Теория вероятностей

RawonaM · мая 12, 2011, 22:18

Еще нужно найти, сколько вариантов есть так, что все 4 шара двух цветов, а распределение не имеет значения.
Я посчитал так: выбираем 2 из 8 цветов, затем разбиваем 4 шара на две группы, итого:
8*7/2*4!/2!/2!/2!=84 варианта.

Это верно, как думаете?

Квас · мая 12, 2011, 22:23

Цитата: RawonaM от мая 12, 2011, 22:15
Посчитаем, сколько будет вариантов, в которых по крайней мере в одной паре два шара одного цвета:
8 - цвет одноцветной пары, 14*13/2 еще два шара во вторую пару, т.е. 8*14*13/2=728.
Теперь из этого вычтем варианты, в которых две пары одноцветные (мы это нашли выше): 728-28=700.
Ну и чо? Теперь у нас два разных ответа на одно и то же(

Нет, всё сходится:

700 (по крайней мере одна пара одинаковых) = 28 (две пары одинаковых) + 672 (ровно одна пара одинаковых).

Квас · мая 12, 2011, 22:25

Цитата: RawonaM от мая 12, 2011, 22:18
Я посчитал так: выбираем 2 из 8 цветов, затем разбиваем 4 шара на две группы, итого:
8*7/2*4!/2!/2!/2!=84 варианта.

Это верно, как думаете?

Согласен. Я уже набил руку с шарами.

RawonaM · мая 12, 2011, 22:25

Цитата: RawonaM от мая 12, 2011, 22:15
ЦитироватьТеперь сколько вариантов выбора двух пар шаров, так что ровно в одной из них будет два шара одинакового цвета?
Выбираем цвет для одной пары - 8, выбираем два цвета для второй пары: 7*6/2, но последнее нужно помножить на 4 варианта их комбинаций, итого
8*7*6/2*4=672.
Теперь подумаем с другой стороны.
Посчитаем, сколько будет вариантов, в которых по крайней мере в одной паре два шара одного цвета:
8 - цвет одноцветной пары, 14*13/2 еще два шара во вторую пару, т.е. 8*14*13/2=728.
Теперь из этого вычтем варианты, в которых две пары одноцветные (мы это нашли выше): 728-28=700.
Ну и чо? Теперь у нас два разных ответа на одно и то же(

Я так думаю, что во втором подсчете мы посчитали дважды некоторые варианты, а именно 28 штук, которые как раз две одноцветные пары, т.е. 28. Вроде сходится.
Блин в этой комбинаторике никакого битахона не наберешься(

RawonaM · мая 12, 2011, 22:45

Вот еще задачка на проверку:

Вероятность количества участвующих в лотерее P{X=i}=ci^2 (от 1 до 20).

Какова вероятность выигрыша у произвольного участника?

Я посчитал так:
с=1/2870 (по формуле суммы квадратов).

Вероятность выигрыша обусловлена количеством участвующих, поэтому нужно сложить все 20 условных вероятностей. Итого с(1/1+2*2/2+...+20*20/20)=с(1+2+3+...+20), т.е. 210/2870=0.073...

Ход мысли верный?

Квас · мая 12, 2011, 23:02

Цитата: RawonaM от мая 12, 2011, 22:45
Ход мысли верный?

Ага, и ответ тоже. Можно рассматривать как задачу нахождения матожидания величины 1/X.

RawonaM · мая 12, 2011, 23:18

Цитата: Квас от мая 12, 2011, 23:02
ЦитироватьХод мысли верный?
Ага, и ответ тоже. Можно рассматривать как задачу нахождения матожидания величины 1/X.

Геометрическая переменная?? Не понял как...

Квас · мая 12, 2011, 23:46

Цитата: RawonaM от мая 12, 2011, 23:18
Цитата: Квас от Сегодня в 00:02
ЦитироватьЦитировать
ЦитироватьХод мысли верный?
Ага, и ответ тоже. Можно рассматривать как задачу нахождения матожидания величины 1/X.
Геометрическая переменная?? Не понял как...

В каком смысле «геометрическая»?

Если участвуют X участников, то вероятность моего выигрыша равна Y = 1/X. Мне надо найти $[tex]\inline \mathsf MY[/tex]$ . Распределение этой величины: значения 1/i она принимает с вероятностью ci^2 (i=1,...20).

Те же яйца, только вид сбоку.

RawonaM · мая 12, 2011, 23:48

Что-то я такой переменной не знаходжу в конспектах. Надо взять на заметку.

Квас · мая 13, 2011, 00:00

Цитата: RawonaM от мая 12, 2011, 23:48
Что-то я такой переменной не знаходжу в конспектах.

Это просто функция от случайной величины. Что есть случайная величина X? Это функция на множестве элементарных исходов: $[tex]X \colon \Omega \to \mathbb R[/tex]$ . Если есть числовая функция $[tex]f \colon \mathbb R \to \mathbb R[/tex]$ , можно образовать композицию $[tex]f \circ X \colon \Omega \to \mathbb R[/tex]$ , которая снова является случайной величиной. Её обозначают f(X). Если $[tex]X[/tex]$ принимает значения $[tex]x_i[/tex]$ с вероятностями $[tex]p_i[/tex]$ , то ясно, что $[tex]f(X)[/tex]$ принимает значения $[tex]f(x_i)[/tex]$ с теми же вероятностями (с очевидной оговоркой насчёт совпадения значений $[tex]f(x_i)[/tex]$ ).

RawonaM · мая 13, 2011, 09:02

Вот у меня как раз задание на функцию от случайной величины, и мне явно не хватает математики, чтобы его решить.
X - распределение Пуассона с параметром 1.

Y= { X+1 X<=2
X-1 X>=3

Написать функцию вероятности в точной форме и найти E[Y].

Я так понимаю что в записи вообще ошибка и должно быть Y<=2 и Y>=3, функция же от Y...

Точнее чем на два случая разделить, я не знаю как можно записать...
И потом, я попробовал сложить вероятности, выходит 1 только приблизительно...

Пытаюсь найти E[Y], выходит такой бесконечный ряд:
e^-1*(7/3+3/2!+4/3!+5/4!+....).

Такого ряда что-то не нахожу в списках.

Квас · мая 13, 2011, 12:14

Цитата: RawonaM от мая 13, 2011, 09:02
Я так понимаю что в записи вообще ошибка и должно быть Y<=2 и Y>=3, функция же от Y...

Там правильно, обычное кусочное задание:
$[tex] Y = \left\{ \begin{array}{ll} X+1, & X \leqslant 2\\ X-1, & X \geqslant 3 \end{array} \right. [/tex]$
Величина X принимает значения 0, 1,..., причём
$[tex] p_k \mathrel{\mathop:}= \mathsf P\{ X = k \} = \lambda^k e^{-\lambda} / k![/tex]$
Поэтому ясно, что Y принимает значения 1, 2,.... С какими вероятностями? Уравнение Y=k даёт:
1) X + 1 = k (X ≤ 2)
X = k - 1, решение актуально при k ≤ 3
2) X - 1 = k (X ≥ 3)
X = k + 1, решение актуально при k ≥ 2

Получаем закон распределения:
$[tex] \mathsf P\{ Y = 1 \} = p_0\\ \mathsf P\{ Y = 2 \} = p_1 + p_3\\ \mathsf P\{ Y = 3 \} = p_2 + p_4\\ \mathsf P\{ Y = k \} = p_{k+1} \quad( k = 4, 5,...) [/tex]$

Эти уравнения нужны только чтобы красиво выписать ряд распределения. Для матожидания они ни к чему, потому что в формуле для матожидания x_k могут повторяться. Таким образом, имеем:
$[tex]\mathsf E[Y] = \sum_{k=0}^\infty f(k) p_k[/tex]$
$[tex]\mathsf E[Y] = 1 \cdot p_0 + 2 \cdot p_1 + 3 \cdot p_2 + \sum_{k=3}^\infty (k-1) \lambda^k e^{-\lambda} / k![/tex]$
Ряд вроде нормально считается. Мэпл говорит, что в конечном итоге получается (его собственные слова:)
$[tex]-1+2\,{e^{-\lambda}}+{\lambda}^{2}{e^{-\lambda}}+\lambda+2\,\lambda\,{ e^{-\lambda}} [/tex]$

RawonaM · мая 13, 2011, 12:23

У нас ламбда=1, то есть ответ -1+2/е+1/е+1+1/е=4/е.
Где-то ошибка, потому что должно быть 5/е.

Не, это для нас слишком сложное задание мне кажется, что-то тут мне не нравится.

RawonaM · мая 13, 2011, 12:25

Цитата: RawonaM от мая 13, 2011, 12:23
У нас ламбда=1, то есть ответ -1+2/е+1/е+1+1/е=4/е.
Где-то ошибка, потому что должно быть 5/е.

А, прошу пардона, пропустил двойку. Значит все правильно.

RawonaM · мая 13, 2011, 12:26

Собственно, это должно быть считаемо без мэпла, каким образом?

Квас · мая 13, 2011, 12:35

У нас получается ряд
$[tex]\sum_{k=3}^\infty \frac{k-1}{k!} = \sum_{k=3}^\infty \frac{1}{(k-1)!}- \sum_{k=3}^\infty \frac{1}{k!} = \sum_{m=2}^\infty \frac{1}{m!} - \sum_{k=3}^\infty \frac{1}{k!} [/tex]$
Оба ряда считаются через экспоненту:
$[tex] \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} = e [/tex]$
(из обычного ряда Тейлора при x=1). В случае произвольного λ рассуждения те же.

Квас · мая 13, 2011, 12:39

А зачем их, собственно, через экспоненту считать, если они сокращаются и получается 1/2?

RawonaM · мая 14, 2011, 16:54

Цитата: Квас от мая 13, 2011, 12:39
А зачем их, собственно, через экспоненту считать, если они сокращаются и получается 1/2?

Как они сокращаются?

RawonaM · мая 14, 2011, 16:57

Цитата: Квас от мая 13, 2011, 12:14
Получаем закон распределения:
$[tex] \mathsf P\{ Y = 1 \} = p_0\\ \mathsf P\{ Y = 2 \} = p_1 + p_3\\ \mathsf P\{ Y = 3 \} = p_2 + p_4\\ \mathsf P\{ Y = k \} = p_{k+1} \quad( k = 4, 5,...) [/tex]$

Что-то я тут не понял, откуда р1+р3 и р2+р4. Разве не просто р1 и р2?

RawonaM · мая 14, 2011, 17:01

Y это функция от Х такая получается?.. Почему она обусловлена Х-ом? Ниче не понял.

RawonaM · мая 14, 2011, 17:06

А, получается так, что У=2 когда Х=1 и Х=3, и У=3 когда Х=2 и 4, поэтому надо сложить. Остальные оне-то-оне.

Квас · мая 14, 2011, 17:16

Цитата: RawonaM от мая 14, 2011, 16:54
Цитата: Квас от Вчера в 13:39
ЦитироватьА зачем их, собственно, через экспоненту считать, если они сокращаются и получается 1/2?
Как они сокращаются?

Члены рядов одни и те же, только в первом ряде на один член больше.

Цитата: RawonaM от мая 14, 2011, 17:01
Y это функция от Х такая получается?.. Почему она обусловлена Х-ом? Ниче не понял.

Именно что функция.

Цитата: RawonaM от мая 14, 2011, 17:06
А, получается так, что У=2 когда Х=1 и Х=3, и У=3 когда Х=2 и 4, поэтому надо сложить. Остальные оне-то-оне.

Absolument.

RawonaM · мая 14, 2011, 17:43

Цитата: Квас от мая 13, 2011, 12:14
$[tex]\mathsf E[Y] = 1 \cdot p_0 + 2 \cdot p_1 + 3 \cdot p_2 + \sum_{k=3}^\infty (k-1) \lambda^k e^{-\lambda} / k![/tex]$
Ряд вроде нормально считается. Мэпл говорит, что в конечном итоге получается (его собственные слова:)
$[tex]-1+2\,{e^{-\lambda}}+{\lambda}^{2}{e^{-\lambda}}+\lambda+2\,\lambda\,{ e^{-\lambda}} [/tex]$

В упор не пойму, откуда взялся -1...
Ведь р0=1/е.

Квас · мая 14, 2011, 17:51

Цитата: RawonaM от мая 14, 2011, 17:43
В упор не пойму, откуда взялся -1...

-1 и λ из ряда вылезают. Если λ=1, то и не вылезают.

RawonaM · мая 20, 2011, 09:35

Сколько есть вариантов создать цепочку из 5 символов, состоящую из {a,b,c,d}, так чтобы все четыре были в цепочке?
Если так:
4! — располагаем все четыре в ряд
5 — выбираем место для дополнительной буквы
4 — выбираем дополнительную букву

4!*5*4 делим на 2!, ибо мы считаем дважды каждый вариант.

Итого 4!*5*4/2!.

Верно? Есть способ попроще?

Лингвофорум

Теория вероятностей

RawonaM

Квас

Квас

RawonaM

RawonaM

Квас

RawonaM

Квас

RawonaM

Квас

RawonaM

Квас

RawonaM

RawonaM

RawonaM

Квас

Квас

RawonaM

RawonaM

RawonaM

RawonaM

Квас

RawonaM

Квас

RawonaM

Быстрый ответ