Матан №2

RawonaM · сентября 11, 2011, 17:59

Допустим у меня есть h(y)dy=f(x)dx.

Какое такое право мне дает взять интеграл с обоих сторон по разным переменным? Что вообще из себя представляет dx?

Bhudh · сентября 11, 2011, 18:05

Ты ж разные значения получишь...

RawonaM · сентября 11, 2011, 18:17

Мэпл умеет считать дифуры?

Нужно посчитать $[tex](1+e^x)yy'=e^x[/tex]$ , причем y(0)=1.

У меня вышло общее решение $[tex]y(x)=\sqrt{2 \ln(1+e^x) + C}[/tex]$ , а после начального условия $[tex]y(x)=\sqrt{2 \ln(1+e^x) + 1-2\ln2}[/tex]$ . Как проверить?

antbez · сентября 11, 2011, 18:22

Диф-ем и подстановкой, как же ещё!

Квас · сентября 11, 2011, 19:08

Цитата: RawonaM от сентября 11, 2011, 17:59
Допустим у меня есть h(y)dy=f(x)dx.

Какое такое право мне дает взять интеграл с обоих сторон по разным переменным? Что вообще из себя представляет dx?

Это танцы с бубном: все так делают, но мало кто понимает, какой смысл.

Точнее говоря, есть некий удобный формализм, затуманивающий смысл дела.

В принципе, если у вас y=y(x), то ваше уравнение является символической записью следующего:
h(y(x))y'(x) = f(x)
Это тождество, его можно проинтегрировать:
$[tex]<br />\int_{x_0}^x h(y(\xi)) y'(\xi)\,d\xi=\int_{x_0}^x f(\xi)\,d\xi<br />[/tex]$
$[tex]<br />\int_{y(x_0)}^{y(x)} h(\zeta) d\zeta=\int_{x_0}^x f(\xi)\,d\xi<br />[/tex]$
Если F и H — первообразные для f и h соответственно, то
$[tex]H(y(x)) - H(y(x_0)) = F(x) - F(x_0)[/tex]$
$[tex]H(y(x)) = F(x) + ( H(y(x_0))- F(x_0))[/tex]$
То есть любое решение на отрезке, содержащем точку x_0, удовлетворяет соотношению
$[tex]H(y(x)) = F(x) + C,[/tex]$
где C — постоянная. Обратное тоже верно (проверяется дифференцированием).

Можете для сравнения посмотреть § 2 в «Обыкновенных дифференциальных уравнениях» Понтрягина (это самый что ни на есть классический учебник). Тщательное обоснование формального интегрирования при решении дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными требует известной въедливости и нудности, само по себе это неочевидно. Хорошо, RawonaM, что у вас глаз не замылился.

Квас · сентября 11, 2011, 19:13

Цитата: RawonaM от сентября 11, 2011, 18:17
Мэпл умеет считать дифуры?

Bien sûr ! Команда dsolve. Неизвестная функция должна прописываться с указанием аргумента, как y(x). Если просто задать одно уравнение, он интеллектуально угадывает, относительно чего решать; в любом случае в качестве второго аргумента можно указать неизвестную функцию (или множество неизвестных функций). Система или начальные условия задаются как множество. Например,

Цитата: RawonaM от сентября 11, 2011, 18:17
Нужно посчитать $[tex](1+e^x)yy'=e^x[/tex]$ , причем y(0)=1.

dsolve({(1+exp(x))*y(x)*diff(y(x),x) = exp(x), y(0) = 1});

Пример начального условия для второго порядка:
dsolve( {diff(y(x),x,x) = x, y(0) = 1, D(y)(0) = 2});

Квас · сентября 11, 2011, 19:16

Цитата: RawonaM от сентября 11, 2011, 17:36
Что-то я не врубаюсь, $[tex]\sec t=\cos^{-1} t=\frac1{\cos t}[/tex]$ , не так ли? В таком случае, почему у них разные интегралы?

Не может быть!

RawonaM · сентября 11, 2011, 19:30

Цитата: Квас от сентября 11, 2011, 19:16
Цитата: RawonaM от сентября 11, 2011, 17:36Что-то я не врубаюсь, $[tex]\sec t=\cos^{-1} t=\frac1{\cos t}[/tex]$ , не так ли? В таком случае, почему у них разные интегралы?
Не может быть!

Хотел сфотать, но куда-то потерялся кардридер

Цитирую:
$[tex]\int \cos^{-1}u \, du = u \cos^{-1} u - \sqrt{1-u^2} + C[/tex]$
$[tex]\int \sec u \, du = \ln|\sec u + \tan u| + C = \ln|\tan (\pi/4 + u/2)|[/tex]$

Так же различаются интегралы sin^-1 и csc, tan^-1 и cot.

Квас · сентября 11, 2011, 19:37

Цитата: RawonaM от сентября 11, 2011, 19:30
$[tex]\int \cos^{-1}u \, du = u \cos^{-1} u - \sqrt{1-u^2} + C[/tex]$

Очевидно, это арккосинус.

RawonaM · сентября 11, 2011, 20:06

Цитата: Квас от сентября 11, 2011, 19:37
Цитата: RawonaM от сентября 11, 2011, 19:30 $[tex]\int \cos^{-1}u \, du = u \cos^{-1} u - \sqrt{1-u^2} + C[/tex]$
Очевидно, это арккосинус.

тьфу, я кажется уже на это попадался!! Ну зачем делать в математике одинаковые обозначения для разных вещей?!!

Alone Coder · сентября 11, 2011, 20:08

Кто-то ещё пишет cos^-1 вместо arccos?

RawonaM · сентября 11, 2011, 20:09

Цитата: Квас от сентября 11, 2011, 19:08
Это танцы с бубном: все так делают, но мало кто понимает, какой смысл. Точнее говоря, есть некий удобный формализм, затуманивающий смысл дела.
[...]
Можете для сравнения посмотреть § 2 в «Обыкновенных дифференциальных уравнениях» Понтрягина (это самый что ни на есть классический учебник). Тщательное обоснование формального интегрирования при решении дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными требует известной въедливости и нудности, само по себе это неочевидно. Хорошо, RawonaM, что у вас глаз не замылился.

Спасибо, теперь вроде стало яснее!

RawonaM · сентября 11, 2011, 20:13

Цитата: Alone Coder от сентября 11, 2011, 20:08
Кто-то ещё пишет cos^-1 вместо arccos?

Да все пишут.

Цитата: Квас от сентября 11, 2011, 19:13
dsolve({(1+exp(x))*y(x)*diff(y(x),x) = exp(x), y(0) = 1});

Ух ты, вышло акурат как у меня. Только у мэпла заняло секунд 5, а у меня минут 10

RawonaM · сентября 11, 2011, 20:16

Цитата: мэпл>dsolve({y/x+diff(y(x), x) = sin(x)})
Error, (in ODEtools/info) y(x) and y cannot both appear in the given ODE.

Вас бедойтед эс?

Alone Coder · сентября 11, 2011, 20:19

Цитата: RawonaM от сентября 11, 2011, 20:13
Цитата: Alone Coder от сентября 11, 2011, 20:08Кто-то ещё пишет cos^-1 вместо arccos?
Да все пишут.

(wiki/en) Inverse_trigonometric_function

Квас · сентября 11, 2011, 20:19

Цитата: RawonaM от сентября 11, 2011, 20:16
Цитата: мэпл>dsolve({y/x+diff(y(x), x) = sin(x)})
Error, (in ODEtools/info) y(x) and y cannot both appear in the given ODE.
Вас бедойтед эс?

В первом слагаемом y(x)/x.

RawonaM · сентября 11, 2011, 20:23

Цитата: Квас от сентября 11, 2011, 20:19
В первом слагаемом y(x)/x.

мерси.

RawonaM · сентября 11, 2011, 20:24

Меня подбешивает в мапле, что у него формулы вводить надо в самом-самом низу экрана, есть возможность проскроллить его?

Квас · сентября 11, 2011, 20:45

Действительно... В Classical Worksheet такого нет.

Разве что побольше промптов внизу наставить?

RawonaM · сентября 11, 2011, 20:53

А как промпты ставить?

RawonaM · сентября 11, 2011, 20:59

Нужно найти кривую, проходящую через (0,2) у которой производная на всем пространстве $[tex]\frac{2xy^3-16x}{3y^2}[/tex]$ . Методом разделения и интеграции обоих частей находим, что ln|2y³-16|=x²+C. Теперь пытаемся подставить точку (0,2) — выходит ln 0. В чем ошибка? Что тут можно сделать?

RawonaM · сентября 11, 2011, 21:47

Попалось уравнение, с которым мэпл не справился, да и я не уверен.

$[tex]3e^x\tan y+\frac{2-e^x}{\cos^2y}\frac{dy}{dx}=0[/tex]$

Переносим, раздляем:
$[tex]\frac{1}{\tan y \cos^2y}dy=\frac{-3e^x}{2-e^x}dx[/tex]$

Интегрируем обе стороны:
$[tex]\ln|\tan y|=3\ln|2-e^x|+C[/tex]$

Я так понимаю это не считается решением, верно же?

Пробуем выделить y:
$[tex]\ln|\tan y|=\ln|(2-e^x)^3|+\ln e^C=\ln|e^C(2-e^x)^3|[/tex]$

$[tex]y=\arctan (e^C(2-e^x)^3)[/tex]$

Такое решение считается?

Квас · сентября 11, 2011, 22:04

Цитата: RawonaM от сентября 11, 2011, 20:53
А как промпты ставить?

Проще всего поставить курсор на последний из них и зажать Enter.

Цитата: RawonaM от сентября 11, 2011, 20:59
Нужно найти кривую, проходящую через (0,2) у которой производная на всем пространстве $[tex]\frac{2xy^3-16x}{3y^2}[/tex]$ . Методом разделения и интеграции обоих частей находим, что ln|2y³-16|=x²+C. Теперь пытаемся подставить точку (0,2) — выходит ln 0. В чем ошибка? Что тут можно сделать?

Наверно, при делении вы потеряли решение y=2.

Квас · сентября 11, 2011, 22:18

Цитата: RawonaM от сентября 11, 2011, 21:47
Я так понимаю это не считается решением, верно же?

В принципе, первый интеграл решением считается (то есть достаточно от производных освободиться). Проверить можно так:
>diff(ln(tan(y(x)))-3*ln(2-exp(x)),x); # дифференцирую первый интеграл
>solve(%, diff(y(x),x)); # разрешаю относительно производной
>solve(3*exp(x)*tan(y(x))+(2-exp(x))/cos(y(x))^2*diff(y(x),x), diff(y(x),x)); # разрешаю исходное уравнение относительно производной
>simplify(%-%%);
0 #

Конечно, в данном случае несложно выразить y.

Цитата: RawonaM от сентября 11, 2011, 21:47
$[tex]\ln|\tan y|=\ln|(2-e^x)^3|+\ln e^C=\ln|e^C(2-e^x)^3|[/tex]$

Обозначим $[tex]e^C = C_1>0[/tex]$
$[tex]\ln|\tan y|=\ln|C_1(2-e^x)^3|[/tex]$
$[tex]|\tan y|=|C_1(2-e^x)^3|[/tex]$
$[tex]\tan y=\pm C_1(2-e^x)^3[/tex]$
Можно обозначить $[tex]\pm C_1 = C_2[/tex]$ , тогда C_2 может иметь любой знак. Более того, проверка показывает, что если tg y ≡ 0, то функция y (постоянная) является решением, так что C_2 = 0 допустимо. Когда выражаем y, не забываем период тангенса: +πk, k ∈ Z.

Когда вы делите, вы рискуете потерять решения. Поэтому нули знаменателя надо отдельно проверять.

RawonaM · сентября 11, 2011, 22:36

Цитата: Квас от сентября 11, 2011, 22:04
Цитата: RawonaM от сентября 11, 2011, 20:59Нужно найти кривую, проходящую через (0,2) у которой производная на всем пространстве $[tex]\frac{2xy^3-16x}{3y^2}[/tex]$ . Методом разделения и интеграции обоих частей находим, что ln|2y³-16|=x²+C. Теперь пытаемся подставить точку (0,2) — выходит ln 0. В чем ошибка? Что тут можно сделать?
Наверно, при делении вы потеряли решение y=2.

Я об этом думал. Однако я не знаю, что тут еще можно делать. Подумал, что можно будет найти общее решение, которое будет верно и в тех точках, которые «теряются». А что тут теперь делать можно, ума не приложу. Я заметил, что подынтегральное выражение не определено в y=2 и что производная в (0,2) обнуляется, но что с этим делать я не знаю.

Лингвофорум

Матан №2

RawonaM

Bhudh

RawonaM

antbez

Квас

Квас

Квас

RawonaM

Квас

RawonaM

Alone Coder

RawonaM

RawonaM

RawonaM

Alone Coder

Квас

RawonaM

RawonaM

Квас

RawonaM

RawonaM

RawonaM

Квас

Квас

RawonaM

Быстрый ответ