Матан №2

[Квас]

А что делать? Писать в ответ y = 2. Даже не нужно писать в решение ваши выкладки с дифуром, потому что в силу единственности решения других подходящих нет.

Чтобы было понятней: у вас дифур

Левая часть определена и непрерывно дифференцируема в открытой части плоскости {(x,y): y ≠ 0}, поэтому теорема локального существования и единственности выполнена. Вы сужаете область до {(x,y): y ≠ 0, y ≠ 2}, на которой исходное уравнение эквивалентно следующему:

и находите его явное решение. Полученные интегральные кривые заполняют всю область {(x,y): y ≠ 0, y ≠ 2}; линия y=2 тоже является интегральной кривой, и вместе с предыдущими заполняет всю область {(x,y): y ≠ 0}.

[RawonaM]

Обозначим



Можно обозначить , тогда C_2 может иметь любой знак. Более того, проверка показывает, что если tg y ≡ 0, то функция y (постоянная) является решением, так что C_2 = 0 допустимо. Когда выражаем y, не забываем период тангенса: +πk, k ∈ Z.

А куда тут период тангенса притулять? Так можно взять арктангенс с обоих сторон или от этого что-то потеряется?

[Квас]

А куда тут период тангенса притулять? Так можно взять арктангенс с обоих сторон или от этого что-то потеряется?

Взять арктангенс и дописать +πk, k ∈ Z. Иначе конечно потеряется: дикое множество углов имеют одинаковые тангенсы.

[RawonaM]

А что делать? Писать в ответ y = 2. Даже не нужно писать в решение ваши выкладки с дифуром, потому что в силу единственности решения других подходящих нет.

Чтобы было понятней: у вас дифур

Левая часть определена и непрерывно дифференцируема в открытой части плоскости {(x,y): y ≠ 0}, поэтому теорема локального существования и единственности выполнена. Вы сужаете область до {(x,y): y ≠ 0, y ≠ 2}, на которой исходное уравнение эквивалентно следующему:

и находите его явное решение. Полученные интегральные кривые заполняют всю область {(x,y): y ≠ 0, y ≠ 2}; линия y=2 тоже является интегральной кривой, и вместе с предыдущими заполняет всю область {(x,y): y ≠ 0}.

Что-то тут мне не все понятно. А точно решение единственное?! Как вообще я должен был догадаться о таком решении?

[RawonaM]

А куда тут период тангенса притулять? Так можно взять арктангенс с обоих сторон или от этого что-то потеряется?

Взять арктангенс и дописать +πk, k ∈ Z. Иначе конечно потеряется: дикое множество углов имеют одинаковые тангенсы.

Прошу пардона за тупые вопросы... Но арктангенс ведь не периодический, зачем же к нему приписывать?

[RawonaM]

Решаю , не получается. Где-то вероятно я ошибаюсь, ибо даже у мэпла выходит приличный ответ.

Значит, находим гомогенную часть: .

Методом «вариации параметров»:
Остальное: .




Поделим все на e^-x.



Складываем оба уравнения:


Я знаю, что если сейчас поделить на 2х-1, то потеряется решение х=1/2, но другого выхода нет, потом проверим отдельно это значение. Кстати, по методу Крамера этот ответ вроде как тоже теряется.





Интегралы не берутся. Где ошибка?

[Квас]

Что-то тут мне не все понятно. А точно решение единственное?! Как вообще я должен был догадаться о таком решении?

Да. Если правая часть уравнения

непрерывно дифференцируема в некотором открытом множестве

то есть единственность в том смысле, что два решения, удовлетворяющие начальному условию

совпадают на пересечении интервалов определения. Это одна из основных теорем в теории ОДУ.

До решения y=2 вы догадались, найдя формулу общего решения, убедившись, что она не помогает и вспомнив, что потеряли решение при делении. Это кухня. В решение «набело» никто не мешает написать: «заметим, что функция y ≡ 2 является решением ДУ и удовлетворяет начальным условиям; в силу единственности решения других подходящих нет.» А уж как вы додумались — ноу-хау.

[Квас]

Прошу пардона за тупые вопросы... Но арктангенс ведь не периодический, зачем же к нему приписывать?

Арктангенс не при чём, это тангенс периодический. У вас уравнение вида
tg y = a.
На периоде тангенса (-π/2, π/2) это уравнение имеет единственный корень, который обозначается arctg a. Тангенс принимает одни и те же значения через каждые π, поэтому общее решение имеет вид
y = arctg a + πk, k ∈ Z.

[RawonaM]

y = arctg a + πk, k ∈ Z.

А, теперь ясно

Да. Если правая часть уравнения

А что значит точка?

До решения y=2 вы догадались, найдя формулу общего решения, убедившись, что она не помогает и вспомнив, что потеряли решение при делении. Это кухня. В решение «набело» никто не мешает написать: «заметим, что функция y ≡ 2 является решением ДУ и удовлетворяет начальным условиям; в силу единственности решения других подходящих нет.» А уж как вы додумались — ноу-хау.

Да, действительно. Благодарю

[Квас]

Тут икса не должно быть во втором слагаемом? Вечно забываю эту систему.

А что значит точка?

Да так иногда производную обозначают: в механике и в дифурах.

[RawonaM]

Тут икса не должно быть во втором слагаемом? Вечно забываю эту систему.

Должно быть, это опечатка. Дальше решение идет с учетом наличия икса.

А какую систему вы используете?

[Квас]

Ага, со знаком вы ошиблись:

(второе слагаемого во втором уравнении). Кстати, систему мэпл может решить так:
>solve( {U*exp(-x) + V*x*exp(-x) = 0, U*diff(exp(-x),x) + V*diff(x*exp(-x),x) = 3*sqrt(1+x)*exp(-x)}, {U,V});
Букв много, поэтому вторым аргументом надо указать, относительно чего считать.

Я знаю, что если сейчас поделить на 2х-1, то потеряется решение х=1/2, но другого выхода нет, потом проверим отдельно это значение. Кстати, по методу Крамера этот ответ вроде как тоже теряется.

Фактически к делу уже не относится, но всё же: теряется не возможное решение, а одно значение аргумента. Поскольку в исходном выражении есть символ y', то ничего не остаётся как считать y функцией, а x — независимым переменным.

[Квас]

А какую систему вы используете?

Имею в виду систему, которая используется в методе вариации произвольных постоянных.

Кстати, homogenous по-русски — однородное (уравнение).

[RawonaM]

Я знаю, что если сейчас поделить на 2х-1, то потеряется решение х=1/2, но другого выхода нет, потом проверим отдельно это значение. Кстати, по методу Крамера этот ответ вроде как тоже теряется.

Фактически к делу уже не относится, но всё же: теряется не возможное решение, а одно значение аргумента. Поскольку в исходном выражении есть символ y', то ничего не остаётся как считать y функцией, а x — независимым переменным.

Простите, ничего не понял. Т.е. раз это переменное (-ный?), то его можно терять?

[RawonaM]

Ага, со знаком вы ошиблись:

А-а, вот блин балда Спасибо Меня эти минусы в гроб загонят.

[Квас]

Я знаю, что если сейчас поделить на 2х-1, то потеряется решение х=1/2, но другого выхода нет, потом проверим отдельно это значение. Кстати, по методу Крамера этот ответ вроде как тоже теряется.

Фактически к делу уже не относится, но всё же: теряется не возможное решение, а одно значение аргумента. Поскольку в исходном выражении есть символ y', то ничего не остаётся как считать y функцией, а x — независимым переменным.

Простите, ничего не понял. Т.е. раз это переменное (-ный?), то его можно терять?

В принципе, изначально вы не знаете, на каких промежутках получатся решения. Рассматривать промежутки, не содержащие фиксированной точки — невелика потеря. Например, если окажется, что решения уходят в бесконечность, подходя к этой точке, то ясно, что не существует решения на интервале, содержащем эту точку (иначе шаг в сторону — и оно должно быть в районе бесконечности).

Может быть, при делении на выражение с иксом достаточно помечать, например, что x ≠ 0 — просто ради приличия. При делении на выражения с игреком следует проверять, не потеряли ли мы решений.

[RawonaM]

Кстати, систему мэпл может решить так:
>solve( {U*exp(-x) + V*x*exp(-x) = 0, U*diff(exp(-x),x) + V*diff(x*exp(-x),x) = 3*sqrt(1+x)*exp(-x)}, {U,V});
Букв много, поэтому вторым аргументом надо указать, относительно чего считать.

Надо бы мне попользоваться такой возможностью.

[RawonaM]

Попалось уравнение, с которым мэпл не справился, да и я не уверен.



Переносим, раздляем:

На этом этапе я поделил на tan y. Какие у этого последствия? Допустим я говорю y≠0, дальше что?

[arseniiv]

дикое множество углов имеют одинаковые тангенсы

А я думал, счётное...

[Квас]

Попалось уравнение, с которым мэпл не справился, да и я не уверен.



Переносим, раздляем:

На этом этапе я поделил на tan y. Какие у этого последствия? Допустим я говорю y≠0, дальше что?

Практически в решении при делении вы записываете рядышком (tg y ≠ 0), а в конце рассматриваете отдельно постоянные функции y, для которых tg y = 0: очевидно, они являются решениями уравнения, то есть к общей формуле добавляется y = πk, k ∈ Z.

С теоретической точки зрения есть такая сложность, что уравнение не разрешено относительно производной. Его можно разрешить и записать в виде

К этому уравнению применима вся теория, но мы немного меняем область: исходное уравнение задано на области {(x,y): cos y ≠ 0}, а новое — на области {(x,y): cos y ≠ 0, x ≠ ln 2}; если же упростить произведение тангенса на косинус — то вообще в области {(x,y): x ≠ ln 2}. Здесь для него выполнена теорема существования и единственности. Его можно решать, деля на тангенс и исключая, таким образом, из области некоторые куски прямых, а потом можно отметить, что эти куски прямых также являются интегральными кривыми. Вообще-то следовало бы выяснить, нельзя ли «склеить» какие-то решения, определённые при x < 2, с решениями, определёнными при x > 2, но при решении задач никто и никогда вопросами склеивания не занимается.

[RawonaM]

Практически в решении при делении вы записываете рядышком (tg y ≠ 0), а в конце рассматриваете отдельно постоянные функции y, для которых tg y = 0: очевидно, они являются решениями уравнения, то есть к общей формуле добавляется y = πk, k ∈ Z.

Так тут получается дальше, что если y=0, то y=3ln|2-e^x|+C и непонятно, что с этим делать. Как вы узнали, что tan y = 0 решение?

[RawonaM]

А, я кажется понял. Если tg y = 0, то y'=0 и поэтому y=πk решает уравнение.

[Квас]

А, я кажется понял. Если tg y = 0, то y'=0 и поэтому y=πk решает уравнение.

Совершенно точно.

[RawonaM]

Для функции двух переменных: «направленная» производная ведь всегда лежит на касательной плоскости, правильно я понимаю? Если рассматривать функцию одной переменной на этой линии, то направленная производная функции двух переменных не обязательно совпадает с производной этой функции одной переменной, верно?

[Квас]

Не понял вообще. Функции числовые? На каких множествах рассматриваете?