Лингвофорум

Народ, сколько раз ни читал про эту апорию, так и смог понять, где там парадокс. В кивипедии целые простыни из истории вопроса, но как-то всё не то. :what:

 :green: Объяснения никогда не догонят понимание.

Так как Ахиллеса подстрелил Парис, то черепаху он никак не сможет догнать. Мёртвые не бегают.

Цитата: Wolliger Mensch от ноября 22, 2017, 11:02
Народ, сколько раз ни читал про эту апорию, так и смог понять, где там парадокс. В кивипедии целые простыни из истории вопроса, но как-то всё не то. :what:

Парадокс в том, что по логическим рассуждениям Зенона Ахиллес не догонит черепаху никогда, что резко расходится с практическими наблюдениями.

Между тем, хотя при подходе Зенона для настигания Ахиллесом черепахи действительно потребуется бесконечное количество мысленных итераций, это тем не менее наступит за конечное время (поскольку временной промежуток, рассматриваемый в каждой итерации, прогрессивно уменьшается). По идее, это хорошо должна демонстрировать теория рядов, но это уже не ко мне. Ключевая причина парадокса - возможность разделить любой конечный ненулевой интервал на бесконечное количество частей (что кажется контринтуитивным).

Цитата: Awwal12 от ноября 22, 2017, 12:46

Цитата: Wolliger Mensch от ноября 22, 2017, 11:02
Народ, сколько раз ни читал про эту апорию, так и смог понять, где там парадокс. В кивипедии целые простыни из истории вопроса, но как-то всё не то. :what:

Парадокс в том, что по логическим рассуждениям Зенона Ахиллес не догонит черепаху никогда, что резко расходится с практическими наблюдениями.

Между тем, хотя при подходе Зенона для настигания Ахиллесом черепахи действительно потребуется бесконечное количество мысленных итераций, это тем не менее наступит за конечное время (поскольку временной промежуток, рассматриваемый в каждой итерации, прогрессивно уменьшается)....

Но всё равно черепаха остаётся чуточку впереди, если расстояние можно делить бесконечно.

Зависит ли скорость черепахи от её вида? Ведь могут быть какие-то ультрабыстрые (относительно других) черепахи?

Думаю, объяснение можно найти в том, что и черепаха, и Ахиллес двигаются не с постоянной скоростью, а скачками. Скачок-шаг Ахиллеса более велик, и если их складывать, сумма рано или поздно превысит расстояние, преодолённое шагами черепахи.

Цитата: Awwal12 от ноября 22, 2017, 12:46
Между тем, хотя при подходе Зенона для настигания Ахиллесом черепахи действительно потребуется бесконечное количество мысленных итераций, это тем не менее наступит за конечное время (поскольку временной промежуток, рассматриваемый в каждой итерации, прогрессивно уменьшается). По идее, это хорошо должна демонстрировать теория рядов, но это уже не ко мне.

Временной промежуток конечен по условию задачи, этого не надо доказывать (поскольку никакое разбиение не меняет суммы).
Мне кажется, что парадокс в том, что мы незаконно разбиваем это пробегание на бесконечную цепь причин и следствий. Тут, как бы, либо пробегание это эээ "не непрерывно", либо, если оно "непрерывно", то причина каждого "кадра" не может лежать в предыдущем "кадре", поскольку в этом случае предыдущего кадра не существует, и причиной каждого кадра является всё пробегание целиком. Таково моё мнение, хоть и недостаточно хорошо отрефлексированное и выраженное.

P.S.
Сумму ряда данного явно: , можно найти и без "теории рядов"  :), исходя из следующего наблюдения:

Впрочем, если отойти от шагающих и бегущих существ, и представить, к примеру, две моторные лодки, двигающиеся с разной постоянной скоростью, возникает та же логическая проблема.

Цитата: Wolliger Mensch от ноября 22, 2017, 11:02
Народ, сколько раз ни читал про эту апорию, так и смог понять, где там парадокс. В кивипедии целые простыни из истории вопроса, но как-то всё не то. :what:

Да, бред полный, а не парадокс. Заявляю как человек, не раз обгонявший бабулек, имевших тысячешаговую фору :)

Цитата: Easyskanker от ноября 22, 2017, 15:35

Цитата: Wolliger Mensch от ноября 22, 2017, 11:02
Народ, сколько раз ни читал про эту апорию, так и смог понять, где там парадокс. В кивипедии целые простыни из истории вопроса, но как-то всё не то. :what:

Да, бред полный, а не парадокс. Заявляю как человек, не раз обгонявший бабулек, имевших тысячешаговую фору :)

ЦитироватьДВИЖЕНИЕ

Движенья нет, сказал мудрец брадатый.
Другой смолчал и стал пред ним ходить.
Сильнее бы не мог он возразить;
Хвалили все ответ замысловатый.
Но, господа, забавный случай сей
Другой пример на память мне приводит:
Ведь каждый день пред нами солнце ходит,
Однако ж прав упрямый Галилей.

Источник: http://pushkin.niv.ru/pushkin/stihi/stih-445.htm

Однако ж Солнце движется по орбите вокруг центра галактики.

Цитата: Awwal12 от ноября 22, 2017, 12:46
[Парадокс в том, что по логическим рассуждениям Зенона Ахиллес не догонит черепаху никогда, что резко расходится с практическими наблюдениями.

Да это-то всё понятно. Непонятны решения. Вот я себе представил эту ситуацию: Ахиллес действительно отстаёт от черепахи, пока расстояние между ними больше длины шага Ахиллеса. Но ведь в какой-то момент времени расстояние становится меньше длины шага Ахиллеса, и тогда он её этим своим шагом обгоняет и дальше убегает нафиг от черепахи. Собственно, так обгон и происходит в реальном мире.

С другой стороны, если у Зенона предполагается (?), что длина шага Ахиллеса бесконечно мала, чтобы он действительно бесконечно долго догонял черепаху, тогда сама апория теряет смысл: и Ахиллес, и черепаха просто стоят на месте. :donno:

Зенон исходил из преодолеваемого расстояния, а не из дискретных шагов, как я понимаю.

Цитата: Awwal12 от ноября 22, 2017, 20:16
Зенон исходил из преодолеваемого расстояния, а не из дискретных шагов, как я понимаю.

Ну вот автомобили, у них круглые колёса, движение, вроде бы, не дискретное. Но принцип обгона остаётся тот же (независимо от способа обгона: либо колёса догоняющей машины вращаются с большей угловой скоростью, либо угловая скорость та же, но больше радиус колеса, либо то и другое одновременно): пока расстояние между машинами больше длины, догоняющей машины, догоняющая машина отстаёт, но когда расстояние становится меньше длины догоняющей машины, последняя либо обгоняет догоняемую, либо упрётся ей в зад и будет подталкивать. Получается, объекты у Зенона не должны быть безразмерным точками. Тогда действительно это чисто математическая приблуда, не имеющая никакого отношения к реальности. :donno:

Атомизм - вера в то, что существует нечто мельчайшее уже неделимое (как пиксель на экране) - это одна из реакций, один из ответов товарищу Зенону.

Цитата: Wolliger Mensch от ноября 22, 2017, 20:26
но когда расстояние становится меньше длины догоняющей машины, последняя либо обгоняет догоняемую, либо упрётся ей в зад и будет подталкивать.

Дефинируйте "догнать" и примените рассуждения Зенона к желаемым контрольным точкам объектов (например,  крайней передней точке догоняющей машины и крайней задней точке догоняемой). Ничего не изменится.

Парадокс коренится в самом методе рассмотрения.

Бесконечное число математиков заходит в бар.
Первый заказывает кружку пива, второй полкружки, третий четверть кружки...
— Понял, — говорит бармен и ставит на стойку две кружки пива.

Это очень сложная вещь, потому что относится к основаниям математики, т.е. к выбору аксиом, на которых будет строится вся математика. То есть для конструктивиста ответ на заданный ТС вопрос будет один, для "стандартного" математика - другой, для "нестандартного" (пополняющего поле действительных чисел по какой-то метрике бесконечно большими и бесконечно малыми величинами) - третий.  Я совершенно не готова ответить на этот вопрос. Надо много читать, вспоминать, думать, готовить сравнительный анализ и "опровержение" с трёх разных точек зрения.

...первое, что мне щас приходит в голову: посколько в апории отрезки меряют, надо начинать с того, что мы вообще считаем измеримым множеством (хотя бы и меры нуль).

А вообще, в детстве (в 8 классе) читала Мартина Гарднера "Математические досуги", там этой апорией иллюстировали сходимость/расходимость числовых рядов. Книжка на полке, если как-нибудь перечитаю, отпишусь. Но там дело, конечно, не только в сходимости рядов.

Вычитаем скорости и имеем 0 и >0.

Цитата: Karakurt от ноября 23, 2017, 17:02
Вычитаем скорости и имеем 0 и >0.

Вы тоже обнаружили парадокс? ;D

Наоборот. Очевидно, что его нет.

Похоже на детский прикол с доказательством на пальцах, что дважды два равно пяти. Все греки, которых я знаю, имеют склонность к мошенничеству, и к непростому такому, с юморком. По этой апории очевидно, что имели и во времена Зенона. Если фундамент математики выстроен из таких вот вещей, то...

В общем, что я понял.
1) Есть две безразмерные точки, движущиеся с безразмерной дискретностью, первая точка движется быстрее, чем вторая, но обогнать или поравняться со второй никогда не сможет, там как банально нечем равняться и нечем обгонять — нет размера, поэтому она первая точка будет вечно догонять вторую, расстояние между ними будет вечно уменьшаться.
2) Любые материальные объекты не соответствуют условиям этой апории.

Никто никуда не движется. Движение (по Зенону) вообще невозможно. В принципе.
Черепаха тоже никуда не движется, спит бабушка Тортилла.
Чтобы до неё дойти, нужно сначала преодолеть половину пути. А чтобы пройти половину, сначала нужно пройти четверть. И четверть за просто так тоже не пройдёшь. Вначале надо пройти осьмушку.

Цитата: Wolliger Mensch от ноября 23, 2017, 20:58
2) Любые материальные объекты не соответствуют условиям этой апории.

Я уже написал выше. Не соответствуют условиям апории они разве что потому, что линейные размеры любых объектов постоянно колеблются - это действительно делает условия апории неприменимыми (рано или поздно флуктуации положения ключевых точек численно перерастут приросты пройденного расстояния). В противном случае апория, с уточняющими строгими определениями, была бы применима вплоть до гипотетических квантов пространства.

Возьмите любое число. Разделите его на два. Потом ещё раз. И ещё раз. Сколько бы вы раз ни проводили эту операцию 0 у вас не получится. Зенон говорит, что ситуацию с Ахиллесом и черепахой математически можно представить именно так. (как, например, делёжку 12 яблок между 6 людьми можно математически представить как 12 / 6 = 2.)

Цитата: _Swetlana от ноября 23, 2017, 16:42
Это очень сложная вещь, потому что относится к основаниям математики, т.е. к выбору аксиом, на которых будет строится вся математика. То есть для конструктивиста ответ на заданный ТС вопрос будет один, для "стандартного" математика - другой, для "нестандартного" (пополняющего поле действительных чисел по какой-то метрике бесконечно большими и бесконечно малыми величинами) - третий.  Я совершенно не готова ответить на этот вопрос. Надо много читать, вспоминать, думать, готовить сравнительный анализ и "опровержение" с трёх разных точек зрения.

...первое, что мне щас приходит в голову: посколько в апории отрезки меряют, надо начинать с того, что мы вообще считаем измеримым множеством (хотя бы и меры нуль).

А вообще, в детстве (в 8 классе) читала Мартина Гарднера "Математические досуги", там этой апорией иллюстировали сходимость/расходимость числовых рядов. Книжка на полке, если как-нибудь перечитаю, отпишусь. Но там дело, конечно, не только в сходимости рядов.

У епископа Беркли есть сочинение:
"Аналитик, или рассуждение адресованное неверующему математику, где исследуется являются ли предмет, принципы и заключения современного анализа более отчётливо познаваемыми и с очевидностью выводимыми,  чем религиозные таинства и положения веры."

:green: Запарился пока одно название набирал, но в принципе работа вполне доступна, на грани лёгкого чтива.

Цитата: _Swetlana от ноября 23, 2017, 22:33
Никто никуда не движется. Движение (по Зенону) вообще невозможно. В принципе.

Мне совершенно всё равно, что там «по Зенону». Я прочитал апорию и рассуждаю из прочтённого.

Цитата: kemerover от ноября 24, 2017, 01:09
Возьмите любое число. Разделите его на два. Потом ещё раз. И ещё раз. Сколько бы вы раз ни проводили эту операцию 0 у вас не получится. Зенон говорит, что ситуацию с Ахиллесом и черепахой математически можно представить именно так. (как, например, делёжку 12 яблок между 6 людьми можно математически представить как 12 / 6 = 2.)

Да, только один нюанс: сутацию с Ахиллесом и черепахой нельзя представить математически «именно так»: и у Ахиллеса, и у Черепахи есть собственный размер, и измеримо их перемещение. Вопрос: а что тут тогда апоретического? Что там в кивипедии:

ЦитироватьАпоретическое (апорийное) суждение фиксирует несоответствие эмпирического факта и описывающей его теории.

Ну и где это несоответствие? Ведь в самой этой апории ничего не говорится о математических допущениях, читатель должен сам догадаться. Но ведь можно догадаться и не так, как задумано автором, а иначе. Собственно, об этом и был вопрос.

Цитата: Волод от ноября 22, 2017, 12:38
:green: Объяснения никогда не догонят понимание.

Цитата: Wolliger Mensch от ноября 24, 2017, 09:05

Цитата: _Swetlana от ноября 23, 2017, 22:33
Никто никуда не движется. Движение (по Зенону) вообще невозможно. В принципе.

Мне совершенно всё равно, что там «по Зенону». Я прочитал апорию и рассуждаю из прочтённого.

Так это и хорошо. Одну прочитали - и вторую прочитайте. Называется "Дихотомия".

Цитата: Волод от ноября 24, 2017, 08:37

Цитата: _Swetlana от ноября 23, 2017, 16:42
Это очень сложная вещь, потому что относится к основаниям математики, т.е. к выбору аксиом, на которых будет строится вся математика. То есть для конструктивиста ответ на заданный ТС вопрос будет один, для "стандартного" математика - другой, для "нестандартного" (пополняющего поле действительных чисел по какой-то метрике бесконечно большими и бесконечно малыми величинами) - третий.  Я совершенно не готова ответить на этот вопрос. Надо много читать, вспоминать, думать, готовить сравнительный анализ и "опровержение" с трёх разных точек зрения.

...первое, что мне щас приходит в голову: посколько в апории отрезки меряют, надо начинать с того, что мы вообще считаем измеримым множеством (хотя бы и меры нуль).

А вообще, в детстве (в 8 классе) читала Мартина Гарднера "Математические досуги", там этой апорией иллюстировали сходимость/расходимость числовых рядов. Книжка на полке, если как-нибудь перечитаю, отпишусь. Но там дело, конечно, не только в сходимости рядов.

У епископа Беркли есть сочинение:
"Аналитик, или рассуждение адресованное неверующему математику, где исследуется являются ли предмет, принципы и заключения современного анализа более отчётливо познаваемыми и с очевидностью выводимыми,  чем религиозные таинства и положения веры."

:green: Запарился пока одно название набирал, но в принципе работа вполне доступна, на грани лёгкого чтива.

Я верующий математик, это не ко мне  ;D

Время, за которое Ахилл догонит черепаху, разбили на бесконечное число  частей.
А сумма из  бесконечного числа слагаемых со всей очевидностью должна быть бесконечностью. Ну в как может быть иначе? Это же очевидно!
Следовательно Ахилл не догонит черепаху.

Цитата: Wolliger Mensch от ноября 24, 2017, 09:19только один нюанс: сутацию с Ахиллесом и черепахой нельзя представить математически «именно так»: и у Ахиллеса, и у Черепахи есть собственный размер, и измеримо их перемещение.

:what: У яблок тоже есть размер. Но никто же не возражает, что если 12 яблок поделить на 6 человек, то каждому достанется 2 яблока.

Цитата: sss от ноября 24, 2017, 10:33
Время, за которое Ахилл догонит черепаху, разбили на бесконечное число  частей.
А сумма из  бесконечного числа слагаемых со всей очевидностью должна быть бесконечностью. Ну в как может быть иначе? Это же очевидно!
Следовательно Ахилл не догонит черепаху.

Дело не в сумме, а в количестве частей. Если бы Ахилл поставил себе задачу сокращать расстояние в два раза, он бы действительно никогда не догнал черепаху. Не согласны?

Цитата: kemerover от ноября 24, 2017, 10:38
Дело не в сумме, а в количестве частей. Если бы Ахилл поставил себе задачу сокращать расстояние в два раза, он бы действительно никогда не догнал черепаху. Не согласны?

И если будет стоять на месте, то тоже никогда не догонит!  :'( Ахиллес движется с постоянной максимальной скоростью, иначе и парадокса никакого не получится.

Ещё один парадокс  :) из современной теории меры.

Мера по Лебегу.
По Лебегу отрезок [a,b] имеет длину |b-a|, а отдельно взятая точка - нулевую меру.
Но ведь отрезок [a,b] состоит из точек, суммируем их меры, получаем меру 0. Противоречие.

Вот и Зенон в своих рассуждениях опирался на такие аксиомы:
1) Сумма бесконечного числа равных положительных величин произвольной малости равна бесконечности.
2) Сумма любого конечного или бесконечного числа точек («безразмерных» величин) равна нулю.

А это таки не так. Возьмём отрезок [0,1], его мера (Лебега) равна 1-0=1.
Отрезок состоит из рациональных и иррациональных чисел.
Рациональные числа - счётное объединение точек меры 0 - их мера равна 0.
Множество иррациональных чисел - дополнение множества рациональных чисел, значицца их мера равна мера отрезка минус мера рациональных чисел, т.е. равна 1.

Цитата: kemerover от ноября 24, 2017, 10:38
Дело не в сумме, а в количестве частей. Если бы Ахилл поставил себе задачу сокращать расстояние в два раза, он бы действительно никогда не догнал черепаху. Не согласны?

Бесконечное количество частей приводит к  разумному предположению, что и сумма бесконечна.

Цитата: Wolliger Mensch от ноября 22, 2017, 11:02
так и смог понять

По способу мышления есть люди-математики, есть люди-физики.
Людей-математиков не интересует применимость предложенной модели, а людей-физиков не интересуют неприменимые модели.

Вы из вторых, видимо. :)

Цитата: sss от ноября 24, 2017, 11:05

Цитата: kemerover от ноября 24, 2017, 10:38
Дело не в сумме, а в количестве частей. Если бы Ахилл поставил себе задачу сокращать расстояние в два раза, он бы действительно никогда не догнал черепаху. Не согласны?

Бесконечное количество частей приводит к  разумному предположению, что и сумма бесконечна.

Разумному?

А почему нет?

Ну, если не отвлекаться на конструктивистов (Зенон доказывает от противного, доказательство неконструктивное) и на нестадартный матанализ (отказ от аксиомы Архимеда), то в рамках стандартного матанализа все апории Зенона, связанные с движением, на мой специфический нефизический взгляд собственно к движению никакого отношения не имеют.

А к чему имеют.
К разложению (в каком-то смысле) конечного объекта на бесконечное число частей с их последующим суммированием. Вначале объект был конечен, разложили-просуммировали и стал бесконечен. Парадокс.
А суммировать бесконечное древние греки не умели. И не отличали счётное бесконечное от несчётного бесконечного.

Поясняю на примере обсуждаемой апории.
Вот Зенон грит: А. не может догнать Ч. за конечный отрезок времени.
Он что, совсем дурак не понимает, что отрезок времени тоже бесконечен? Понимает. При бесконечном делении конечного отрезка времени возникает тот же самый бесконечный процесс.
Конечный отрезок времени у него играет роль конечного отрезка длины. То есть был конечный отрезок, затем его дихотомией разделили на бесконечное счётное число частей, надо их просуммировать и получить в пределе длину отрезка. Не проблема, ряд сходится, суммируй. Только суммировать бесконечные последовательности ещё не умеют.

Далее, апория "Стрела"  (Летящая стрела неподвижна, так как в каждый момент времени она занимает равное себе положение, то есть покоится; поскольку она покоится в каждый момент времени, то она покоится во все моменты времени, то есть не существует момента времени, в котором стрела совершает движение).
В предыдущей апории отрезок хоть на счётное число частей делили, а теперь отрезок раскладываем на континуум точек.
Не о движении речь идёт в этой апории!!!

А вот о чём.
Раскладываем отрезок на континуум точек, по мере Зенона-Лебега  ;D каждая точка имеет меру 0. Почему меру ноль? - потому что стрела в точке покоится. Если бы точка имела ненулевую меру, то стрела бы двигалась, проходя эту точку.
Теперь суммируем континуум точек меры 0, получаем по Зенону опять 0. Не знает он ещё, что мера счётно-аддитивна, что меры несчётных множеств вычисляются через дополнения.

Потому что сходящийся ряд.

Вот, сижу довольная, все апории Зенона якобы о движении объяснила, ради В.М. старалась 
;D

Цитата: _Swetlana от ноября 24, 2017, 15:48
в рамках стандартного матанализа все апории Зенона, связанные с движением, на мой специфический нефизический взгляд собственно к движению никакого отношения не имеют

По крайней мере сабжевая апория никакого специфического отношения к движению не имеет, да. О чём я, по сути, и толкую.

Цитата: Awwal12 от ноября 24, 2017, 16:01

Цитата: _Swetlana от ноября 24, 2017, 15:48
в рамках стандартного матанализа все апории Зенона, связанные с движением, на мой специфический нефизический взгляд собственно к движению никакого отношения не имеют

По крайней мере сабжевая апория никакого специфического отношения к движению не имеет, да. О чём я, по сути, и толкую.

:UU:

Поправлюсь. Где я впервые прочитала про А. и Ч. Мартин Гарднер "Математические новеллы", самая первая новелла посвящена бесконечным рядам и начинается с рассматриваемой апории.
Далее сурово, без всяких философских рассуждений о пространстве-времени, суммируется бесконечная убывающая геометрическая прогрессия. И тут же извиняются перед читателем, мол, мы не рассматриваем здесь, как современные математики разрешают апории Зенона.

Я считаю, что парадокс Зенона никакого прямого отношения к сумме рядов не имеет. Дело в том, что Зенон говорит, что Ахиллу, чтобы догнать черепаху надо совершить бесконечную серию действий. Суть именно в том, что вот этот переход неправомерен. Потому что если бы Ахилл действительно совершал эти действия (сокращал дистанцию вдвое целенаправленно), он бы действительно никогда бы не догнал черепаху. Из той же серии - Лампа Томпсона.

Цитата: _Swetlana от ноября 24, 2017, 09:49
Так это и хорошо. Одну прочитали - и вторую прочитайте. Называется "Дихотомия".

В тексте апории ничего не говорится, что нужно прочитать ещё апорий. :yes: Более того, даже там, где она приводится, об этом не говорят. Ни то, что это часть чего-то, ни о каких допущениях: читателю предлагается понять её, как есть.

Цитата: Flos от ноября 24, 2017, 11:11

Цитата: Wolliger Mensch от ноября 22, 2017, 11:02
так и смог понять

По способу мышления есть люди-математики, есть люди-физики.
Людей-математиков не интересует применимость предложенной модели, а людей-физиков не интересуют неприменимые модели.

Вы из вторых, видимо. :)

А что математики обязаны рассуждать, что у Ахиллеса и черепахи нулевой размер? Что не математического в том, что как только расстояние между Ахиллесом и черепахой станет меньше шага Ахилесса, он её обгонит? :donno:

Ну, в принципе, пока Ахиллес делает этот шаг, черепахе никто не мешает проползти столько, чтобы он стал не последним.

Цитата: Bhudh от ноября 24, 2017, 18:49
Ну, в принципе, пока Ахиллес делает этот шаг, черепахе никто не мешает проползти столько, чтобы он стал не последним.

По условию апории черепаха всегда проползает меньше Ахиллеса, и если расстояние меньше шага, черепаха по условию проползёт ещё меньше, значит Ахиллес своим шагом обязательно в этот момент обгонит черепаху.

На самом деле апория возвращается в нашу вселенную как только вместо черепахи вставить Гектора. Или хотя бы просто собаку. Даже если Землю в духе настоящей математики представлять как идеально ровный шар без малейших препятствий и укрытий.

Цитата: Wolliger Mensch от ноября 24, 2017, 18:13
А что математики обязаны рассуждать, что у Ахиллеса и черепахи нулевой размер?

Не обязаны. Но именно так они и рассуждают.
Лишние подробности выкидываются, создается математическая модель.
В данном случае апория говорит математикам о  двух точках, которые  равномерно движутся  по одной прямой в одном направлении с разными скоростями. 

Цитата: Flos от ноября 24, 2017, 19:50
Не обязаны. Но именно так они и рассуждают.
Лишние подробности выкидываются, создается математическая модель.

Вот только выше спросил, что такого не математического в объектах с размером? И потом, устранение размера создаёт другие условия с ожидаемым иным результатом.

Цитата: Flos от ноября 24, 2017, 19:50
В данном случае - апория говорит математикам о  двух точках, которые  равномерно движутся  по прямой в одном направлении с разными скоростями. 

По-моему, апория о другом говорит. :what:

Цитата: Wolliger Mensch от ноября 24, 2017, 19:58
Вот только выше спросил, что такого не математического в объектах с размером? И потом, устранение размера создаёт другие условия с ожидаемым иным результатом.

Ничего в них нет нематического.
Но в данном случае размер не нужен.
Ахиллес, черепаха - все это просто красивулины.

Например, определим обгон как момент времени, когда центр масс Ахиллеса опередит центр масс черепахи. Предположим также, что центры их масс движутся равномерно вдоль одной прямой. Вуаля.

Цитата: Wolliger Mensch от ноября 24, 2017, 19:58
По-моему, апория о другом говорит. :what:

А по-моему, именно об этом. Все серьезные ответы в этой теме об этом.

А почему Ахиллес, а не Ахилл? Как по-русски принято? Ахилл, но ахиллесова пята? :umnik:

Цитата: Flos от ноября 24, 2017, 20:03
Но в данном случае размер не нужен.
Ахиллес, черепаха - все это просто красивулины.

Вы сообщения выше читали? ;D

Зенон исходит из бесконечной дробимости пространства, но что если оно дискретно?
Тогда получается, что скорость объектов определяется временем активности данного пикселя пространства.

На экране "движение" так и происходит, чём быстрее "движется точка", тем меньше горит пиксель, а начиная с определённого момента, время горения становится меньше минимального и пиксель просто не зажигается и точка "перескакивает" в следующий или даже через несколько пикселей, может даже перескочить через препятствие, что выглядит как телепортация.

Как мы знаем, были опыты, когда вылетающие частицы проходили сквозь препятствие, из чего был сделан вывод, что все предметы состоят из пустоты. Но возможно, они перескакивали?

Какие еще препятствия для пикселей? Даже если вы спрайт с полноценным человечком направите на препятствие, этот спрайт будет проходить сквозь, пока свойство collision не пропишете. Если реалистичного трехмерного человечка, будет то же самое. Не то что какой-то там пиксель. У реальных же объектов всё немножко иначе.

У реальных объектов свойство collision прописано в электронных оболочках. И чуть-чуть в атомных ядрах.
Были бы оболочки нейтринные — проходили бы точно так же.

Вы не о том пишете, я говорю не про прохождение, а про перескок. Если время активности меньше минимального, то пиксель пропускается. Могут пропускаться десятки пикселей. Даже если они активны.
Короче, помогайте мышкой и смотрите как курсор появляется в разных частях экрана и никакие линии его не остановят, он будет через них перепрынивать, а не отскакивать.

Так и не понял, почему он должен остановиться или отскочить. И какие еще пиксели пространства? Про то, что частота обновления экрана не поспевает за объектом понятно. Кстати, если двигать яркую точку в один пиксель по экрану, глаз увидит за ней линию. Это же не значит, что например за каждым реальным объектом должна оставаться линия из него самого.

Математика какая-то, мера Лебега, безразмерность и размеры, пиксели пространства, электронные оболочки в них же свойство коллизии прописано есть. Люди, это ж древний грек всё-таки апории придумал. Я не знаю, конечно, наверняка, но по-моему, всё-таки его удивляла невозможность построить конечную причинно-следственную цепочку (конечно, из приемлемых для него посылок, приемлемыми способами).

Ничо там не прописано, если пиксель упрётся в другой, то остановится, а если перепрыгнет, то чем будет остановлен?

О. У пикселей уже прописали свойство collision?
Сколько кодил, у меня только накладывались... :donno:

Будх, вы правда не поняли, о чём я толковал?
Предмет движется, переходя из пикселя в пиксель и задерживаясь, там на некоторое время. Если время задержки меньше чем может позволить пиксель, то он перепрыгивает через него или через несколько. Пререпрыгнутые пиксели могут быть заняты и тогда получается, что предмет перепрыгнул через другой предмет.

Это-то я понял. Я не понял вот это:

Цитата: Валентин Н от ноября 28, 2017, 09:28если пиксель упрётся в другой, то остановится

С чего бы он упрётся и почему остановится? Вы максимальную скорость взаимодействий имеете в виду или что?

Цитата: Bhudh от декабря  1, 2017, 14:41
С чего бы он упрётся и почему остановится?

Упрётся в занятый, имелось ввиду.

В занятый что?

Ладно, проехали.

Э, нет! Сами запутали, сами и распутывайте!

Если пиксель занят, то наш объект упрётся в занятый пиксель, насквозь не пройдёт, но если движется быстро, то перескочит.

Почему пространственный пиксель должен отличаться от пикселя на матрице монитора, который ни в кого не упирается, а просто накладывается?
И кем/чем занят занятый пиксель, в конце концов?

Занят объектом= горит.

Упёрся в другой объект - встал, если перескочил м ачнт дальше.

Упираются объекты друг в друга не пикселями, а электронными оболочками.
А объектам под названием "нейтрино" пофиг на эти оболочки, они не факт, что друг в друга-то упираются, не говоря уж об объектах под названием "фотоны".
Или употребляйте слово "макрообъект", или не запутывайте себя и остальных.

Нет ни каких обектов, есть активный пиксель и не активный. При быстром "движении" пиксель просто не успевает зажигаться и пропускается и кажется, что объект перескакивает, так и через другой объект перепрыгнет.

Так Вы вроде про небыстрые объекты писали, которые куда-то упираются.
С быстрыми-то всё понятно, можно о них больше не упоминать.

Всё, я потерял нить.

Правильный ответ был дан ещё на первой странице. В самом условии задачи дан конечный промежуток времени, за который Ахиллес точно не догонит черепаху. А дальше этот промежуток просто делят на бесконечное число временных отрезков, что никак не меняет их общей суммы. Если бы время добавлялось, то всё стало бы на свои места:  быстрый обгоняет медленного.

Проблема в том, что слово "никогда" обозначает бесконечный отрезок времени, а не конечный.

На самом деле, это простая школьная задачка про поезда, идущие с разной скоростью в одном направлении. Для её решения нужно знать только разницу в скорости и расстояние между объектами на данный момент времени, всё остальное от лукавого.

Святая простота!

Вы верите в какие-то скорости?

Цитата: Волод от ноября 24, 2017, 08:37
....................................................

У епископа Беркли есть сочинение:
"Аналитик, или рассуждение адресованное неверующему математику, где исследуется являются ли предмет, принципы и заключения современного анализа более отчётливо познаваемыми и с очевидностью выводимыми,  чем религиозные таинства и положения веры."

:green: Запарился пока одно название набирал, но в принципе работа вполне доступна, на грани лёгкого чтива.

Цитата: kemerover от ноября 24, 2017, 17:59
Я считаю, что парадокс Зенона никакого прямого отношения к сумме рядов не имеет. Дело в том, что Зенон говорит, что Ахиллу, чтобы догнать черепаху надо совершить бесконечную серию действий. Суть именно в том, что вот этот переход неправомерен. Потому что если бы Ахилл действительно совершал эти действия (сокращал дистанцию вдвое целенаправленно), он бы действительно никогда бы не догнал черепаху. Из той же серии - Лампа Томпсона.

+100500, вся нетривиальная суть апории об этом - в матлогике невозможна работа с бесконечными цепочками утверждений, т.е. получать из них конкретный ответ. Даже когда мы суммируем бесконечный ряд (как в данной апории) мы не совершаем никаких бесконечных действий, а определяем его предел по Коши

Хотя я не совсем согласен с тем, что он не мог их совершать целенаправленно. Почему? Мог. И можно доказать, что к определенному времени отрезок будет меньше любого положительного числа, а значит ноль

Цитата: _Swetlana от ноября 24, 2017, 15:48
Не знает он ещё, что мера счётно-аддитивна, что меры несчётных множеств вычисляются через дополнения.

А еще существуют неизмеримые по Лебегу множества, правда их можно построить только с помощью аксиомы выбора :)

Цитата: Agnius от февраля 18, 2021, 20:07можно доказать, что к определенному времени отрезок будет меньше любого положительного числа

Нельзя. Так как для любого сколь угодно малого положительного числа n можно предъявить меньшее число n/2 (n/10, n/гугоʌпʌекс), которое всё равно будет больше ноля.

Цитата: Agnius от февраля 18, 2021, 20:07
Хотя я не совсем согласен с тем, что он не мог их совершать целенаправленно. Почему? Мог. И можно доказать, что к определенному времени отрезок будет меньше любого положительного числа, а значит ноль

Если Ахиллес совершает именно сокращение дистанции в 2 раза как задачу, то получится "противоречие", а не 0. 0 будет только в пределе, который не достижим, потому что действия Ахиллеса определены только на полуинтервале [0; время встречи в пределе) — там, где это сокращение дистанции возможно.

Я тут 4 года назад упомянул лампу Томсона, на этом примере легче понять, что имеется ввиду. Представьте лампу, которая выключена в момент 0, через 1 минуту она включается, потом через полминуты снова выключается, потом через четверть минуты опять включается, потом через восьмую часть минуты выключается и так далее. В каком состоянии будет лампа на второй минуте ровно? Ответ такой, что состояние это не определено. Это показывает, что возможность совершения бесконечного количества действий за конечное время в физическом мире не является данностью, а значит и утверждать, что мы можем интерпретировать любое действие как бесконечный набор поддействий, как это делает Зенон, мы не можем без каких-то на то оснований.

Цитата: Bhudh от февраля 18, 2021, 21:17
Нельзя.

Можно, определение предела по Коши почитайте :)

Цитата: Bhudh от февраля 18, 2021, 21:17
Так как для любого сколь угодно малого положительного числа n можно предъявить меньшее число n/2 (n/10, n/гугоʌпʌекс), которое всё равно будет больше ноля.

Вы не поняли, из утверждения, что если для числа х>=0 верно, что оно меньше любого положительного числа, то отсюда следует, что оно равно нулю. Иначе в противном случае можно было бы предъявить положительное x/2, и получить противоречие . Нам известно, что для некоторого момента времени T верно утверждение - в момент T-1/2^n расстояние будет 1/2^n, и можно доказать, что в T оно будет равно нулю. Действительно, если оно будет больше нуля, тогда нашелся бы такой момент времени T1<T, при котором расстояние равно нашему ненулевому расстоянию в T, но т.к. оно только уменьшается, то получаем противоречие, следовательно в T расстояние равно нулю.

Цитата: kemerover от февраля 18, 2021, 22:26
0 будет только в пределе, который не достижим, потому что действия Ахиллеса определены только на полуинтервале [0; время встречи в пределе) — там, где это сокращение дистанции возможно.

Можно определить значение в правой выколотой точке, в математике это называется замыканием множества

Цитата: kemerover от февраля 18, 2021, 22:26
Представьте лампу, которая выключена в момент 0, через 1 минуту она включается, потом через полминуты снова выключается, потом через четверть минуты опять включается, потом через восьмую часть минуты выключается и так далее. В каком состоянии будет лампа на второй минуте ровно? Ответ такой, что состояние это не определено.

А вот вам задача Харди - за минуту до полудня в корзину кладутся шары с номерами 1 и 2, и тут же вынимается шаг с номером 1, за полминуты до полудня в корзину кладутся шары с номерами 3 и 4, и вынимается шар 2, за одну четверть до полудня кладутся шары 5 и 6, и вынимается шар 3 и т.д. Вопрос, сколько шаров будет в корзине в полдень?
Ответ - ноль, т.к. шар с номером n будет вынут за 1/2^n минуты до полудня, хотя количество шаров стремится к бесконечности при приближении к полудню (что означает, что функция в полдень терпит разрыв)

Цитата: kemerover от февраля 18, 2021, 22:26
Это показывает, что возможность совершения бесконечного количества действий за конечное время в физическом мире не является данностью, а значит и утверждать, что мы можем интерпретировать любое действие как бесконечный набор поддействий, как это делает Зенон, мы не можем без каких-то на то оснований.

Неверный вывод, вот правильный - не для всех бесконечных действий можно определить конечный результат

Цитата: Agnius от февраля 19, 2021, 14:55Нам известно, что для некоторого момента времени T верно утверждение - в момент T-1/2^n расстояние будет 1/2^n, и можно доказать, что в T оно будет равно нулю.

А как оно дойдёт до T, если при каждой итерации оно не может до него дойти?

Цитата: Agnius от февраля 19, 2021, 14:55Вопрос, сколько шаров будет в корзине в полдень?
Ответ - ноль, т.к. шар с номером n будет вынут за 1/2^n минуты до полудня, хотя количество шаров стремится к бесконечности при приближении к полудню (что означает, что функция в полдень терпит разрыв)

:fp:
Значение функции y = 1/x в точке x = 0 будет 0⁈
Это с каких же пор разрывные функции имеют значение в точке разрыва⁈

Цитата: Bhudh от февраля 19, 2021, 16:12
А как оно дойдёт до T, если при каждой итерации оно не может до него дойти?

А нам и не нужно доходить по итерациям, можно определить значение в T как я указал (это называется замыкание, присоединение всех предельных точек).
И в теории множеств есть ординал w (омега), который идет после всех натуральных чисел :)

Цитата: Bhudh от февраля 19, 2021, 16:12
:fp:

Погуглите задачу от Дж.Литлвуда. "Парадокс бесконечности"

Цитата: Bhudh от февраля 19, 2021, 16:12
Значение функции y = 1/x в точке x = 0 будет 0⁈

Нет, там выколотая точка, но ничто нам не мешает доопределить там функцию любым числом. В данном случае доопредление возникает само естественно (т.к. я показал, что никакого шара в урне не останется к полудню)

Цитата: Bhudh от февраля 19, 2021, 16:12
Это с каких же пор разрывные функции имеют значение в точке разрыва⁈

Функция y=1 на x в (-беск.,5) y=2 на x в [5, беск.) определена в точке разрыва

Цитата: Agnius от февраля 19, 2021, 14:55
Можно определить значение в правой выколотой точке, в математике это называется замыканием множества

Можно ещё задать комплексное время и комплексное положение черепахи и Ахиллеса. Но это не будет иметь никакой физической интерпретации, так же как и необоснованное замыкание множества.

Цитата: Agnius от февраля 19, 2021, 14:55
А вот вам задача Харди - за минуту до полудня в корзину кладутся шары с номерами 1 и 2, и тут же вынимается шаг с номером 1, за полминуты до полудня в корзину кладутся шары с номерами 3 и 4, и вынимается шар 2, за одну четверть до полудня кладутся шары 5 и 6, и вынимается шар 3 и т.д. Вопрос, сколько шаров будет в корзине в полдень?
Ответ - ноль, т.к. шар с номером n будет вынут за 1/2^n минуты до полудня, хотя количество шаров стремится к бесконечности при приближении к полудню (что означает, что функция в полдень терпит разрыв)

Состояние в полдень не определено. Определено лишь состояние для любого времени до полудня.

Цитата: Agnius от февраля 19, 2021, 14:55
Неверный вывод, вот правильный - не для всех бесконечных действий можно определить конечный результат

Я имел ввиду, что такой переход надо обосновать, если он возможен. Нельзя по умолчанию его считать правомерным.

Цитата: kemerover от февраля 19, 2021, 20:59
Но это не будет иметь никакой физической интерпретации, так же как и необоснованное замыкание множества.

Оно обосновано из физических соображений непрерывности

Цитата: kemerover от февраля 19, 2021, 20:59
Состояние в полдень не определено. Определено лишь состояние для любого времени до полудня.

Ошибаетесь, определено. Можно доказать, что множество шаров в корзине в полдень пусто, т.к. не будет содержать никакого шара.

Цитата: kemerover от февраля 19, 2021, 20:59
Я имел ввиду, что такой переход надо обосновать, если он возможен. Нельзя по умолчанию его считать правомерным.

Тут два разных вопроса - вопрос о непрерывности и вопрос о конечном значении счетного числа итераций. По первому обоснования физические, по второму логические теоретико-множественные.
Кстати, по поводу первого. Давайте-ка введем немного дополнительных условий - пусть ахиллес движется по тростинке, съедая ее, т.е. не может двигаться назад, и пусть после съедения упирается в дерево и прикрепляется к нему, т.е. не может двигаться вперед (достижение дерева соответствует догону черепахи). Тогда можно доказать, что конечный результат бесконечных операций будет ровно ноль, т.е. достижение дерева.
Вот вам с Bhudh упражнение.
Пусть для некоторой функции y=f(x) выполняется ряд условий
1. Она определена на [0,1] (условие того, что время мира всегда идет несмотря ни на что)
2. Она неотрицательна (условие того, что ахиллес упрется в дуб)
3. Она невозрастает (условие того, что ахиллес ползет по тростинке)
4. Нам известно, что на интервале [1-1/2^n, 1-1/2^(n+1)) она равна 1/2^n для натуральных n=0,1,2,3 ...
Докажите, что в точке x=1 она равна нулю.
По рассуждениям Bhudh определить значение функции в x=1 мы не можем, т.к. будем бесконечно продвигаться по кончикам уменьшающихся интервалов  [1-1/2^n, 1-1/2^(n+1))

Цитата: Agnius от февраля 19, 2021, 22:14По рассуждениям Bhudh определить значение функции в x=1 мы не можем, т.к. будем бесконечно продвигаться по кончикам уменьшающихся интервалов  [1-1/2^n, 1-1/2^(n+1))

Именно так. Любое рассуждение о пределах как-то упускает из виду тот факт, что переход к пределу — это, по сути, "квантовый скачок" в математике, а вовсе не логическое следование из бесконечной индукции.
И, кстати, Вы советовали почитать определение предела по Коши. Так из него вовсе не следует, что этот предел является собственно пределом бесконечной последовательности. Это лишь число, которое выбрано как заведомо меньшее любого результата данной последовательности. Но не сам этот результат.
Для последовательности [1-1/2^n, 1-1/2^(n+1)) это асимптотический предел.

Цитата: Bhudh от февраля 19, 2021, 23:00
Именно так. Любое рассуждение о пределах как-то упускает из виду тот факт, что переход к пределу — это, по сути, "квантовый скачок" в математике, а вовсе не логическое следование из бесконечной индукции.

Так тут и никакого предела не нужно, я попросил вас доказать, что значение в x=1 равно нулю строго :)
Этим примером я продемонстрировал абсурдность вашей логики, что если мы нечто можем представить как бесконечную последовательность, то никогда нельзя с однозначностью говорить о конечном результате

Цитата: Agnius от февраля 19, 2021, 23:31я попросил вас доказать, что значение в x=1 равно нулю строго

В точке x=1 значение функции ничему не равно, так как по условию задачи эта точка недостижима.

Цитата: Agnius от февраля 19, 2021, 23:31если мы нечто можем представить как бесконечную последовательность, то никогда нельзя с однозначностью говорить о конечном результате

Вы представили нечто как бесконечную асимптотическую последовательность и просите назвать значение в асимптоте.
Это у кого это тут "абсурдность логики"?

Цитата: Bhudh от февраля 19, 2021, 23:37
В точке x=1 значение функции ничему не равно, так как по условию задачи эта точка недостижима.

Она недостижима только при определенной процедуре, и это не противоречит тому, что можно однозначно найти ее значение

Цитата: Bhudh от февраля 19, 2021, 23:37
Вы представили нечто как бесконечную асимптотическую последовательность и просите назвать значение в асимптоте.
Это у кого это тут "абсурдность логики"?

Я ничего не представлял, я поставил задачу, из которой можно получить однозначный ответ

Цитата: Agnius от февраля 19, 2021, 22:14
Оно обосновано из физических соображений непрерывности

Из физических соображений следует лишь некорректность постановки задачи.

Цитата: Agnius от февраля 19, 2021, 22:14
Ошибаетесь, определено. Можно доказать, что множество шаров в корзине в полдень пусто, т.к. не будет содержать никакого шара.

А можно доказать, что это бесконечное счётное множество, ведь это простой предел арифметической прогрессии. Получается противоречие, а значит одна из предпосылок не верна.

Цитата: Agnius от февраля 19, 2021, 22:14
Вот вам с Bhudh упражнение.
Пусть для некоторой функции y=f(x) выполняется ряд условий
1. Она определена на [0,1] (условие того, что время мира всегда идет несмотря ни на что)

Ну это логика на уровне давайте допустим, что есть семь прямых красных линий, причём некоторые из них зелёные, и все они перпендикулярны... А после этого ломать голову как же это так возможно. Вот вы взяли за данность, что она определена на отрезке [0,1], а она не определена на всём отрезке, вот и всё противоречие.

Можно сказать, допустим, что ряд 1-1+1-1+1-... сходится; сделать базовые манипуляции, которые возможны со сходящимся рядами и получить результат 1/2. Но сумма ряда от этого 1/2 не станет, ведь он не сходится. (Конечно, можно расширить понятие суммы ряда до суммирующей функции ряда, но на ответ на исходную задачу это никак не повлияет).

Цитата: kemerover от февраля 20, 2021, 03:17
Можно сказать, допустим, что ряд 1-1+1-1+1-... сходится; сделать базовые манипуляции, которые возможны со сходящимся рядами и получить результат 1/2. Но сумма ряда от этого 1/2 не станет, ведь он не сходится. (Конечно, можно расширить понятие суммы ряда до суммирующей функции ряда, но на ответ на исходную задачу это никак не повлияет).

1-1+1-1+1-... может быть равно чему угодно, всё зависит от того, как сгруппировать слагаемые.

(1-1)+(1-1)+(1-1)+.... = 0
1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1).... = 1

Если все плюс-единицы сдвинуть влево на 2 позиции, то может получится

1+1+(-1+1)+(-1+1)+.... = 2

И так далее.

Допустим, время не может делиться бесконечно. Тогда все ясно.

Цитата: Andrey Lukyanov от февраля 20, 2021, 08:36
1-1+1-1+1-... может быть равно чему угодно, всё зависит от того, как сгруппировать слагаемые.

(1-1)+(1-1)+(1-1)+.... = 0
1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1).... = 1

Если все плюс-единицы сдвинуть влево на 2 позиции, то может получится

1+1+(-1+1)+(-1+1)+.... = 2

И так далее.

Нет, такие операции возможны только со сходящимися рядами. Вы совершаете ту же ошибку, что и постом выше совершают с нулём шаров в полдень: постулируете заведомо ложный тезис и из него выводите «удивительный» ответ. У частичных сумм этого ряда нету предела, а значит по определению бесконечной суммы ряда он расходится, и никакой суммы у него быть не может.

Цитата: kemerover от февраля 20, 2021, 16:12
Нет, такие операции возможны только со сходящимися рядами. Вы совершаете ту же ошибку, что и постом выше совершают с нулём шаров в полдень: постулируете заведомо ложный тезис и из него выводите «удивительный» ответ. У частичных сумм этого ряда нету предела, а значит по определению бесконечной суммы ряда он расходится, и никакой суммы у него быть не может.

Вы согласны с тем, что 0+0+0+0+...=0 ?

Но ведь (1-1)+(1-1)+(1-1)+.... — это то же самое.

Цитата: Andrey Lukyanov от февраля 20, 2021, 16:37
Вы согласны с тем, что 0+0+0+0+...=0 ?

Но ведь (1-1)+(1-1)+(1-1)+.... — это то же самое.

0+0+0+0+...=0 это принятая математическая конвенция записи


Если вы имеете ввиду во втором случае ряд



То ответ действительно такой же

Но если вы имеете ввиду изначальный ряд



То ответа здесь нету, так как ряд не сходится, и к вышеуказанному ряду он не сводится. Арифметические действия над рядами возможны только для сходящихся рядов. Подробности в учебниках по матанализу, где это всё строго доказывается. Там же приводятся и обобщения суммы рядов до суммирующих функций, которые и многим расходящимся рядам дают какое-то значение.

Так, сумма ряда 1-1+1-1+... хоть и не существует в обычном смысле, но имеет значение 1/2 в смысле Чезаро.

Цитата: kemerover от февраля 20, 2021, 16:49
Так, сумма ряда 1-1+1-1+... хоть и не существует в обычном смысле, но имеет значение 1/2 в смысле Чезаро.

1-1+1-1+... — это бесконечность минус бесконечность (∞−∞). Так что любой ответ будет правильным.

Цитата: kemerover от февраля 20, 2021, 03:14
Из физических соображений следует лишь некорректность постановки задачи.

Почему?

Цитата: kemerover от февраля 20, 2021, 03:14
А можно доказать, что это бесконечное счётное множество, ведь это простой предел арифметической прогрессии. Получается противоречие, а значит одна из предпосылок не верна.

Правомерность предела не доказана, тут как раз разрыв

Цитата: kemerover от февраля 20, 2021, 03:14
Ну это логика на уровне давайте допустим, что есть семь прямых красных линий, причём некоторые из них зелёные, и все они перпендикулярны...

Вообще таки, нет. Вы должны в противном случае показать противоречие :)

Цитата: kemerover от февраля 20, 2021, 03:14
. Вот вы взяли за данность, что она определена на отрезке [0,1], а она не определена на всём отрезке, вот и всё противоречие.

Она определена по условию задачи. Если это ведет к противоречию, вы должны показать

Цитата: Andrey Lukyanov от февраля 20, 2021, 17:23
1-1+1-1+... — это бесконечность минус бесконечность (∞−∞). Так что любой ответ будет правильным.

Для обобщенных методов суммирования вводят свои ограничения. Например нельзя так группировать слагаемые как у вас

Цитата: kemerover от февраля 20, 2021, 16:12
Вы совершаете ту же ошибку, что и постом выше совершают с нулём шаров в полдень: постулируете заведомо ложный тезис и из него выводите «удивительный» ответ.

Какой ложный тезис в задаче о шарах?

Цитата: Andrey Lukyanov от февраля 20, 2021, 17:23
1-1+1-1+... — это бесконечность минус бесконечность (∞−∞). Так что любой ответ будет правильным.

Это просто предел суммы частичных рядов, который расходится. Такая форма записи существует только из-за её интуитивных свойств, как и, например, запись производной в виде дроби, с которой можно совершать похожие операции (и которая может служить подспорьем для введения дифференциальных форм). Никакой разности бесконечностей тут нет.

Цитата: Agnius от февраля 20, 2021, 17:58
Какой ложный тезис в задаче о шарах?

Что существует какая-то физическая интерпретация состояния коробки с шарами в полдень.

Цитата: kemerover от февраля 20, 2021, 18:04
Что существует какая-то физическая интерпретация состояния коробки с шарами в полдень.

Так ее и не существует (и никто не говорил, что существует), задача чисто абстрактная и математическая, и имеет однозначное решение в теории множеств. Сама задача с решением широко известна

Чисто абстрактная задача это найти предел последовательности множеств (в пределе, конечно, пустое множество), а не посчитать сколько шаров будет в полдень.

Цитата: kemerover от февраля 21, 2021, 01:35
Чисто абстрактная задача это найти предел последовательности множеств (в пределе, конечно, пустое множество), а не посчитать сколько шаров будет в полдень.

Так второе суть первое и есть

Цитата: Agnius от февраля 18, 2021, 20:11

Цитата: _Swetlana от ноября 24, 2017, 15:48
Не знает он ещё, что мера счётно-аддитивна, что меры несчётных множеств вычисляются через дополнения.

А еще существуют неизмеримые по Лебегу множества, правда их можно построить только с помощью аксиомы выбора :)

Я как-то пытался дополнить множество R действительных чисел особыми бесконечно малыми "числами", чтобы в этом множестве R* каждое подмножество имело бы меру из R*.

А то ведь существование неизмеримых множеств противоречит со здравым смыслом - интуиция подсказывает, что у множества Витали должна быть длина, но она равна 1/∞. Так что нынешние действительные числа - это ещё не все, надо добавлять всякие дурные бесконечно малые.

Но возникли проблемы с этим множеством настоящих, всех действительных чисел R*, потому что уж очень у него много свойств - поле, упорядоченность.

Мне кажется, что это очень фундаментальная тема, что ей мало внимания.

Сразу предупреждаю: Нестандартный анализ Абрахама Робинсона - похоже, просто другая форма стандартного, ничего нового там нет и множество Витали тоже не имеет длины.

maratique, а сюрреальные числа Конвея-Кнута не подойдут для вашей цели?

Натуральные числа это результат сложения и вычитания, дробные это деление, иррациональные это корни, трансцендентные это логарифмы, но вeдь математических действий можно придумать бесконечно:
последовательное возведение в степень и обратно (нотация кнута), последовательная нотация,,, и так до бесконечности. Значит ли, что и числовых множеств будет столько же?
Т.е соответствует ли каждой такой операции своё числовое сножетсво?

Валентин Н, неужели Вы думаете, что первый задались этим вопросом?
Разумеется, в теории чисел всё это есть и уже являтся пройденным этапом в её истории.

Цитата: Bhudh от февраля 21, 2021, 16:22
в теории чисел всё это есть и уже являтся пройденным этапом в её истории.

Цитата: Валентин Н от февраля 21, 2021, 16:11
Т.е соответствует ли каждой такой операции своё числовое множетсво?

Они зачастую определяются через него.
Если честно, я даже не знаю, в какой раздел алгебры Вас послать... В этот (https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0_%D0%BD%D0%B0%D0%B4_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D1%86%D0%BE%D0%BC)? Или в этот (https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D1%80%D0%B8%D0%B2%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D0%BE%D0%B1%D1%8A%D0%B5%D0%BA%D1%82%D1%8B_%D0%B2_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B5)?
Так Вы в любом случае ничего не поймёте, придёте сюда и скажете: "Вы мне не смогли объяснить простыми словами, без этих ваших алхимических закорючек, значит, всё это ересь и учёные врут!".
Ибо даже представить себе не можете, что не понимаете это не потому, что от Вас всё скрывают, а потому, что у Вас образования не хватает.

Цитата: Agnius от февраля 21, 2021, 14:13

Цитата: kemerover от февраля 21, 2021, 01:35
Чисто абстрактная задача это найти предел последовательности множеств (в пределе, конечно, пустое множество), а не посчитать сколько шаров будет в полдень.

Так второе суть первое и есть

Первое это довольно простой формалистский результат, который легко доказывается. А второе это неудачное обличение математической задачи в физическую форму, которая и даёт некорректную интуицию. Нет никаких оснований считать, что можно брать пределы в жизни, и что возможны любые бесконечные операции за конечное время.

Зачем было приводить тогда эту задачу здесь, если суть её для вас именно в формалистком ответе. Тема-то про Ахиллеса и черепаху, и суть этой задачи именно в соответсвии между математическим формализмом и физической интерпретации.

Цитата: Bhudh от февраля 21, 2021, 19:02
придёте сюда и скажете:

у меня не открывается почему-то, вот интересно почему :donno:

Цитата: Валентин Н от февраля 21, 2021, 16:11
Т.е соответствует ли каждой такой операции своё числовое сножетсво?

Да, каждой операции можно поставить в соответствие множество, на котором она определена, и множество ее возможных результатов. Начиная с натуральных чисел, _алгебраическими_ операциями и предельными переходами можно получить все комплексные, но не более того. Но при желании множество комплексных чисел можно расширить другими способами.

Цитата: Валентин Н от февраля 21, 2021, 19:48у меня не открывается почему-то, вот интересно почему

Это потому, что Вы назло маме уши отмораживаете.
Загуглите что-нибудь сами по теории колец и гипероператорам.

Цитата: Bhudh от февраля 21, 2021, 23:34
Загуглите что-нибудь сами по теории колец и гипероператорам.

"Идите почитайте интернет".

Цитата: Валентин Н от февраля 21, 2021, 16:11
Натуральные числа это результат сложения и вычитания, дробные это деление, иррациональные это корни, трансцендентные это логарифмы, но вeдь математических действий можно придумать бесконечно:
последовательное возведение в степень и обратно (нотация кнута), последовательная нотация,,, и так до бесконечности. Значит ли, что и числовых множеств будет столько же?
Т.е соответствует ли каждой такой операции своё числовое сножетсво?

Непонятный вопрос. Натуральные числа это не результат сложения, не ясно что имеется ввиду, то же и с другими числами.

Каждая функция, в том числе операторам суммы, произведения и т.д., имеет область определения (что она получает "на вход") и область значений (что получается "на выходе"). В этом смысле любой операции соответсвует своё числовое множество (а как иначе?), но для разных операторов эти множества могут совпадать.

Если взять натуральные числа и начать их делить, то получатся рациональные (не считая деления на 0) числа; если начать брать из рациональных корни, то получатся иррациональные числа; если начать брать логарифмы, косинусы, особые константы вроде пи или е, то получатся трансцендентные числа (которые тоже иррациональны). Но все эти числа являются действительными. Действительные числа обладают свойством полноты (непрерывности): между двумя любыми действительными числами есть другое действительное число. Поэтому дальше расширять это множество интуитивно похожими способами уже не получится. Но всё же можно это сделать другими способами, например, ввести комплексные или сюрреальные числа.

Цитата: kemerover от февраля 22, 2021, 18:42
Поэтому дальше расширять это множество интуитивно похожими способами уже не получится. Но всё же можно это сделать другими способами, например, ввести комплексные или сюрреальные числа.

Комплексные числа — на плоскости, а сюрреальные —это что?  В трёхмерном пространстве что ли?

В трёхмерной пространстве не может быть чисел, а вот в четырёхмерном - есть: кватернионы. И ещё есть последние, вроде, числа в восьмимерном: октанионы.

Цитата: kemerover от февраля 22, 2021, 18:42
Действительные числа обладают свойством полноты (непрерывности): между двумя любыми действительными числами есть другое действительное число. Поэтому дальше расширять это множество интуитивно похожими способами уже не получится. Но всё же можно это сделать другими способами, например, ввести комплексные или сюрреальные числа.

kemerover, свойство, о котором вы пишете, есть и у рациональных чисел. Полноту обычно определяют как нечто большее (например, как сходимость всех фундаментальных последовательностей). Комплексные числа можно получить как алгебраическое замыкание поля действительных, но для этого потребуется обобщить понятие умножения.

Цитата: Валентин Н от февраля 22, 2021, 17:51"Идите почитайте интернет".

В Вашем случае лучше начать с учебников.

Цитата: Бенни от февраля 22, 2021, 20:09
kemerover, свойство, о котором вы пишете, есть и у рациональных чисел. Полноту обычно определяют как нечто большее (например, как сходимость всех фундаментальных последовательностей). Комплексные числа можно получить как алгебраическое замыкание поля действительных, но для этого потребуется обобщить понятие умножения.

Да, очень некорректно выразился. Там, конечно, речь должна идти о множествах. Если разделить числа на два множества так, что числа в первом множестве меньше чисел во втором, то всегда найдётся число, которое больше или равно числам из первого множества и меньше или равно числам из второго. Это верно для действительных, но неверно для рациональных чисел. Стандартный пример — разделить все числа на те, чей квадрат меньше 2 и чей квадрат больше двух. Какое рациональное число не взять, оно никогда не будет на границе этих множеств.

Цитата: kemerover от февраля 22, 2021, 18:42
Непонятный вопрос. Натуральные числа это не результат сложения, не ясно что имеется ввиду, то же и с другими числами.

Если проделывать операции с натуральным числами, то вычитание даст другие натуральные числа (по модулю), деление даст дроби, корни дадут иррациональные, а логарифмы трансцендентные.

Цитата: kemerover от февраля 22, 2021, 18:42
Поэтому дальше расширять это множество интуитивно похожими способами уже не получится.

Возьмём операции обратные нотации и получим ещё два множества и так до бесконечности.

Насколько я понимаю, нотация Кнута сводится к многократному возведению в степень, соответственно, обратные операции - к извлечению корней, так что они не дадут ничего нового.

Цитата: Bhudh от февраля 22, 2021, 20:26

Цитата: Валентин Н от февраля 22, 2021, 17:51"Идите почитайте интернет".

В Вашем случае лучше начать с учебников.

Вам категорически нельзя читать ни учебники, ни википедию. А знаете почему? Вы действуете, как Мисс дебатёр (https://youtu.be/n9FyV2NnvFg?t=870), в какой-то момент это может показаться убедительным и даже сложится впечатление, что вы разбираетесь в теме, но если что-то пойдёт не так получится эпический фейл про великий сталинградский пожар.

Цитата: Бенни от февраля 22, 2021, 22:52
Насколько я понимаю, нотация Кнута сводится к многократному возведению в степень, соответственно, обратные операции - к извлечению корней, так что они не дадут ничего нового.

Нет, так же как и извлечение корня, не есть многократное деление.

Цитата: Валентин Н от февраля 22, 2021, 23:03

Цитата: Бенни от февраля 22, 2021, 22:52
Насколько я понимаю, нотация Кнута сводится к многократному возведению в степень, соответственно, обратные операции - к извлечению корней, так что они не дадут ничего нового.

Нет, так же как и извлечение корня, не есть многократное деление.

Да, согласен. Но можно рассуждать от противного: если предположить, что результат обратной операции к нотации, примененной к положительному действительному числу, не является действительным числом, то и никакая степень его не будет действительной (потому что, если бы она была действительной, таким же был бы и ее корень), и степень степени (аналогично), и т.д. То есть и применение нотации к результату обратной операции не даст никакого (в частности, исходного) действительного числа, что противоречит определению обратной операции.

Теорема: дано n действительных(или любых других одномерных чисел) чисел, меньших по модулю, чем r. Тогда обязательно найдутся два числа, разница между которыми меньше .

Цитата: Бенни от февраля 22, 2021, 23:20
если предположить, что результат обратной операции к нотации, примененной к положительному действительному числу, не является действительным числом

А зачем это предполагать? Определение:
Действительные числа - числа, которые можно записать в виде конечной или бесконечной (периодической или непериодической) десятичной дроби.
Натуральные дроби, корни и логарифмы, можно записать бесконечной десятичной дробью, но это разные множества. И число, которое можно получить корнем, нельзя получить делением. Откуда уверенность, что числа получаемые операциями обратными нотации, можно получить как-то иначе?

Уверенности нет, я думал, что вы хотите получить этим способом что-то принципиально новое. А все действительные числа (корни, логарифмы и т.д.) можно получить из рациональных предельным переходом.

Цитата: Бенни от февраля 23, 2021, 12:38
я думал, что вы хотите получить этим способом что-то принципиально новое.

Что например.

Решил в связи с этим разговором выяснить, есть ли числа между алгебраическими и трансцендентными. Ну, то есть, выделить в трансцендентных особое подмножество: корни алгебраических уравнений бесконечной степени(т.е. степенных рядов с рациональными коэффициентами). Оказалось, что люди об этом думали, но, к сожалению, даже если ограничиться целыми функциями, то любое число может быть корнем(вроде: https://academic.oup.com/jlms/article-abstract/19/74_Part_2/106/892434 )
То есть надо ещё жоще ограничить степенной ряд, но, думаю, ни фига не выйдет

Может это?
(wiki/ru) Мера_иррациональности (https://ru.m.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B5%D1%80%D0%B0_%D0%B8%D1%80%D1%80%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8)

 Сама апория решается очень просто -она показывает, что на полуоткрытом интервале [0,T) Ахиллес никогда не догонит черепаху, но ничего не может сказать, что будет в момент времени T (которое соответствует встречи). Тут надо либо доопределять по непрерывности, либо констатировать, что наша точка взгляда охватывает только ограниченные промежутки времени, и банально неполна

Цитата: Agnius от июля 15, 2024, 03:35Сама апория решается очень просто -она показывает, что на полуоткрытом интервале [0,T) Ахиллес никогда не догонит черепаху, но ничего не может сказать, что будет в момент времени T (которое соответствует встречи).

Хорошая мысль.

Цитата: Agnius от июля 15, 2024, 03:35Сама апория решается очень просто -она показывает, что на полуоткрытом интервале [0,T) Ахиллес никогда не догонит черепаху, но ничего не может сказать, что будет в момент времени T (которое соответствует встречи). Тут надо либо доопределять по непрерывности, либо констатировать, что наша точка взгляда охватывает только ограниченные промежутки времени, и банально неполна

Парадокс же про то, что Ахиллесу надо совершить бесконечное число действий. Если ему их надо совершить в интервале [0, T), то, очевидно, их надо совершить и в интервале [0,T].

@kemerover
 И что? В ТМ такое спокойно описывается

 Пусть рабочему поручили красить натуральные числа с инструкцией - покрась 1. Если числа от 1 до N покрашены, покрась N+1. Если все числа от 1 и выше покрашены, покрась 0. И пусть он все операции делает мгновенно. Тогда все числа от 0 и выше будут покрашены

А ℵ₀ будет покрашен? :eat:

@Bhudh
 Вы этот кардинал с ординалом омегой не попутали?  ;D

Цитата: Agnius от июля 24, 2024, 05:08@kemerover
 И что? В ТМ такое спокойно описывается

Что такое ТМ? Теория множеств? Там можно описать многое процессы, невозможные физически.

Цитата: Agnius от июля 24, 2024, 05:14Пусть рабочему поручили красить натуральные числа с инструкцией - покрась 1. Если числа от 1 до N покрашены, покрась N+1. Если все числа от 1 и выше покрашены, покрась 0. И пусть он все операции делает мгновенно. Тогда все числа от 0 и выше будут покрашены

Пусть рабочему поручили найти все цифры числа пи с инструкцией: найти первую цифру после запятой. Если цифра N найдена, то найди цифру N+1. И пусть он все операции делает мгновенно. Тогда все цифры числа пи будут найдены.

Отличный рабочий. Он ещё сможет решить проблему остановки.

Цитата: kemerover от июля 24, 2024, 17:41Там можно описать многое процессы, невозможные физически.

Так процесс бесконечного дробления расстояния и времени тоже физически не реализуем, т.е. мы решаем идиализированную задачу

Цитата: Agnius от июля 24, 2024, 17:54Так процесс бесконечного дробления расстояния и времени тоже физически не реализуем, т.е. мы решаем идиализированную задачу

Задача именно про физический мир. Что значит процесс бесконечного дробления времени физически не реализуем? Вы постулируете дискретность времени?

@kemerover
 Или то, что на таких малых промежутках понятия времени и расстояния теряют смысл. Ну или ваминеобходимо признавать физическую реализуемость бесконечных процессов