Каким образом установили, что у треугольника на плоскости сумма углов - 180°?

[Mass]

360° = 360 шагов Солнца по небу = 360 дней в году

Всё-таки не совсем так, интеркаляция дело весьма древнее. Все прекрасно знали, что в году не 360 дней. Тут в делителях дело.

Основой популярности шестидесятеричной системы являлось то, что она наипростейшим образом позволяет вести учет в зарождающемся государстве. 60=3x4x5, очень легко вести справедливую бухгалтерию при распределении продукта.

[Toman]

Да, соответственно, есть ещё варианты делить окружность на 64 части (и далее можно на 6400) и на 63 и далее на 6300. Но с количеством разных делителей тут поскромнее. Но некоторые практические удобства для приближённого счёта собственно углов и всякой тригонометрии из них в десятичной системе есть, ибо более или менее близко к 1/10 и 1/1000 радиана соотв.
И оба варианта деления окружности - и на 6400, и на 6300 - традиционно применялись артиллеристами в разных странах в качестве основной артиллерийской единицы угла - "тысячной" (подразумевается - приближённого радиана).

[злой]

А что такое окружность?
Это 360^о градусов?

Нет. Окружность — это множество точек, расположенных на одном расстоянии от некоторой заданной точки (центра этой окружности).

Я вот это определение в школе ненавидел. Для меня это был ничего не значащий набор слов, который я в 6 или 7 классе тупо механически зазубрил. Окружность - это замкнутая линия, а не какое-то б...дское множество точек.

(на всякий случай: экспрессия направлена не на вас, а на автора определения).

[Bhudh]

Окружность - это замкнутая линия

Но не простая, а в которой все точки расположены на одном расстоянии от центра. И это расстояние зовётся радиусом.

[злой]

Окружность - это замкнутая линия

Но не простая, а в которой все точки расположены на одном расстоянии от центра. И это расстояние зовётся радиусом.

Вот да, потом я увидел определение окружности, в котором было сказано, что окружность - это замкнутая линия, каждая точка которой находится на одинаковом расстоянии от центральной точки, как-то примерно так. И у меня возник вопрос: какого ... школьникам уродуют мозги вот этим "множеством точек", если есть на свете человеческое определение?

[Toman]

И у меня возник вопрос: какого ... школьникам уродуют мозги вот этим "множеством точек", если есть на свете человеческое определение?

А я как-то никогда и не замечал разницы между ними с чисто практической точки зрения. Ну, множество точек, ну линия - да какая нафиг разница.

[zwh]

Окружность - это замкнутая линия

Но не простая, а в которой все точки расположены на одном расстоянии от центра. И это расстояние зовётся радиусом.

Вот да, потом я увидел определение окружности, в котором было сказано, что окружность - это замкнутая линия, каждая точка которой находится на одинаковом расстоянии от центральной точки, как-то примерно так. И у меня возник вопрос: какого ... школьникам уродуют мозги вот этим "множеством точек", если есть на свете человеческое определение?

Так формально линия -- это ж и есть мн-во точек! Другое дело, что для школьных мозгов это всё равно что левой пяткой правое ухо чесать, это да.

[kemerover]

Я вот это определение в школе ненавидел. Для меня это был ничего не значащий набор слов, который я в 6 или 7 классе тупо механически зазубрил. Окружность - это замкнутая линия, а не какое-то б...дское множество точек.

А с точки зрения введённой в школе аксиоматики к моменту когда доходят до окружности линия — ничего не значащее слово.

[злой]

Окружность - это замкнутая линия

Но не простая, а в которой все точки расположены на одном расстоянии от центра. И это расстояние зовётся радиусом.

Вот да, потом я увидел определение окружности, в котором было сказано, что окружность - это замкнутая линия, каждая точка которой находится на одинаковом расстоянии от центральной точки, как-то примерно так. И у меня возник вопрос: какого ... школьникам уродуют мозги вот этим "множеством точек", если есть на свете человеческое определение?

Так формально линия -- это ж и есть мн-во точек! Другое дело, что для школьных мозгов это всё равно что левой пяткой правое ухо чесать, это да.

Вот я нарисую десять точек на равном расстоянии от центра - это будет множество точек, но ни хрена не окружность. Да и вообще, то, что на линии можно брать точки, не делает линию совокупностью точек.

Я вообще потом уже в институте понял, что математиков определение предназначено не для того, чтобы по нему можно было визуализировать суть явления, а больше для того, чтобы отразить какие-то его конкретные характерные свойства. Если вы по математическому определению поняли, о чём идёт речь - вы гений. Нормальным людям надо объяснить человеческим языком или показать на конкретном примере.

[злой]

Я вот это определение в школе ненавидел. Для меня это был ничего не значащий набор слов, который я в 6 или 7 классе тупо механически зазубрил. Окружность - это замкнутая линия, а не какое-то б...дское множество точек.

А с точки зрения введённой в школе аксиоматики к моменту когда доходят до окружности линия — ничего не значащее слово.

И зачем нужна такая ублюдочная аксиоматика?

[Bhudh]

Вот я нарисую десять точек на равном расстоянии от центра - это будет множество точек, но ни хрена не окружность.

Множество по умолчанию бесконечное.

то, что на линии можно брать точки, не делает линию совокупностью точек

Делает.

[злой]

Вот я нарисую десять точек на равном расстоянии от центра - это будет множество точек, но ни хрена не окружность.

Множество по умолчанию бесконечное.

Для математиков - да, наверно очевидно, что если множество не задано явно, то оно скорее бесконечное. Но шестикласснику разве от этого легче? Ему же кто-то это должен объяснить. Для ребёнка всё по умолчанию конечное - в часе 60 минут, в килограмме 1000 грамм и так далее. С чего вдруг множество должно быть бесконечным? Для человека с бытовым мышлением это совершенно неочевидно. Учитель может забыть объяснить, или ученик может засмотреться в окно на воробьёв, пока учитель говорит. Короче говоря, для школьника более ужасное определение придумать трудно.

то, что на линии можно брать точки, не делает линию совокупностью точек

Делает.

Есть абстракция "линия", существующая в голове, и есть абстракция "точка", тоже существующая в голове. И та, и другая абстракция к реальности имеет  опосредованное отношение, а ребёнок не настолько умеет хорошо отделять реальность от умозрительных примеров, тем более когда ему всё демонстрируют на конкретных примерах (по крайней мере, у меня в 6 классе мышление было довольно предметным, уж точно менее абстрактным, чем в последующие годы). Так вот, если даже брать чисто умозрительные явления "точка" и "линия", равенство "множества точек" и "линии" можно только явно декларировать постулатом, я не вижу другого способа приведения одного самостоятельного понятия к другому. А это - принцип "один дядя сказал". Да, допустим, такое отождествление ничему не противоречит, но это всё равно результат "волевого решения".

[Bhudh]

При чём тут абстракции? Точка, ткнутая карандашом, вполне конкретна, имеет какую-то маленькую ширину, и вполне понятно даже школьнику, что если натыкать таких точек близко друг к другу очень-очень много, они сольются в линию.
Которая будет состоять из этих самых точек.

[Toman]

Так вот, если даже брать чисто умозрительные явления "точка" и "линия", равенство "множества точек" и "линии" можно только явно декларировать постулатом, я не вижу другого способа приведения одного самостоятельного понятия к другому.

Проблема в том, что для общего случая линии там надо будет ещё дать условия, ограничивающее это множество точек - и вот от формулировки этих условий для общего случая школьник уж точно удавится. А вот частные случаи вроде той же окружности и др. этим условиям уже удовлетворяют, так что такое честное определение для этого частного случая получается всё же  намного проще, чем определение линии/кривой, необходимое для того, чтобы потом этим понятием пользоваться в определении, например, той же окружности. (И да, общее определение линии/кривой всё равно придётся начать "множество точек такое, что...").

[злой]

Так вот, если даже брать чисто умозрительные явления "точка" и "линия", равенство "множества точек" и "линии" можно только явно декларировать постулатом, я не вижу другого способа приведения одного самостоятельного понятия к другому.

Проблема в том, что для общего случая линии там надо будет ещё дать условия, ограничивающее это множество точек - и вот от формулировки этих условий для общего случая школьник уж точно удавится. А вот частные случаи вроде той же окружности и др. этим условиям уже удовлетворяют, так что такое честное определение для этого частного случая получается всё же  намного проще, чем определение линии/кривой, необходимое для того, чтобы потом этим понятием пользоваться в определении, например, той же окружности. (И да, общее определение линии/кривой всё равно придётся начать "множество точек такое, что...").

Зачем выражать линию через множество точек? Можно же просто сказать, что линия - это линия. Я вот например линию себе как раз представляю как линию, а точку - как точку. Это разные вещи, зачем их сводить к одному?

[злой]

При чём тут абстракции? Точка, ткнутая карандашом, вполне конкретна, имеет какую-то маленькую ширину, и вполне понятно даже школьнику, что если натыкать таких точек близко друг к другу очень-очень много, они сольются в линию.
Которая будет состоять из этих самых точек.

Мне жизненный опыт как раз показывает, что линия получается, когда ведёшь карандаш по бумаге непрерывно, а сколько точек рядом не тыкай, линия не получается. Даже струйный принтер создаёт линию из перекрывающихся клякс, а не из точек.

[Bhudh]

сколько точек рядом не тыкай, линия не получается

Возьмите листочек, линейку, карандаш и натыкайте точек по линейке на расстоянии примерно 0,2 мм друг от друга.
Ваш жизненный опыт после этого обогатится.

[злой]

сколько точек рядом не тыкай, линия не получается

Возьмите листочек, линейку, карандаш и натыкайте точек по линейке на расстоянии примерно 0,2 мм друг от друга.
Ваш жизненный опыт после этого обогатится.

Это будут не абстрактные точки, а очень небольшие отрезки. У абстрактной точки длина - ноль, у линии (хоть абстрактной, хоть конкретной) - не ноль. Не может из нулей получиться не ноль, хоть их там будет бесконечность.

[Bhudh]

Это будут не абстрактные точки, а очень небольшие отрезки.

При чём тут абстракции? Точка, ткнутая карандашом, вполне конкретна, имеет какую-то маленькую ширину

[Dragon27]

Вот я нарисую десять точек на равном расстоянии от центра - это будет множество точек, но ни хрена не окружность.

Ну это вы уловили промах в определении (от которого отталкивались). Более корректно было бы что-нибудь вроде "множество всех точек на плоскости, которые бла-бла-бла", что нормальный учебник, скорее всего и даст.
Для этого часто используется специфический термин "геометрическое место точек".

Да и вообще, то, что на линии можно брать точки, не делает линию совокупностью точек.

"Делает" или "не делает" - вопрос глубоко философский. В обычной геометрии это, считай, определение. Есть и другие подходы к геометрии, в которых линия (прямая или кривая) представляет собой нечто большее, чем просто совокупность точек, удовлетворяющих какому-то свойству, но они школьнику тем более будут не по плечам. Подход через "множество точек" - стандартный и наиболее разработанный. Нестандартные подходы к геометрии на школьном уровне попробуй-ка внедрить.

Есть абстракция "линия", существующая в голове, и есть абстракция "точка", тоже существующая в голове. И та, и другая абстракция к реальности имеет  опосредованное отношение, а ребёнок не настолько умеет хорошо отделять реальность от умозрительных примеров

Математика вся только и состоит из абстракций, который пытаются имитировать какие-то аспекты реальности (и отвечать каким-то из наших интуитивных представлений о ней).
Понятие абстракции ребёнку поначалу плохо доступно, но что тут поделать? Умение выделять и понимать абстракции - дело долгое и очень личное, но объяснять-то геометрию с чего-то надо начинать.

[kemerover]

Я вообще потом уже в институте понял, что математиков определение предназначено не для того, чтобы по нему можно было визуализировать суть явления, а больше для того, чтобы отразить какие-то его конкретные характерные свойства. Если вы по математическому определению поняли, о чём идёт речь - вы гений. Нормальным людям надо объяснить человеческим языком или показать на конкретном примере.

И зачем нужна такая ублюдочная аксиоматика?

Это хорошо уметь дойти до чего-то интуитивно. Но ещё лучше уметь дойти до чего-то интуитивно, а потом это ещё и чётко доказать без размахивания руками. А ещё хорошо, увидев, что ничего доказать не можешь, мочь понять, что интуиция была не верна, и доказать обратное; или понять, что вообще тут вопрос сложный, несмотря на интуицию.

Умению строгой аргументации в чистом виде в школе только геометрия и учит. Очень полезный навык в итоге.

[Bhudh]

Умению строгой аргументации в чистом виде в школе только геометрия и учит.

А алгебра не учит, что ли? Геометрия к этому добавляет разве что наглядность.

[Mass]

А алгебра не учит, что ли?

Ээээ... Нет. Между задачами по алгебре и геометрии всегда была и остается огромная разница - во втором случае играет роль максимально короткий путь доказательства.

В первом у каждого поколения получается выписать вторичные формулы под тип задач, и решать банальной подстановкой. А в геометрии ернаны)

[Bhudh]

Это типа в геометрии нет отдельных типов задач, каждая задача сама по себе как сферический конь в вакууме?

[Mass]

Bhudh, это в целом Вам виднее)

А в частности - да, конечно, и в геометрии такое есть.