Домашнее задание семилетнего ребенка поставило в тупик доктора наук

[злой]

Угол между чем и чем? Между ничем и ничем?

Между касательными, а касательная существует в точке

Ну так это не точка, висящая посреди Вселенной, отдельно от всего. А касательные ассоциированы со вполне реальными точками. Соответственно, и понятие угла существует не для точки самой по себе, а для точки в некотором контексте.

[злой]

Если ваше яблоко имеет строго круглую в плане форму, то если вы попадёте по самому краешку, линия полёта стрелы совпадёт с касательной в математическом смысле, но в общем случае, для предмета произвольной формы, такая тема не работает.

Работает для любого предмета произвольной формы, лишь бы с конечной кривизной поверхности в любой точке. (Естественно, при бесконечной кривизне - т.е. в ребре или вершине - касательную в таком сечении определить не получится). И уж строго круглая форма тем более не требуется.

Предметы в материальном мире, как правило, вообще не описываются математическими формулами, а имеют какую-то "корявую" форму. Ну и ещё, если, скажем, попасть в угол квадрата, то там касательная тоже будет другая, насколько я понимаю.

[Agnius]

злой
Ну да, и?
Наш разговор про шар навел меня на интереснейший факт
- n-мерный гиперобъем шара с фиксированным радиусом стремится к нулю при стремлении n к бесконечности (радиус может быть хоть миллион)
-  n-мерный гиперобъем пирамиды с фиксированным максимальным значением грани стремится к нулю при стремлении n к бесконечности
- n-мерный гиперобъем многогранника с 2^n-вершинами (неправильный гиперкуб) стремится к нулю при стремлении n к бесконечности только если он не совпадает с гиперпараллелограммом (у которого все углы прямые)

[Agnius]

Предметы в материальном мире, как правило, вообще не описываются математическими формулами, а имеют какую-то "корявую" форму

С определенной точностью описываются. Иначе наука была бы невозможна

[злой]

злой
Ну да, и?

Уел я вас.

[злой]

Предметы в материальном мире, как правило, вообще не описываются математическими формулами, а имеют какую-то "корявую" форму

С определенной точностью описываются. Иначе наука была бы невозможна

С бесконечной (в теории) степенью приближения, но почти никогда - со стопроцентной точностью. Для практики - нормально, но если рассуждать о чисто мысленных операциях, то о разнице нужно помнить.

[Janko]

Уел я вас.

Срезал, не побоюсь этого слова!

[Agnius]

Уел я вас.

Ок, этот угол для точки в некотором контексте не зависит от конкретных значений координат других точек, а следовательно можно говорить про угол в точке.
Срезал я вас 

[Janko]

Почему, например, я совершенно не против угла в точке, а других такая идея оскорбляет в лучших чувствах? Загадка...

[Bhudh]

Почему, например, я совершенно не против угла в точке, а других такая идея оскорбляет в лучших чувствах?

Потому, что через 1 точку можно провести бесконечное множество прямых.

[Agnius]

Потому, что через 1 точку можно провести бесконечное множество прямых.

А касательную только одну 
Я тоже не понимаю, почему многих смущает идея, что какие-то нетривиальные понятия могут относится только к одной точке, в математике такие примеры на каждом шагу. Вот вселенная появилась из сингулярности, которая была в определенном смысле точкой 

[злой]

Уел я вас.

Ок, этот угол для точки в некотором контексте не зависит от конкретных значений координат других точек, а следовательно можно говорить про угол в точке.
Срезал я вас 

Этот угол зависит от формулы, которой описывается линия, на которой можно взять точки. Точки можно и не брать, а вот без формулы, описывающей линию, вы не найдёте касательную.

Бе-бе-бе. Не висит точка в воздухе. Она взята на линии.

[Agnius]

Этот угол зависит от формулы, которой описывается линия, на которой можно взять точки. Точки можно и не брать, а вот без формулы, описывающей линию, вы не найдёте касательную.

Бе-бе-бе. Не висит точка в воздухе. Она взята на линии.

И что? Вы путаете два понятия, характеристика точки как геометрического объекта и характеристику среды, которая определяется для одной точки.Угол не зависит от значений точек, определяемых формулой, которые расположены на ненулевом расстоянии от угла. Вы боретесь с ветрянными мельницами, в математике характеристика определена в точке, если верно, что она не изменится при изменении характеристик среды в других точках. Например все производные высших порядков определены в точке, хотя если определять первую производную как предел секущей, то для секущей нужны две точки. Для второй производной нужны уже три точки и т.д. Из того, что в предельном переходе используются n точек не следует, что для понятия, определяемого предельным переходом, требуется n точек. Вон касательную уже определили через одну точку - это прямая, имеющая локально одну точку с кривой

[Ömer]

Угол не зависит от значений точек, определяемых формулой, которые расположены на ненулевом расстоянии от угла.

Эквивалентное утверждение: угол зависит только от значения функции в точках, расположенных на нулевом расстоянии от угла. Т.е. от значения в одной точке. Это, очевидно, неверно. Так что с изначальным утверждением что-то не в порядке.

[Janko]

Эквивалентное утверждение: угол зависит только от значения функции в точках, расположенных на нулевом расстоянии от угла. Т.е. от значения в одной точке. Это, очевидно, неверно.

Почему же это неверно да ещё и очевидно?

[Andrey Lukyanov]

Вон касательную уже определили через одну точку - это прямая, имеющая локально одну точку с кривой

Перпендикуляр к касательной тоже локально имеет одну точку с кривой.

[Ömer]

Почему же это неверно да ещё и очевидно?

Потому что тогда бы было, что если функции f и g совпадают в одной точке, то и производные в этой точке должны совпадать. Но есть контрпримеры. (Функции x и x^2 совпадают в точке 0, но в этой точке производные у них разные).

[Ömer]

Перпендикуляр к касательной тоже локально имеет одну точку с кривой.

Да, через одну общую точку определить проблематично. Для локально выпуклых кривых можно дополнительно потребовать, чтобы была окрестность, в которой касательная остаётся по одну сторону от кривой. Но для кривых типа x^3 в точке 0 это не сработает.

[Andrey Lukyanov]

Но для кривых типа x^3 в точке 0 это не сработает.

Интересно, а касательная в точке перегиба является касательной в интуитивном смысле?

[Toman]

Интересно, а касательная в точке перегиба является касательной в интуитивном смысле?

В моём понимании - несомненно. Потому что это интуитивное понимание - оно (у меня) не от слова или понятия "касаться", а от понятия направления-в-данной-точке.

[Wolliger Mensch]

... а от понятия направления-в-данной-точке.

И что тут интуитивного? Какое направление может быть в точке?

[Toman]

Да, через одну общую точку определить проблематично. Для локально выпуклых кривых можно дополнительно потребовать, чтобы была окрестность, в которой касательная остаётся по одну сторону от кривой. Но для кривых типа x^3 в точке 0 это не сработает.

Окрестность, в которой отношение расстояния от точки на прямой до кривой к расстоянию от этой точки до точки касания стремится к нулю при стремлении к нулю второго расстояния. Так пойдёт?

[Ömer]

Окрестность, в которой отношение расстояния от точки на прямой до кривой к расстоянию от этой точки до точки касания стремится к нулю при стремлении к нулю второго расстояния. Так пойдёт?

Непонятно. Нарисуйте.

[Бенни]

В этой теме картинка вроде бы подходящая. Приращение функции отличается от дифференциала (приращения её линейной аппроксимации, графиком которой является касательная) на бесконечно малую более высокого порядка.

[Mona]

А я бы ответил, что there is one right angle and one left angle.