Лингвофорум

Так у меня еще куча материала! Какой там надоест. Тут надо считать вероятность что будет на экзамене и какой вес у него, пропорционально этому время распределять. Удельный вес нахождения суммы помноженный на вероятность вообще такого в экзамене не слишком велик, так что нерационально будет потратить на это более нескольких часов.

Дана фукнция f(x,y)=(x²+y²)·ln(x²+y²), f(0,0)=0
Нужно сказать, дифференцируема ли в (0,0).

По определению в итоге приходим к такому:


И если дифференцируема, то предел при x,y→0,0 должен быть ноль. Переводим в полярные координаты и видно, что предел не нулевой, т.е вывод, что фукнция не дифференцируема. А на самом деле она таки дифференцируема, это можно доказать через существование непрерывных частных производных.

Где я ошибся?

1^+∞ ведь неопределен, да?

Цитата: RawonaM от сентября 18, 2011, 11:45
1^+∞ ведь неопределен, да?

Если к этому сходится предел, то да (если не путаю). А так будет 1.

Цитата: RawonaM от сентября 18, 2011, 10:04
По определению в итоге приходим к такому:

А откуда этот огромный числитель? Ведь
f(0 + Δx, 0 + Δy) = f(Δx, Δy) = ((Δx)²+(Δy)²)·ln((Δx)²+(Δy)²)

Цитата: arseniiv от сентября 18, 2011, 12:30
А так будет 1

1 в степени символ?

Цитата: Квас от сентября 18, 2011, 15:37

Цитата: arseniiv от сентября 18, 2011, 12:30А так будет 1

1 в степени символ?

Придираетесь? .

Цитата: Квас от сентября 18, 2011, 15:37

Цитата: RawonaM от сентября 18, 2011, 10:04По определению в итоге приходим к такому:

А откуда этот огромный числитель? Ведь
f(0 + Δx, 0 + Δy) = f(Δx, Δy) = ((Δx)²+(Δy)²)·ln((Δx)²+(Δy)²)

Не понял. Определение ведь такое: Δf=f_xΔy+f_yΔy+e(x,y)·√((Δx)²+(Δy)²))  (на память написал, мог и подпутать).

Цитата: Квас от сентября 18, 2011, 15:37
1 в степени символ?

Цитата: RawonaM от сентября 18, 2011, 15:43
Придираетесь? .

Да нет, почему же, всё верно, надо показывать, что значит то или иное. Если мы подополняем двумя значениями и , подкорректируем порядок и введём некоторые естественные добавления, только тогда получится . А так ведь можно дополнять и одной беззнаковой бесконечностью, получая . Хотя там то же самое в этом месте будет.

Цитата: arseniiv от сентября 18, 2011, 16:03
Да нет, почему же, всё верно, надо показывать, что значит то или иное. Если мы подополняем двумя значениями $+\infty$ и $-\infty$, подкорректируем порядок и введём некоторые естественные добавления, только тогда получится $1^{\pm\infty} = 1$.

Extended numbers у нас тоже не принимают, на первом курсе матана (для математиков), если б я написал такое один в степени символ, двояк бы забабахали на месте.

Цитата: RawonaM от сентября 18, 2011, 15:47
Не понял. Определение ведь такое: Δf=f_xΔy+f_yΔy+e(x,y)·√((Δx)²+(Δy)²))  (на память написал, мог и подпутать).

А значения частных производных у вас откуда? По формулам не получается, потому что логарифм в нуле не определён. Нужно выделять главную линейную часть приращения. А мне сдаётся, что

уже стремится к 0, откуда получается, что функция дифференцируема, а её производная — нулевой функционал.

Цитата: Квас от сентября 18, 2011, 16:06
А значения частных производных у вас откуда? По формулам не получается, потому что логарифм в нуле не определён.

А значения производных мы посчитали отдельно, тоже по определению.

И чему они в нуле равны? Нулям?

Цитата: Квас от сентября 18, 2011, 16:10
И чему они в нуле равны? Нулям?

Нет, не нулям. Я уже забыл, я пока что на работу ушел. Попробую вспомнить.

А, кажется я производные по формуле посчитал... А в нуле производная ноль, там производные выходят непрерывны. Нельзя было по формуле разве?

А как в логарифм ноль подставлять?

Цитата: Квас от сентября 18, 2011, 16:13
А как в логарифм ноль подставлять?

А на каком этапе его надо было подставлять? Не помню такого. Производные считаются без подстановки, а потом предел этого монстра выше нужно было взять.

Вот это ж они и есть, производные:

Да, в нуле они равняются нулям, но высчитываются не по формуле, а по определению (пределом).

Цитата: RawonaM от сентября 18, 2011, 16:17
Да, в нуле они равняются нулям, но высчитываются не по формуле, а по определению (пределом).

Вот и хорошо. Тогда по прежнему тот огромный числитель непонятно откуда взялся (потому что частные производные надо вычислять именно в нуле), а предел отношения

равен 0 — так что никакого противоречия.

А-а, тогда понятно. А взялся он видимо оттуда, что я подставил f_x(Δx,Δy) и f_y(Δx,Δy) вместо f_y(0,0) и f_x(0,0), остальное сходится. Теперь ясно. Спасибо

Нужно найти объем тела, зажатого между z=2x и z=x²+y².

Значит нужно посчитать интеграл , где R — круг 2x=x²+y².

Теперь, если я делаю два разных перехода в полярные координаты, одна с центром 1;0 (x=1+r cosθ,y=r sinθ), другая с центром 0;0 (x=r cosθ,y=r sinθ), я получаю разные результаты.

Вот:




В чем моя ошибка?

Где-то в вычислении второго интеграла. А записано всё правильно.

Цитата: Квас от сентября 19, 2011, 11:46
Где-то в вычислении второго интеграла. А записано всё правильно.

Вычислял максимой, дает этот же результат.
Кстати как в мэпле интегралы численные получить? Он меня сегодня доводил до слез путем писания глупостей. То, что он выдал на этот интеграл в evalf():
.5000000000*cos(.5000000000*Pi)^3*sin(.5000000000*Pi)+.7500000000*cos(.5000000000*Pi)*sin(.5000000000*Pi)+.3750000000*Pi

Я посчитал второй интеграл командой

int(int((1-r^2)*r,r=0..1),theta=0..2*Pi);

получилось π/2. Чтобы получить численно, обычно пишут

evalf(Int(...))

Int — «инертная» форма, которая не вычисляется; таким образом, экономится время, потому что программа не пытается вычислить интеграл точно.

Цитата: Квас от сентября 19, 2011, 11:55
получилось π/2. Чтобы получить численно, обычно пишут

evalf(Int(...))

Тогда выдает не число, а вот это:
Int(cos(t)^4, t = -.5000000000*Pi .. .5000000000*Pi)

Спасибо, с интегралом разобрался. Действительно ошибся в вычислении.