Лингвофорум

Ну таки шо же?

А он может идти по разным траекториям? Тогда последнее естественно.
Ну вот, опоздал.

А можно в следующем туре мою задачу (тоже математиков надо отдалить)? Червяк ползёт с постоянной скоростью по ленте, которая всё время равномерно растягивается с другой постоянной скоростью. Доползёт он до конца или нет? От чего это зависит?

Цитата: arseniiv от декабря  7, 2010, 21:37
Червяк ползёт с постоянной скоростью по ленте, которая всё время равномерно растягивается с другой постоянной скоростью.

Непросто, однако. А может быть, червяк растягивается вместе с лентой?

Зависит, я думаю, от разницы скоростей v₁ червяка и v₂ удлинения ленты.
Если v₂ > v₁, фиг он доползёт...

Я смотрю, про окружность уже неинтересно. Тогда завтра напишу, что я думаю по этому поводу.

Если трение червяка о ленту очень велико, то он порвётся.

А если о-очень велико, то порвётся лента.

Цитата: Квас от декабря  7, 2010, 22:06
Я смотрю, про окружность уже неинтересно. Тогда завтра напишу, что я думаю по этому поводу.

Ждем

У меня сегодня математический блок. Смотрю на задания, которые решал неделю назад и ни черта не понимаю. Как будто не я писал. Все, ухожу завтра с работы в 4 часа, нефиг по ночам учиться.

Цитата: RawonaM от декабря  7, 2010, 22:36
Смотрю на задания, которые решал неделю назад и ни черта не понимаю. Как будто не я писал.

Со временем я пришёл к мысли, что изучение математики и иностранных языков во многом похожи.

Цитата: Bhudh от декабря  7, 2010, 22:00
Если v₂ > v₁, фиг он доползёт...

Даа?

Цитата: Квас от декабря  7, 2010, 22:07
Если трение червяка о ленту очень велико, то он порвётся.

а с окружностью-то что? Равноам молчит...

Цитата: Валентин Н от декабря  8, 2010, 16:36
а с окружностью-то что? Равноам молчит...

А я-то что? Ждем пока Квас объяснит.

С червяком интересная задачка, но я не берусь, чтобы не засосало. На первый взгляд кажется, что червяк обязан дойти до конца при любых скоростях (если ни резинка ни червяк не порвутся).

Цитата: arseniiv от декабря  7, 2010, 20:17
Червяк ползёт с постоянной скоростью по ленте, которая всё время равномерно растягивается с другой постоянной скоростью. Доползёт он до конца или нет? От чего это зависит?

Это похоже на апорию 3енона про Ахиллес и черепаху. А бежит, черепаха ползёт впереди - догонит ли он её когда-нибудь?
Вообще тут вопрос с трением не ясен - как растяжение ленты сказывается на движении червяка, она его смещает?

Цитата: Валентин Нкак растяжение ленты сказывается на движении червяка

На движении — никак. Оно сказывается на расстоянии до финиша.

Цитата: Bhudh от декабря  8, 2010, 18:01
На движении — никак. Оно сказывается на расстоянии до финиша.

значит улитка движется и передний край отдаляется, и чего тут решать????

Цитата: Валентин Н от декабря  8, 2010, 18:31

ЦитироватьНа движении — никак. Оно сказывается на расстоянии до финиша.

значит улитка движется и передний край отдаляется, и чего тут решать????

Червяка уже и улиткой и даже человеком обозвали.

Думать тут есть о чем, имхо. Конец как и отдаляется, так он и приближается, ибо он по ленте ползет. Червяк всегда будет двигаться вперед по ленте и отношение длина ленты/позиция червяка будет всегда расти, несмотря ни на какие растягивания, поэтому достигнет 1 рано или поздно. С первого взгляда кажется так.

Про окружность.

Логическую ошибку хорошо указал Валентин Н. Пусть у нас есть последовательность многоугольников , которая в каком-то смысле стремится к окружности S, и пусть l — функционал длины, то есть — периметр многоугольника, l(S) — длина окружности. Из того, что, вообще говоря, не следует, что (иначе говоря, функционал l не обязан быть непрерывным в нашей топологии).

Хочется обратить внимание на содержательную геометрическую сторону вопроса. Ведь должна быть причина, по которой интуиция говорит нам обратное! Например, в элементарной геометрии длина окружности может быть определена как предел переметров вписанных или описанных правильных многоугольников. Почему в одном случае к пределу переходить нельзя, а в другом — можно?

Для простоты будем рассматривать не исходную задачу, а следующую: пусть на отрезке [a,b] задана последовательность функций , которая в определённом смысле сходится к f. Нас интересует сходимость длин графиков функций из последовательностей к длине графика предельной функции.

Во-первых, подумаем, какие естественные ограничения следует наложить на рассматриваемые функции. Во-первых, им следует быть непрерывными, иначе могут возникнуть проблемы с определением длины графика. Во-вторых, лучше потребовать более сильное условие: кусочную гладкость функций (точное определение, которое можно не читать: функция на [a,b] называется кусочно-гладкой, если она непрерывна, и отрезок [a,b] может быть разбит на конечное число отрезков, внутри которых f имеет непрерывную производную, имеющую конечные односторонние пределы в концах отрезков разбиения). Непрерывные функции могут быть далеки от наших интуитивных представлений, а кусочно-гладкие функции имеют «человеческое лицо».

Сначала рассмотрим равномерную сходимость. Это значит, что графики функций целиком приближаются к графику f и при больших n попадают в любую полосу, полученную шевелением графика предельной функции вверх-вниз. Строго: для любого при больших n должно выполняться неравенство

для всех x из [a,b].

Оказывается, равномерной сходимости недостаточно для сходимости длин. В качестве примера можно рассмотреть последовательность «пил» на [0,1]: первый график — прямой угол, опирающийся на [0,1], потом «загибаем вниз» вершину и получаем два угла, потом у них «загибаем вниз» вершины и получаем четыре угла и т. д. (Может, кто понял и охота будет нарисовать, но я не буду.) Длина каждой «пилы» равна , и они равномерно сходятся к тождественному нулю (длина графика равна 1).

Что делать?

Длина графика кусочно-непрерывной функции может быть найдена по формуле

(эта формула геометрически очевидна, если в духе Лейбница разбить ломаную на бесконечно малые отрезки, каждый из которых является гипотенузой треугольника с одним катетом dx и вторым катетом dy; по теореме Пифагора гипотенуза равна

Складывая бесконечно большое число бесконечно малых, получаем написанный выше интеграл.)

И пока смотрим на формулу, нас осеняет: производные! Надо, чтобы была какая-то сходимость производных, потому что длина выражается именно через них. И действительно, нетрудно показать, что если производные равномерно сходятся к производной предела, то и подынтегральные выражения тоже равномерно сходятся, а тогда по известной теореме анализа сходятся и сами интегралы, то есть длины. Таким образом, для сходимости длин графиков к длине предельного графика достаточно, чтобы функции и их производные равномерно сходились к предельной функции и её производной соответственно.

Теперь нам принципиально ясно и с окружностью. В нашем парадоксе рёбра ломаной не приближались к касательным, и в отсутствии сходимости длин ничего удивительного нет. А стороны описанных многоугольников лежат на касательных, поэтому сходимость есть.

Раз растяжение ленты на движение червяка не влияет, это равносильно тому, что червяк ползёт по дороге к еде с опр скоростью, а её отобдвигают с другой скоростью - вопрос догонит ли он еду?

Цитата: Квас от декабря  7, 2010, 00:10
Сходимость в данном случае совершенно строго определяется так: «лесенки» сходятся к окружности, если любое кольцо, образованное концентрическими окружностями меньшего и большего радиусов, содержит все «лесенки» с достаточно мелкими ступеньками.

Цитата: Квас от декабря  7, 2010, 00:21
Кстати, ни фига не так. Моё определение не соответствует геометрической интуиции.

Потому что такое определение допускает, например, чтобы лестницы стягивались к единственной точке на окружности. А надо, чтобы они по ней «размазывались» всё-таки. По-научному: я дал определение в терминах полуотклонений, а надо было с помощью метрики Хаусдорфа. Поэтому я решил вам дальше голову не морочить с формализацией.

Ужас задачи с червяком в том, что скорость-то определяется по отношению к ленте, а лента (само «пространство») при этом меняется. Дело не в том, что конец отдаляется, а в том, что прямо под червяком точки разъезжаются. Сразу и не сообразишь, как определить мгновенную скорость червяка.

Притом если червяк не является материальной точкой, то он как-то взаимодействует с растяжением ленты. То ли сам растягивается, то ли как-то скользит. Этот момент мне вообще непонятен.

Спасибо, Квас, за объяснение. Когда закончу курс анализа, прочитаю 

Цитата: Квас от декабря  8, 2010, 19:14
Ужас задачи с червяком в том, что скорость-то определяется по отношению к ленте, а лента (само «пространство») при этом меняется. Дело не в том, что конец отдаляется, а в том, что прямо под червяком точки разъезжаются. Сразу и не сообразишь, как определить мгновенную скорость червяка.

Притом если червяк не является материальной точкой, то он как-то взаимодействует с растяжением ленты. То ли сам растягивается, то ли как-то скользит. Этот момент мне вообще непонятен.

Мне кажется, что нужно сделать какие-то допущения в рамках разумного, иначе задача бессмысленна или гораздо более сложна, чем кажется. Думаю, что технический способ движения червяка тут неважен, его можно заменить на человека/курицу/собаку или вотэва. Пусть арсений скажет, допустимо это или нет. Иначе нужно точно описать, как движется червяк. Либо сжатием-разжатием тела поочередно из зада в перед, либо сгибанием в середине как гусеница и т.п., это нужно будет все учесть.
Но имхо червяка просто можно заменить другим движущимся предметом.