Лингвофорум

Еще не все задачи 20-го века решены.

(wiki/ru) Проблемы_Гильберта (http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%BE%D0%B1%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D1%8B_%D0%93%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%B1%D0%B5%D1%80%D1%82%D0%B0)

Кстати там неточность, задача №10 была сформулирована Гильбертом как "Найти универсальный алгоритм решения диофантовых уравнений". Тогда еще не знали, что не для всего есть алгоритм и тем более не могли доказать, что его нет.

Задачи миллениума:
(wiki/en) Millennium_Prize_Problems (http://en.wikipedia.org/wiki/Millennium_Prize_Problems)

ЦитироватьP versus NP problem
    Hodge conjecture
    Poincaré conjecture (Solved)
    Riemann hypothesis
    Yang–Mills existence and mass gap
    Navier–Stokes existence and smoothness
    Birch and Swinnerton-Dyer conjecture

Делимся опытом. Будем решать.

Что, никто не вникал?

С Навье—Стоксом глухо. :( Либо нужна другая математика, либо там на самом деле ничего нет. (Что ещё сложнее установить.)

А вы пытались вникнуть во все проблемы? Или они для вас и так ясны? :)

Почему нет Fermat (Solved)?

Для меня из них ясен только Навье—Стокс. Мы примерно в той области занимаемся. :)

Вообще, это опасное дело — вцепляться в одну задачу. Уайлз счастливчик, а сколько людей погубила теорема Ферма? Хоть и с ума не сойдёт человек, но потратит жизнь в бесплодных попытках.

А почему вот они решили, что именно это - главные проблемы математики, а все остальные - не главные?

Цитата: злой от марта 17, 2012, 21:40
А почему вот они решили, что именно это - главные проблемы математики, а все остальные - не главные?

Например, в гидродинамике Навье—Стокс является эталонной системой. Что делают для Навье—Стокса, часто удаётся перенести на другие модели, и редко модель даёт лучшие результаты, чем Навье—Стокс. Сейчас в гидродинамике стандартна ситуация, когда отсутствует единственность глобального по времени решения (о чём и идёт речь в проблеме), это принимается как данность и люди учатся с этим жить. :) Если неким методом будет получена теорема существования и единственности для Навье—Стокса, вероятно, это произведёт переворот в математической гидродинамике.

Цитата: Karakurt от марта 17, 2012, 21:39
Почему нет Fermat (Solved)?

Гильберт видимо не посчитал это одной из главных проблем. Однако тогда же в начале 20-го века "В 1908 году немецкий любитель математики Вольфскель завещал 100 000 немецких марок тому, кто докажет теорему Ферма. Однако после Первой мировой войны премия обесценилась."

Цитата: злой от марта 17, 2012, 21:40
А почему вот они решили, что именно это - главные проблемы математики, а все остальные - не главные?

Кто платит, тот и решает :) Ведь они приз назначили за решение этих проблем.

Надо присовокупить, что с математической точки зрения задачи гидродинамики исключительно сложны.

А вот от доказательства теоремы Ферма математической пользы на самом деле нет. В мире ничего не стало яснее.

Она так важна? Гидродинамика.

Цитата: Karakurt от марта 17, 2012, 21:48
Она так важна? Гидродинамика.

Так же важна, как вся прочая наука. В физике гидродинамика — одно из тёмных мест. Математических результатов очень мало. Что такое турбулентность, вообще никто не знает — а она повсюду.

Кстати, математическая гидродинамика служит мощным пробным камнем для всяких математических идей и методов.

Цитата: Квас от марта 17, 2012, 21:45

Цитата: злой от марта 17, 2012, 21:40
А почему вот они решили, что именно это - главные проблемы математики, а все остальные - не главные?

Например, в гидродинамике Навье—Стокс является эталонной системой. Что делают для Навье—Стокса, часто удаётся перенести на другие модели, и редко модель даёт лучшие результаты, чем Навье—Стокс. Сейчас в гидродинамике стандартна ситуация, когда отсутствует единственность глобального по времени решения (о чём и идёт речь в проблеме), это принимается как данность и люди учатся с этим жить. :) Если неким методом будет получена теорема существования и единственности для Навье—Стокса, вероятно, это произведёт переворот в математической гидродинамике.

Получается, если простым языком, то сейчас могут посчитать параметры движения жидкости (скорость, давление, возможно, температуру) на таком-то интервале времени, а так, чтобы взять и подставить туда параметр t и получить картину в любой момент в произвольно взятой координате, посчитать не могут, и вообще не знают, можно ли это сделать средствами математики или нет. Я правильно понял?

По большому счёту считать не могут ничего. Наверно, числовики могут предлагать какие-то методы расчёта, но они не имеют строгого обоснования.

Вопрос чисто теоретический. Есть начально-краевая задача. В математической физике считается, что всё в порядке, если есть теоремы существования и единственности решения (возможно, обобщённого) и непрерывной зависимости от начальных данных и краевых условий. Для трёхмерной системы Навье—Стокса ситуация следующая. Для отрезка [0,T] можно доказать существование слабых решений, но в настолько негладких пространствах, что единственности не получается. Существование сильного решения можно доказать на отрезке [0, δ], где никто не скажет, чему равно δ.

Проще говоря, если на решение мы накладываем слабые требования, то решений получается много. А если сильные требования, то доказать существование не получается. Вопрос: какие условия надо рассматривать, чтобы получить существование единственного решения? Кто ответит, получит миллион баксов.

Цитата: RawonaM от марта 16, 2012, 21:35
Делимся опытом. Будем решать.

RawonaM, Вы шутите? :) Каждая из этих задач требует весьма длительной подготовки, и заниматься такими задачами очень опасно, как уже говорил Квас. Нет гарантии, что будет получен даже удовлетворительный побочный ли промежуточный результат. Лучше сначала попробовать более частные проблемы - "продвинуться на эпсилон", как говорит мой знакомый доцент-тополог.

Цитата: GaLL от марта 17, 2012, 22:48
RawonaM, Вы шутите? :)

Да шучу конечно :) Однако в каждой шутке...  ;D
Чем-то же надо оставшуюся жизнь заниматься.

Цитата: GaLL от марта 17, 2012, 22:48

Цитата: RawonaM от марта 16, 2012, 21:35
Делимся опытом. Будем решать.

RawonaM, Вы шутите? :) Каждая из этих задач требует весьма длительной подготовки, и заниматься такими задачами очень опасно, как уже говорил Квас. Нет гарантии, что будет получен даже удовлетворительный побочный ли промежуточный результат. Лучше сначала попробовать более частные проблемы - "продвинуться на эпсилон", как говорит мой знакомый доцент-тополог.

Тут процесс важен больше, чем результат. Вот мне Квас рассказал о Навье-Стоксе, чтобы его ответ понять, я полез читать про многообразия, сильные и слабые решения, многообразия не на шутку заинтересовали. А если в эту тему поглубже залезть, так вообще интересно. В институтах не учат соображать, а тут можно научиться.

Великая теорема Ферма окончательно доказана в 1995 году Эндрю Уайлсом. А что несколько лет назад доказал какой-то российский математик, отказавшийся от премии?

Цитата: Karakurt от марта 17, 2012, 23:12
Великая теорема Ферма окончательно доказана в 1995 году Эндрю Уайлсом. А что несколько лет назад доказал какой-то российский математик, отказавшийся от премии?

Poincaré conjecture (Solved)

(wiki/en) Grigori_Perelman (http://en.wikipedia.org/wiki/Grigori_Perelman)

Не, мы в гидродинамике как-то обходимся без многообразий.

На самом деле мне самому нравятся задачи типа теоремы Ферма: простая формулировка, сложное решение и никаких приложений. У меня со студенческих лет такое романтичное представление о настоящей математике. :) Вся эта матфизика философски сложна: как-то надо уяснить в голове, в какой мере она относится к математике, в какой — к физике, и какой смысл в теоремах существования. В основном люди владеют какими-то методами (например, топологическими) и применяют их в тех задачах, в которых получается.

Своей гидродинамической диссертацией я не горжусь, хотя там есть пара занятных мест. Я горжусь результатом диплома: одна теорема об экстремальных свойствах целочисленных многоугольников. Я верю, что она живёт в мире платоновских идей. :)

Цитата: Квас от марта 17, 2012, 23:18
Не, мы в гидродинамике как-то обходимся без многообразий.

На самом деле мне самому нравятся задачи типа теоремы Ферма: простая формулировка, сложное решение и никаких приложений. У меня со студенческих лет такое романтичное представление о настоящей математике. :) Вся эта матфизика философски сложна: как-то надо уяснить в голове, в какой мере она относится к математике, в какой — к физике, и какой смысл в теоремах существования. В основном люди владеют какими-то методами (например, топологическими) и применяют их в тех задачах, в которых получается.

Вы вовремя меня, значит, поправили. Стал искать в Интернете гладкие пространства, сразу же напоролся на гладкие многообразия. Буду курить в эту сторону.

Цитата: Квас от марта 17, 2012, 23:20
Своей гидродинамической диссертацией я не горжусь, хотя там есть пара занятных мест. Я горжусь результатом диплома: одна теорема об экстремальных свойствах целочисленных многоугольников. Я верю, что она живёт в мире платоновских идей. :)

Это была кандидатская или докторская?

Цитата: злой от марта 17, 2012, 23:24
Вы вовремя меня, значит, поправили. Стал искать в Интернете гладкие пространства, сразу же напоролся на гладкие многообразия. Буду курить в эту сторону.

Это имелись в виду гладкость функций, из которых состоят пространства. Например, для слабых решений обычно требуют одну (соболевскую) производную по пространственным переменным, а по времени производная принадлежит некоторому пространству функционалов. В сильной постановке нужны две производные по пространственным переменным (потому что в системе есть лаплас) и одна — по времени.

Цитата: RawonaM от марта 17, 2012, 22:52
Чем-то же надо оставшуюся жизнь заниматься.

Вопрос вопросов.

Цитата: злой от марта 17, 2012, 23:25
Это была кандидатская или докторская?

Кандидатская. И хватит с меня, думаю. Карьеризма ни на грош. :)

Цитата: Квас от марта 17, 2012, 21:47
А вот от доказательства теоремы Ферма математической пользы на самом деле нет. В мире ничего не стало яснее.

Я уже говорил, что (при невнятных условиях) несуществование объекта доказать видимо ЛОГИЧЕСКИ невозможно. Но мне сказали, что я ничего не понимаю.
Вероятно, теорема вообще некорректно сформулирована: следует доказывать, что вероятность существования такого числа крайне или бесконечно мала, т.е. там должна быть вероятнастная переформулировка.

RawonaM писал:
"Жизнь коротка. Задачи миллениума"
Может еще похороны тут устроим...?

Такие "сложные" проблемы обычно все с подвохом. Они просто некорректно сформулированы, поэтому нерешабельны. Некорректных задач очень много на самом деле.

Цитата: Darkstar от марта 23, 2012, 08:35

Цитата: Квас от марта 17, 2012, 21:47А вот от доказательства теоремы Ферма математической пользы на самом деле нет. В мире ничего не стало яснее.

Я уже говорил, что (при невнятных условиях) несуществование объекта доказать видимо ЛОГИЧЕСКИ невозможно. Но мне сказали, что я ничего не понимаю.
Вероятно, теорема вообще некорректно сформулирована: следует доказывать, что вероятность существования такого числа крайне или бесконечно мала, т.е. там должна быть вероятнастная переформулировка.

Теорема корректно сформулирована и  доказана в своей формулировке. Другое дело, что техника доказательства очень сложна и недоступна подавляющему большинству математиков. И доказательство настолько объёмно, что разобравшийся человек может только убедиться в том, что теорема Ферма — действительно правда, но остаётся непонятным, какое свойство природы заставляет уравнение не иметь решений. То есть нет наглядности.

Вероятностная формулировка здесь вряд ли была бы уместна. Начать с того, что для применения теории вероятностей нужно наличие большого числа испытаний. Что здесь считать испытаниями? А при формализации получилось бы и вовсе нудно: множество исходов, вероятностная мера на алгебре событий... Вся красота пропадает. Хорошо, что теорема верна так, как сформулирована.

Цитата: Darkstar от марта 23, 2012, 08:35
Я уже говорил, что (при невнятных условиях) несуществование объекта доказать видимо ЛОГИЧЕСКИ невозможно. Но мне сказали, что я ничего не понимаю.

Разве что использовать нетрадиционную теорию множеств, которая боится актуальной бесконечности. :) В нормальной математике вполне себе есть теоремы несуществования. Например, теоремы Абеля и Галуа о неразрешимости алгебраических уравнений в радикалах или топологические теоремы о барабане (не существует ретракции шара на сферу, то есть непрерывного отображения шара на сферу, оставляющего неподвижными точки сферы; в двумерном случае иллюстрируется натягиванием мембраны барабана) или о еже (ежа нельзя причесать: либо будут проборы (нарушения непрерывности), либо будут торчащие иголки; математически: на сфере не существует непрерывных векторных полей без особых точек).

"Что здесь считать испытаниями?"

Ну на калькуляторе я как-то в детстве набирал эти суммы, смотрел, что получается...

"Другое дело, что техника доказательства очень сложна и недоступна подавляющему большинству математиков"

Значит она так и недоказана, что я всегда и предполагал. Логика на то и логика, что предполагает ясность.

Пара лемм по сто страниц, каждая из которых требует знания основных теорем на эллиптических функциях. А вы думали, что все теоремы доказываются на одной страничке?

Фигня это все. Нас опять дурят.

Теоремы о несуществовании от обратного доказываются? Обычно очевидные вещи доказывают от обратного.

Предположим, что такое число существует, тогда...

Цитата: Darkstar от марта 23, 2012, 09:32
"Другое дело, что техника доказательства очень сложна и недоступна подавляющему большинству математиков"

Значит она так и недоказана, что я всегда и предполагал. Логика на то и логика, что предполагает ясность.

Логика предполагает не ясность, а правильность рассуждений. И теорема вполне доказана.

С точки зрения логики несуществование не представляет ничего особенного. «Не существует x со свойством P(x)» эквивалентно «для любого x выполнено свойство не-P(x)». Другое дело, что проще доказать теорему о существовании чего-либо (достаточно сконструировать пример), чем теорему об общем свойстве каких-то объектов, которых может быть не только бесконечно много, но и которые вообще могут быть мало обозримы.

"И теорема вполне доказана."

Ну докажите ее, объясните ее, раз она доказана. Большой американский дядя доказал там что-то на 500 страницах. Вы слышали про argumentum ad ignoratiam? Учебник логики читали?

Цитата: Darkstar от марта 23, 2012, 13:19
"И теорема вполне доказана."

Ну докажите ее, объясните ее, раз она доказана. Большой американский дядя доказал там что-то на 500 страницах. Вы слышали про argumentum ad ignoratiam? Учебник логики читали?

Есть люди, которые разобрались и подтвердили. Значит, всё нормально. Я тоже могу привести доказательства сотни утверждений, которые не поймут 99% лфчан — что же, математика рушится?

"Я тоже могу привести доказательства сотни утверждений, которые не поймут 99% лфчан "

Утверждения не поймут или док-ва? Утверждение здесь вполне простое и всем понятное.

Я не верю этому дяде. Пусть объясняют так, чтобы было понятно. Пусть хоть сами сначала поймут, что они там наплели...

А то у нас наука такая, что то озонные дыры, то антропогенное глобальное потепление, то ностратика это лженаука.

Цитата: Darkstar от марта 23, 2012, 13:46
"Я тоже могу привести доказательства сотни утверждений, которые не поймут 99% лфчан "

Утверждения не поймут или док-ва? Утверждение здесь вполне простое и всем понятное.

Доказательства. Хотя, наверно, утверждения тоже.

В чём проблема разобраться-то? Достаточно в течение десяти лет изучать алгебраическую геометрию, потом сесть и разобраться.

"Fermat's Last Theorem has the peculiar distinction of being the mathematical problem for which the greatest number of incorrect proofs have been published" (wiki)

Т.е. шансов на верность еще одного док-ва практически нет. Тем более учитывая, что оно так слабо подтверждено другими экспертами.

А как вы вообще определяете, «верить» в какую-либо теорему или нет?

"Вообще" я не знаю, а здесь просто даже изучать не хочется, и так понятно, что там что-то напутано. 400 лет никто не мог доказать, вдруг кто-то доказал. Ежу понятно, что это вечный двигатель какой-то.

Цитата: Darkstar от марта 23, 2012, 15:18
"Вообще" я не знаю, а здесь просто даже изучать не хочется, и так понятно, что там что-то напутано. 400 лет никто не мог доказать, вдруг кто-то доказал. Ежу понятно, что это вечный двигатель какой-то.

:what: :up:

Цитата: Darkstar от марта 23, 2012, 15:18
"Вообще" я не знаю, а здесь просто даже изучать не хочется, и так понятно, что там что-то напутано. 400 лет никто не мог доказать, вдруг кто-то доказал. Ежу понятно, что это вечный двигатель какой-то.

Почему «вдруг»? Наука же не стоит на месте. Вот, алгебраическая геометрия достигла таких вершин, что смогла решить эту задачу.

Darkstar, (http://lingvowiki.info/wiki/images/f/fd/Sm_facepalm.svg)

Опять начинается: печатать не умеем, только на кнопочки нажимаем. Нечего сказать по смыслу, так уж молчите.

Еж умнее Даркстара ;D

Откуда у вас такая уверенность (что Wiles прав)?

За 18 лет как-то не нашли дыру в доказательстве.

Никто и не искал. Скорее уж, "мнение британских математиков обычно хорошо обосновано", это не какие-то форумные даркстары. Argumentum ad autoritatem.

Не хочется действительно в это болото лезть, но мне больше понятно такое объяснение

25^73 + 35^73 = очень большое число + оофигенно большое число.
Первое число потонет во втором офигенно большом числе, поэтому при извлечении корня 73, у нас все равно получится 35 с маленьких хвостиком. Результат не может быть в точности равен 35 именно потому, что к нему прибавили еще что-то и результат не может перейти в 36, потому что на больших числах любая прибавка тонет в еще большем числе.
Это рассуждение верно для большинства случаев...

Но если это так просто, непонятно почему весь сыр-бор... Tentatively. Может пропустил что, все-таки голова не математикой забита...

А, нет, иногда для БЛИЗКИХ оснований a и b, например 112 и 113 результат может быть и примерно 114, и видимо, он может бесконечно близко приближаться к целому числу...

Цитата: Darkstar от марта 23, 2012, 15:18
400 лет никто не мог доказать, вдруг кто-то доказал.

Между прочим, 400 — число, взятое с потолка. Следовательно, оставаясь на не более высоком [чем в этом вашем изречении] уровне словоблудия, его можно заменить на любое другое. И тогда получается, что каждая теорема доказана неправдоподобно: ведь какое-то время она не была доказана! (А потом вдруг рраз — . Сомнительно, что вот так рраз — и доказательство верное. Процессы получения верных доказательств должны быть, как минимум, непрерывными. А лучше всего бесконечно гладкими. Ясно, что ступенька не непрерывна и, тем более, даже не имеет непрерывной какой-либо из производных. Боги, что ж такое творится, математики не умеют доказывать!!!!!!111)

P. S. При нераспарсивании [для D.: непонимании, семантическом ли даже синтаксическом] данного сообщения следует сначала покидать камнями в себя, пока не кончатся, а потом только в меня. Ибо совершенно кристально прозрачно и логично оно, пусть и вид странноват.