Вопрос, касающийся вероятности повторения одного и того же события

[Bhudh]

Вот это и есть ошибка непонимания условной вероятности.

Ладно, тогда можно перемножить вероятности выбора одного из 2 сундуков с золотыми монетками (⅔) и последующую зависящую от предыдущей вероятность наличия золотой монетки (½) —  и получить тот же самый результат.

[wandrien]

и выше, чем вероятность, что это сундук №3 (а вот это уже не очевидно, об этом забывают).

Почему? Мы вытащили одну монетку. Она оказалась золотой. Но мы равно могли вытащить ее из сундука с двумя золотыми и с двумя разными. У нас нет данных, которые повышали бы вероятность того, что мы открыли сундук с двумя золотыми монетами. Все, что мы знаем - это то, что мы точно не открыли сундук с двумя серебряными. Но исходя из чего мы после вытаскивания одной золотой монеты можем сказать, что выше вероятность того, что вторая в этом сундуке золотая, а не серебряная?

Просто мысленно увеличьте общее количество монет.

В одном сундуке 1 000 000 золотых монет. В другом 999 999 серебрянных и одна золотая. Вы наугад достаёте монетку, и она оказывается золотой. Всё еще считаете, что вероятность, что перед вами второй сундук - 50%?

[wandrien]

Вот это и есть ошибка непонимания условной вероятности.

Ладно, тогда можно перемножить вероятности выбора одного из 2 сундуков с золотыми монетками (⅔) и последующую зависящую от предыдущей вероятность наличия золотой монетки (½) —  и получить тот же самый результат.

Там не так считается.

Впрочем, пойду поужинаю. Как вернусь, напишу свой рассчёт результата. (А что у нас нету жующего смайла, непорядок.)

[From_Odessa]

А вот еще такой вопрос. Про тот же кубик. Ведь вероятность того, что при десяти бросках нам выпадет комбинация очков 5634513264 такая же, как и то, что десять раз кряду выпадет шестерка. Потому что выпадение любого количества очков очков вероятно 1/6. Но серии из десяти кряду шестерок (или любой другой грани кубика) более редкие, чем серии из разных очков. Теория вероятностей говорит нам что-то об этой редкости? Впрочем, сам себе отвечу. Редки не только такие серии с выпадением одного и того же, редка ЛЮБАЯ серия. Здесь, видимо, у меня путаница происходит из-за того, что я путаю события "выпадет другое число" и "не выпадет данное число".

[From_Odessa]

Просто мысленно увеличьте общее количество монет.

В одном сундуке 1 000 000 золотых монет. В другом 999 999 серебрянных и одна золотая. Вы наугад достаёте монетку, и она оказывается золотой. Всё еще считаете, что вероятность, что перед вами второй сундук - 50%?

Интуитивно, конечно, кажется, что вероятность того, что это второй сундук, гораааааздо ниже. Но что тут происходит объективно? У нас ведь, получается, два события: выбор сундука и выбор монетки в нем. А вероятности второго события уже сильно зависят от количества монет в сундуках.

[From_Odessa]

Bhudh, ты прав насчет того, что надо делать, когда появляется промежуточный ответ, постараюсь сам так делать. Спасибо.

[Bhudh]

У нас ведь, получается, два события: выбор сундука и выбор монетки в нем.

Учитывая ответы wandrienʼа, у нас тут есть безусловный факт: из сундука достали золотую монетку. И именно вероятность этого факта надо посчитать.
И потом уже, исходя из вероятности этого факта, поделить её на 2.

[From_Odessa]

Хочу уточнить вот что. Является ли вероятность изначально вытащить золотую монетку в заданных условиях равной 5/6-м? Я исходил из того, что мы сначала выбираем сундук. Вероятность выбора любого из них составляет 1/3. Но в одном из них нет золотых монет, потому мы отбрасываем его. В одном обе монеты золотые, так что вероятность вытащить оттуда золотую равна 1. Соответственно, изначальная вероятность того, что мы выберем этот сундук и вытащим из него ЗМ составляет 1/3*1, то есть, 1/3. Еще в одном сундуке одна из монет - золотая, вероятность вытащить золотую - 1/2-я. То есть, вероятность, что мы выберем этот сундук и вытащим оттуда золотую монету составляет 1/3*1/2 = 1/6. Сложим этим вероятности: 1/2 + 1/3 = 5/6.

Однако при этом, я так понимаю, после того, как мы вытащили золотую монету, нельзя просто уменьшить количество монет и пересчитать изначальную вероятность. Ведь мы уже знаем, что точно не открыли один из сундуков. Соответственно, у нас открыт один из двух сундуков, но мы не знаем, какой именно. И теперь вопрос в том, какой же является вторая монета в данном сундуке.

[wandrien]

From_Odessa

Эту задачу можно решить не "от сундуков", а "от монет".
Мы достаём случайную монету, одну из шести. Вероятность достать каждую из монет - 1/6.

А вот когда мы достали монету, мы можем спросить: к какому сундуку принадлежала эта монета?

Нарисуем это вот так:

Код Выделить Развернуть


+---+ +---+ +---+
|з з| |з с| |с с|
|1 2| |3 4| |5 6|
+---+ +---+ +---+

6 монет пронумерованных от 1 до 6. Монеты 1, 2, 3 - золото, а 4, 5, 6 - серебро.

Мы достали монету. Если это монета 4, 5 или 6, значит это не наш случай. Это альтернативная ветка реальности, в которую мы по условию задачи не попадаем. Поэтому забываем про неё.

Итак, мы в "нашей" ветке реальности достали монету 1, 2 или 3.

Из какого сундука эти монеты?
Монета 1 - сундук № 1
Монета 2 - сундук № 1
Монета 3 - сундук № 2

Веростность достать каждую из монет одинакова. Значит в 2 случаях из 3 мы достаем монету из сундука №1 и в 1 случае из 3 - из сундука №2.

Итого веростность достать монету из сундука № 1 - 2/3.

Это и есть ответ.

[kemerover]

Если мы подбрасываем игральный кубик (для упрощения возьмем идеальный)
[...]
Я имею в виду, если говорить не только о расчетах, а о самой реальности. Можно ли сказать, что работают какие-то законы реальности, из-за которых у нас в этой ситуации в десятый раз шанс получить шесть очков ниже, чем если бы мы бросали кубик первый раз?

Не очень понятно, о каких гипотетических законах реальности идёт речь, и что в таком контексте подразумевается под идеальным кубиком.

С интуитивной точки зрения, как мне кажется, тут возникает некоторое противоречие. С одной стороны, кажется, что перед каждым броском вероятность 1/6, с другой, кажется, что после девяти кряду получить десятый ну совсем низкий шанс.

Важно понимать, что последовательность 1-5-4-2 так же вероятна, как и 1-1-1-1. Просто она менее красивая.

И хорошо бы иметь в реальной жизни совершенно обратную интуицию. Если у кубика выпадает одна и та же сторона, то у него скорее всего смещён центр.

[kemerover]

Старая задачка на понимание условных вероятностей...

У нас есть три сундука, в каждом из которых лежит по две монетки.

В первом — две золотых. Во втором — две серебрянных. В третьем — одна золотая и одна серебрянная.

Мы выбираем сундук случайным образом и вслепую вытаскиваем оттуда монетку. Она оказывается золотой. Какова вероятность того, что следующая вытащенная из того же сундука монетка — тоже золотая?

Напомнило парадокс мальчика и девочки, который я бы назвал эти задачи задачами на непонимание условных вероятностей.

[From_Odessa]

и что в таком контексте подразумевается под идеальным кубиком.

Как раз такой, у которого не смещен центр А заодно нет других свойств, которые повышают/уменьшают вероятность выпадения той или иной грани. То есть, тот, у которого выпадение любой из них абсолютно равновероятно.

[wandrien]

Напомнило парадокс мальчика и девочки

О, я не знал про него. Круто. 

[wandrien]

From_Odessa

Вспомнилось, как в играх обманывают пользователя для сохранения иллюзии вероятности.

Например, у персонажа вероятность критического удара - 20%.
Если считать честными вероятностями, то вполне и 10, и больше (и сколь угодно много) подряд ударов могут не быть критическими.
Однако игроки ожидают, что приблизительно каждый пятый удар будет критическим.
Поэтому игроки начнут жаловаться, что игра считает веростности неправильно.

Также вполне может быть и 3, 5 и более подряд ударов критическими.
В этом же случае, например если игра многопользовательская, игроки противоположной команды начнут жаловаться, что игра считает вероятности неправильно.

Поэтому в играх вероятность следующего однотипного события как правило искуственно связана с предыдущими. В отличие от реального мира.

Игра ведёт историю недавних событий и при каждом броске кубика снижает или увеличивает вероятность так, чтобы избежать "неправильного" с точки зрения игроков сочетания событий.

[kemerover]

Про сундуки. Решение Байесом:
Пусть Z - выбор золотой монеты. 1,2,3 - выбор сундука.
P(Z) = P(Z|1)P(1) + P(Z|2)P(2) + P(Z|3)P(3)
= 1*1/3+1/2*1/3+0*1/3 = 1/2
P(1|Z) = P(Z|1)*P(1)/P(Z) = 1*1/3/(1/2) = 2/3

Почти что наглядно, если понимать теорему Байеса.

[kemerover]

Как раз такой, у которого не смещен центр А заодно нет других свойств, которые повышают/уменьшают вероятность выпадения той или иной грани. То есть, тот, у которого выпадение любой из них абсолютно равновероятно.

Так такое определение напрямую противоречит существование каких-то гипотетических реальных законов, которые смещают эту вероятность, которая у идеального кубика по определению всегда одна.

[From_Odessa]

From_Odessa

Вспомнилось, как в играх обманывают пользователя для сохранения иллюзии вероятности.

Например, у персонажа вероятность критического удара - 20%.
Если считать честными вероятностями, то вполне и 10, и больше (и сколь угодно много) подряд ударов могут не быть критическими.
Однако игроки ожидают, что приблизительно каждый пятый удар будет критическим.
Поэтому игроки начнут жаловаться, что игра считает веростности неправильно.

Также вполне может быть и 3, 5 и более подряд ударов критическими.
В этом же случае, например если игра многопользовательская, игроки противоположной команды начнут жаловаться, что игра считает вероятности неправильно.

Поэтому в играх вероятность следующего однотипного события как правило искуственно связана с предыдущими. В отличие от реального мира.

Игра ведёт историю недавних событий и при каждом броске кубика снижает или увеличивает вероятность так, чтобы избежать "неправильного" с точки зрения игроков сочетания событий.

Да, я в курсе, как раз с того, что на одном стриме люди обсуждали вот эту псевдовероятность в играх, у них начался разговор о вероятностях вообще, и я, слушаю и читая его, задумался над этим вопросом

Кстати, в моей любимой "Готике", во всяком случае, в ее второй части, как раз нет псевдовероятности крита. То, что Вы описали, есть и в оффлайн-играх, а в "Готике" нет. Поэтому у тебя там может не быть крита очень долго, а может вдруг пройти три подряд, к примеру. Хотя, конечно, чаще они распределяются равномерно, но, тем не менее.

[Валентин Н]

Но мы равно могли вытащить ее из сундука с двумя золотыми и с двумя разными.

Интуиция подсказывает, что не равно. Скорее всего там обе золотых, а не нам так повезло.

[From_Odessa]

Кстати, в моей любимой "Готике", во всяком случае, в ее второй части, как раз нет псевдовероятности крита. То, что Вы описали, есть и в оффлайн-играх, а в "Готике" нет. Поэтому у тебя там может не быть крита очень долго, а может вдруг пройти три подряд, к примеру. Хотя, конечно, чаще они распределяются равномерно, но, тем не менее.

Естественно, это еще накладывается на вероятность критического удара, зависящую от прокачки, и если она у данного типа оружия доведена до 100%, крит будет всегда. Ну да Вы это и сами знаете наверняка.

[From_Odessa]

Интуиция подсказывает, что не равно. Скорее всего там обе золотых, а не нам так повезло.

Но стоит ли тут доверять интуиции? Одно дело, если бы в одном ящике было пять золотых монет, в еще одном - одна золотая и четыре серебряных. Тут уже ясно, что куда ниже вероятность, что нам так повезло, как ты говоришь. А когда в ящике всего две разные монеты, шансы с ходу вытащить золотую тоже высокие. Собственно, о каком везении идет речь? Ведь наши шансы вытащить сначала серебряную были точно такими же.

[Валентин Н]

Но серии из десяти кряду шестерок (или любой другой грани кубика) более редкие, чем серии из разных очков.

В первом случае серия задана, а во втором случайна.

[From_Odessa]

Так такое определение напрямую противоречит существование каких-то гипотетических реальных законов, которые смещают эту вероятность, которая у идеального кубика по определению всегда одна.

Кубик просто пример. Мы можем создать, что будет в некоторых условиях иметь практически равную вероятность, скажем, в течение часа. Да, там наверняка тоже будут отклонения. но если задаться целью, полагаю, мы можем создать нечто, что некоторое время будет при каждом действии имеет почти одинаковую вероятность. И провести опыт с этой штукой. О таком опыте и идет речь. И это некий базис, в который потом можно привносить другие детали, которые есть вот, например, у реальных кубиков. Идеальный кубик - лишь модель, чтобы отследить определенное свойство более четко.

[Bhudh]

Итак, мы в "нашей" ветке реальности достали монету 1, 2 или 3.

Из какого сундука эти монеты?
Монета 1 - сундук № 1
Монета 2 - сундук № 1
Монета 3 - сундук № 2

Веростность достать каждую из монет одинакова. Значит в 2 случаях из 3 мы достаем монету из сундука №1 и в 1 случае из 3 - из сундука №2.

Итого веростность достать монету из сундука № 1 - 2/3.

Стоп.
Допустим, мы достали золотую монетку из первого сундука.
Если одна из золотых монеток уже у нас в руках, как может быть ненулевой вероятность, что мы её же достанем во второй раз? Мы же не возвращаем монетку в сундук?
Допустим, мы достали золотую монетку из второго сундука.
Если золотая монетка уже у нас в руках, как может быть ненулевой вероятность, что мы во второй раз достанем золотую монетку, которой в сундуке нет?

[wandrien]

Стоп.
Допустим, мы достали золотую монетку из первого сундука.
Если одна из золотых монеток уже у нас в руках, как может быть ненулевой вероятность, что мы её же достанем во второй раз? Мы же не возвращаем монетку в сундук?
Допустим, мы достали золотую монетку из второго сундука.
Если золотая монетка уже у нас в руках, как может быть ненулевой вероятность, что мы во второй раз достанем золотую монетку, которой в сундуке нет?

А для решения задачи "второй раз" не нужен. Для решения достататочно рассчитать вероятность, что мы держим в руках сундук №1. Потому что только из него можно достать "два золота подряд". Так что исходная формулировка задачи сводится к такой:

"Если мы достали случайную монету из случайного сундука, и она оказалась золотой, то какова вероятность, что выбранный сундук - это сундук №1".

[Валентин Н]

А когда в ящике всего две разные монеты, шансы с ходу вытащить золотую тоже высокие.

Это когда такой ящик один. А тут их два с золотыми монетами: в одном обе, в другом одна, если мы вытащили золотую, то больше вероятность, что она из первого.