О нахожденіи максимальнаго объёма по высотѣ

[Versteher]

Ищемъ  высоту прямоугольнаго параллелепипеда, при которой объёмъ наибольшій.
Объёмъ = Ш * В* Д.
Если продифференцируемъ по высотѣ, то dV/dh = постоянной величинѣ ab, изъ которой никакъ не найти h. (h пропадётъ). У постоянной опять же не видать максимума.
Навѣрное, есть способъ умнѣе

[Andrey Lukyanov]

Чѣмъ больше высота, тѣмъ больше объёмъ. Что здесь удивительнаго?

[Бенни]

Ширина, высота и длина никак не связаны между собой? Тогда, естественно, можно неограниченно увеличивать одно из измерений (зафиксировав два других) и вместе с ним объем. Если же измерения взаимосвязаны (например, задана площадь поверхности), надо использовать эту связь.

[Versteher]

къ примѣру, пропускъ ятя въ Здѣсь.
Я тоже думалъ «съѣхать» на безконечности, но въ учебникѣ отвѣтъ
= a + b – корень изъ(a**2 + b**2 – ab)/6.

[Versteher]

Find the depth of the shallow tray of maximum volume made from a
piece of material with sides a and b in dimensions.

подлинникъ

[Бенни]

Я понял так: от прямоугольника со сторонами a и b отрезаются по углам четыре квадратика со сторонами, равными h, и участки между отрезанными квадратиками загибаются вверх, тогда объем получившейся емкости будет h(a-2h)(b-2h). Эту функцию и требуется максимизировать. Проверил, с ответом сходится.

[Versteher]

спасибо большое

[Versteher]

а решение не покажете?

[Бенни]

h(a-2h)(b-2h)=abh-2(a+b)h^2+4h^3

(abh-2(a+b)h^2+4h^3)'=ab-4(a+b)h+12h^2

Приравниваем к нулю, решаем квадратное уравнение через дискриминант. Получаем два корня - тот, что в ответе, и такой же с плюсом вместо первого минуса. Проверяем первое достаточное условие экстремума, получаем в первом корне максимум (знак производной меняется с плюса на минус), а во втором - минимум. Строго говоря, нужно еще проверить, чтобы корень был больше 0 и меньше как a/2, так и b/2 (иначе конструкция невозможна), но это видно, если построить эскиз графика функции.

[_Swetlana]

для построения графиков, может, кому-то пригодится
https://www.desmos.com/calculator?lang=ru

[Versteher]

спасибо большое