Лингвофорум

Еще не все задачи 20-го века решены.

(wiki/ru) Проблемы_Гильберта

Кстати там неточность, задача №10 была сформулирована Гильбертом как "Найти универсальный алгоритм решения диофантовых уравнений". Тогда еще не знали, что не для всего есть алгоритм и тем более не могли доказать, что его нет.

Задачи миллениума:
(wiki/en) Millennium_Prize_Problems

ЦитироватьP versus NP problem
    Hodge conjecture
    Poincaré conjecture (Solved)
    Riemann hypothesis
    Yang–Mills existence and mass gap
    Navier–Stokes existence and smoothness
    Birch and Swinnerton-Dyer conjecture

Делимся опытом. Будем решать.

Что, никто не вникал?

С Навье—Стоксом глухо. Либо нужна другая математика, либо там на самом деле ничего нет. (Что ещё сложнее установить.)

А вы пытались вникнуть во все проблемы? Или они для вас и так ясны?

Почему нет Fermat (Solved)?

Для меня из них ясен только Навье—Стокс. Мы примерно в той области занимаемся.

Вообще, это опасное дело — вцепляться в одну задачу. Уайлз счастливчик, а сколько людей погубила теорема Ферма? Хоть и с ума не сойдёт человек, но потратит жизнь в бесплодных попытках.

А почему вот они решили, что именно это - главные проблемы математики, а все остальные - не главные?

Цитата: злой от марта 17, 2012, 21:40
А почему вот они решили, что именно это - главные проблемы математики, а все остальные - не главные?

Например, в гидродинамике Навье—Стокс является эталонной системой. Что делают для Навье—Стокса, часто удаётся перенести на другие модели, и редко модель даёт лучшие результаты, чем Навье—Стокс. Сейчас в гидродинамике стандартна ситуация, когда отсутствует единственность глобального по времени решения (о чём и идёт речь в проблеме), это принимается как данность и люди учатся с этим жить. Если неким методом будет получена теорема существования и единственности для Навье—Стокса, вероятно, это произведёт переворот в математической гидродинамике.

Цитата: Karakurt от марта 17, 2012, 21:39
Почему нет Fermat (Solved)?

Гильберт видимо не посчитал это одной из главных проблем. Однако тогда же в начале 20-го века "В 1908 году немецкий любитель математики Вольфскель завещал 100 000 немецких марок тому, кто докажет теорему Ферма. Однако после Первой мировой войны премия обесценилась."

Цитата: злой от марта 17, 2012, 21:40
А почему вот они решили, что именно это - главные проблемы математики, а все остальные - не главные?

Кто платит, тот и решает Ведь они приз назначили за решение этих проблем.

Надо присовокупить, что с математической точки зрения задачи гидродинамики исключительно сложны.

А вот от доказательства теоремы Ферма математической пользы на самом деле нет. В мире ничего не стало яснее.

Она так важна? Гидродинамика.

Цитата: Karakurt от марта 17, 2012, 21:48
Она так важна? Гидродинамика.

Так же важна, как вся прочая наука. В физике гидродинамика — одно из тёмных мест. Математических результатов очень мало. Что такое турбулентность, вообще никто не знает — а она повсюду.

Кстати, математическая гидродинамика служит мощным пробным камнем для всяких математических идей и методов.

Цитата: Квас от марта 17, 2012, 21:45

Цитата: злой от марта 17, 2012, 21:40
А почему вот они решили, что именно это - главные проблемы математики, а все остальные - не главные?

Например, в гидродинамике Навье—Стокс является эталонной системой. Что делают для Навье—Стокса, часто удаётся перенести на другие модели, и редко модель даёт лучшие результаты, чем Навье—Стокс. Сейчас в гидродинамике стандартна ситуация, когда отсутствует единственность глобального по времени решения (о чём и идёт речь в проблеме), это принимается как данность и люди учатся с этим жить. Если неким методом будет получена теорема существования и единственности для Навье—Стокса, вероятно, это произведёт переворот в математической гидродинамике.

Получается, если простым языком, то сейчас могут посчитать параметры движения жидкости (скорость, давление, возможно, температуру) на таком-то интервале времени, а так, чтобы взять и подставить туда параметр t и получить картину в любой момент в произвольно взятой координате, посчитать не могут, и вообще не знают, можно ли это сделать средствами математики или нет. Я правильно понял?

По большому счёту считать не могут ничего. Наверно, числовики могут предлагать какие-то методы расчёта, но они не имеют строгого обоснования.

Вопрос чисто теоретический. Есть начально-краевая задача. В математической физике считается, что всё в порядке, если есть теоремы существования и единственности решения (возможно, обобщённого) и непрерывной зависимости от начальных данных и краевых условий. Для трёхмерной системы Навье—Стокса ситуация следующая. Для отрезка [0,T] можно доказать существование слабых решений, но в настолько негладких пространствах, что единственности не получается. Существование сильного решения можно доказать на отрезке [0, δ], где никто не скажет, чему равно δ.

Проще говоря, если на решение мы накладываем слабые требования, то решений получается много. А если сильные требования, то доказать существование не получается. Вопрос: какие условия надо рассматривать, чтобы получить существование единственного решения? Кто ответит, получит миллион баксов.

Цитата: RawonaM от марта 16, 2012, 21:35
Делимся опытом. Будем решать.

RawonaM, Вы шутите? Каждая из этих задач требует весьма длительной подготовки, и заниматься такими задачами очень опасно, как уже говорил Квас. Нет гарантии, что будет получен даже удовлетворительный побочный ли промежуточный результат. Лучше сначала попробовать более частные проблемы - "продвинуться на эпсилон", как говорит мой знакомый доцент-тополог.

Цитата: GaLL от марта 17, 2012, 22:48
RawonaM, Вы шутите?

Да шучу конечно Однако в каждой шутке... 
Чем-то же надо оставшуюся жизнь заниматься.

Цитата: GaLL от марта 17, 2012, 22:48

Цитата: RawonaM от марта 16, 2012, 21:35
Делимся опытом. Будем решать.

RawonaM, Вы шутите? Каждая из этих задач требует весьма длительной подготовки, и заниматься такими задачами очень опасно, как уже говорил Квас. Нет гарантии, что будет получен даже удовлетворительный побочный ли промежуточный результат. Лучше сначала попробовать более частные проблемы - "продвинуться на эпсилон", как говорит мой знакомый доцент-тополог.

Тут процесс важен больше, чем результат. Вот мне Квас рассказал о Навье-Стоксе, чтобы его ответ понять, я полез читать про многообразия, сильные и слабые решения, многообразия не на шутку заинтересовали. А если в эту тему поглубже залезть, так вообще интересно. В институтах не учат соображать, а тут можно научиться.

Великая теорема Ферма окончательно доказана в 1995 году Эндрю Уайлсом. А что несколько лет назад доказал какой-то российский математик, отказавшийся от премии?

Цитата: Karakurt от марта 17, 2012, 23:12
Великая теорема Ферма окончательно доказана в 1995 году Эндрю Уайлсом. А что несколько лет назад доказал какой-то российский математик, отказавшийся от премии?

Poincaré conjecture (Solved)

(wiki/en) Grigori_Perelman

Не, мы в гидродинамике как-то обходимся без многообразий.

На самом деле мне самому нравятся задачи типа теоремы Ферма: простая формулировка, сложное решение и никаких приложений. У меня со студенческих лет такое романтичное представление о настоящей математике. Вся эта матфизика философски сложна: как-то надо уяснить в голове, в какой мере она относится к математике, в какой — к физике, и какой смысл в теоремах существования. В основном люди владеют какими-то методами (например, топологическими) и применяют их в тех задачах, в которых получается.

Своей гидродинамической диссертацией я не горжусь, хотя там есть пара занятных мест. Я горжусь результатом диплома: одна теорема об экстремальных свойствах целочисленных многоугольников. Я верю, что она живёт в мире платоновских идей.

Цитата: Квас от марта 17, 2012, 23:18
Не, мы в гидродинамике как-то обходимся без многообразий.

На самом деле мне самому нравятся задачи типа теоремы Ферма: простая формулировка, сложное решение и никаких приложений. У меня со студенческих лет такое романтичное представление о настоящей математике. Вся эта матфизика философски сложна: как-то надо уяснить в голове, в какой мере она относится к математике, в какой — к физике, и какой смысл в теоремах существования. В основном люди владеют какими-то методами (например, топологическими) и применяют их в тех задачах, в которых получается.

Вы вовремя меня, значит, поправили. Стал искать в Интернете гладкие пространства, сразу же напоролся на гладкие многообразия. Буду курить в эту сторону.

Цитата: Квас от марта 17, 2012, 23:20
Своей гидродинамической диссертацией я не горжусь, хотя там есть пара занятных мест. Я горжусь результатом диплома: одна теорема об экстремальных свойствах целочисленных многоугольников. Я верю, что она живёт в мире платоновских идей.

Это была кандидатская или докторская?