Лингвофорум

Я банально о дифференцируемых функциях типа z=f(x,y), вещественные числа, представление в виде трехмерного пространства

Та-ак, понятно. Едем дальше. Какие имеются в виду линии («на этой линии») и поверхности? «Направленная производная» — это производная по направлению? Ну так это же число в каждой точке.

Попробую переформулировать. Допустим у нас в f(0,0) касательная плоскость совпадает с плоскостью xy. Это значит, что все производные по направлению на все 360 градусов будут иметь производную 0? Т.е. все производные по направлению будут 0, т.к. касательные по направлению будет лежать в касательной плоскости.
Теперь вопрос такой: если взять «подфункцию», т.е. какой-то разрез, типа там g(x)=f(x,x), значит ли, что у g в нуле тоже производная ноль?

Цитата: RawonaM от сентября 12, 2011, 22:26
Попробую переформулировать. Допустим у нас в f(0,0) касательная плоскость совпадает с плоскостью xy. Это значит, что все производные по направлению на все 360 градусов будут иметь производную 0? Т.е. все производные по направлению будут 0, т.к. касательные по направлению будет лежать в касательной плоскости.
Теперь вопрос такой: если взять «подфункцию», т.е. какой-то разрез, типа там g(x)=f(x,x), значит ли, что у g в нуле тоже производная ноль?

Ну да:

И то же по любому направлению. Но если у f производная не 0, то производная у g может быть разной: для иллюстрации можно представить пересечение наклонной плоскости (график f) с вертикальной плоскостью, вращающейся вокруг оси Oz.

Цитата: Квас от сентября 12, 2011, 22:39
Но если у f производная не 0, то производная у g может быть разной: для иллюстрации можно представить пересечение наклонной плоскости (график f) с вертикальной плоскостью, вращающейся вокруг оси Oz.

Производная у g будет скалярное умножение градиента f на направление g, верно?

Выходит, что если в двух разных направлениях касательные по направлению (т.е. вырезанных функций одной переменной) не лежат в одной плоскости, то функция f не дифференцируема?

Цитата: RawonaM от сентября 12, 2011, 22:44
Производная у g будет скалярное умножение градиента f на направление g, верно?

Ага. На самом деле это и есть производная по направлению вектора — частный случай производной по кривой.

Цитата: RawonaM от сентября 12, 2011, 22:44
Выходит, что если в двух разных направлениях касательные по направлению (т.е. вырезанных функций одной переменной) не лежат в одной плоскости, то функция f не дифференцируема?

Если в трёх. А две пересекающиеся прямые всегда лежат в одной плоскости.

Цитата: Квас от сентября 12, 2011, 23:13

Цитата: RawonaM от сентября 12, 2011, 22:44Производная у g будет скалярное умножение градиента f на направление g, верно?

Ага. На самом деле это и есть производная по направлению вектора — частный случай производной по кривой.

А если функция недифференцируема в этой точке, их можно высчитывать с помощью градиента? Впрочем, ведь тогда и градиента нет...

Цитата: Квас от сентября 12, 2011, 23:13
Если в трёх. А две пересекающиеся прямые всегда лежат в одной плоскости.

Точно.

Цитата: RawonaM от сентября 12, 2011, 23:17
Впрочем, ведь тогда и градиента нет...

Это смотря как его определить. В любом случае, лучше градиент рассматривать для дифференцируемых.

Что-то мне не дает покоя в этих функциях...

Допустим если в нуле функции |x| говорили, что нет касательной, потому что там много касательных можно провести, то допустим для функции:

f(x,y)=0 | xy≤0
f(x,y)=-1 в остальных случаях

касательная плоскость в нуле однозначна, но ее нет.

Это «неправильная» поверхность. Касательные плоскости можно определять для гладких поверхностей
Если поверхность гладкая, то касательные, проведённые в точке m ко всевозможным дифференцируемым кривым на поверхности, проходящим через m, заметают плоскость — она и называется касательной. А в вашем примере касательные прямые не будут заметать плоскость.

Цитата: Квас от сентября 12, 2011, 23:37
Если поверхность гладкая, то касательные, проведённые в точке m ко всевозможным дифференцируемым кривым на поверхности, проходящим через m, заметают плоскость — она и называется касательной. А в вашем примере касательные прямые не будут заметать плоскость.

По термину «касательная плоскость/прямая» я понимаю что есть плоскость или прямая, ее берут и прикасаются к функции. Вот мне объяснили про |x| что там такого рода касательная будет «болтаться», поэтому ее однозначно нет, так я вот притуляю плоскость к вышеупомянутой функции, там ничего не болтается, значит по моим ощущениям — касательная плоскость.

Что-то слишком широкое определение. Тогда и у крестовины касательная плоскость есть.

Цитата: Квас от сентября 12, 2011, 23:48
Что-то слишком широкое определение. Тогда и у крестовины касательная плоскость есть.

Тогда выходит есть. А почему бы ей не быть?
Нет, ну если понимать касательную плоскость как бесконечное множество касательных прямых на 360 градусов, то конечно у той функции что я задал часть касательных прямых будут проваливаться от нуля в положительную сторону икса, поэтому касательной плоскости нет, ибо она не плоскость получается. Но я почему-то думал, что берется уже готовая плоскость и касается.

Как это получается, что:


Разве они отличаются только константой?

Цитата: RawonaM от сентября 15, 2011, 08:44


Разве они отличаются только константой?

Да:


Кстати, в школе на факультативе мы решали интересные (школьникам) примеры на доказательство тождеств с помощью производной. Например,

Мне вот непонятно, как получается, что умножение градиента на единичный вектор направления дает производную по этому направлению. Ведь в тот момент когда мы вычислили градиент в определенной точке, все данные о функции потерялись, это всего лишь вектор. Скалярное умножение на единичный вектор направления это всего лишь умножение на косинус угла, поэтому если смотреть сверху на длину вектора градиента помноженного на направление, то это должна быть симметричная фигура вокруг точки, причем ортогонально градиенту всегда будет ноль, разве нет? Как же получается, что он охватывает все производные на 360 градусов?

Просто сама производная несёт не много информации. В обычном (достаточно гладком) случае производная по вектору линейно зависит от вектора, то есть является линейным функционалом. А всякий линейный функционал на n-мерном пространстве определяется как раз набором из n чисел.

Получается, что в любой точке вектора по длине производных выглядят одинаково: типа восьмерка. Правильно?

Ну да, получается так.

Нужно найти область сходимости .

Допустим я нахожу с помощью такой проверки: , что ряд абсолютно сходится при |x|<1. Края проверяю отдельно. Закончилось ли на этом решение или все-таки может быть радиус сходимости условной шире, чем абсолютной?

Закончилось, потому что с помощью того же питуаха устанавливаете, что при |x|>1 ряд расходится. А известно, что внутри интервала сходимости (-R,R) ряд сходится абсолютно, а вне его расходится.

Цитата: Квас от сентября 17, 2011, 22:00
Закончилось, потому что с помощью того же питуаха устанавливаете, что при |x|>1 ряд расходится.

А точно, это я стормозил

А вот как попроще найти сумму этого выражения? Я смотрю на эти трюки с умножением на х, дифференциацией, трах-тибидох, интеграция, вуаля получается сумма, и думаю, что не смогу это воспроизвести на экзамене.

Да особо стандартных методов нет... Сама соль рядов в том, что они часто не выражаются через элементарные функции (иначе было бы достаточно элементарных функций). В принципе, надо плясать от основных разложений (геометрическая прогрессия, экспонента, логарифм, тригонометрические) и пытаться подогнать коэффициенты: тут как раз может быть полезно ряд продифференцировать или проинтегрировать.

М-да. Нелегкое это дело. Наверное нужно много решать и с опытом приходит.

Ну — много-немного... Порешайте Демидовича, пока не надоест (смотрю, там меньше полсотни номеров) и можете считать себя подкованным.