Лингвофорум

В последние дни я о-очень торможу, не понимаю что произошло.

Вопрос: есть базис Rn {v1,...vn}, нужно доказать, что если v1-vn ортогонален системе {v1,...v_n-1}, тогда v1+vn неортогонален ей.

Мое доказательство:
Допустим v1-vn ортогонален {v1,...v_n-1} и v1+vn ортогонален {v1,...v_n-1}.

Из данной ортогональности следует v1(v1-vn)=0 => v1v1=v1vn, а также
v1(v1+vn)=0 => v1v1=-v1vn

Т.е. -v1vn=v1v1=v1vn.
-v1vn=v1vn
А это возможно только если v1=0 или vn=0, в противоречие с бытием этих векторов элементами базиса.

Правильно?

Цитата: Квас от марта 29, 2011, 19:15
В каком смысле представлять? Берёте плоскость, поворачиваете на 30° вокруг начала координат — вот и оператор поворота. Ясно, что никакие векторы не сохраняют направление, если угол поворота не кратен пи. Матрица поворота на угол фи (в положительном направлении) в ортонормированном базисе имеет вид

Матрица заслуженная, полезно её хотя бы приблизительно представлять. Из геометрических соображений получается на раз.

Вот, матрицу я и хотел представить. Спасибо

Цитата: Квас от марта 29, 2011, 19:15

ЦитироватьЯ все-таки не пойму... Написано же, что если у матрицы ортонормальный базис, значит она симметрична, не так разве?

Да.

ЦитироватьНа вики пишут еще, что у симметричной матрицы ортогональные собственные пространства (и наоборот, т.е. iff).

Нет.

А это не одно и то же?!!

Разве не верно, что собственные пространства ортогональны ете у них есть ортонормальный базис?

Цитата: RawonaM от марта 29, 2011, 19:18
-v1vn=v1vn
А это возможно только если v1=0 или vn=0, в противоречие с бытыем этих векторов элементов базиса.

Нет, ну это же не числа! Если (a, b) = 0, то это значит только, что a и b  ортогональны.

В задаче вы не использовали условие полностью: дано, что ортогональны всей системе v1, ... v_{n-1}. Хинт: ортогональное дополнение к этой системе одномерно. Как на иврите аналог «хинта»?

Цитата: RawonaM от марта 29, 2011, 19:21
Разве не верно, что собственные пространства ортогональны ете у них есть ортонормальный базис?

Их может быть слишком мало, в том смысле, что сумма не будет давать всё пространство.

Цитата: Квас от марта 29, 2011, 19:24
Хинт: ортогональное дополнение к этой системе одномерно. Как на иврите аналог «хинта»?

Ре́мез

Цитата: Квас от марта 29, 2011, 19:29

ЦитироватьРазве не верно, что собственные пространства ортогональны ете у них есть ортонормальный базис?

Их может быть слишком мало, в том смысле, что сумма не будет давать всё пространство.

А-а... А если их достаточно, то значит матрица симметрична?

Цитата: Квас от марта 29, 2011, 19:24
Нет, ну это же не числа! Если (a, b) = 0, то это значит только, что a и b  ортогональны.

Да, это конечно эпикфэйл. Если я на экзамене буду так тормозить как в последние дни...

Цитата: RawonaM от марта 29, 2011, 19:30
Цитата: Квас от Сегодня в 20:24

ЦитироватьХинт: ортогональное дополнение к этой системе одномерно. Как на иврите аналог «хинта»?

Ре́мез

Оце дiло. А то «указание» слишком пафосно звучит.

Цитата: RawonaM от марта 29, 2011, 19:30
Цитата: Квас от Сегодня в 20:29

ЦитироватьЦитировать

ЦитироватьРазве не верно, что собственные пространства ортогональны ете у них есть ортонормальный базис?

Их может быть слишком мало, в том смысле, что сумма не будет давать всё пространство.

А-а... А если их достаточно, то значит матрица симметрична?

Ага.

Цитата: RawonaM от марта 29, 2011, 19:31
Цитата: Квас от Сегодня в 20:24

ЦитироватьНет, ну это же не числа! Если (a, b) = 0, то это значит только, что a и b  ортогональны.

Да, это конечно эпикфэйл. Если я на экзамене буду так тормозит как в последние дни...

Меньше заниматься, больше спать!

Цитата: Квас от марта 29, 2011, 19:31
Оце дiло. А то «указание» слишком пафосно звучит.

Почему указание? Хинт это ж подсказка.

Цитата: RawonaM от марта 29, 2011, 19:34
Цитата: Квас от Сегодня в 20:31

ЦитироватьОце дiло. А то «указание» слишком пафосно звучит.

Почему указание? Хинт это ж подсказка.

По-русски вроде кроме «указание» не пишут ничего, потому и хочется чего-нибудь иноязычного. «Хинт» — банально (разве что «гинт» его обзывать).

Цитата: Квас от марта 29, 2011, 19:24
В задаче вы не использовали условие полностью: дано, что ортогональны всей системе v1, ... v_{n-1}.

Мне ж еще нужно показать, что они не из одного пространства. Не вижу тут как єто сделать.

Цитата: RawonaM от марта 29, 2011, 19:44
Цитата: Квас от Сегодня в 20:24

ЦитироватьВ задаче вы не использовали условие полностью: дано, что ортогональны всей системе v1, ... v_{n-1}.

Мне ж еще нужно показать, что они не из одного пространства. Не вижу тут как єто сделать.

В смысле не из одного пространства?

Исходная система — базис, поэтому система v1, ... v_{n-1} имеет ранг n-1.

В смысле, кто сказал, что они оба не находятся в этом одномерном пространстве?

Цитата: RawonaM от марта 29, 2011, 20:06
В смысле, кто сказал, что они оба не находятся в этом одномерном пространстве?

Если предположить, что разности ортогональны чему там сказано, то они обе находятся в этом подпространстве. Отсюда получается линейная зависимость векторов v1, v2.

Дана вещественная матрица А и известно что A(I-A)=I.

Питуах:


Подставляем снова в данное и получаем .

До сих пор верно или уже ошибка где-то?

Дальше: если , у собственное значение -1.
Можно ли из этого сделать вывод, что у собственное значение 1?
И дальше, что у -А собственное значение -1?
Ну и наконец у А тоже -1.

Короче где-то должна быть ошибка.

Цитата: RawonaM от марта 29, 2011, 21:46
Питуах:

Уже не понимаю. Дано-то что , как отсюда получается ?

Цитата: RawonaM от марта 29, 2011, 21:46
Дальше: если , у собственное значение -1.
Можно ли из этого сделать вывод, что у собственное значение 1?
И дальше, что у -А собственное значение -1?

Нельзя. Опять же с поворотами можно подобрать пример (поворот на 60°).

Цитата: Квас от марта 29, 2011, 21:52

ЦитироватьПитуах:

Уже не понимаю. Дано-то что , как отсюда получается ?

Там с тэгами проблемы, смотрите обновленное.

Цитата: Квас от марта 29, 2011, 21:52
Нельзя. Опять же с поворотами можно подобрать пример (поворот на 60°).

А что с поворотами будет? Что если повороты в степень возводить?
Если при возведении в степень собственные значения тоже возводятся, то почему при корне собственные значения не корнюются?

Цитата: RawonaM от марта 29, 2011, 21:56
А что с поворотами будет? Что если повороты в степень возводить?

Повороты на кратные углы. Если рассматривать оператор поворота на 60° (нет собственных значений) и возвести его в куб, получится поворот на 180°, то есть центральная симметрия, как раз с.з. -1.

Цитата: RawonaM от марта 29, 2011, 21:56
Если при возведении в степень собственные значения тоже возводятся, то почему при корне собственные значения не корнюются?

Иногда корнюются (вспомнить, например, теорему о полярном разложении). Но там всё не так просто. Взять уже комплексные числа, из которых куча корней извлекается.

Цитата: Квас от марта 29, 2011, 22:00

ЦитироватьА что с поворотами будет? Что если повороты в степень возводить?

Повороты на кратные углы. Если рассматривать оператор поворота на 60° (нет собственных значений) и возвести его в куб, получится поворот на 180°, то есть центральная симметрия, как раз с.з. -1.

Точно, спасибо.

Цитата: Квас от марта 29, 2011, 22:00

ЦитироватьЕсли при возведении в степень собственные значения тоже возводятся, то почему при корне собственные значения не корнюются?

Иногда корнюются (вспомнить, например, теорему о полярном разложении). Но там всё не так просто. Взять уже комплексные числа, из которых куча корней извлекается.

Да, но тут в этом задании специально сказано, что матрица над R.

Мысль появилась.

Допустим у меня есть матрица, скажем такая:
1  1
-1 -1

Я могу посчитать ее собственные таким путем:
представить какой-нибудь базис, который начинается ((1,-1)...)
В этом базисе трансформация будет

1 1
0 0

Значит у этой матрицы собственные значения 1 и 0.
Катит?

Катит.

Что мы доказываем-то?

Цитата: Квас от марта 29, 2011, 22:27
Катит.

Что мы доказываем-то?

Это шорткат для поиска собственных значений. Задалбываем искать хар. многочлен. Утомительно ужасно

На данный момент был такой вопрос: подобны ли матрицы
1  1  1  1
-1 -1 -1 -1
1  1  1  1
1  1  1  1

2 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
1 0 0 0

По методу выше можно сказать, что у первой матрицы собственные значения 0 и 1.

У второй матрицы вроде 0 и 2.
Хотя... Если по тому же методу назначить базис ((2 0 0 1)...) и сказать, что в этом базисе она

1 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0

Хм... Что-то тут неладно!