Лингвофорум

Вот моё решение.
Игрок в начале выбирает одну из трёх дверей. С вероятностью 1/3 за ней лежит приз. В этом случае, конечно, когда ведущий откроет одну из двух дверей, за которой ничего нет, и игрок выберет другую дверь (не ту, которую он выбрал сначала), приз ему не достанется.
Но с вероятностью 2/3 за дверью, которую он выбрал сначала, ничего нет. Если он поменяет дверь, получит приз.
Значит, надо выбрать другую дверь (выиграешь приз с вероятностью 2/3).

Цитата: piton от апреля  6, 2011, 16:31
Предложу задачу по теории вероятности.
Телеигра. За одной из трех дверей лежит Приз. Игрок выбрал свою дверь.
Тут ведущий открывает одну из оставшихся дверей. Все видят, что никакого приза за ней нету.
Ведущий тогда предложил игроку воспользоваться правом поменять свое решение.
Как поступить?
Совершенно неважно, знает ли ведущий где Приз, никакой психологии тут нету.

Эх, гуманитарии (и сочувствующие), только рассуждать вам, толку не дождёшься.

Рассмотрим события
— за изначально выбранной дверью приз
— за изначально выбранной дверью нет приза
— за открытой ведущим дверью нет приза.

В условии сказано, что неважно, знает ли ведущий, где приз, поэтому считаем, что дверь он открывает наугад. (Конечно, может реализоваться сценарий, когда он открыл дверь с призом, но по условию мы рассматриваем сценарий, когда дверь без приза.)

Двери равноправны, поэтому


События , несовместны, а их объединение — достоверное событие, поэтому вероятность можно найти по формуле полной вероятности:

Найдём условные вероятности. Если за выбранной дверью приз, то за открытой ведущим приза точно нет, то есть

Если за выбранной дверью приза нет, то он находится с равной вероятностью за каждой из двух оставшихся дверей, поэтому вероятность того, что ведущий откроет дверь без приза, равна

Подставляя вычисленные значения, получаем:

Теперь находим вероятность того, что в сценарии, когда ведущий открыл дверь без приза, изначально выбрана дверь с призом:


Соответственно, вероятность того, что изначально приз не выбран (в том же сценарии) равна

То есть в рассматриваемом сценарии мы с равными вероятностями изначально имеем правильный или неправильный выбор. Quod, как говорится, erat demostrandum.

С Monty Hall paradox противоречия нет. Там другое условие и существенно используется то, что ведущий знает, где автомобиль.

Цитата: Квас от апреля  7, 2011, 15:21
Там другое условие...

Не понимаю.

Цитировать
...но по условию мы рассматриваем сценарий, когда дверь без приза...

Цитата: Квас от апреля  7, 2011, 15:21
С Monty Hall paradox противоречия нет. Там другое условие и существенно используется то, что ведущий знает, где автомобиль.

Погодите. Там сказано вот что:

ЦитироватьНаиболее популярной является задачка с дополнительным условием №6 из таблицы - участнику игры заранее известны следующие правила:

- автомобиль равновероятно размещен за любой из 3 дверей;

- ведущий в любом случае ОБЯЗАН открыть дверь с козлом и предложить сделать игроку второй ход;

- если у ведущего есть выбор, какую из 2 дверей открыть, он выбирает более правую / более левую с одинаковыми вероятностями.

Это как раз полностью соответствует тому условию, которое предложил нам piton.

Цитата: Хворост от апреля  7, 2011, 15:29
Цитата: Квас от Сегодня в 16:21

ЦитироватьТам другое условие...

Не понимаю.

Там сказано, что ведущий знает, где автомобиль, и специально открывает дверь с козой. То есть две оставшиеся двери для него, вообще говоря, неравноправны.

Пусть прошли 10 000 игр по нашим правилам и по американским. В американских играх ведущий ровно 10 000 раз откроет дверь с козой. В наших играх дверь без приза он откроет около 6 667 раз. Задача относится именно к одному из этих разов.

Квас

Понятно. Я исходил из того, что в нашем условии ведущий специально открывает именно ту дверь, за которой приза нет. Но в том условии, которое написал piton, это действительно не оговорено.

Да, у нас вот этого условия нет:

Цитата: From_Odessa от апреля  7, 2011, 15:31
- ведущий в любом случае ОБЯЗАН открыть дверь с козлом и предложить сделать игроку второй ход;

Но я действительно ошибался, потому что мои выводы не зависели от присутствия/наличия этого условия. Это я просто отмечаю.

Цитата: Квас от апреля  7, 2011, 15:33
Там сказано, что ведущий знает, где автомобиль, и специально открывает дверь с козой.

Теперь понятно.
Получается, моё «решение» относилось именно к «игре по американским правилам»?

Всё равно, даже при условии, что ведущий обязан открыть дверь без приза, у меня в голове не укладывается то, что изменение выбора повышает вероятность... Вернее, я понимаю, что при таком вычислении она-то повышается, но не является ли это какой-то ловушкой? Я анализирую эту ситуацию, и так или иначе получается, что после того, как ведущий открыл одну дверь, а за ней нет приза, я, по сути, попадаю в условия новой задачи, где есть две двери, нахождение приза за которыми ровновероятно, а потому что оставлю я выбор, что поменяю его, вероятность моей победы 1/2. Такое ощущение, что вычисления учитывают как-то то, что ведущий открыл дверь, а, по сути, это уже никак не влияет на итоговую ситуацию. Я понимаю, что тут может быть загвоздка у меня в сознании, вернее, понимаю, что так оно, скорее всего, и есть. Просто ощущение, что суть ситуации передает именно то, что вероятность 1/2 для каждой двери.

Ага... Я кажется понимаю, почему так важна зависимость от того, обязан судья открыть дверь без приза или же он может открыть и ту, где приз. Понимаю на практике, имею в виду.

Предположим, что я выбрал из А, Б, В дверь А. Ведущий при этом открывает Б, за которой ничего нет. Я заранее знаю, что он откроет пустую. Теперь я рассуждаю так. Если за А, которую я выбрал, пусто, ведущий мог открыть только Б, а приз за В. Если же приз за А, которую выбрал я, то ведущий мог открыть как Б, так и В. И в этом случае приз или в А, или в В. Получается, что в А он может быть только при одном раскладе, а в В - при двух. Не, неправильно... Не получается понять пока что...

Цитата: Квас от апреля  7, 2011, 15:21

А нельзя было найти эту вероятность более коротким путём?

Между прочим, если ведущий не обязан открывать дверь без приза, то менять выбор нельзя. Просто потому, что нам вообще неизвестно ни то, с какой вероятностью приз может находиться за той или иной дверью, ни то, чем руководствуется ведущий, открывая ту или иную дверь. Он, например, всегда может открывать дверь с призом, если игрок её не выбрал сразу. В таком случае смена выбора заведомо приведёт к тому, что игрок приз не получит. Лучшее, что здесь можно сделать, - выбрать случайным образом одну из дверей с равной вероятностью и держаться этого выбора.

Цитата: Хворост от апреля  7, 2011, 15:46
Получается, моё «решение» относилось именно к «игре по американским правилам»?

Ага.

Цитата: Хворост от апреля  7, 2011, 15:59
Цитата: Квас от Сегодня в 16:21

Цитировать

А нельзя было найти эту вероятность более коротким путём?

Да на самом деле более-менее очевидно, что если ведущий открывать дверь наобум, то в конечном счёте он имеет равные шансы открыть любую дверь (двери в этой модели неразличимы). Поэтому вероятность не найти приз как раз 2/3. Но я специально выбрал путь более длинный и интуитивно более ясный.

Блин, мне эта задача уже успела присниться! Приснилось, что я задаю ее своему папе, а потом рассказываю, что на форуме я сегодня утром тоже ошибался, решение не такое )))

Тут у меня задание в книге: какова вероятность получить стейт в покере?
Я не особый игрок в покер, давно увлекался, но насколько я понимаю в колоде из 52 карт есть 13 карт в каждой масти и следовательно вероятность:

(52 раза снимаем, потому что это стрейт флаш)

В ответах написано:
т.е.

Кто в этом понимает? 

Давайте лучше про короткие нарды, я это лучше понимаю. «Стрейт» — это как?

Нашел полное объяснение с той же формулой: (wiki/en) List_of_poker_hands#Straight
Оказывается я и сам забыл, что значит стрейт
В общем, это когда карты, полученные игроком, можно расположить в порядке убывания, напшыклад: дама, валет, 10, 9, 8.
Я забыл, что это не круговое, т.е. стрейт не может начинаться с 4, 3 и 2, поэтому нужно 10 в формуле, а не 13, как я поставил. С 5 может начинаться, туз в данном случае ниже двойки.

Распределяем 20 детей на 4 группы по 5.
Какова вероятность, что А и Б не будут в одной группе?

Для этого я нахожу, какова вероятность, что они будут в одной группе и дополнение к единице будет ответом.

Выбираем троих, которых присоединим к пяти, потом делим оставшихся на пятерки. Вот тут я не понимаю, нужно делить на 4! или группы тут неравны и нужно делить на что-то другое?

Я всё время забываю, что значит этот биномиальный коэффициент с кучей чисел внизу.

Сначала дополняем их до группы: способов. Это число надо помножить на число способов разделить 15 детей на 3 группы по 5. Это вроде бы стандартная задача, но не помню, как решается; по моим представлениям это

Я считаю число функций на множестве из 15 элементов, которые принимают
ровно три значения 1, 2, 3, причём каждое на 5 элементах, а потом делю на перестановки значений. То есть получается, что сначала я считаю упорядоченные наборы из 3-х групп, а потом «перемешиваю» их.

Т.е. вы предлагаете перемешивать три группы, а не четыре. Как-то я не уловлю, когда можно перемешивать, а когда нельзя. Понятно, что одна группа у нас особенная, на нее мы поставили одно условие, но это ж не значит, что она упорядоченная.

Я предлагаю для начала трёх отобрать и забыть о них. Имеем же право? Тогда задача сводится только к разделению на группы15 человек.

Цитата: Квас от апреля  8, 2011, 21:44
Я предлагаю для начала трёх отобрать и забыть о них. Имеем же право? Тогда задача сводится только к разделению на группы15 человек.

О-о... теперь дошло! Пасибо, кажется я понял окончательно.

Из группы детей в 8 мальчиков и 8 девочек выбираем 5 мальчиков и 5 девочек. Какова вероятность, что Вася и Маша будут выбраны?

Простая логика и подсчет показывает, что вероятность выбора Васи 5/8, и вероятность выбора Маши тоже 5/8, но также рассчет показывает, что вероятность выбора их обоих — это (5/8)^2. Это верно?
Всегда ли можно получить вероятность совпадения двух разных событий перемножением их вероятностей? Че-то я такой формулы не нахожу.

Цитата: RawonaM от апреля  9, 2011, 11:06
Простая логика и посчет показывает, что вероятность выбора Васи 5/8

Вы уверены? Вопрос, вероятно, идиотский, просто возникли какие-то сомнения, связанные с тем, что здесь выбор пяти из восьми происходит.