Ахиллес и черепаха

[Валентин Н]

Загуглите что-нибудь сами по теории колец и гипероператорам.

"Идите почитайте интернет".

[kemerover]

Натуральные числа это результат сложения и вычитания, дробные это деление, иррациональные это корни, трансцендентные это логарифмы, но вeдь математических действий можно придумать бесконечно:
последовательное возведение в степень и обратно (нотация кнута), последовательная нотация,,, и так до бесконечности. Значит ли, что и числовых множеств будет столько же?
Т.е соответствует ли каждой такой операции своё числовое сножетсво?

Непонятный вопрос. Натуральные числа это не результат сложения, не ясно что имеется ввиду, то же и с другими числами.

Каждая функция, в том числе операторам суммы, произведения и т.д., имеет область определения (что она получает "на вход") и область значений (что получается "на выходе"). В этом смысле любой операции соответсвует своё числовое множество (а как иначе?), но для разных операторов эти множества могут совпадать.

Если взять натуральные числа и начать их делить, то получатся рациональные (не считая деления на 0) числа; если начать брать из рациональных корни, то получатся иррациональные числа; если начать брать логарифмы, косинусы, особые константы вроде пи или е, то получатся трансцендентные числа (которые тоже иррациональны). Но все эти числа являются действительными. Действительные числа обладают свойством полноты (непрерывности): между двумя любыми действительными числами есть другое действительное число. Поэтому дальше расширять это множество интуитивно похожими способами уже не получится. Но всё же можно это сделать другими способами, например, ввести комплексные или сюрреальные числа.

[Agabazar]

Поэтому дальше расширять это множество интуитивно похожими способами уже не получится. Но всё же можно это сделать другими способами, например, ввести комплексные или сюрреальные числа.

Комплексные числа — на плоскости, а сюрреальные —это что?  В трёхмерном пространстве что ли?

[maratique]

В трёхмерной пространстве не может быть чисел, а вот в четырёхмерном - есть: кватернионы. И ещё есть последние, вроде, числа в восьмимерном: октанионы.

[Бенни]

Действительные числа обладают свойством полноты (непрерывности): между двумя любыми действительными числами есть другое действительное число. Поэтому дальше расширять это множество интуитивно похожими способами уже не получится. Но всё же можно это сделать другими способами, например, ввести комплексные или сюрреальные числа.

kemerover, свойство, о котором вы пишете, есть и у рациональных чисел. Полноту обычно определяют как нечто большее (например, как сходимость всех фундаментальных последовательностей). Комплексные числа можно получить как алгебраическое замыкание поля действительных, но для этого потребуется обобщить понятие умножения.

[Bhudh]

"Идите почитайте интернет".

В Вашем случае лучше начать с учебников.

[kemerover]

kemerover, свойство, о котором вы пишете, есть и у рациональных чисел. Полноту обычно определяют как нечто большее (например, как сходимость всех фундаментальных последовательностей). Комплексные числа можно получить как алгебраическое замыкание поля действительных, но для этого потребуется обобщить понятие умножения.

Да, очень некорректно выразился. Там, конечно, речь должна идти о множествах. Если разделить числа на два множества так, что числа в первом множестве меньше чисел во втором, то всегда найдётся число, которое больше или равно числам из первого множества и меньше или равно числам из второго. Это верно для действительных, но неверно для рациональных чисел. Стандартный пример — разделить все числа на те, чей квадрат меньше 2 и чей квадрат больше двух. Какое рациональное число не взять, оно никогда не будет на границе этих множеств.

[Валентин Н]

Непонятный вопрос. Натуральные числа это не результат сложения, не ясно что имеется ввиду, то же и с другими числами.

Если проделывать операции с натуральным числами, то вычитание даст другие натуральные числа (по модулю), деление даст дроби, корни дадут иррациональные, а логарифмы трансцендентные.

Поэтому дальше расширять это множество интуитивно похожими способами уже не получится.

Возьмём операции обратные нотации и получим ещё два множества и так до бесконечности.

[Бенни]

Насколько я понимаю, нотация Кнута сводится к многократному возведению в степень, соответственно, обратные операции - к извлечению корней, так что они не дадут ничего нового.

[Валентин Н]

"Идите почитайте интернет".

В Вашем случае лучше начать с учебников.

Вам категорически нельзя читать ни учебники, ни википедию. А знаете почему? Вы действуете, как Мисс дебатёр, в какой-то момент это может показаться убедительным и даже сложится впечатление, что вы разбираетесь в теме, но если что-то пойдёт не так получится эпический фейл про великий сталинградский пожар.

[Валентин Н]

Насколько я понимаю, нотация Кнута сводится к многократному возведению в степень, соответственно, обратные операции - к извлечению корней, так что они не дадут ничего нового.

Нет, так же как и извлечение корня, не есть многократное деление.

[Бенни]

Насколько я понимаю, нотация Кнута сводится к многократному возведению в степень, соответственно, обратные операции - к извлечению корней, так что они не дадут ничего нового.

Нет, так же как и извлечение корня, не есть многократное деление.

Да, согласен. Но можно рассуждать от противного: если предположить, что результат обратной операции к нотации, примененной к положительному действительному числу, не является действительным числом, то и никакая степень его не будет действительной (потому что, если бы она была действительной, таким же был бы и ее корень), и степень степени (аналогично), и т.д. То есть и применение нотации к результату обратной операции не даст никакого (в частности, исходного) действительного числа, что противоречит определению обратной операции.

[maratique]

Теорема: дано n действительных(или любых других одномерных чисел) чисел, меньших по модулю, чем r. Тогда обязательно найдутся два числа, разница между которыми меньше .

[Валентин Н]

если предположить, что результат обратной операции к нотации, примененной к положительному действительному числу, не является действительным числом

А зачем это предполагать? Определение:
Действительные числа - числа, которые можно записать в виде конечной или бесконечной (периодической или непериодической) десятичной дроби.
Натуральные дроби, корни и логарифмы, можно записать бесконечной десятичной дробью, но это разные множества. И число, которое можно получить корнем, нельзя получить делением. Откуда уверенность, что числа получаемые операциями обратными нотации, можно получить как-то иначе?

[Бенни]

Уверенности нет, я думал, что вы хотите получить этим способом что-то принципиально новое. А все действительные числа (корни, логарифмы и т.д.) можно получить из рациональных предельным переходом.

[Валентин Н]

я думал, что вы хотите получить этим способом что-то принципиально новое.

Что например.

[maratique]

Решил в связи с этим разговором выяснить, есть ли числа между алгебраическими и трансцендентными. Ну, то есть, выделить в трансцендентных особое подмножество: корни алгебраических уравнений бесконечной степени(т.е. степенных рядов с рациональными коэффициентами). Оказалось, что люди об этом думали, но, к сожалению, даже если ограничиться целыми функциями, то любое число может быть корнем(вроде: https://academic.oup.com/jlms/article-abstract/19/74_Part_2/106/892434 )
То есть надо ещё жоще ограничить степенной ряд, но, думаю, ни фига не выйдет

[maratique]

Может это?
(wiki/ru) Мера_иррациональности

[Agnius]

 Сама апория решается очень просто -она показывает, что на полуоткрытом интервале [0,T) Ахиллес никогда не догонит черепаху, но ничего не может сказать, что будет в момент времени T (которое соответствует встречи). Тут надо либо доопределять по непрерывности, либо констатировать, что наша точка взгляда охватывает только ограниченные промежутки времени, и банально неполна

[Andrey Lukyanov]

Сама апория решается очень просто -она показывает, что на полуоткрытом интервале [0,T) Ахиллес никогда не догонит черепаху, но ничего не может сказать, что будет в момент времени T (которое соответствует встречи).

Хорошая мысль.

[kemerover]

Сама апория решается очень просто -она показывает, что на полуоткрытом интервале [0,T) Ахиллес никогда не догонит черепаху, но ничего не может сказать, что будет в момент времени T (которое соответствует встречи). Тут надо либо доопределять по непрерывности, либо констатировать, что наша точка взгляда охватывает только ограниченные промежутки времени, и банально неполна

Парадокс же про то, что Ахиллесу надо совершить бесконечное число действий. Если ему их надо совершить в интервале [0, T), то, очевидно, их надо совершить и в интервале [0,T].

[Agnius]

@kemerover
 И что? В ТМ такое спокойно описывается

[Agnius]

 Пусть рабочему поручили красить натуральные числа с инструкцией - покрась 1. Если числа от 1 до N покрашены, покрась N+1. Если все числа от 1 и выше покрашены, покрась 0. И пусть он все операции делает мгновенно. Тогда все числа от 0 и выше будут покрашены

[Bhudh]

А ℵ₀ будет покрашен?

[Agnius]

@Bhudh
 Вы этот кардинал с ординалом омегой не попутали?