Ахиллес и черепаха

[kemerover]

Можно сказать, допустим, что ряд 1-1+1-1+1-... сходится; сделать базовые манипуляции, которые возможны со сходящимся рядами и получить результат 1/2. Но сумма ряда от этого 1/2 не станет, ведь он не сходится. (Конечно, можно расширить понятие суммы ряда до суммирующей функции ряда, но на ответ на исходную задачу это никак не повлияет).

[Andrey Lukyanov]

Можно сказать, допустим, что ряд 1-1+1-1+1-... сходится; сделать базовые манипуляции, которые возможны со сходящимся рядами и получить результат 1/2. Но сумма ряда от этого 1/2 не станет, ведь он не сходится. (Конечно, можно расширить понятие суммы ряда до суммирующей функции ряда, но на ответ на исходную задачу это никак не повлияет).

1-1+1-1+1-... может быть равно чему угодно, всё зависит от того, как сгруппировать слагаемые.

(1-1)+(1-1)+(1-1)+.... = 0
1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1).... = 1

Если все плюс-единицы сдвинуть влево на 2 позиции, то может получится

1+1+(-1+1)+(-1+1)+.... = 2

И так далее.

[Karakurt]

Допустим, время не может делиться бесконечно. Тогда все ясно.

[kemerover]

1-1+1-1+1-... может быть равно чему угодно, всё зависит от того, как сгруппировать слагаемые.

(1-1)+(1-1)+(1-1)+.... = 0
1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1).... = 1

Если все плюс-единицы сдвинуть влево на 2 позиции, то может получится

1+1+(-1+1)+(-1+1)+.... = 2

И так далее.

Нет, такие операции возможны только со сходящимися рядами. Вы совершаете ту же ошибку, что и постом выше совершают с нулём шаров в полдень: постулируете заведомо ложный тезис и из него выводите «удивительный» ответ. У частичных сумм этого ряда нету предела, а значит по определению бесконечной суммы ряда он расходится, и никакой суммы у него быть не может.

[Andrey Lukyanov]

Нет, такие операции возможны только со сходящимися рядами. Вы совершаете ту же ошибку, что и постом выше совершают с нулём шаров в полдень: постулируете заведомо ложный тезис и из него выводите «удивительный» ответ. У частичных сумм этого ряда нету предела, а значит по определению бесконечной суммы ряда он расходится, и никакой суммы у него быть не может.

Вы согласны с тем, что 0+0+0+0+...=0 ?

Но ведь (1-1)+(1-1)+(1-1)+.... — это то же самое.

[kemerover]

Вы согласны с тем, что 0+0+0+0+...=0 ?

Но ведь (1-1)+(1-1)+(1-1)+.... — это то же самое.

0+0+0+0+...=0 это принятая математическая конвенция записи


Если вы имеете ввиду во втором случае ряд



То ответ действительно такой же

Но если вы имеете ввиду изначальный ряд



То ответа здесь нету, так как ряд не сходится, и к вышеуказанному ряду он не сводится. Арифметические действия над рядами возможны только для сходящихся рядов. Подробности в учебниках по матанализу, где это всё строго доказывается. Там же приводятся и обобщения суммы рядов до суммирующих функций, которые и многим расходящимся рядам дают какое-то значение.

Так, сумма ряда 1-1+1-1+... хоть и не существует в обычном смысле, но имеет значение 1/2 в смысле Чезаро.

[Andrey Lukyanov]

Так, сумма ряда 1-1+1-1+... хоть и не существует в обычном смысле, но имеет значение 1/2 в смысле Чезаро.

1-1+1-1+... — это бесконечность минус бесконечность (∞−∞). Так что любой ответ будет правильным.

[Agnius]

Из физических соображений следует лишь некорректность постановки задачи.

Почему?

А можно доказать, что это бесконечное счётное множество, ведь это простой предел арифметической прогрессии. Получается противоречие, а значит одна из предпосылок не верна.

Правомерность предела не доказана, тут как раз разрыв

Ну это логика на уровне давайте допустим, что есть семь прямых красных линий, причём некоторые из них зелёные, и все они перпендикулярны...

Вообще таки, нет. Вы должны в противном случае показать противоречие

. Вот вы взяли за данность, что она определена на отрезке [0,1], а она не определена на всём отрезке, вот и всё противоречие.

Она определена по условию задачи. Если это ведет к противоречию, вы должны показать

[Agnius]

1-1+1-1+... — это бесконечность минус бесконечность (∞−∞). Так что любой ответ будет правильным.

Для обобщенных методов суммирования вводят свои ограничения. Например нельзя так группировать слагаемые как у вас

Вы совершаете ту же ошибку, что и постом выше совершают с нулём шаров в полдень: постулируете заведомо ложный тезис и из него выводите «удивительный» ответ.

Какой ложный тезис в задаче о шарах?

[kemerover]

1-1+1-1+... — это бесконечность минус бесконечность (∞−∞). Так что любой ответ будет правильным.

Это просто предел суммы частичных рядов, который расходится. Такая форма записи существует только из-за её интуитивных свойств, как и, например, запись производной в виде дроби, с которой можно совершать похожие операции (и которая может служить подспорьем для введения дифференциальных форм). Никакой разности бесконечностей тут нет.

[kemerover]

Какой ложный тезис в задаче о шарах?

Что существует какая-то физическая интерпретация состояния коробки с шарами в полдень.

[Agnius]

Что существует какая-то физическая интерпретация состояния коробки с шарами в полдень.

Так ее и не существует (и никто не говорил, что существует), задача чисто абстрактная и математическая, и имеет однозначное решение в теории множеств. Сама задача с решением широко известна

[kemerover]

Чисто абстрактная задача это найти предел последовательности множеств (в пределе, конечно, пустое множество), а не посчитать сколько шаров будет в полдень.

[Agnius]

Чисто абстрактная задача это найти предел последовательности множеств (в пределе, конечно, пустое множество), а не посчитать сколько шаров будет в полдень.

Так второе суть первое и есть

[maratique]

Не знает он ещё, что мера счётно-аддитивна, что меры несчётных множеств вычисляются через дополнения.

А еще существуют неизмеримые по Лебегу множества, правда их можно построить только с помощью аксиомы выбора

Я как-то пытался дополнить множество R действительных чисел особыми бесконечно малыми "числами", чтобы в этом множестве R* каждое подмножество имело бы меру из R*.

А то ведь существование неизмеримых множеств противоречит со здравым смыслом - интуиция подсказывает, что у множества Витали должна быть длина, но она равна 1/∞. Так что нынешние действительные числа - это ещё не все, надо добавлять всякие дурные бесконечно малые.

Но возникли проблемы с этим множеством настоящих, всех действительных чисел R*, потому что уж очень у него много свойств - поле, упорядоченность.

Мне кажется, что это очень фундаментальная тема, что ей мало внимания.

[maratique]

Сразу предупреждаю: Нестандартный анализ Абрахама Робинсона - похоже, просто другая форма стандартного, ничего нового там нет и множество Витали тоже не имеет длины.

[Бенни]

maratique, а сюрреальные числа Конвея-Кнута не подойдут для вашей цели?

[Валентин Н]

Натуральные числа это результат сложения и вычитания, дробные это деление, иррациональные это корни, трансцендентные это логарифмы, но вeдь математических действий можно придумать бесконечно:
последовательное возведение в степень и обратно (нотация кнута), последовательная нотация,,, и так до бесконечности. Значит ли, что и числовых множеств будет столько же?
Т.е соответствует ли каждой такой операции своё числовое сножетсво?

[Bhudh]

Валентин Н, неужели Вы думаете, что первый задались этим вопросом?
Разумеется, в теории чисел всё это есть и уже являтся пройденным этапом в её истории.

[Валентин Н]

в теории чисел всё это есть и уже являтся пройденным этапом в её истории.

Т.е соответствует ли каждой такой операции своё числовое множетсво?

[Bhudh]

Они зачастую определяются через него.
Если честно, я даже не знаю, в какой раздел алгебры Вас послать... В этот? Или в этот?
Так Вы в любом случае ничего не поймёте, придёте сюда и скажете: "Вы мне не смогли объяснить простыми словами, без этих ваших алхимических закорючек, значит, всё это ересь и учёные врут!".
Ибо даже представить себе не можете, что не понимаете это не потому, что от Вас всё скрывают, а потому, что у Вас образования не хватает.

[kemerover]

Чисто абстрактная задача это найти предел последовательности множеств (в пределе, конечно, пустое множество), а не посчитать сколько шаров будет в полдень.

Так второе суть первое и есть

Первое это довольно простой формалистский результат, который легко доказывается. А второе это неудачное обличение математической задачи в физическую форму, которая и даёт некорректную интуицию. Нет никаких оснований считать, что можно брать пределы в жизни, и что возможны любые бесконечные операции за конечное время.

Зачем было приводить тогда эту задачу здесь, если суть её для вас именно в формалистком ответе. Тема-то про Ахиллеса и черепаху, и суть этой задачи именно в соответсвии между математическим формализмом и физической интерпретации.

[Валентин Н]

придёте сюда и скажете:

у меня не открывается почему-то, вот интересно почему

[Бенни]

Т.е соответствует ли каждой такой операции своё числовое сножетсво?

Да, каждой операции можно поставить в соответствие множество, на котором она определена, и множество ее возможных результатов. Начиная с натуральных чисел, _алгебраическими_ операциями и предельными переходами можно получить все комплексные, но не более того. Но при желании множество комплексных чисел можно расширить другими способами.

[Bhudh]

у меня не открывается почему-то, вот интересно почему

Это потому, что Вы назло маме уши отмораживаете.
Загуглите что-нибудь сами по теории колец и гипероператорам.