Лингвофорум

Не изначальное предположение, не катит. Ведь в столбцах матрицы разложения образов векторов базиса по этому же базису. Если вы берёте в качестве первого вектора нового базиса e1 - e2, то совсем не факт, что он отобразится в себя.

Цитата: Квас от марта 29, 2011, 22:39
Не изначальное предположение, не катит.

А что ж вы меня обрадовали, что катит?

Как можно на глаз вычислить собственные значения матрицы:
1  1  1  1
-1 -1 -1 -1
1  1  1  1
1  1  1  1
?
Я вот пытаюсь легкий способ найти.

У второй же 0 и 2, верно?

Цитата: RawonaM от марта 29, 2011, 22:43
Цитата: Квас от Сегодня в 23:39

ЦитироватьНе изначальное предположение, не катит.

А что ж вы меня обрадовали, что катит?

Апшипся.

Цитата: RawonaM от марта 29, 2011, 22:43
У второй же 0 и 2, верно?

Ага, 0 трёхкратный. Можно не собственные значения сравнивать, а сами характеристические многочлены, потому что они инвариантны.

Западло, что даже следы совпадают.

Спешу обрадовать: посчитал в мэпле, у обеих характеристический многочлен

Считаем дальше геометрические кратности. О, замечательно: обе матрицы приводятся к диагональному виду, причём к одному и тому же. Voilà ! Но считать придётся изрядно.

Цитата: Квас от марта 29, 2011, 22:53
Но считать придётся изрядно.

Я о чем и говорю. Вроде простая штука, а считать дай бог.

Цитата: Квас от марта 29, 2011, 22:39
Ведь в столбцах матрицы разложения образов векторов базиса по этому же базису. Если вы берёте в качестве первого вектора нового базиса e1 - e2, то совсем не факт, что он отобразится в себя.

Все-таки эта идея не дает мне покоя. Не пойму, что вы тут написали.
Допустим матрица.
1  1
-1 -1

Определяем базис B={(1,-1),v}
В этом же базисе у (1,-1) координаты какие? (1, 0)
Значит матрица таки.
1 1
0 0

Где все-таки ошибка? В упор не вижу.

Очевидно где-то тут ошибка, но блин?!

Цитата: RawonaM от марта 29, 2011, 23:36
Определяем базис B={(1,-1),v}
В этом же базисе у (1,-1) координаты какие? (1, 0)

Пусть первый базис e1, e2, тогда
Ae1 = e1 - e2 = Ae2

Вы берёте f = e1 - e2. Тогда

Af = A(e1 - e2) = 0,
что соответствует нулевому столбцу.

Когда мы переходим к новому базису, то с матрицей выполняются одновременно преобразования как строк, так и столбцов, поэтому трудно сказать, что получится.

Кажется понял.
Смотрите: у меня была трансфа
T(1,0)=(1,-1)

Я из нее почему-то сделал.
T(1,-1)=(1,-1)

Надо подумать, как отсюда выйти.

Придуумал!!

Чё-то я опять запутался. Но этот путь имхо можно добить.

Ладно, буду свои гениальные идеи вынашивать после экзамена. 

Посмотрел видеорешение, все-таки его решили без нудных рассчетов.

Использовали свойство что в хар. многочлене коэффициент t^n-1 будет минус след. Красиво.

Получается, что для матрицы А размером n полином tⁿ -tr(A)t^n-1 + ... - det(A)?

Остальные коэффициенты ничего не означают?

Цитата: RawonaM от марта 30, 2011, 00:27
Использовали свойство что в хар. многочлене коэффициент t^n-1 будет минус след. Красиво.

Не понял. В нашем же случае следы как раз одинаковые, я ещё раньше посетовал. Судя по моим вычислениям, матрицы подобны, и для доказательства их надо привести к жордановому виду (диагональный — частный случай) и сравнить.

Цитата: RawonaM от марта 30, 2011, 00:27
Остальные коэффициенты ничего не означают?

Они являются инвариантами оператора, поэтому они в любом случае важны. Конечно, больше всех известны второй коэффициент и свободный член (равен определителю), но остальные тоже находят применение: например, в классификации квадрик. Вот дают вам уравнение второго порядка на плоскости и вопрос, что оно задаёт: эллипс, гиперболу, параболу или вырожденную кривую навроде пары прямых? Инварианты позволяют получить ответ на этот вопрос. Ещё эти инварианты применяются, например, в механике, но там я не силён.

Цитата: Квас от марта 30, 2011, 00:47

ЦитироватьИспользовали свойство что в хар. многочлене коэффициент t^n-1 будет минус след. Красиво.

Не понял. В нашем же случае следы как раз одинаковые, я ещё раньше посетовал. Судя по моим вычислениям, матрицы подобны, и для доказательства их надо привести к жордановому виду (диагональный — частный случай) и сравнить.

В том-то и дело, что без всякого привождения решение
С треугольной матрицей все ясно 2 и три раза ноль. Со второй поэтапно так:
1) матрица вырожденная с нулевым пространством размером в три
2) строим хар. полином: t^3(t + a), где а какое-то еще число, т.е. =t^4+at^3
3) Мы же знаем, что a = -tr матрицы. А след у нас 2, значит полином t^4-2t^3
4) Три раза ноль и один раз два — диагонализируемая.

Лепота

Ах, вон что! Да, красиво.

Ну все, на этой хорошей ноте можно идти спать.
Bonne nuit

Какой-то тупой вопрос попался:
Дан строчный вектор A=(a1 a2 ... an). ai вещественное число и не все нули.

Доказать rank(А^tA)=rank(AA^t).
WTF??

Что такое нафиг А^tA? Нельзя умножить столбец на строку.

Транспонирование обозначают или или (не соображу, как в ТеХе красиво сделать), поэтому правая часть странно записана.

Цитата: Квас от марта 30, 2011, 11:27
Транспонирование обозначают или или (не соображу, как в ТеХе красиво сделать), поэтому правая часть странно записана.

В смысле? С парвой частью все в порядке. Это A умножить A^t, т.е. скалярное умножение, получится матрица 1х1.
А вот что такое A^t умножить на А?!

Цитата: RawonaM от марта 30, 2011, 11:30
A^t,

Не припомню, чтобы маленькая t писалась после буквы.

А столбец на строку умножается, да ещё и матрица получается ого-го:

Цитата: Квас от марта 30, 2011, 11:33
Не припомню, чтобы маленькая t писалась после буквы.

У нас так почему-то обозначают.

Цитата: Квас от марта 30, 2011, 11:33
А столбец на строку умножается, да ещё и матрица получается ого-го:

А, точно. Что-то я стормозил как обычно
Хех, еще ж доказать надо, что у нее ранг единица... Не так просто как казалось.

А-а, че там доказывать-то. Ранг произведения же не превышает ранг множителей.

Цитата: RawonaM от марта 30, 2011, 11:36
Цитата: Квас от Сегодня в 12:33

ЦитироватьНе припомню, чтобы маленькая t писалась после буквы.

У нас так почему-то обозначают.

Каждый волен обозначать, как вздумается.

Цитата: RawonaM от марта 30, 2011, 11:39
А-а, че там доказывать-то. Ранг произведения же не превышает ранг множителей.

Цитата: Квас от марта 30, 2011, 11:48
Каждый волен обозначать, как вздумается.

Ну так тут жеж нет Библии Лопатина

Доказать что мнимое число.

Как подходить к этому?

Цитата: RawonaM от марта 30, 2011, 12:28
Как подходить к этому?

Свойства сопряжённости: числитель чисто мнимый, знаменатель вещественный.