Лингвофорум

?

Цитата: RawonaM от марта 30, 2011, 12:42

Ага.

Или, что то же, .

Трансфа из четырехмерного в трехмерный не может быть one-to-one? Как это по-русски не знаю.
kerT>0 iff трансформация не one-to-one, верно же?

Цитата: RawonaM от марта 31, 2011, 00:35
kerT>0 iff трансформация не one-to-one, верно же?

Абсолютно.

Цитата: RawonaM от марта 31, 2011, 00:35
Трансфа из четырехмерного в трехмерный не может быть one-to-one?

Ага, как следствие.

По-русски взаимно-однозначный. То же самое, что биективный=bijective.

Кстати, глубокая топологическая теорема говорит, что не существует гомеоморфизма на при , то есть взаимно-однозначного непрерывного отображения, у которого обратное непрерывно. Без условия биективности бывают очень экзотические отображения: например, кривая, заполняющая куб (любого числа измерений).

Цитата: Кваскривая, заполняющая куб

А кривая тоже nD (где ) или 2D?

Цитата: Bhudh от марта 30, 2011, 19:18
Цитата: Квас

Цитироватькривая, заполняющая куб

А кривая тоже nD (где ) или 2D?

Кривая одномерная. То есть если обозначить I=[0,1], то утверждается существование непрерывных сюръективных (т. е. «на») отображений для любого натурального n, и даже есть сюръективные отображения в тихоновское произведение счётного числа отрезков.

Если даны векторы двух подпространств, как безопаснее всего найти пересечение между ними? Я всегда запутываюсь в рассчетах. Всегда.
Ставлю столбцами координаты одних векторов, присоединяю к ним столбцами минус координаты других векторов, нахожу нулевое пространство и это мне дает коэффициенты столбцов в пересечении.

Цитата: КвасКривая одномерная.

То есть она заполняет nD-куб без поворотов⁈

Цитата: RawonaM от марта 30, 2011, 19:36
Если даны векторы двух подпространств, как безопаснее всего найти пересечение между ними?

Мне кажется, это самая громоздкая задача. Ваш способ, наверно, самый короткий. Ещё можно задать оба подпространства системами уравнений, тогда объединение этих систем задаёт пересечение подпространств, и надо только найти фундаментальную систему решений (базис системы решений).

Вопрос теперь, как задать пространство системой. Один из способов — положить векторы в строки (!) и найти ФСР системы с полученной матрицей. Компоненты векторов ФСР суть коэффициенты уравнений, задающих подпространство. Почему работает? Проще всего объяснить в случае евклидова пространства: мы фактически находим базис ортогонального дополнения. Если же нет желания вводить скалярное произведение, то можно считать, что мы действуем с ортогональными пространствами, одно из которых лежит в сопряжённом пространстве (пространстве функционалов).

Цитата: Bhudh от марта 30, 2011, 19:38
Цитата: Квас

ЦитироватьКривая одномерная.

То есть она заполняет nD-куб без поворотов⁈

С поворотами и большим числом самопересечений. Как длинная спутанная нитка.

ФСР — это что такое?

Цитата: Квас от марта 30, 2011, 19:56
Мне кажется, это самая громоздкая задача. Ваш способ, наверно, самый короткий.

Он самый короткий, но очень уязвим для обсчетов

Цитата: RawonaM от марта 30, 2011, 20:05
ФСР — это что такое?

Фундаментальная система решений — базис пространства решений однородной системы.

Цитата: Квас от марта 30, 2011, 20:13

ЦитироватьФСР — это что такое?

Фундаментальная система решений — базис пространства решений однородной системы.

Базис нулевого пространства матрицы то есть?

Цитата: RawonaM от марта 30, 2011, 20:18
Цитата: Квас от Сегодня в 21:13

ЦитироватьЦитировать

ЦитироватьФСР — это что такое?

Фундаментальная система решений — базис пространства решений однородной системы.

Базис нулевого пространства матрицы то есть?

Наверно. Что-то «нулевого пространства матрицы» у нас не было.

Цитата: Квас от марта 30, 2011, 21:41
Наверно. Что-то «нулевого пространства матрицы» у нас не было.

А как? (wiki/en) Nullspace
Пишут то же самое, что ядро матрицы. На русском статьи нет.

Меня Стрэнг научил, впрочем у нас тоже называют нулевым пространством, но уточняют, что нулевое пространство строк матрицы.
У Стрэнга целая лекция о четырех фундаментальных подпространствах: {0}, нулевое пространство (Nullspace), пространство столбцов (Column space) и собственно целое пространство (тоже подпространство самого себя).

Цитата: RawonaM от марта 30, 2011, 23:12
Цитата: Квас от Вчера в 22:41

ЦитироватьНаверно. Что-то «нулевого пространства матрицы» у нас не было.

А как?

Да я что-то не припомню вообще. Говорят о подпространстве решений в однородной системы. А для операторов применяется термины ядро и образ. Правда, с точки зрения операторов матрицы — сбоку припёка, но если оператор задать матрицей, то как раз ядро — нулевое пространства, образ — линейная оболочка системы столбцов.

Может и есть специальные названия.

Цитата: RawonaM от марта 30, 2011, 23:12
У Стрэнга целая лекция о четырех фундаментальных подпространствах: {0}, нулевое пространство (Nullspace), пространство столбцов (Column space) и собственно целое пространство (тоже подпространство самого себя).

Что-то свалено всё в кучу. В любом пространстве есть нулевое подпространство, и само оно является своим подпространством. И матрицы тут не при чём, ведь могут рассматриваться, например, функциональные пространства или ещё какие. А Nullspace и Columnspace — подпространства именно , причём связанные с конкретной матрицей. Другая матрица — другие, вообще говоря, подпространства.

Не, прошу пардона, это я намешал две лекции

http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-06-linear-algebra-spring-2010/video-lectures/lecture-10-the-four-fundamental-subspaces/

Почитал транскрипт той лекции: четыре фундаментальных субспейса матрицы это подпространтсво строк, нулевое пространтсво строк, подпространство стобцов и нулевое пространство стобцов.

Задание: даны матрицы 2х2 А и В, у которых след=детерминанта=7.
Являются ли они обязательно подобными?

Мое решение: хар. полином у обоих t^2-7t+7, у этого полинома нет корней, значит у этих матриц нет собственных значений и они не диагонализируемые и следовательно неподобные. Правильно?

Цитата: RawonaM от марта 31, 2011, 10:07
они не диагонализируемые и следовательно неподобные.

Это неверная импликация, вы и сами легко объясните.

На самом деле эти матрицы подобные. Если рассуждать над , то это очевидно, так как обе диагонализируемые, и на диагонали получаются одни и те же собственные значения.

Над сложнее. Пусть A — матрица с характеристическим многочленом  t^2-7t+7. Этот многочлен имеет сопряжённые корни Можно показать, что всякая A подобна матрице поворота на угол , умноженной на r. Это делается так. Рассмотрим эту матрицу как оператор на . Есть базис из комплексных векторов , в котором этот оператор имеет диагональную матрицу

Если рассмотреть базис

получается кое-что интересное.

---

На самом деле, если есть классификация объектов (например, матриц по признаку подобия), то возникает вопрос об инвариантах, то есть величинах, одинаковых для представителей одного класса. Разные значения инварианта моментально дают отрицательный ответ на вопрос о принадлежности объектов одному классу. Если инварианты совпадают, то, конечно, вывода сделать нельзя. Поэтому большое значение имеет отыскание полной системы инвариантов, то есть такой их совокупности, что совпадение всех их для пары объектов является достаточным условием принадлежности объектов одному классу.

В случае подобия комплексных матриц такой системой инвариантов является набор собственных значений и число и размер жордановых клеток, соответствующих собственным значениям. В вещественном случае аналогично, только вместо собственных значений следует рассматривать корни характеристического многочлена (в том числе мнимые) и добавляется новый вид жордановой клетки.

Так что вопрос о подобии двух данных матриц естественно решается через жорданову форму.

Цитата: Квас от марта 31, 2011, 17:23

Цитироватьони не диагонализируемые и следовательно неподобные.

Это неверная импликация, вы и сами легко объясните.

Теперь-то я легко объясню, после экзамена Как раз на подобии матриц я маху дал

Цитата: Квас от марта 31, 2011, 17:23
Так что вопрос о подобии двух данных матриц естественно решается через жорданову форму.

Мы не учили жорданову форму

Щас будем разбирать экзамен, оценивать шансы оценки.

Во дела! Тихой сапой; я и не знал, что сегодня.

Общие впечатления: ХЗ.

Не уверен ни в чем. Максимальная оценка порядка 93 (при условии, что все-все правильно и точно). Минимальную даже не скажу, понятия не имею.
Один вопрос был достаточно легкий, два средние, но я вроде с ними справился, еще один вроде не сложный, но я не особо справился. Пятый не делал. Времени мало, не успел я как следует обдумать и сделать.

Начнем в порядке от легкого к сложному, как я решал.

Вопрос 4:
Дана матрица над :


Найти значения а для которых А диагонализуема.

хар. полином:


Тобто одно собственное значение 2, найдем остальные:

Т.е. два других значения 2ai и -2ai.

Значит если у матрицы три СЗ и следовательно она диагонализируема.
При а=0 ранг матрицы 2, т.е. геометрическая кратность нуля один, а алгебраическая два, поэтому недиагонализинуема.
Т.е. для любого а не ноль матрица диагонализируема.

Тут хотя бы верно? Боюсь что уже напортачил

Цитата: RawonaM от марта 31, 2011, 21:33
При а=0 ранг матрицы 2, т.е. геометрическая кратность нуля один, а алгебраическая два, поэтому недиагонализинуема.

Комплексные a допускаются? Если да, то при она тоже недиагонализируема (когда 2 является двойным корнем). При всех остальных диагонализируема.