Разговоры о математике

[arseniiv]

А есть ещё бесконечные поля кроме изоморфных вещественным числам и комплексным? Была же теорема какая-то. Кватернионы — тело.

[Квас]

А есть ещё бесконечные поля кроме изоморфных вещественным числам и комплексным?

Конечно, есть. Например, поле рациональных чисел. Числовых полей вообще много: например, {a + b √ 2 : a,b in Q}. А ещё поля рациональных дробей R[

• ], где R - произвольная область целостности.

[arseniiv]

Так, значит, я какой-то параметр этих полей упустил...

Ага, следствия теоремы Фробениуса:

• Поля ℝ и ℂ являются единственными конечномерными вещественными ассоциативными и коммутативными алгебрами без делителей нуля.
• Тело кватернионов ℍ является единственной конечномерной вещественной ассоциативной, но некоммутативной алгеброй без делителей нуля.
• Алгебра Кэли является единственной конечномерной вещественной альтернативной неассоциативной алгеброй без делителей нуля.

Три последних утверждения образуют так называемую обобщённую теорему Фробениуса.

В общем, так: ℝ и ℂ — всего два поля, чьё подполе — ℝ.

[Квас]

Была же теорема какая-то.

Я знаю, если не ошибаюсь, для нормированных алгебр с делением.

[Aleksey]

На костёр эту математику.. циферки да и только. Не понимаю = надо уничтожить = всех и вся на костёр.

[arseniiv]

Эээээ, Aleksey, что ж вы так... Кто у вас снова отобрал холодильник?

[Aleksey]

Эээээ, Aleksey, что ж вы так... Кто у вас снова отобрал холодильник?

Пармезан закончился, я зол.

[Тася]

Практической пользы от математики никакой, зато от сложности мозги плавятся.

  Это ещё смотря как преподают, мне кажецца. 

[myst]

- Зачем тебе эта математика, ты что пойдёшь булочку покупать с теоремой Пифагора?! (слова учительницы литовского, когда я ходил на доп. математику)

А и правильно! 
Практической пользы от математики никакой, зато от сложности мозги плавятся.

Сказала Dana, поправляя новую занавеску для спального угла пещеры.

[antbez]

Так, значит, я какой-то параметр этих полей упустил...

Ассоциативности! Она и описывается в теореме Фробениуса

[murator]

На костёр эту математику.. циферки да и только. Не понимаю = надо уничтожить = всех и вся на костёр.

Кстати, я заметил, что именно у математиков бывают бо́льшие, чем у обывателей, проблемы с устным счетом - например, сдачу в магазине посчитать.

[Квас]

Не понимаю = надо уничтожить = всех и вся на костёр.

Цитата

Так, значит, я какой-то параметр этих полей упустил...

Ассоциативности! Она и описывается в теореме Фробениуса

Теорема Фробениуса - об ассоциативных алгебрах с делением. Алгебры и поля - разные объекты, в полях ассоциативность присутствует по определению. Если кому интересно, поле - это множество, на котором заданы две операции (сложение и умножение), имеющие "хорошие" свойства и связанные между собой законом дистрибутивности (распределительным); алгебра - это множество, на котором заданы операции сложения, умножения, а также операция умножения на число (более общо, на элемент некоторого поля); естественно, эти операции должны удовлетворять определённым условиям. Простейший пример поля - множество рациональных чисел с обычными операциями сложения и умножения; пример алгебры - множество квадратных матриц некоторого порядка с операциями сложения и умножения матриц и с операцией умножения матрицы на число.

Для полноты приведу формулировки теорем Гурвица и Фробениуса.

Теорема Гурвица. Любая нормированная алгебра с единицей изоморфна одной из четырёх алгебр: действительных чисел, комплексных чисел, кватернионов или октав.

Теорема Фробениуса. Любая ассоциативная алгебра с делением изоморфна одной из трёх: алгебре действительных чисел, алгебре комплексных чисел или алгебре кватернионов.

Литература.
И.Л. Кантор, А.С. Солодовников Гиперкомплексные числа
Несложная брошюрка, читать можно даже первокурсникам.

Если определённые слова кому-то непонятны, и хочется узнать, что они означают, то могу рассказать.

[Квас]

В общем, так: ℝ и ℂ — всего два поля, чьё подполе — ℝ.

Неа!

А ещё поля рациональных дробей R[

• ], где R - произвольная область целостности.
  

[Квас]

Кстати, я заметил, что именно у математиков бывают бо́льшие, чем у обывателей, проблемы с устным счетом - например, сдачу в магазине посчитать.

Не исключено, что у некоторых математиков устный счёт хуже, чем у некоторых математиков. В среднем устный счёт, наверно, примерно одинаково развит. Математику устный счёт нужен, пожалуй, меньше, чем лингвистам - знание языков. Теория вся в буквах, да и если что-то надо посчитать, то часто тоже операции с буквами.

Не будем путать бытовую "математику" и науку математику. Научные расчёты (численные решения и т.д.), выполняют компьютеры.

[murator]

Квас, я об этом и говорю. Математик просто не работает с константами.

[arseniiv]

Приведите пример такого поля? Например, (ℤ₅, +, ⋅) — область целостности.
Построим A = ℤ₅[

• ] (скобки специально должны быть двойные, или это как и у многочленов?):
  u ∈ ℤ₅ ⇒ u ∈ A
  a, b ∈ A ⇒ (ax + b) ∈ A
  a, b ∈ A ⇒ (a / b) ∈ A
  Так? Я поверю, что это может быть полем, но не верится, что у него есть подполе ℝ... Или мы разное называем подполем?

[Квас]

Гораздо проще: ℝ[

• ]. (Я, конечно, не имел в виду, что каждое поле рациональных дробей содержит подполе ℝ).

[arseniiv]

Ага, пора обновить набор кванторов... ℝ[

• ] — да, замечательное поле. Широоокое. А лучше ℝ[[a, ..., z]]... (Вот щас как выяснится, что с несколькими переменными это уже не поле..! Проверять не хочется.)

[Квас]

Вот щас как выяснится, что с несколькими переменными это уже не поле..!

Поле! Делить-то можно.

[arseniiv]

Я никак не соберусь и не доучу о поле. Пока не открою википедию, а погадаю. Вдруг помню. Поле — это коммутативное кольцо с дистрибутивным относительно сложения умножением? Чего-о не хватает...

Ага. 1. Кольцо ассоциативное. 2. Все ненулевые элементы обратимы.

[Квас]

Поле — это коммутативное кольцо с дистрибутивным относительно сложения умножением?

Плюс каждый ненулевой элемент обратим и единица отлична от 0. Иными словами, (F, +, *) - поле тогда и только тогда, когда (F,+) - абелева группа, (F\0, *) - абелева группа, и есть дистрибутивность.

Дистрибутивность есть в любом кольце. Это "соль" понятия кольца, так как иначе имели бы просто две никак не связанные алгебраические структуры на одном множестве.

[arseniiv]

Нда. Я вот никак не запомню. И забываю очевидное. Даже книга есть. Всё равно. Действительно.
Давайте поговорим о решётках, может? Какую-нибудь без верхней и нижней границы можно найти? А то булеан 2^A с ∪, ∩ и A\ ограничен ∅ и A. Булева алгебра и её прямые произведения тоже не подходят...

[Квас]

Давайте поговорим о решётках, может?

Можно, только они у меня "в пассиве". Есть какая-нибудь классическая книжка?

[arseniiv]

Классической нет, есть модернизированная. И то бумажная, так что никак не дам. Ну, про решётки там мало, но потом-то там идёт булева алгебра.

[Квас]

Интересно, что бы самому полистать, чтобы быстро въехать в разговор.