Дискретная математика

[RawonaM]

По дискретке блин задание:
Доказать, что

(-1<x<1) сюръективна (какой термин придумали, осспади...).
В анализе это доказывалось долго и нудно с помощью среднего значения. Не хоцца этим заниматься, что делать? Перевернуть и найти обратную функцию че-то не получается, там квадратное уравнение, которое мне не удается раскусить.

[RawonaM]

А что если просто показать, что у квадратного уравнения только один корень в пределах (-1,1)?.. Этого достаточно?

[RawonaM]

Вроде сделал. С помощью трюка, напрямую никак не решалось.

[Квас]

Сюръективно как отображение (-1,1) → R, насколько понимаю? Нужно показать, что каждое значение принимается; неважно, сколько раз. Проще всего аналитически: функция непрерывна, а односторонние пределы в концах интервала бесконечны с разными знаками.

Можно и через квадратное уравнение.


При фиксированном y левая часть — квадратичная или линейная функция (⇒ непрерывная), при x=1 равна 1, при x=-1 равна -1. Значит, между -1 и 1 есть нуль этой функции.

[Квас]

Наверно, можно применить формулу корней квадратного уравнения, но там корень не извлекается, решение получилось бы неэлегантное.

[RawonaM]

При фиксированном y левая часть — квадратичная или линейная функция (⇒ непрерывная), при x=1 равна 1, при x=-1 равна -1. Значит, между -1 и 1 есть нуль этой функции.

У-у, точно, я уже весь анализ забыл!

[RawonaM]

Наверно, можно применить формулу корней квадратного уравнения, но там корень не извлекается, решение получилось бы неэлегантное.

Не извлекается. Я сделал с помощью свойства, что x1*x2=c/a.

[Квас]

Цитата: Квас от Сегодня в 19:28

Наверно, можно применить формулу корней квадратного уравнения, но там корень не извлекается, решение получилось бы неэлегантное.

Не извлекается. Я сделал с помощью свойства, что x1*x2=c/a.

А, теорема Виета!

В решении надо обязательно отметить исключительный случай y=0, когда уравнение вырождается.

[RawonaM]

А я уже переписал по вашей подсказке, таки элегантней получается и неплохо было бы кусочек анализа вспомнить )
Летом буду учить матан 2, надо будет еще хоть че-то помнить))

[RawonaM]

Есть множество с мощностью алеф-ноль. Верно ли, что любое бесконечно подмножество тоже алеф-ноль? Вроде довольно очевидно и легко доказать: если исходное множество пронумеровано, то и подмножество можно пронумеровать.

П.С. Как вошло в математику обозначение мощности с помощью алефов?

[Квас]

Есть множество с мощностью алеф-ноль. Верно ли, что любое бесконечно подмножество тоже алеф-ноль? Вроде довольно очевидно и легко доказать: если исходное множество пронумеровано, то и подмножество можно пронумеровать.

Со всем согласен. Нумерацию можно построить по индукции: элементу  подмножества B с наименьшим номером в A даём номер 1; если элементы x1,... xk занумерованы в B, то номер k+1 даём элементу множества B\{x1,...xk}, имеющему наименьший номер в A. Проверка того, что получается биективное соответствие B и множества натуральных чисел, тривиальна.

[RawonaM]

Пасибо

[RawonaM]

Допустим есть мощности k,m,n. Верно ли что ?
То есть, я уверен, что это верно, но пытаюсь построить доказательство, не вижу на чем основываться.

[Квас]

Пусть A, B, C — множества мощностей k, m, n соответственно. Известно, что есть инъективное отображение f: A→B, надо построить инъективное отображение . Достаточно взять , то есть g(x,y) = (f(x), y); инъективность очевидна.

[RawonaM]

А, точно! Не понял только, что такое id.

[Квас]

Не понял только, что такое id.

Стандартное обозначение для тождественного отображения. Иногда для ясности индексом указывается множество, на котором это отображение действует.

[RawonaM]

Не понял только, что такое id.

Стандартное обозначение для тождественного отображения. Иногда для ясности индексом указывается множество, на котором это отображение действует.

У нас I обозначают с индексом снизу над каким множеством.

[Alone Coder]

По дискретке блин задание:
Доказать, что

(-1<x<1) сюръективна (какой термин придумали, осспади...).

И в какой же точке она принимает значение 0?

[Квас]

Цитата: RawonaM от Апрель 15, 2011, 16:08

По дискретке блин задание:
Доказать, что

(-1<x<1) сюръективна (какой термин придумали, осспади...).

И в какой же точке она принимает значение 0?

При x=0.

[Karakurt]

Как решать задачи типа сколько делителей имеет число х?

[Квас]

Как решать задачи типа сколько делителей имеет число х?

Конкретно эта задача комбинаторная. Раскладываем x на простые множители:

На какие числа делится x? Только на такие, которые «составлены» из тех же простых множителей, причём в степенях не больше, чем у x. Точнее говоря, всякий делитель x имеет разложение

где .

Стало быть, каждый набор чисел с задаёт некоторый делитель x, причём разным наборам соответствуют разные делители (в силу единственности разложения на простые множители), и каждый делитель может быть так получен. Значит, делителей столько же, сколько наборов, то есть


Пример: число имеет натуральных делителей.

[Karakurt]

Квас, спасибо! Стало ясно как решать. А вот почему именно так...

[Квас]

А вот почему именно так...

Ну, решение задач — творческий процесс. Может, мне следовало просто идею подкинуть, что стоит воспользоваться разложением на простые множители.

[RawonaM]

Вопрос: сколько инъективных функций есть из А в В? Допустим |A|=4, |B|=7.
Решаю таким способом: 7*6*5*4=840.

Теперь окольным путем: если общее количество фукнций — 7^4, то инъективных из них 7^4-(неинъективные).
Неинъективные это значит что хотя бы один из В не используется, значит сплюсуем варианты, в которых используется <7, т.е. 6^4+5^4+...+1.
Ответы не сходятся. Где ошибка?

[Квас]

Неинъективные это значит что хотя бы один из В не используется

Это несюръективные. А нас интересуют только размещения без повторений элементов из B: 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4.