Теория вероятностей

[RawonaM]

Простая логика и посчет показывает, что вероятность выбора Васи 5/8

Вы уверены? Вопрос, вероятно, идиотский, просто возникли какие-то сомнения, связанные с тем, что здесь выбор пяти из восьми происходит.

Посчитайте

[From_Odessa]

Тьфу... Вопрос был совершенно дебильный, конечно... Там и считать ничего не нужно, чтобы понять, что 5/8-х...

[RawonaM]

Вот еще вопрос:
Делим случайным образом 16 детей — 8 мальчиков и 8 девочек — на пары.

Какова вероятность, что получится ровно две гетеросексуальные пары?

Я посчитал так:
выбор двух мальчиков =
выбор двух девочек =
комбинации двух пар = 2
остальные 6 девочек делим на пары между собой и 6 мальчиков делим на пары между собой.

Полное пространство состоит из 16 детей поделить на две пары.

Итого:



Смущает слишком высокая вероятность, но ошибку не нахожу...

[From_Odessa]

Простая логика и подсчет показывает, что вероятность выбора Васи 5/8, и вероятность выбора Маши тоже 5/8, но также рассчет показывает, что вероятность выбора их обоих — это (5/8)^2. Это верно?

Вроде бы. Ведь, по сути, можно сказать, что у нас две группы по 8 элементов. Сначала из одной отбирают пять, потом - из второй (это не так происходит в условии задачи, но суть-то именно такая). Вероятность того, что один из элементов попадет в эту пятерку в каждом из случаев - 5/8. Значит, вероятность того, что произойдут оба события - 25/64. Вроде... Это хорошо видно, если представить себе, что есть две группы по два элемента (А-1, А-2 и Б-1, Б-2). Если мы вытаскиваем из каждой группы по одному элементу, какова вероятность выпадения А-1 и Б-2? 1/4-я, потому что 1/2 во второй степени. Но при этом мы легко можем увидеть, что действительно это лишь один случай из четырех. А, значит, умножение вероятностей было правильным действием. Раз так, то, полагаю, можно сказать, что аналогия касается групп любых размеров.

[RawonaM]

Тьфу... Вопрос был совершенно дебильный, конечно... Там и считать ничего не нужно, чтобы понять, что 5/8-х...

Почему же? Легко посчитать по полной формуле:

[From_Odessa]

Почему же? Легко посчитать по полной формуле:

Да, но необходимости нет. Это и без подсчетов становится очевидным.

[Квас]

Всегда ли можно получить вероятность совпадения двух разных событий перемножением их вероятностей?

Это определение независимых событий. А в общем случае

(условная вероятность).

Немного формализма. Событие — это некоторое (допустимое) подмножество множества элементарных исходов опыта. Одновременное выполнение событий — это их пересечение, то есть множество элементарных исходов, соответствующим обоим событиям. Часто в этом случае говорят о произведении событий и используют мультипликативную запись.

[From_Odessa]

Это определение независимых событий

А в данной задаче можно говорить о независимости событий? Мне показалось, что да.

[RawonaM]

Это определение независимых событий. А в общем случае

(условная вероятность).

Не понял что значит "независимых".

[From_Odessa]

Не понял что значит "независимых".

Это означает, что вероятность одного события никак не зависит от вероятности другого.

[RawonaM]

Немного формализма. Событие — это некоторое (допустимое) подмножество множества элементарных исходов опыта. Одновременное выполнение событий — это их пересечение, то есть множество элементарных исходов, соответствующим обоим событиям. Часто в этом случае говорят о произведении событий и используют мультипликативную запись.

Да, это яснее. В книге оригинале используют как раз мультипликативную запись. В переводе решили пересечение поставить почему-то.

[RawonaM]

Не понял что значит "независимых".

Это означает, что вероятность одного события никак не зависит от вероятности другого.

А-а, понятно.

[Квас]

Не понял что значит "независимых".

События называются независимыми, если вероятность их пересечения равна произведению вероятностей. «На пальцах» это означает, что вероятность одного из них не меняется в зависимости от того, происходит второе или нет.

Независимость — центральное понятие в теории вероятностей, иначе она была бы просто частью теории меры.

[RawonaM]

Независимость у меня в следующей главе, это я ближе к вечеру должен почитать. 

[Квас]

Вот еще вопрос:
Делим случайным образом 16 детей — 8 мальчиков и 8 девочек — на пары.

Какова вероятность, что получится ровно две гетеросексуальные пары?

Я посчитал так:

Рассуждения предельно ясные, значит, так тому и быть.

[RawonaM]

Рассуждения предельно ясные, значит, так тому и быть.

Что-то вы меня не успокоили )

[Квас]

Цитата: Квас от Сегодня в 13:11

Рассуждения предельно ясные, значит, так тому и быть.

Что-то вы меня не успокоили )

Вы пересчитайте ещё раз, и если ответ тот же, значит, верный. Ошибка может быть только вычислительная.

[RawonaM]

Я в питоне высчитываю, там не так просто блин...

[Квас]

У меня столько же получилось.

[RawonaM]

Благодарю

[From_Odessa]

А вопрос-то ентот на форуме, оказывается, уже поднимался - Парадокс Монти Холла

[RawonaM]

А вопрос-то ентот на форуме, оказывается, уже поднимался - Парадокс Монти Холла

У нас на последней встрече по теорверу подняли этот вопрос, как раз эта тема была (условная вероятность). Мне уже не интересно было, за несколько дней я узнал об этом всем на форуме

[From_Odessa]

Мне уже не интересно было, за несколько дней я узнал об этом всем на форуме

Классический пример "как ЛФ образованию способствует" ))))

[RawonaM]

Ситуация:

Есть элемент А в котром два параллельных провода, если хотя бы один проводит, то через А проходит ток. Вероятность того, что провод проводит ток (т.е. каждый из них по отдельности) — 0.8.

Есть элемент В, в котором три параллельных провода. Вероятность каждого провода та же.

Вероятность, что А проводит ток: 0.8 + 0.8 - 0.8^2 = 0.96.
Вероятность, что В проводит ток: 0.8 + 0.8 + 0.8 - 3*0.8^2 + 0.8^3=0.992.

Что в общем-то, логично.

Теперь такой вопрос: есть элемент В, о котором известно, что по крайней мере один провод не проводит. Какова вероятность, что В проводит ток?

Сначала я подумал, ведь получается поломанный В — это по сути А (т.е. только два провода). Ну и вероятность провождения такая же как у А.

Но подсчет почему-то показывает иное. Вероятность провождения такого поломанного В это вероятность того, что хотя бы один проводит, но не все три сразу. Хотя бы один проводит — это обычный элемент В, все три сразу это 0.8^3. Итого: 0.992 - 0.8^3=0.48. Выходит, что поломанный элемент В проводит с вероятностью в два раза меньше А.

Где-то тут есть ошибка? Интуитивно не приемлется...

[Квас]

Но подсчет почему-то показывает иное. Вероятность провождения такого поломанного В это вероятность того, что хотя бы один проводит, но не все три сразу. Хотя бы один проводит — это обычный элемент В, все три сразу это 0.8^3. Итого: 0.992 - 0.8^3=0.48. Выходит, что поломанный элемент В проводит с вероятностью в два раза меньше А.

Вы нашли абсолютную вероятность того, что проводят ровно 1 или ровно 2 провода, то есть вероятность произведения «поломанный» и «проводит». А надо найти вероятность «проводит» при условии «поломанный», то есть условную вероятность; для этого ваш ответ надо разделить на вероятность «поломанный», то есть на (1-0.8^3).

Но с A всё равно не сходится.

Вы рассуждаете верно: поломанный В — это то же, что и А, но есть нюанс: вероятность провождения проводом тока в случае поломанного B, то есть условная вероятность провождения при условии общей поломанности, отлична от 0,8 (несколько меньше).