённых, если есть желание.   

...есть желание купить машину, но нет возможности. Есть возможность купить козу, но нет желания. Так випьем же за то, чтобы наши желания совпадали с нашими возможностями 

Цитата: злой от января 18, 2010, 17:44
Так випьем же за то, чтобы наши желания совпадали с нашими возможностями 

  Хороший тост 

Слов нет, очень хороший!

Оказалось, у меня всё страшнее. Не могу даже найти пересечение конуса и сферы. И всё ведь заданно! Сфера единичная, конус описанный, вершина его задана. И куча букв! Уравнение большого круга сферы потому что никак не получается... Что уж говорить о малых. А они тоже пригодились бы.

То есть, большие круги нипричём. Это я снова попутался. Там как раз малый будет.

Цитата: arseniiv от января 18, 2010, 18:22
Слов нет, очень хороший!
Оказалось, у меня всё страшнее. Не могу даже найти пересечение конуса и сферы. И всё ведь заданно! Сфера единичная, конус описанный, вершина его задана.

  Припоминулось... Мы в 11 классе тоже решали задачки с участием описанных фигур. Не такой сложности, наверное, как у Вас. Но дело было. 

Это я хотел найти видимую часть сферы. Потому такой конус получается. А она единичная для удобства.

Цитата: злой от января 18, 2010, 17:31
А что такое "производная в криволинейной системе координат" и кому от нее польза?

Это одно из первых понятий дифференциальной геометрии и геометрии многообразий.

Что такое криволинейная система координат?

Вообще, координаты - это некий набор функций точки, однозначно её определяющий. Например, для точки (x¹, x², ..., xⁿ) арифметического n-мерного пространства каждая из её стандартных координат xⁱ- это некоторое число, зависящее от точки, то есть функция точки.

Может оказаться, что положение точки удобнее задавать с помощью другого набора функций. Сначала рассмотрим простейший пример - открытую область Ω евклидова пространства. Предположим, что в некоторой задаче удобно задавать точки этой области с помощью набора функций q¹, q², ..., qⁿ. От этих функций мы требуем, чтобы они взаимно-однозначно (иначе говоря, биективно) отображали Ω на некоторую область Rⁿ и чтобы были гладкими. Тогда эти функции определяют некоторую систему криволинейных координат на Ω. Через каждую точку области Ω проходит n криволинейных координатных линий.

Пусть на  Ω задана некоторая гладкая функция f. Мы задаём себе вопрос: как будет меняться значение функции при малом изменении аргумента? В одномерном случае нам помогает производная. В многомерном случае мы приходим к частным производным: будем "сдвигать" нашу точку вдоль координатных линий и смотреть, как при этом ведёт себя функция. Для этого мы переписываем функцию в новых координатах: f(x) = f(q¹, q², ..., qⁿ) (вообще, стоило бы использовать разные обозначения для f в левой и правой части) и вычисляем частные производные ∂f/∂qⁱ: дифференцируем по одной из координат, считая остальные постоянными.

Таким образом, частные производные по криволинейным координатам естественно возникают, если в задаче используются криволинейные координаты, при этом особой специфики и нет. Вопрос лишь в том, как в каждой конкретной задаче удобнее задавать положение точки.

Частные производные - это частный случай производной по вектору. Рассмотрим точку x₀ области Ω, и рассмотрим гладкую кривую x = x(t), проходящую через эту точку (x(0) = x₀). На этой кривой функция f(x(t)) зависит только от одного параметра t, по которому её можно продифференцировать. Это значит, что мы ищем скорость изменения функции, когда точка движется по рассматриваемой кривой.

Из формулы производной сложной функции мгновенно получаем, что производная d/dt f(x(t)) | _{t = 0} выражается через частные производные функции f в точке x⁰ и через координаты вектора скорости X = (dx¹/dt(0), ..., dxⁿ/dt(0)) кривой. Это значит, что производная d/dt f(x(t)) | ^{t = 0} будет иметь одно и то же значение для любой кривой, проходящей через точку x⁰ и имеющей в этой точке вектор скорости X. Это значение производной называется производной по вектору X и обозначается Xf.

Вопрос: что такое частная производная в терминах производных по вектору? Частная производная ∂f/∂q¹ - это производная вдоль координатной кривой, которая в координатах q параметрически задаётся так: (t, q²(x₀), q³(x₀), ..., qⁿ(x₀)). Вектор скорости этой кривой обозначается ∂/∂q¹. Аналогично и с другими частными производными; векторы ∂/∂q¹, ... ∂/∂qⁿ образуют базис в Rⁿ.

Второй пример, который рассмотрим, - координаты на поверхности. Естественно, для задания точки на поверхности нужно меньше параметров, чем размерность объемлющего пространства. Например, мы на Земле свободно обходимся двумя (долгота и широта) вместо трёх. При этом часто не получается "хорошо" задать координаты на поверхности глобально: например, на полюсах Земли не определена долгота, а при переходе через меридиан 180 градусов долгота меняется скачком. Однако локально всё в порядке: в окрестностях Гринвича можно считать, что географические координаты - это просто координаты точки на плоскости. Поэтому на поверхностях работают с локальными координатами: каждая точка имеет окрестность, называемую картой, в которой определены локальные координаты. Набор карт, покрывающий всю поверхность, называется атласом. На сфере (и на Земле) можно задать атлас из двух карт, из одной - нельзя.

Производные по вектору (в частности, частные) определяются для случая поверхности аналогично. Но по каким векторам можно дифференцировать? Если x(t) - кривая на поверхности, то векторы скорости к этой кривой являются касательными к поверхности. Таким образом, дифференцировать в точке x₀ можно только по векторам, касательным к поверхности в точке x₀. В каждой точке поверхности касательные векторы образуют линейное пространство, размерность которого равна размерности поверхности (наглядно для сферы касательное пространство представляем как касательную плоскость, а касательные векторы - направленными отрезками, отложенными из точки касания). Стоит отметить, что в каждой точке касательное пространство своё, и складывать векторы из разных касательных пространств нельзя. Если k - размерность пространства, то в любой точке векторы ∂/∂q¹, ... ∂/∂q^k образуют базис в касательном пространстве.

Третий пример, подготовленный вторым, - гладкие многообразия. При моделировании различных систем состояние системы может описываться некоторым набором параметров. Например, положение маятника в трёхмерном пространстве описывается двумя параметрами: углами отклонения от вертикали и от некоторой вертикальной плоскости (те же широта и долгота). Легко видеть, что множество положений маятника можно отождествить с точками сферы. Таким образом, при исследовании этой механической системы естественно возникает некоторая поверхность. Аналогично, при моделировании систем часто возникают "поверхности", не вложенные априори в какое-либо пространство. Такие объекты называются многообразиями. Любая точка многообразия имеет окрестность (карту), в которой определены локальные координаты, поэтому локально многообразия устроены так же, как области евклидова пространства. Изучение геометрии многообразий производится аналогично изучению поверхностей; в частности, у многообразий тоже есть касательные пространства, определены производные функций по векторам и т.д.

Цитата: злой от января 18, 2010, 17:31
Матерь божья... о чем говорят эти люди?

Эта ветка не для того, чтобы кичиться знанием непонятной терминологии.  Математика - это идеи. Было бы интересно обсудить те или иные идеи с людьми, обладающими самой разной подготовкой, чтобы было понятно и интересно. Так что вопросы приветствуются!

Цитата: Квас от января 19, 2010, 20:08

Цитата: злой от января 18, 2010, 17:31
Матерь божья... о чем говорят эти люди?

Эта ветка не для того, чтобы кичиться знанием непонятной терминологии.  Математика - это идеи. Было бы интересно обсудить те или иные идеи с людьми, обладающими самой разной подготовкой, чтобы было понятно и интересно. Так что вопросы приветствуются!

Хорошо, завтра попытаюсь вкурить ваш пост. В общих чертах понял, о чем это, надо понять технические тонкости

Цитата: злой от января 19, 2010, 20:10
В общих чертах понял, о чем это, надо понять технические тонкости

Я "идеологию" пытался объяснить, техника - отдельный разговор, причём лучше рассматривать на примерах. Если что - пишите, будем разбираться!

Цитата: Квас от января 18, 2010, 16:11
Интересно, что бы самому полистать, чтобы быстро въехать в разговор.

У себя на компе обнаружил Rutherford, Introduction to Lattice Theory. Полистаю, если время будет.

для меня загадку до сих пор представляет тот факт, что я высшей математике с трудом соображал первые два курса в универе, из жалости мне ставили уд. Прозрение наступило на 3 курсе, когда мы перешли к изучению тройных интегралов и теории невероятностей. Это оказалось проще пареной репы и был одним из лучших, а фокус в том, что двойные интегралы я и так и не смог понять, в отличие от тройных   Сейчас, правда,  те и другие уже темный лес.

Ничего. Если придётся в него идти, карта уже найдена!

Ну, вот, например:



У нас пространство задано двумя координатами - углом поворота φ и положением на кривой, которая в декартовой системе описывается как k/x (k=const, не хватало нам еще переменной тут)
Так мы избавляемся от лишнего измерения в цилиндрической системе координат. Т.е. у нас этакая "кривая плоскость".
Можно было пойти дальше, вместо угловой координаты взять еще какую-нибудь кривую, описываемую уравнением на плоскости.

Допустим, у нас есть линия на этой "плоскости"


Причем положение точек этой линии на  "плоскости" однозначно задается углом поворота, т.е. является функцией угла: y = f(φ).  Угол давайте будем измерять в градусах (нам ведь, без разницы, в принципе, или есть разница? Это мы вот так графически изобразили, что оно по кругу, а так это могла бы просто быть функция, гладкая на диапазоне от 0 до 360?)

Как нам посчитать производную такой функции? Каковы правила перехода от этой к другим системам координат, напр. трехмерной декартовой? Я попробовал придумать, как именно будет выглядеть формула f(φ) и "затормозил".

Вообще, до чего свободные люди математики. Их разум не ограничен привычными измерениями. Уважаю.

Цитата: злой от января 20, 2010, 17:14
Ну, вот, например:

В своём посте вы говорите, кажется, скорее о кривых на поверхности, чем о функциях, заданных на ней. Так что предлагаю сначала разобраться с кривыми.

Поверхность M, являющейся поверхностью вращения ветви гиперболы y = kx, параметрически задаётся следующим образом:

x = r cos φ
y = r sin φ
z = k/r
r > 0, φ∊R

На этой поверхности можно рассматривать кривые, задающиеся параметрически
r = r(t)
φ = φ(t)

Тогда в трёхмерном пространстве эти кривые будут задаваться
x(t) = r(t) cos φ(t)
y(t) = r(t) sin φ(t)
z(t) = k/r(t)

Можно продифференцировать по t, получим вектор скорости: (x'(t), y'(t), z'(t)), где
x'(t) = r'(t) cos φ(t) - r(t) φ'(t) sin φ(t)
y'(t) =  r'(t) sin φ(t) + r(t) φ'(t) cos φ(t)
z'(t) = -k r'(t) / (r(t))²
Это обыкновенный трёхмерный вектор. При этом вектор скорости кривой X в точке t₀ является касательным к поверхности, то есть принадлежит касательному пространству к поверхности в точке (x(t₀), y(t₀), z(t₀)).

Мы помним, что базис в этом пространстве образуют векторы ∂/∂r, ∂/∂φ. (Вообще, в каждой точке своё касательное пространство и свои векторы ∂/∂r, ∂/∂φ, то есть они зависят от точки.) Дифференцируя по r и φ формулы, задающие поверхность, находим координаты этих векторов:
∂/∂r = (cos φ, sin φ, -k/r²)
∂/∂φ = (-r sin φ, r cos φ, 0)
Это для произвольной точки поверхности, а в точке кривой со значением параметра t₀ имеем, следовательно,
∂/∂r = (cos φ(t₀), sin φ(t₀), -k/(r(t₀))²)
∂/∂φ = (-r(t₀) sin φ(t₀), r(t₀) cos φ(t₀), 0)
Легко видеть, что найденный выше вектор скорости действительно раскладывается по этому базису:
X = r'(t₀) ∂/∂r + φ'(t₀) ∂/∂φ
Это другая запись формулы производной сложной функции.

Для лучшего понимания предлагаю рассмотреть какую-нибудь конкретную кривую (например,
r = 1 + t
φ = t
- как спираль) и вычислить вектор её скорости в конкретной точке (например, t = 0), а также разложить его по базису касательного пространства. Конечно, это бы ещё и нарисовать (касательные векторы откладываются от точки касания!)

Понятно или непонятно?

Может кто подскажет прогу для рисования фракталов? Не интересовались?

Покопался у себя в папке, обнаружил Fractal Explorer.
Есть ещё плагин для //paint.net, ну а для Фотожопа, думаю, их море.

А там можно не только готовые рассматривать, но и свои создавать?

На основе имеющихся путём изменения параметров.
По мне, этого за глаза хватит, учитывая количество имеющихся формул и возможность масштабирования.
Да, там ещё 3D-фракталы можно строить.
Вот образчик рельефного:

класс

Кошмар! Я долгое время думал, что континуум гипотеза — это «2^ℕ ~ c»!