Теория вероятностей

RawonaM · июня 8, 2011, 17:48

Тут еще вот одно странное задание. Мне кажется оно легким, но количество баллов и его вопросы кажутся очень странными и тупыми, очень вероятно, что я чего-то недопонял.

Мальчик кидает мячик в доску с цифрами 0-9. С равной вероятностью он попадает в одну из этих цифр. Результаты попаданий он записывает на бумагу. Если он попадает в 0, то он пишет 0 и переходит на новую строку.

Х — длина строки включая конечный 0.
У — количество четверок в строке.

1) Посчитать дисперсию Х.
2) Посчитать P{X=40,Y=j} для всех j.
3) Допустим в определенной строке Х=40. Какова вероятность, что первая цифра в этой строке — 4?
4) Найти функцию P{Y=j|X=40} и определить ее распределение (т.е. это одно из известных).

Мои ответы:
1) Это геометрическое распределение Х~Geo(0.1), поэтому Var(X)=(1-0.1)/0.01=90.
2) Биномное распределение У помножить на вероятность Х=40, т.е.
$[tex]\binom{39}j \binom19^j \binom89^{39-j}\cdot 0.9^{39}0.1[/tex]$ .
3) Т.к. это одна из цифр 1-9, то вероятность 1/9.
4) Биномное распределние:
$[tex]P\{Y=j|X=40\}=\frac{P\{Y=j,X=40\}}{P\{X=40\}}=\frac{\binom{39}j \binom19^j \binom89^{39-j}\cdot 0.9^{39}0.1}{0.9^{39}0.1}=\binom{39}j \binom19^j \binom89^{39-j}[/tex]$ .

Bhudh · июня 8, 2011, 19:09

Цитата: RawonaM от июня 8, 2011, 17:483) Т.к. это одна из цифер 1-9, то вероятность 1/9.

Почему 1/9? Там же 39 неизвестных цифр (за вычетом из 40 известного нуля).

RawonaM · июня 8, 2011, 19:21

Цитата: Bhudh от июня 8, 2011, 19:09
Цитата: RawonaM от июня 8, 2011, 17:483) Т.к. это одна из цифер 1-9, то вероятность 1/9.
Почему 1/9? Там же 39 неизвестных цифр (за вычетом из 40 известного нуля).

Каждая цифра из этих 39 является четверкой с вероятностью 1/9.

Bhudh · июня 8, 2011, 19:24

Квас · июня 9, 2011, 21:05

Вырвался из РЛ!

Так, что тут у нас?

Цитата: RawonaM от июня 8, 2011, 17:48
1) Это геометрическое распределение Х~Geo(0.1), поэтому Var(X)=(1-0.1)/0.01=90.

Сначала надо в энциклопедию заглянуть. $:-\$

Цитата: RawonaM от июня 8, 2011, 17:48
2) Биномное распределение У помножить на вероятность Х=40, т.е.

А вы прямо уверены, что это независимые события? У меня такое чувство, что зависимые. И насчёт 4) аналогичные сомнения.

Цитата: RawonaM от июня 8, 2011, 17:48
3) Т.к. это одна из цифр 1-9, то вероятность 1/9.

Квас · июня 9, 2011, 21:06

Цитата: RawonaM от июня 8, 2011, 13:43
Дело в том, что если есть распределение Пуассона с параметром Л, часть из него с биномной вероятностью р выделяется, то его можно разложить на две независимые величины Пуассона Х=Ро(Л*р) и У=Ро(Л*(1-р)). Это доказано.

А это формулой нельзя записать? Что-то не соображу, что значит «выделяется» и что раскладывается.

Кстати, Ро — это что?

RawonaM · июня 9, 2011, 21:26

Цитата: Квас от июня 9, 2011, 21:05
Вырвался из РЛ! Так, что тут у нас?

Я уже переживать стал, куда это Квас пропал

Квас · июня 9, 2011, 21:27

Offtop

Цитата: RawonaM от июня 9, 2011, 21:26
Я уже переживать стал, куда это Квас пропал

Совсем la vie réelle замучила! Работать заставляют.

RawonaM · июня 9, 2011, 21:36

Цитата: Квас от июня 9, 2011, 21:05
Цитата: RawonaM от июня 8, 2011, 17:482) Биномное распределение У помножить на вероятность Х=40, т.е.
А вы прямо уверены, что это независимые события? У меня такое чувство, что зависимые. И насчёт 4) аналогичные сомнения.

Как же? X и Y — зависимые, разумеется, но у нас же конкретный X есть, а не переменная. По нему и считаем.

Цитата: Квас от июня 9, 2011, 21:05
Цитата: RawonaM от июня 8, 2011, 17:481) Это геометрическое распределение Х~Geo(0.1), поэтому Var(X)=(1-0.1)/0.01=90.
Сначала надо в энциклопедию заглянуть. $:-\$

Енцыклопедиа: (wiki/en) Geometric_distribution

Цитата: Квас от июня 9, 2011, 21:06
Кстати, Ро — это что?

Ну так Пуассон же.

Цитата: Квас от июня 9, 2011, 21:06
Цитата: RawonaM от июня 8, 2011, 13:43Дело в том, что если есть распределение Пуассона с параметром Л, часть из него с биномной вероятностью р выделяется, то его можно разложить на две независимые величины Пуассона Х=Ро(Л*р) и У=Ро(Л*(1-р)). Это доказано.
А это формулой нельзя записать? Что-то не соображу, что значит «выделяется» и что раскладывается.

Не понял. Я говорю об вот этом свойстве:

Цитата: (wiki/en) Poisson_distribution#Properties * Sums of Poisson-distributed random variables:

If $[tex]X_i \sim \mathrm{Pois}(\lambda_i)\,[/tex]$ follow a Poisson distribution with parameter $[tex] \lambda_i\,[/tex]$ and Xi are independent, then

$[tex]Y = \sum_{i=1}^N X_i \sim \mathrm{Pois}\left(\sum_{i=1}^N \lambda_i\right)\,[/tex]$

also follows a Poisson distribution whose parameter is the sum of the component parameters.

Квас · июня 9, 2011, 22:25

Цитата: RawonaM от июня 9, 2011, 21:36
Цитата: Квас от июня 9, 2011, 21:05
Цитата: RawonaM от июня 8, 2011, 17:482) Биномное распределение У помножить на вероятность Х=40, т.е.
А вы прямо уверены, что это независимые события? У меня такое чувство, что зависимые. И насчёт 4) аналогичные сомнения.
Как же? X и Y — зависимые, разумеется, но у нас же конкретный X есть, а не переменная. По нему и считаем.

Да, точно. С б) согласен.

Цитата: RawonaM от июня 9, 2011, 21:36
Цитата: Квас от июня 9, 2011, 21:06Кстати, Ро — это что?
Ну так Пуассон же.

А, ну тогда про 2X ничего нельзя сказать, потому что только чётные значения принимает.

Цитата: RawonaM от июня 9, 2011, 21:36
Не понял. Я говорю об вот этом свойстве:

А зачем оно нам? У нас к пуассоновской величине (посетители) прибавляется зависящая от неё биномиальная (покупатели). Или число покупателей тоже будет иметь пуассоновское распределение? Вот это надо проверить.

RawonaM · июня 9, 2011, 22:32

Цитата: Квас от июня 9, 2011, 22:25
А зачем оно нам? У нас к пуассоновской величине (посетители) прибавляется зависящая от неё биномиальная (покупатели). Или число покупателей тоже будет иметь пуассоновское распределение? Вот это надо проверить.

Да! О чем я и говорю. Покупатели и непокупатели распределяются оба пуассоново, т.к. их сумма распределяется пуассоново. И ламбда тоже складывается и раскладывается акурат по вероятности. Невероятно, но факт.
Т.е. матожидание посетителей 30, из них матожидание покупателей — 30*0.2=6, а непокупателей — 30*.8=24.
Матожидание в данном случае = ламбда.

RawonaM · июня 9, 2011, 22:35

Цитата: Квас от июня 9, 2011, 22:25
Цитата: RawonaM от июня 9, 2011, 21:36
Цитата: Квас от июня 9, 2011, 21:06Кстати, Ро — это что?
Ну так Пуассон же.
А, ну тогда про 2X ничего нельзя сказать, потому что только чётные значения принимает.

Тогда как мы можем посчитать купоны, выданные покупателям? Ведь купонов в два раза больше выдают.

Квас · июня 9, 2011, 23:31

Цитата: RawonaM от июня 9, 2011, 22:35
Тогда как мы можем посчитать купоны, выданные покупателям?

Число купонов = число посетителей + число покупателей.

Цитата: RawonaM от июня 9, 2011, 22:32
Покупатели и непокупатели распределяются оба пуассоново, т.к. их сумма распределяется пуассоново.

Какой-то странный аргумент. Ладно, при фиксированном числе посетителей число покупателей у нас распределено биномиально; а если было бы небиномиальное, всё равно получился бы закон Пуассона в конечном итоге? C'est bizarre.

RawonaM · июня 9, 2011, 23:42

Цитата: Квас от июня 9, 2011, 23:31
Цитата: RawonaM от июня 9, 2011, 22:35Тогда как мы можем посчитать купоны, выданные покупателям?
Число купонов = число посетителей + число покупателей.

А если я просто хочу посчитать число купонов, выданных посетителям?

Цитата: Квас от июня 9, 2011, 23:31
Цитата: RawonaM от июня 9, 2011, 22:32Покупатели и непокупатели распределяются оба пуассоново, т.к. их сумма распределяется пуассоново.
Какой-то странный аргумент. Ладно, при фиксированном числе посетителей число покупателей у нас распределено биномиально; а если было бы небиномиальное, всё равно получился бы закон Пуассона в конечном итоге? C'est bizarre.

Это не аргумент, это констатация факта. Доказательство в книге есть.
Вот с вики:

Цитировать $[tex]* If X_1 \sim \mathrm{Pois}(\lambda_1)\,[/tex]$ and $[tex]X_2 \sim \mathrm{Pois}(\lambda_2)\,[/tex]$ are independent, and Y = X1 + X2, then the distribution of X1 conditional on Y = y is a binomial. Specifically, $[tex]X_1|(Y=y) \sim \mathrm{Binom}(y, \lambda_1/(\lambda_1+\lambda_2))\,[/tex]$ . More generally, if X1, X2,..., Xn are independent Poisson random variables with parameters λ1, λ2,..., λn then

$[tex]X_i \left|\sum_{j=1}^n X_j\right. \sim \mathrm{Binom}\left(\sum_{j=1}^nX_j,\frac{\lambda_i}{\sum_{j=1}^n\lambda_j}\right)[/tex]$

Квас · июня 9, 2011, 23:45

Цитата: RawonaM от июня 9, 2011, 23:42
Цитата: Квас от июня 9, 2011, 23:31
Цитата: RawonaM от июня 9, 2011, 22:35Тогда как мы можем посчитать купоны, выданные покупателям?
Число купонов = число посетителей + число покупателей.
А если я просто хочу посчитать число купонов, выданных посетителям?

Не понимаю. Всем дают по купону, покупателям — ещё по подному, вот и моя «формула».

Цитата: RawonaM от июня 9, 2011, 23:42
$[tex]* If X_1 \sim \mathrm{Pois}(\lambda_1)\,[/tex]$ and $[tex]X_2 \sim \mathrm{Pois}(\lambda_2)\,[/tex]$ are independent, and Y = X1 + X2, then the distribution of X1 conditional on Y = y is a binomial.

В нужную нам обратную сторону тоже работает? Голова не варит.

RawonaM · июня 9, 2011, 23:45

Наш с вами путь, считать посетителей+покупателей — ошибочный. Предполагается что пункт 2 мы будем решать по покупателям и непокупателям отдельно, тогда они независимы и все нормально.
Нам нужно посчитать Var(X+2Y), Х — непокупатели, У — покупатели.

RawonaM · июня 9, 2011, 23:47

Цитата: Квас от июня 9, 2011, 23:45
Не понимаю. Всем дают по купону, покупателям — ещё по подному, вот и моя «формула».

Ок, временно меняем условие. Покупателям дают 20, непокупателям не дают ничего.

Цитата: Квас от июня 9, 2011, 23:45
В нужную нам обратную сторону тоже работает? Голова не варит.

Работает, стопудово.

Давайте завтра продолжим, я тоже спать уже ложусь. Что-то я сегодня ниче не сделал практически...

Квас · июня 10, 2011, 00:08

Цитата: RawonaM от июня 9, 2011, 23:47
Давайте завтра продолжим, я тоже спать уже ложусь. Что-то я сегодня ниче не сделал практически...

Согласен. Заодно эта идея

Цитата: RawonaM от июня 9, 2011, 23:45
Нам нужно посчитать Var(X+2Y), Х — непокупатели, У — покупатели.

пускай под крышкой поварится.

RawonaM · июня 10, 2011, 11:58

Повбивав би!!!

Оказывается чтобы ответить на этот пункт нужно знать материал следующей главы!!

Там все просто. Дисперсия суммы независимых случайных величин является суммой их дисперсий.

X - непокупатели, Y - покупатели:
$[tex]Var(10X + 20Y)=Var(10X)+Var(20Y)=10^2Var(X)+20^2Var(Y)=100\cdot24+400\cdot6=4800[/tex]$

Скока времени убито

Но нет худа без добра, из-за этого пришлось поглубже погружаться в материал...

RawonaM · июня 10, 2011, 11:59

Почему этот текс обрезает хвормулы посередине экрана?

Квас · июня 10, 2011, 12:03

Цитата: RawonaM от июня 10, 2011, 11:58
Дисперсия суммы независимых случайных величин является суммой их дисперсий.

(Причём я-то это знал. Плаваю в тервере.

)

RawonaM · июня 10, 2011, 12:06

Цитата: Квас от июня 10, 2011, 12:03
Причём я-то это знал.

А молчите как партизан!

Spoiler ⇓⇓⇓

RawonaM · июня 10, 2011, 12:45

Цитата: RawonaM от июня 4, 2011, 18:19
Дальше. Количество клиентов, входящих в магазин в течение одного дня задано распределением Пуассона с параметром 30. Каждый вошедший делает покупку с вероятностью 0.2.
...
4) Если в течение двух дней зашло в магазин 65 человек, какова вероятность, что 30 из них зашли в первый день?
...
4) Определим Z — количество зашедших в произвольные два дня, получается это распределение Пуассона с параметром 60. X — зашедшие в первый день, Y — зашедшие во второй день.
Ответ будет:
$[tex]\frac{P\{X=30\}\cdot P\{Y=35\}}{P\{Z=65\}}=\frac{\frac{30^{30}}{30!}\frac{30^{35}}{35!}}{\frac{60^{65}}{65!}}[/tex]$
Калькулятор не смог посчитать, сказал оверфлоу...

Между прочим, я сечас вот это переразложил и вышло:
$[tex]\binom{65}{35}\binom{65}{30}\cdot 0.5^{65}[/tex]$
Какой вывод отсюда можно сделать? Что каждый чел с вероятностью 1/2 относится к какому-то из этих дней?

RawonaM · июня 10, 2011, 12:50

Цитата: RawonaM от июня 10, 2011, 12:45
Между прочим, я сечас вот это переразложил и вышло:
$[tex]\binom{65}{35}\binom{65}{30}\cdot 0.5^{65}[/tex]$

Нет, не так вышло, пардон. Вышло $[tex]0.5^{65}\cdot \binom{65}{30}[/tex]$ .

RawonaM · июня 10, 2011, 12:51

Биномное распределение. Судя по этому, каждый чел из 65 зашедших за 2 дня с вероятностью 1/2 зашел в первый день. Логично ли?...

Лингвофорум

Теория вероятностей

RawonaM

Bhudh

RawonaM

Bhudh

Квас

Квас

RawonaM

Квас

RawonaM

Квас

RawonaM

RawonaM

Квас

RawonaM

Квас

RawonaM

RawonaM

Квас

RawonaM

RawonaM

Квас

RawonaM

RawonaM

RawonaM

RawonaM

Быстрый ответ