О геометрическомъ смыслѣ меѳода Гаусса

[Versteher]

Плоскость задаётся тремя точками. Прямая образуется на пересѣченіи двухъ плоскостей. Отсюда легко понять, почему Гауссъ обосновывалъ равносильность умноженія уравненій на одинъ коэффиціентъ. Вѣдь фигура, образованная однимъ уравненіемъ, когда всѣ ея вершины умножаются на одно число, просто переносится въ пространствѣ.
Осталось понять,  вѣдь находятся меѳодомъ Гаусса уникальныя значенія каждой перемѣнной. Но наборъ таковыхъ значеній является точкой, не прямой.
Почему рѣшеніемъ уравненія является прямая (на чёмъ строится непротиворѣчивая ѳеорія), а не точка, вѣдь одинъ наборъ координатъ является точкой, нѣтъ?

[Бенни]

Какую систему Вы решаете методом Гаусса? Сколько там уравнений и сколько неизвестных?

Система двух линейных алгебраических уравнений (задающих плоскости) с тремя неизвестными (координатами) либо вообще не имеет решений (плоскости параллельны), либо имеет бесконечное однопараметрическое семейство решений (прямую пересечения), либо двухпараметрическое (плоскости совпадают).

[Ömer]

Предположу, что речь идёт о методе Гаусса решения линейных систем.
(wiki/ru) Метод_Гаусса

Почему рѣшеніемъ уравненія является прямая (на чёмъ строится непротиворѣчивая ѳеорія), а не точка, вѣдь одинъ наборъ координатъ является точкой, нѣтъ?

Не уверен, что правильно понял вопрос, но если речь идёт о решении линейной системы с матрицей размером n*n, то есть
A*x =b, где
A - квадратная матрица n*n,
x - неизвестный вектор длины n,
b - вектор длины n,
то каждая строчка системы задаёт гиперплоскость размерности n-1; а пересечение таких плоскостей количеством n штук даёт точку.

Например, для системы 2*2, каждое из уравнений -- это прямая, а пересечение двух прямых - точка.

Геометрический смысл тут такой, что если к линейному оператору A применить какое-то невырожденное линейное преобразование, т.е. сжать/растянуть каждую координату в какое-то количество раз, и найти их сумму, и такое же преобразование применить к точке b, задающую правую часть, то решение  системы (то есть, точка, применив к которой преобразование A, мы окажемся в точке b) не изменится. В буквенных обозначениях это записывается так: системы
A*x = b и
C*A*x = C*b
имеют одинаковые решения, если матрица C невырожденна.

[Бенни]

Ömer, вы имеете в виду невырожденные системы? А то, если система 2 на 2 вырождена, прямые либо параллельны (не имеют ни одной общей точки), либо совпадают (имеют их бесконечно много).

[Ömer]

Да, конечно.