Каким образом установили, что у треугольника на плоскости сумма углов - 180°?

[From_Odessa]

Что всегда так, что это правило без исключений - как установили? И есть ли что-то такое, что дает нам полную гарантию того, что мы однозначно не можем встретить исключение?

[zwh]

По логике сумма углов четырехугольника должна быть 360... Кто возьмется проверить?

[KW]

А теоремы соответствующей в школе не было?

[From_Odessa]

А теоремы соответствующей в школе не было?

Была. Я забыл, подумал, что это было представлено как аксиома. Спасибо. Щас посмотрел. Там, собственно, доказано. Благодарю.

Мне интересно не только доказательство, а то, как к этому вообще пришли, как это приходило в голову и так далее... Если кто-то знает подробности или, может, кто-то что-то думает по этому поводу.

[Эслыш]

Знаю, что число 180 как-то связано с шумерской 60-ричной системой счисления, восходом и заходом солнца. В подробности не вникал.

[Bhudh]

360° = 360 шагов Солнца по небу = 360 дней в году

[Эслыш]

Страничка из Кванта http://kvant.mccme.ru/pdf/1997/01/09.pdf

[Karakurt]

А зачем градусы, если есть радианы?

[Bhudh]

Слишком много дробей в формулах.

[Эслыш]

360° = 360 шагов Солнца по небу = 360 дней в году

Астрономические расчёты появились всё-таки позже земных бытовых.

[kemerover]

А теоремы соответствующей в школе не было?

Была. Я забыл, подумал, что это было представлено как аксиома.

Когда устанавливали такие факты, аксиом скорее всего ещё не было как концепции.

[piton]

Было.
Если пьешь с ворами, опасайся за свой кошелек. Это сказал фараон.

[VIbrating Wax]

Что всегда так, что это правило без исключений - как установили?

Это равносильно пятому постулату, поэтому не может быть доказано или опровергнуто остальными аксиомами планиметрии. В геометрии Лобачевского сумма углов треугольника всегда меньше 180 градусов.

[VIbrating Wax]

Соответственно, ответ на вопрос топикстартера — история пятого постулата: об этом в интернете можно почитать довольно много.

[Волод]

Великий мРра  говорит мне, что вопрос сформулирован неправильно, не 180°, а два прямых угла.
В такой формулировке практически содержится ответ.

Начинать нужно с квадрата или прямоугольника. Эти фигуры очень даже в хозяйстве землемера необходимые и имеют в наличии четыре прямых угла. Если такую фигуру поделить диагональю пополам, получаться два одинаковых прямоугольных треугольника, каждому из которым достаётся не только половина площади прямоугольника, но и половина суммы его углов = 4/2 прямых угла.
Тут же становится очевидным, что если сумма углов прямоугольного треугольника = 2 прямых угла, то сумма его острых углов = 1 прямой угол.
Ну а произвольный треугольник, можно разделить перпендикуляром к самой длинной его стороне, опущенным из противолежащей вершины, на два прямоугольных треугольника. Причём площадь произвольного треугольника будет равняться сумме площадей двух прямоугольных, а сумма его углов будет равняться сумме острых углов двух прямоугольных треугольников, то-есть 1прямой угол+1прямой угол.

[Karakurt]

Много букв. Просто проводим еще одну прямую, параллельно любой стороне через соотв. вершину и все сразу становится очевидно.

[Волод]

Много букв. Просто проводим еще одну прямую, параллельно любой стороне через соотв. вершину и все сразу становится очевидно.

Это доказательство, похоже на то, как решают задачу, предварительно посмотрев ответ.
А мой вариант вытекает из простой практики разбивки земельных участков и не требует знания никаких аксиом.
Единственная аксиома: "У прямоугольника - четыре прямых угла".

[Andrey Lukyanov]

Единственная аксиома: "У прямоугольника - четыре прямых угла".

А что такое прямоугольник?

[Волод]

А что такое  180, и что такое градус?

[Andrey Lukyanov]

А что такое  180, и что такое градус?

180 — натуральное число, следующее за 179.

Градус — 1/360 полной окружности.

[Волод]

 А что такое окружность?
Это 360^о градусов?

[Andrey Lukyanov]

А что такое окружность?
Это 360^о градусов?

Нет. Окружность — это множество точек, расположенных на одном расстоянии от некоторой заданной точки (центра этой окружности).

[Волод]

  И где в этом множестве углы и градусы?

[Andrey Lukyanov]

И где в этом множестве углы и градусы?

Чтобы добраться до градусов, надо сначала определить, что такое дуга окружности (или что такое угол).

[Toman]

Это доказательство, похоже на то, как решают задачу, предварительно посмотрев ответ.
А мой вариант вытекает из простой практики разбивки земельных участков и не требует знания никаких аксиом.
Единственная аксиома: "У прямоугольника - четыре прямых угла".

Априори, чтобы, не зная ответа, узнать, какова сумма углов некоторого многоугольника, я бы начал с того, что у всякого многоугольника на плоскости сумма поворотных углов равна углу полной окружности, и вот это самое главное. А каждый угол многоугольника - это половина окружности минус соответствующий поворотный угол. Итого, сумма углов n-угольника на плоскости равна n/2-1 окружностей.

А дальше уже можно, зная ответ, придумывать и выбирать доказательства покрасивее, исходящие непосредственно из аксиом.