Главное меню
Мы солидарны с Украиной. Узнайте здесь, как можно поддержать Украину.

Введение: Теория множеств (упрощенная для филолухов)

Автор RawonaM, мая 31, 2010, 18:36

0 Пользователи и 1 гость просматривают эту тему.

RawonaM

Базовые понятия

Множество (класс/группа) - набор каких-нибудь вещей или сущностей.
Множество состоит из элементов (или членов).

Условные обозначения
Мы будем обозначать множества заглавными английскими латинскими буквами (A, B, C...).
Элементы будут обозначаться строчными латинcкими буквами (a, b, c...).

Если a принадлежит множеству A, мы запишем это так: a ∈ A (проще запомнить как a ∈лемент A :)).
Если a не элемент множества A, мы запишем это так: a ∉ A.

Для определения множеств мы будем использовать фигурные скобки: {}. Мы будем определять множества с помощью перечисления или описания.
Перечисление: {a,x,y} или {Вася, Петя, Маша} или {I.G., Алалах, myst, Евгений}
Описание: Множество всех ЛФчан запишем так: {x | x - лингвофорумчанин} (читается как "х такое, что х - лфчанин").
Множество всех ЛФчан с длинными волосами запишем так: {x | x - лингвофорумчанин и у х длинные волосы}.
Вместо символа | иногда используется двоеточие.

Нужно заметитить, что множество может состоять из одного элемента или вообще быть пустым.
Пустое множество обозначается - ∅ (что в принципе эквивалентно {}).

Универсум (универс, универсальное множество, обозначается 1 (цифра один) или Ω) - это такое множество, подмножествами которого являются все множества, возможные в определенной задаче. Другими словами, это множество, которое содержит все возможные элементы. Например, в книге по математике - универсум вероятно содержит все возможные числа, в книге по физике это могут быть все возможные тела, а в книге по лингвистике - все возможные предложения языка (и это бесконечное множество, конечно же).

Отношения между множествами

Равенство:
А = В означает, что оба множества содержат одинаковый набор элементов, т.е. это одно и то же множество.

Включение:
B ⊆ A означает, что B включается в А, т.е. все элементы B есть также и в А.
В таком случае В называется подмножеством А. Заметьте, что при таком раскладе возможно и что А = В (в этом случае верно А⊆В и В⊆А).

Если нужно обозначить, что в А есть хотя бы один дополнительный элемент, которого нет в В, пишем
B ⊊ A , и в таком случае говорят, что B cтрого включается в А или В является собственным подмножеством А. Иногда строгое включение обозначается знаком ⊂.

Пример подмножества:
Если даны следующие множества:
С = {х | x - житель СНГ}
U = {х | x - житель Украины}
то
U⊆С

Внимание: отношение "включается" ("является подмножеством чего-то") применимо к множествам, а "принадлежит" ("является элементом чего-то") применимо к элементу и множеству. Например,
если
a = I.G.
A = {I.G., regn}
тогда
a ∈ A
Т.е. есть вредный элемент I.G., который содержится во множестве А.

Но если дано:
A = {I.G., regn}
B = {jvarg, I.G., Wolliger Mensch, regn}
то A ⊊ B.

Чтобы прояснить (или запутать?) можно привести такой пример:
a = I.G.
А = {I.G.}
B = {I.G., regn}
Тогда A ⊊ B и a ∈ A.

Операции над множествами:

объединение - обозначается как A ⋃ B (запоминается символ как ⋃nion, чтоб не путаться с пересечением)
   Если С = A ⋃ B, то С содержит все элементы из А и из В, т.е. любой элемент из А есть в С и любой элемент из В тоже есть в С.
Примеры: Если A = {a, b} и B = {b, c}, то A ⋃ B = {a, b, c}.
Если A = {a | a - козел} и B = {a | a - коза}, то A ⋃ B = {a | a - козел или а - коза} (множество всех козлов и коз).

пересечение - обозначается как A ⋂ B
   Если С = A ⋂ B, то С содержит все общие элементы из А и В, т.е. любой элемент, который есть в С, есть также в А и В.
Примеры: Если A = {a, b} и B = {b, c}, то A ⋂ B = {b}.
Если A = {a | a - козел} и B = {a | a - коза}, то A ⋃ B = {a | a - козел и а - коза} (допустим одновременно быть козлом и козой невозможно, следовательно таких элементов не существует и A ⋃ B = ∅).

разность - обозначается A - B (или A \ B)
   Если С = A - B, то С содержит элементы из А, которых нет в В.
Примеры: Если A = {a, b} и B = {b, c}, то A - B = {a}.
Если A = {a | a - козел} и B = {a | a - козел с синей бородой}, то A - B = {a | a - козел без бороды или a - козел с бородой не синего цвета}.
Если A = {a | a - козел} и B = {a | a - коза}, то A - B = {a | a - козел} (ведь среди козлов нет коз, если вычесть из козлов коз, то останутся все козлы, следовательно в данном случае A - B = A).

дополнение - обозначается как \A или -A или ∁А или А-, но для простоты я буду обычно писать С(А) или -А.
Примеры: Допустим наш универсум - все лингвофорумчане. Тогда если А = {x | x лингвофорумчанин, создающий бредотемы}, то -А это форумчане, не создающие бредотем.
Если наш универсум - все животные, то верны следующие два утверждения: A = {a | a - козел}, -А = {a | a - животное, отличное от козла}.

Внимание: это не все определенные операции над множествами, но нам филолухам пока что хватит! Надо бы еще нарисовать картинки, это намного приятнее, чем словами болтать.

Если объединение и пересечение применяется сразу к нескольким множествам, например A ⋃ B ⋃ С ⋃ D, то можно записать так:  ⋃{A, B, С, D}.


Итак, задания для закрепления:
1. Запишите нашими условными обозначениями:
   a) множество состоящее из элементов a, b и c.
   б) d не элемент пересечения A и B.
   в) дополнение А является подмножеством объединения В и С.
2. Запишите перечислением или определением получившееся множество А, а также поясните своими словами, что оно включает:
   а) A = {x | x - блондинка и х является лфчанкой}
   б) A = {x | x - собака} ⋃ {x | x - кошка}
   в) A = {x | x - собака или х - кошка} ⋂ {x | x - кошка с белыми ушами или х - лошадь}
   г) A = {x | x - собака} - {x | x - кобель}
   д) A = {x | x - кобель} - {x | x - собака}
   е) A = ∁{x | x - живое существо}
   ж) A = {x | x - собака} ⋃ {x | x - из семейства псовых}
   з) A = {x | x - собака} ⋂ {x | x - кошка}
3. Укажите верно или ложно каждое из следующих утверждений:
   а) d ∉ {a, b, c}
   б) {a,b} ⊆ {b, c, a}
   в) {c} ∈ {a, b, c}
   г) {c} ⊆ {a, b, c}
   д) c ∈ {b, {c}}
   е) {c, b, a} ⊊ {a, b, c}
   ж) {c, b, a} ⋃ {a, b, c} ⋂ {c} = {d, c} - ({a,b,d}⋂{d, c})

Специальные символы для копипаста:
[nobbc][uni]∈


Ω




[/nobbc][/uni]Вставлять вместе с тегом!

Пока что хватит. Прошу побольше отзывов!

Евгений

PAXVOBISCVM

antbez

ЦитироватьТакое универсальное множество обозначается 1 (цифра один).

Лучше Ω (или другой буквой, но уж не числом).
Quae medicamenta non sanant, ferrum sanat, quae ferrum non sanat, ignis sanat.

I. G.

...И мимимишечных круглышек,
Что безусловно хороши,
Но очень вредны для души.

RawonaM

Цитата: Евгений от мая 31, 2010, 18:39
Пойти что ли взять кошерный шведский оригинал.
All the chapters of the Swedish book have been revised and several additions (including the whole of chapter 8 ) have been made.

Цитата: antbez от мая 31, 2010, 18:41
ЦитироватьТакое универсальное множество обозначается 1 (цифра один).
Лучше Ω (или другой буквой, но уж не числом).
Гут, добавим. Но я следую книге, в ней используют единицу.

antbez

 :=

Хоть на самом деле порядок элементов в множестве не имеет значения
Quae medicamenta non sanant, ferrum sanat, quae ferrum non sanat, ignis sanat.

RawonaM

Цитата: I. G. от мая 31, 2010, 18:45
Цитировать{I.G., Алалах, myst, Евгений}
Блондинкам понравилось, что они во множестве на 1-м месте!  :-[
В множестве нет порядка! Это просто набор, элементы можно расположить как угодно и они будут равны.

I. G.

...И мимимишечных круглышек,
Что безусловно хороши,
Но очень вредны для души.

antbez

ЦитироватьГут, добавим. Но я следую книге, в ней используют единицу.

"1" для многих будет отсылкой к двоичной системе или теорверу, где это- вероятность достоверного события. Для изложения абстрактной теории множеств лучше использовать буквы.
Quae medicamenta non sanant, ferrum sanat, quae ferrum non sanat, ignis sanat.


basta

Цитироватьмножество всех ЛФчан запишем так: {x | x - лингвофорумчанин} (не уверен, как это читается по-русски, кто знает - помогите. То есть, все те, для кого верно то, что он - ЛФчанин).
"х такое, что х - лфчанин".
вместо символа | иногда используется двоеточие.
:eat:

дискурс лол...
(wiki/ru) Универсум
(wiki/ru) Теория_множеств#Основные_понятия

I. G.

Как целевая аудитория этого ликбеза: если вы будете каждые две минуты менять обозначения, я ничего не пойму.  :no:
...И мимимишечных круглышек,
Что безусловно хороши,
Но очень вредны для души.

Евгений

PAXVOBISCVM

myst


RawonaM

Добавилось:
Цитата: RawonaM от мая 31, 2010, 18:36
Отношения между множествами

Равенство:
А = В означает, что оба множества содержат одинаковый набор элементов, т.е. это одно и то же множество.


Включение:
B ⊆ A означает, что B включается в А, т.е. все элементы B есть также и в А.
В таком случае В называется подмножеством А. Заметьте, что при таком раскладе возможно и что А = В (в этом случае верно А⊆В и В⊆А).

Если нужно обозначить, что в А есть хотя бы один дополнительный элемент, которого нет в В, пишем
B ⊂ A , и в таком случае В является собственным подмножеством А.



Цитата: I. G. от мая 31, 2010, 19:05
Как целевая аудитория этого ликбеза: если вы будете каждые две минуты менять обозначения, я ничего не пойму.  :no:
Целевой аудитории придется подождать пока выйдет хоть сколько-нибудь оформленная версия или пытаться вникнуть так :)

Цитата: Евгений от мая 31, 2010, 19:07
Цитироватьдискурс лол...
Что за лол? Википедия не даёт ответа на вопрос.
Нашел на вики три термина: универсум, пространтво и вселенная :)
(wiki/ru) Универсум

basta

если вы заостряете внимание на речевой ситуации, я б лучше сказал по русски "контекстный универсум", чем нелепое и интуитивно не понятное "вселенная дискурса". но я не специалист и выдумал это прям шяс, так что можете проигнорировать.

RawonaM

Цитата: myst от мая 31, 2010, 19:10
Про счётные множества будешь рассказывать? (Это я RawonaM'у.)
Вряд ли они к месту, но можно пару слов сказать. :)

Кстати да, этот курс после вводной части будет полезен и математикам, которые обычно не знают, как логика применяется в линвгистике и что это вообще возможно...

Евгений

Цитата: RawonaM от мая 31, 2010, 18:47
All the chapters of the Swedish book have been revised and several additions (including the whole of chapter 8 ) have been made.
Ладно, не буду тогда брать, буду учиться у тебя. :)
PAXVOBISCVM


I. G.

Цитата: RawonaM от мая 31, 2010, 18:36
Если a принадлежит множеству A, мы запишем это так: a ∈ A (проще запомнтить как a ∈лемент A :)).
Это не к чему. Такую закорючку в школе проходили.
...И мимимишечных круглышек,
Что безусловно хороши,
Но очень вредны для души.

I. G.

Цитата: RawonaM от мая 31, 2010, 18:36
Если a принадлежит множеству A, мы запишем это так: a ∈ A
Цитата: RawonaM от мая 31, 2010, 19:13
B ⊂ A
Не поняла, в чем разница между "принадлежит" и "включается"?
...И мимимишечных круглышек,
Что безусловно хороши,
Но очень вредны для души.

RawonaM

Добавлено:
Цитата: RawonaM от мая 31, 2010, 18:36
Пример подмножества:
Если даны следующие множества:
С = {х | x - житель СНГ}
U = {х | x - житель Украины}
то
U⊆С

RawonaM

Цитата: I. G. от мая 31, 2010, 19:34
Цитата: RawonaM от мая 31, 2010, 18:36
Если a принадлежит множеству A, мы запишем это так: a ∈ A
Цитата: RawonaM от мая 31, 2010, 19:13
B ⊂ A
Не поняла, в чем разница между "принадлежит" и "включается"?
Гут, хороший вопрос. Щас добавлю объяснение.

hodzha

Цитата: RawonaM от мая 31, 2010, 19:36
Цитата: I. G. от мая 31, 2010, 19:34
Цитата: RawonaM от мая 31, 2010, 18:36
Если a принадлежит множеству A, мы запишем это так: a ∈ A
Цитата: RawonaM от мая 31, 2010, 19:13
B ⊂ A
Не поняла, в чем разница между "принадлежит" и "включается"?
Гут, хороший вопрос. Щас добавлю объяснение.

все очень просто:
принадлежит - используют только для элементов множеств
включается - используют только для подмножеств множеств.

(RawonaM, надеюсь вы не будете возражать  :))

I. G.

Цитата: hodzha от мая 31, 2010, 19:39
принадлежит - используют только для элементов множеств
включается - используют только для подмножеств множеств.
Я понимаю, что разница не в этом?
...И мимимишечных круглышек,
Что безусловно хороши,
Но очень вредны для души.

Быстрый ответ

Обратите внимание: данное сообщение не будет отображаться, пока модератор не одобрит его.

Имя:
Имейл:
Проверка:
Оставьте это поле пустым:
Наберите символы, которые изображены на картинке
Прослушать / Запросить другое изображение

Наберите символы, которые изображены на картинке:

√36:
ALT+S — отправить
ALT+P — предварительный просмотр

1XBet