Печать страницы

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от июля 22, 2011, 12:44

$[tex]\sum_{k=1}^\infty \frac1{(k+1)(k+2)}=\frac12[/tex]$

Как это посчитали?

Название: Матан №2
Отправлено: hurufu от июля 22, 2011, 12:51

На первый взгляд стремится к нулю, вроде.

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от июля 22, 2011, 12:54

Цитата: hurufu от июля 22, 2011, 12:51
На первый взгляд стремится к нулю, вроде.

Последовательность стремится к нулю, а ряд к 1/2.

Название: Матан №2
Отправлено: Hellerick от июля 22, 2011, 13:03

Приводится к телескопическому ряду (http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%BF%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9_%D1%80%D1%8F%D0%B4)

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от июля 22, 2011, 13:07

Благодарю :) Не очень понял, как его туда привести, но таким же способом как телескоп решается легко.

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от июля 22, 2011, 13:25

Цитата: RawonaM от июля 22, 2011, 12:44
$[tex]\sum_{k=1}^\infty \frac1{(k+1)(k+2)}=\frac12[/tex]$

Как это посчитали?

Приходит в голову так.

Рассмотрим ряд
$[tex]\sum_{k=1}^{\infty}x^{k}=\frac{x}{1-x}[/tex]$
с интервалом сходимости (-1,1). На любом отрезке, содержащемся в интервале сходимости, ряд сходится равномерно, поэтому его можно почленно интегрировать. Интегрируя два раза от 0 до x, получаем
$[tex]\sum_{k=1}^{\infty}\frac{x^{k+2}}{(k+1)(k+2)}=x-\frac{x^{2}}{2}+(1-x)\ln(1-x)\qquad(-1<x<1)[/tex]$

Теперь фокус. При x=1 ряд в левой части, очевидно, сходится. Поэтому по теореме Абеля сумма ряда является непрерывной функцией на [0,1].
Следовательно,
$[tex] \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{(k+1)(k+2)}=\lim_{x\to1-0}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{x^{k+2}}{(k+1)(k+2)}=\\=\lim_{x\to1-0}\left(x-\frac{x^{2}}{2}+(1-x)\ln(1-x)\right)=\frac{1}{2} [/tex]$

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от июля 22, 2011, 13:29

Цитата: RawonaM от июля 22, 2011, 13:07
Благодарю :) Не очень понял, как его туда привести, но таким же способом как телескоп решается легко.

В обосновании надо быть аккуратным, потому что ряды с общим членом, эквивалентным 1/n, расходятся. Как указано в вики, железобетонно будет через предел.

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от июля 22, 2011, 13:35

Цитата: Квас от июля 22, 2011, 13:29
В обосновании надо быть аккуратным, потому что ряды с общим членом, эквивалентным 1/n, расходятся. Как указано в вики, железобетонно будет через предел.

Так я через предел и нашел. А как еще?

Цитата: Квас от июля 22, 2011, 13:25
Рассмотрим ряд
$[tex]\sum_{k=1}^{\infty}x^{k}=\frac{x}{1-x}[/tex]$
с интервалом сходимости (-1,1). На любом отрезке, содержащемся в интервале сходимости, ряд сходится равномерно, поэтому его можно почленно интегрировать. Интегрируя два раза от 0 до x, получаем
$[tex]\sum_{k=1}^{\infty}\frac{x^{k+2}}{(k+1)(k+2)}=x-\frac{x^{2}}{2}+(1-x)\ln(1-x)\qquad(-1<x<1)[/tex]$

Теперь фокус. При x=1 ряд в левой части, очевидно, сходится. Поэтому по теореме Абеля сумма ряда является непрерывной функцией на [0,1].
Следовательно,
$[tex] \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{(k+1)(k+2)}=\lim_{x\to1-0}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{x^{k+2}}{(k+1)(k+2)}=\\=\lim_{x\to1-0}\left(x-\frac{x^{2}}{2}+(1-x)\ln(1-x)\right)=\frac{1}{2} [/tex]$

хех, при виде этого вспоминается то, как я провел последнюю зиму :)
Этот курс будет совершенно другого уровня: сказали тут нас завалят материалом, но такой глубины понимания и точности, как требовалось там, не будет.

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от июля 22, 2011, 13:45

Цитата: RawonaM от июля 22, 2011, 13:35
Цитата: Квас от июля 22, 2011, 13:29В обосновании надо быть аккуратным, потому что ряды с общим членом, эквивалентным 1/n, расходятся. Как указано в вики, железобетонно будет через предел.
Так я через предел и нашел. А как еще?

Да мало ли? :donno: Например,
$[tex] \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{(k+1)(k+2)}=\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{k+1}-\frac{1}{k+2}\right)=\\=\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{5}\right)+\ldots=\\ =\frac{1}{2}+\left(-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\right)+\left(-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\right)+\ldots=\frac{1}{2} [/tex]$
Это решение не годится без серьёзных пояснений, потому что производится перегруппировка членов условно сходящегося ряда.

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от июля 23, 2011, 08:55

Цитата: Квас от июля 22, 2011, 13:45
Это решение не годится без серьёзных пояснений, потому что производится перегруппировка членов условно сходящегося ряда.

Так а через предел тоже перегруппируется ведь! :??? Как иначе?
А что за серьезные пояснения?

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от июля 23, 2011, 09:01

Чего-то я сильно туплю. Вот дано $[tex]a_n = \frac1{2+1} + \frac1{2^2+2}+...+\frac1{2^n+n}[/tex]$ . Нужно доказать сходимость последовательности {a_n} и сказано, что достаточно показать, что последовательность возрастает и ограничена. Возрастает это понятно. Но почему она ограничена? Ведь:
$[tex]a_n = \sum_{k=0}^n \frac1{2^k+k}[/tex]$
ряд расходится и не имеет конечной суммы (т.е. она бесконечно большая). Значит и {a_n} неограничена, нет?

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от июля 23, 2011, 11:13

Цитата: RawonaM от июля 23, 2011, 08:55
Так а через предел тоже перегруппируется ведь!

С конечными суммами всё можно делать.

Цитата: RawonaM от июля 23, 2011, 08:55
А что за серьезные пояснения?

$[tex]\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{5}\right)+\ldots=\\ =\frac{1}{2}+\left(-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\right)+\left(-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\right)+\ldots [/tex]$

А на основании чего верно это равенство? В голову ничего не приходит, кроме как через пределы расписать.

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от июля 23, 2011, 11:14

Цитата: RawonaM от июля 23, 2011, 09:01
ряд расходится

Сходится-сходится, куда он денется:
$[tex]a_k < 2^{-k}.[/tex]$

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от июля 23, 2011, 11:55

Цитата: Квас от июля 23, 2011, 11:14
Цитата: RawonaM от июля 23, 2011, 09:01ряд расходится
Сходится-сходится, куда он денется:
$[tex]a_k < 2^{-k}.[/tex]$

А точно. Вроде все понял.
Значит $[tex]a_n < 2[/tex]$ ?

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от июля 23, 2011, 13:05

Цитата: RawonaM от июля 23, 2011, 11:55
Значит $[tex]a_n < 2[/tex]$ ?

Пардон, у меня обозначение не то. А a_n даже < 1, потому что суммирование начиная с k=1.

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от июля 23, 2011, 13:10

Цитата: Квас от июля 23, 2011, 13:05
Пардон, у меня обозначение не то. А a_n даже < 1, потому что суммирование начиная с k=1.

Действтиельно.

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от июля 23, 2011, 18:15

К разговору выше о перегруппировке: нашел такую теорему в книге, называется теорема Римана:

Не абсолютно сходящийся ряд всегда допускает изменение порядка суммирования, при котором сумма оказывается равной любому наперед заданному числу (конечному или бесконечному).

А абсолютно сходящийся можно перегруппировать как угодно.

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от июля 27, 2011, 21:52

Нужно найти сумму $[tex]\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(2-x)^k}{2^k\cdot k}[/tex]$ для всех иксов, где есть сходимость.

Я сделал производную, по таблице Маклорена получается сумма производной -1/x, берем интеграл получается -ln x + C. Находим С через подстановку х=2, С=ln 2. Поэтому сумма ln 2 - ln x. Верно ли?

Что-то не смог максимой посчитать почему-то :(
Maple считает это легко?

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от июля 27, 2011, 22:11

Цитата: RawonaM от июля 27, 2011, 21:52
Maple считает это легко?

На раз считает командой sum (это команда для «интеллектуальных» действий с суммами: нахождение формул для конечных сумм или суммы ряда; более простая команда — add).

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от июля 27, 2011, 22:15

Цитата: Квас от июля 27, 2011, 22:11
Цитата: RawonaM от июля 27, 2011, 21:52Maple считает это легко?
На раз считает командой sum (это команда для «интеллектуальных» действий с суммами: нахождение формул для конечных сумм или суммы ряда; более простая команда — add).

В максиме тоже sum. Но почему-то конкретно эту сумму он не смог посчитать, то ли я что-то не так делаю.

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от июля 27, 2011, 22:26

Может быть нужно ему как-то указать для каких х-ов сумма? Ведь не для всех сходимость есть. Впрочем, мог бы и сам узнать...

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от июля 28, 2011, 22:24

Как грамотно посчитать $[tex]\lim_{k\to\infty} \frac1{\sqrt[k]{k}}[/tex]$ ?

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от июля 28, 2011, 23:55

Я бы прологарифмировал и убедился, что логарифм стремится к 0 (тогда само выражение к 1): логарифмическая функция растёт медленней, чем многочлен (то есть предел отношения равен 0; доказать можно по правилу Лопиталя).

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от июля 29, 2011, 08:39

Не получаеццо.

$[tex]\lim_{k\to\infty} \frac1{\sqrt[k]{k}}=\lim_{k\to\infty} \frac1{e^{1/k}e^{\ln k}}=\frac1{e^0 e^{\lim_{k\to\infty}\ln k}}[/tex]$

$[tex]\lim_{k\to\infty} \frac1{\sqrt[k]{k}}=\lim_{k\to\infty} {e^{1/k}e^{\ln \frac1k}}=e^0 e^{\lim_{k\to\infty}\ln \frac1{k}}[/tex]$

Что я не так делаю?

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от июля 29, 2011, 23:35

Ошибка в работе со степенями:
$[tex]\sqrt[k]k = e^{(\ln k)/k} = \left(e^{\ln k}\right)^{1/k}[/tex]$
Для вычисления предела последний член бесполезен, так как представляет собой неопределённость; ответ видно по второму члену.

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от июля 30, 2011, 10:54

Точно :3tfu:
Мерси.

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от августа 1, 2011, 23:28

Мне нужно перевести в полярный вид уравнение $[tex]x^3+y^3=3xy[/tex]$ и нарисовать.
В полярный вид приводится легко:

$[tex]r^3\cos^3\theta + r^3\sin^3\theta=3r\cos\theta \cdot r \sin\theta [/tex]$

$[tex]r=\frac{3\cos\theta \sin\theta}{\cos^3\theta + \sin^3\theta} [/tex]$

Но это же какая-то ерунда, как ее нарисовать? :???

Название: Матан №2
Отправлено: Hellerick от августа 2, 2011, 15:48

А в чем проблема?

(http://i128.photobucket.com/albums/p170/Hellerick/Functiongraph.png)

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от августа 2, 2011, 16:06

Hellerick, в чем вы нарисовали? Я тоже такую программу хочу!

Проблема в том, что у меня выходили какие-то странные значения, никуда не годные.

Название: Матан №2
Отправлено: Hellerick от августа 2, 2011, 16:13

Цитата: RawonaM от августа 2, 2011, 16:06
Hellerick, в чем вы нарисовали? Я тоже такую программу хочу!

В Inkscape я это нарисовал. Там есть плагин рисования графиков функций.

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от августа 2, 2011, 16:38

Вы по первому уравнению рисовали, я так понимаю, да?

Название: Матан №2
Отправлено: Hellerick от августа 2, 2011, 16:40

Цитата: RawonaM от августа 2, 2011, 16:38
Вы по первому уравнению рисовали, я так понимаю, да?

Нет, по полярному.

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от августа 2, 2011, 16:42

Странно. Ну спасибо, значит буду опять пытаться. Впрочем, что уже пытаться, уравнение налицо вот.

Надо инскейпу устанавливать. А как плугин называется?

Название: Матан №2
Отправлено: Hellerick от августа 2, 2011, 16:59

Цитата: RawonaM от августа 2, 2011, 16:42
Надо инскейпу устанавливать. А как плугин называется?

Искаропки.

В последней версии это "Function plotter", который появляется в разделе Extensions.

Правда там настройки весьма неинтуитивные — надо изрядно поиграться с интструментом, чтобы научиться получать желаемый результат.

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от августа 3, 2011, 19:10

Объем треугольной пирамиды, совпадающей тремя сторонами с параллелепипедом — 1/6 от объема параллелепипеда?

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от августа 3, 2011, 20:27

Цитата: RawonaM от августа 3, 2011, 19:10
Объем треугольной пирамиды, совпадающей тремя сторонами с параллелепипедом — 1/6 от объема параллелепипеда?

Ага.

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от августа 3, 2011, 22:02

Мне тут надо было найти расстояние между двумя прямыми, данными в параметрической форме. Две страницы исписал. Слышал, что есть прямая формула. Кто-нибудь знает ее?

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от августа 3, 2011, 22:34

Был у нас задачник Бахвалова, там куча формул. Что-то только на торрентах его вижу, попробую скачать.

Формулы про прямые, хотя громоздкие, по геометрическому смыслу, как правило, очевидные. У вас в виде
$[tex] \left\{ \begin{array}{l} x = x_0 + pt\\ y= y_0 + qt\\ z = z_0 + rt \end{array} \right. [/tex]$
задано?

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от августа 3, 2011, 22:38

Ага, именно так.

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от августа 3, 2011, 22:42

Пусть прямые проходят через точки A_i и имеют направляющие векторы $[tex]\vec v_i[/tex]$ (i=1,2). Тогда очевидно, что расстояние между прямыми равно высоте пирамиды, натянутой на векторы
$[tex]\vec v_1,\ \vec v_2,\ \overrightarrow{A_1A_2},[/tex]$
опущенной на грань, натянутую на векторы $[tex]\vec v_1[/tex]$ , $[tex]\vec v_2[/tex]$ . Длина высоты определяется как утроенное частное объёма и площади грани; объём находится через смешанное произведение, площадь — через векторное.

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от августа 3, 2011, 22:44

По-моему ваш путь длиннее моего что-то :)

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от августа 3, 2011, 22:45

Хотя ради надо попробовать, может меньше выйдет.

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от августа 3, 2011, 22:49

Держите Бахвалова. (http://www.onlinedisk.ru/file/707776/)

Хотя формулы я там не нахожу. Если в Бахвалове нет, то нет в природе! Зато придумал другой способ:
1) найти уравнение плоскости, проходящей через точку $[tex]A_1[/tex]$ и параллельной обоим направляющим векторам (стандартная формула);
2) найти расстояние от $[tex]A_2[/tex]$ до этой плоскости.

Громоздко только вычисление определителя.

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от августа 3, 2011, 22:51

Цитата: Квас от августа 3, 2011, 22:49
Хотя формулы я там не нахожу. Если в Бахвалове нет, то нет в природе!

Мне кажется, что нам на туториале сказали, что есть и ее бы стоит запомнить. Но я так и не понял, откуда мы должны ее брать. Может я что-то перепутал.

Цитата: Квас от августа 3, 2011, 22:49
Зато придумал другой способ:
1) найти уравнение плоскости, проходящей через точку $[tex]A_1[/tex]$ и параллельной обоим направляющим векторам (стандартная формула);
2) найти расстояние от $[tex]A_2[/tex]$ до этой плоскости.

Вот именно так я и сделал. Две страницы А4 вышло.

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от августа 3, 2011, 22:51

Цитата: Квас от августа 3, 2011, 22:49
Держите Бахвалова.

Спасибо, щас посмотрю.

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от августа 3, 2011, 22:52

Погодите! У нас же матан? Может, через производные надо? Записываем квадрат расстояния между произвольными точками, частные производные и поехали.

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от августа 3, 2011, 22:53

Цитата: Квас от августа 3, 2011, 22:52
Погодите! У нас же матан? Может, через производные надо? Записываем квадрат расстояния между произвольными точками, частные производные и поехали.

На этом курсе полная демократия. Сказали, находите как угодно, хоть геометрией.
Но этого способа не понял, что вы щас сказали.

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от августа 3, 2011, 22:54

Цитата: RawonaM от августа 3, 2011, 22:51
Мне кажется, что нам на туториале сказали, что есть и ее бы стоит запомнить

Между прямыми? Странно. :donno:

Цитата: RawonaM от августа 3, 2011, 22:51
Вот именно так я и сделал. Две страницы А4 вышло.

Бог с вами! Определитель третьего порядка — отсилы полстраницы. Потом ещё одна строчка на нахождение расстояния от точки до плоскости и ответ.

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от августа 3, 2011, 23:01

Цитата: Квас от августа 3, 2011, 22:54
Цитата: RawonaM от августа 3, 2011, 22:51Вот именно так я и сделал. Две страницы А4 вышло.
Бог с вами! Определитель третьего порядка — отсилы полстраницы. Потом ещё одна строчка на нахождение расстояния от точки до плоскости и ответ.

Пруфпик.

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от августа 3, 2011, 23:04

Правда первый лист ушел на то, чтобы выяснить, что эти прямые — перекрещивающиеся (т.е. не пересекающиеся и не параллельные). Может этого не обязательно было делать??

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от августа 3, 2011, 23:05

Цитата: RawonaM от августа 3, 2011, 22:53
Цитата: Квас от августа 3, 2011, 22:52Погодите! У нас же матан? Может, через производные надо? Записываем квадрат расстояния между произвольными точками, частные производные и поехали.
На этом курсе полная демократия. Сказали, находите как угодно, хоть геометрией.
Но этого способа не понял, что вы щас сказали.

По определению расстояние между прямыми — это наименьшее расстояние между произвольными двумя точками на этих прямых. Пусть векторно они задаются
$[tex] \mathbf a_1 + t \mathbf v_1\\ \mathbf a_2 + s \mathbf v_2, [/tex]$
тогда квадрат расстояния между двумя произвольными точками равен
$[tex] d^2 = |t \mathbf {v}_1 - s \mathbf {v}_2 + \mathbf {a}_1 - \mathbf {a}_2|^2 = (t \mathbf { v}_1 - s \mathbf {v}_2 + \mathbf {a}_1 - \mathbf {a}_2)^2 [/tex]$
— скалярный квадрат. Надо н ываайти минимум этой функции, когда $[tex]t,s \in\mathbb R[/tex]$ . Находим частные производные и приравниваем к 0.

(Чё-то \mathbf глючит.)

Кстати, есть известная формула дифференцирования квадрата нормы векторной функции:
$[tex] \frac{d}{dt} | \mathbf v(t) | = 2 \mathbf v(t) \cdot \mathbf v'(t) [/tex]$

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от августа 3, 2011, 23:07

Цитата: RawonaM от августа 3, 2011, 23:04
Правда первый лист ушел на то, чтобы выяснить, что эти прямые — перекрещивающиеся (т.е. не пересекающиеся и не параллельные). Может этого не обязательно было делать??

Не, по крайней мере надо показать, что они не параллельны, иначе нет такой плоскости же. А если пересекаются, то ноль расстояние.

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от августа 3, 2011, 23:09

Цитата: RawonaM от августа 3, 2011, 23:04
Правда первый лист ушел на то, чтобы выяснить, что эти прямые — перекрещивающиеся (т.е. не пересекающиеся и не параллельные). Может этого не обязательно было делать??

Решению помешает, только если параллельные. Непараллельность, наверно, лучше обговорить: она следует из того, что направляющие векторы непропорциональны.

Вы меня опередили.

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от августа 3, 2011, 23:11

Цитата: Квас от августа 3, 2011, 23:05
По определению расстояние между прямыми — это наименьшее расстояние между произвольными двумя точками на этих прямых. Пусть векторно они задаются
$[tex] \mathbf a_1 + t \mathbf v_1\\ \mathbf a_2 + s \mathbf v_2, [/tex]$
тогда квадрат расстояния между двумя произвольными точками равен
$[tex] d^2 = |t \mathbf {v}_1 - s \mathbf {v}_2 + \mathbf {a}_1 - \mathbf {a}_2|^2 = (t \mathbf { v}_1 - s \mathbf {v}_2 + \mathbf {a}_1 - \mathbf {a}_2)^2 [/tex]$
— скалярный квадрат. Надо н ываайти минимум этой функции, когда $[tex]t,s \in\mathbb R[/tex]$ . Находим частные производные и приравниваем к 0.

Вероятно это долгий и сложный путь, нет? Но надо попробовать.

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от августа 3, 2011, 23:13

Цитата: RawonaM от августа 3, 2011, 23:11
Вероятно это долгий и сложный путь, нет?

:yes:

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от августа 3, 2011, 23:14

Цитата: Квас от августа 3, 2011, 23:09
Непараллельность, наверно, лучше обговорить: она следует из того, что направляющие векторы непропорциональны.

Так обговор этого занимает полстраницы. Ведь нужно найти две точки на прямой, вычислить из них векторы и показать что они непропорциональны. Это очень банально и просто, но все же занимает место и время, причем это очень удобное поле для запутывания и ошибок вычисления. У меня как раз это случилось, можно видеть по заплаткам. Благо тут все проверяемо и в конце есть куча вариантов обнаружить эту ошибку.

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от августа 3, 2011, 23:17

Цитата: RawonaM от августа 3, 2011, 23:14
Цитата: Квас от августа 3, 2011, 23:09Непараллельность, наверно, лучше обговорить: она следует из того, что направляющие векторы непропорциональны.
Так обговор этого занимает полстраницы.

Одна строчка. Направляющие векторы непосредственно видны по параметрическому уравнению, их непропорциональность очевидна. Вторую точку искать не надо.

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от августа 3, 2011, 23:17

Ща, новый LyX поставлю и напишу своё решение.

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от августа 3, 2011, 23:19

Цитата: Квас от августа 3, 2011, 23:17
Одна строчка. Направляющие векторы непосредственно видны по параметрическому уравнению, их непропорциональность очевидна. Вторую точку искать не надо.

А-а-а, вот я балбес!!! Это ж просто коэффициенты параметра!!
Чего ж нам этого не сказали? Или в книге этот факт как-то недостаточно ясно преподнесен. Но это ж очевидно. :wall:

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от августа 3, 2011, 23:20

Цитата: Квас от августа 3, 2011, 23:17
Ща, новый LyX поставлю и напишу своё решение.

Да я уже понял, в принципе необязательно. Векторы видно сразу, просто вычисляем нормаль с помощью векторного умножения и подставляем в формулу.

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от августа 3, 2011, 23:21

Цитата: RawonaM от августа 3, 2011, 23:19
Это ж просто коэффициенты параметра!!

Да. :yes: На первом курсе уравнения прямых были моей любимой темой. :)

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от августа 3, 2011, 23:24

Цитата: RawonaM от августа 3, 2011, 23:20
вычисляем нормаль с помощью векторного умножения и подставляем в формулу.

Можно сразу воспользоваться формулой на с. 245 Бахвалова (её можно интерпретировать так: точка принадлежит плоскости iff смешанное произведение понятно-каких векторов равно 0). Правда, по вычислениям это ровно одно и то же.

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от августа 3, 2011, 23:28

Цитата: RawonaM от августа 3, 2011, 23:20
Цитата: Квас от августа 3, 2011, 23:17Ща, новый LyX поставлю и напишу своё решение.
Да я уже понял, в принципе необязательно. Векторы видно сразу, просто вычисляем нормаль с помощью векторного умножения и подставляем в формулу.

Ладно, не буду. ::) LyX всё равно надо поставить. Кстати, если вопрос с набором формул актуален, то можете полюбопытствовать насчёт него (http://www.lyx.org). Мне 2.0 понравился больше, чем 1.6; даже думаю, не пользоваться ли им как основным редактором. (Но ТеХ должен быть установлен.)

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от августа 3, 2011, 23:32

Цитата: Квас от августа 3, 2011, 23:28
Кстати, если вопрос с набором формул актуален, то можете полюбопытствовать насчёт него.

Попробую конечно. За что я люблю Убунту, что я сейчас ввел sudo apt-get install lyx и вскоре это будет готово, правда прожорлив лых этот...

ЦитироватьIl est nécessaire de prendre 449 Mo dans les archives.
Après cette opération, 776 Mo d'espace disque supplémentaires seront utilisés.
Souhaitez-vous continuer [O/n] ?

А у него экспорт в ворд есть?

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от августа 3, 2011, 23:51

Цитата: RawonaM от августа 3, 2011, 23:32
А у него экспорт в ворд есть?

К у д а? :uzhos:

Серьёзно — его в принципе не должно быть: ворд-то платный. Написано, что есть экспорт в Open Office, я сейчас попробовал — не получилось.

По задумке он должен верстать ТеХом и в качестве окончательного результата давать, скажем, PDF.

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от августа 3, 2011, 23:55

Цитата: Квас от августа 3, 2011, 23:51
Серьёзно — его в принципе не должно быть: ворд-то платный.

Ниче подобного. LibreOffice имеет экспорт и ничего.

Цитата: Квас от августа 3, 2011, 23:51
Цитата: RawonaM от августа 3, 2011, 23:32А у него экспорт в ворд есть?
К у д а? :uzhos:

А мне задания в электронном виде сдавать можно только в ворде, причем очень желательно, чтобы формулы были в ворде не картинками, а формулами. Почему такой маразм, не спрашивайте, но несложно понять, что среднестатистический житель этой планеты кроме как о ворде ничего не слышал.

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от августа 3, 2011, 23:59

Цитата: RawonaM от августа 3, 2011, 23:55
А мне задания в электронном виде сдавать можно только в ворде, причем очень желательно, чтобы формулы были в ворде не картинками, а формулами. Почему такой маразм, не спрашивайте, но несложно понять, что среднестатистический житель этой планеты кроме как о ворде ничего не слышал.

Я понимаю и очень-очень сочувствую. У нас аналогичная фигня: все отчёты по институту надо делать в ворде. Статьи туда свои конвертируем... :'( Для ворда есть макрос TeX2Word (платный, вообще говоря).

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от августа 4, 2011, 00:03

Схитрили, там в вариантах экспорта написано HTML (MS Word).
В прочем, нельзя сказать, что это совсем плохо, т.к. с тех пор как HTML имеет стандарт для математики (вы знали?), Word 2007 умеет читать эту математику и переводить в свой формат.

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от августа 4, 2011, 00:09

У меня туда тоже не хочет экспортировать. Ну, pdflatex работает — мне больше и не надо.

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от августа 5, 2011, 10:35

У меня в книге речь идет о какой-то главной нормали к кривой в трех измерениях, которую выбирают из бесконечности нормалей.
Как это выражается геометрически?

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от августа 5, 2011, 10:51

Цитата: RawonaM от августа 5, 2011, 10:35
У меня в книге речь идет о какой-то главной нормали к кривой в трех измерениях, которую выбирают из бесконечности нормалей.
Как это выражается геометрически?

В смысле?

Главная нормаль лежит в плоскости, натянутой на векторы скорости и ускорения (и образует острый угол с последним, чем однозначно определяется). Формулы имеются (для случая натурального параметра достаточно нормировать ускорение). То есть если движение по кривой с точностью до бесконечно малой высшего порядка заменить движением по окружности, то главная нормаль будет смотреть в её центр.

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от августа 5, 2011, 10:57

Понятно, спасибо. На Вики ничего про это не нашел.

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от августа 5, 2011, 10:59

Я и дифференциальную геометрию когда-то вёл. :yes: Правда, не очень уверенно в ней себя чувствую.

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от августа 5, 2011, 11:09

А это уже дифференциальная геометрия? Чего только не засунули в этот курс :)

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от августа 5, 2011, 11:13

Классическая: исследование геометрических объектов методами дифференциального исчисления. Кривизна, кручение, фундаментальные формы поверхностей — всё сюда.

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от августа 5, 2011, 11:14

На самом деле такие интегрированные курсы — это хорошо.

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от августа 5, 2011, 11:30

Цитата: Квас от августа 5, 2011, 11:14
На самом деле такие интегрированные курсы — это хорошо.

В некотором смысле да. В идеале должно быть параллельно обучение обзорное и детальное. Либо последовательно.
Мой первый курс матана был для математиков. А этот курс — просто для наук вообще (физиков, биологов и т.п.). Тут получается более практически и более поверхностно. Есть плюсы и минусы. Не могу сказать, что мне сильно нравится, но кроптеть еще два математических курса как я сидел над первым матаном пока что у меня нет желания — хочу побыстрее закончить учебу.

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от августа 6, 2011, 13:24

Нужно найти предел или доказать что не существует:

$[tex]\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\sin(x^3+y^3)}{x^2+y^2}[/tex]$

Перевожу в полярные координаты:
$[tex]\lim_{r\to0}\frac{\sin(r^3(\cos^3\theta+sin^3\theta))}{r^2}=[/tex]$

По Лопиталю:
$[tex]=\lim_{r\to0}\frac{\cos(r^3(\cos^3\theta+sin^3\theta))\cdot 3r^2(\cos^3\theta+sin^3\theta)}{2r}=0[/tex]$

Верно ли?

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от августа 6, 2011, 13:29

Ага, всё правильно. Идеологически важный момент в том, что пределы при (x,y)→(0,0) и при r→0 — это в точности одно и то же.

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от августа 6, 2011, 13:35

Цитата: RawonaM от августа 6, 2011, 13:24
Ага, всё правильно.

А производная от синуса тоже правильная? Мне вот неясно было что с тетами делать.
Впрочем, получается, что я к ним просто отношусь как к константам.

Цитата: Квас от августа 6, 2011, 13:29
Идеологически важный момент в том, что пределы при (x,y)→(0,0) и при r→0 — это в точности одно и то же.

Да, этот момент я уловил.

А если у меня, к примеру, (x,y)→(1,1), то получается в полярном (r,θ)→(√2,π/4)?

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от августа 6, 2011, 13:43

Стоп! При дифференцировании мы считаем частную производную, то есть предполагаем, что θ фиксировано. А почему, собственно? Лопиталь не проходит.

Я бы доказал, что предел равен 0, оценив синус.

Цитата: RawonaM от августа 6, 2011, 13:35
А если у меня, к примеру, (x,y)→(1,1), то получается в полярном (r,θ)→(√2,π/4)?

Здесь да. В общем случае импликация в обратную сторону: если в полярных, то и в декартовых (потому что декартовы координаты непрерывно выражаются через полярные, а в наоборот могут быть трудности). Но в окрестности точки (1,1) это, конечно, одно и то же.

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от августа 6, 2011, 13:53

Цитата: Квас от августа 6, 2011, 13:43
Стоп! При дифференцировании мы считаем частную производную, то есть предполагаем, что θ фиксировано. А почему, собственно? Лопиталь не проходит.

Вот-вот, этот вопрос у меня и возникал, поэтому я засомневался. А что, нельзя продифференцировать так, чтобы с фитами все в порядке было?

Цитата: Квас от августа 6, 2011, 13:43
декартовых

У нас называются Cartesian, кстати, хотя и это одна фамилия :)

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от августа 6, 2011, 13:59

Цитата: RawonaM от августа 6, 2011, 13:53
А что, нельзя продифференцировать так, чтобы с фитами все в порядке было?

Думаю, что нет. Если считать θ=const, то мы приближаемся к началу координат по отрезкам, а из сходимости при r→0 следует сходимость при приближении по любому пути, даже негладкому по θ.

Главное, что скобка с синусами-косинусами ограничена, поэтому при малых r имеем, например,
$[tex]\left|\sin(r^{3}(\cos^{3}\theta+\sin^{3}\theta))\right|\leqslant\sin2r^{3}=2r^{3}+o(r^3)[/tex]$

Название: Матан №2
Отправлено: Bhudh от августа 6, 2011, 16:57

Цитата: Квас от если движение по кривой с точностью до бесконечно малой высшего порядка заменить движением по окружности, то главная нормаль будет смотреть в её центр.

Внутрь⁈ Чё-то всегда думал, что наружу... Век живи... :-\

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от августа 10, 2011, 20:04

Цитата: Квас от августа 6, 2011, 13:59
Главное, что скобка с синусами-косинусами ограничена, поэтому при малых r имеем, например,
$[tex]\left|\sin(r^{3}(\cos^{3}\theta+\sin^{3}\theta))\right|\leqslant\sin2r^{3}=2r^{3}+o(r^3)[/tex]$

Т.е. разложить

$[tex]\sin(-2r^{3}) \leqslant \sin(r^{3}(\cos^{3}\theta+\sin^{3}\theta)) \leqslant\sin2r^{3}[/tex]$

И по теореме о трех ментах?

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от августа 10, 2011, 20:20

Ага, можно так. Мне просто привычней модуль оценивать.

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от августа 10, 2011, 20:23

Цитата: Квас от августа 10, 2011, 20:20
Мне просто привычней модуль оценивать.

А как это?

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от августа 10, 2011, 20:52

Да вот так:

Цитата: Квас от августа 6, 2011, 13:59
$[tex]\left|\sin(r^{3}(\cos^{3}\theta+\sin^{3}\theta))\right|\leqslant\sin2r^{3}=2r^{3}+o(r^3)[/tex]$

Тут вроде всё понятно?

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от августа 10, 2011, 20:55

Неа. :-\

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от августа 10, 2011, 21:21

Что-то мне непонятно вот тут: есть функция $[tex]xy/\sqrt{x^2+y^2}[/tex]$ , в нуле определена как ноль. Вся функция непрерывна. У нее есть частичные производные в нуле, но они не непрерывны. Как это так? Запутался совсем.

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от августа 10, 2011, 21:22

На $[tex]\left[ 0, \frac \pi2 \right][/tex]$ синус возрастает, а в силу его нечётности имеем |sin t| = sin |t|. Поэтому раз
$[tex]|r^{3}(\cos^{3}\theta+\sin^{3}\theta)| \leqslant 2r^3,[/tex]$
то
$[tex]|\sin(r^{3}(\cos^{3}\theta+\sin^{3}\theta))| = \sin|r^{3}(\cos^{3}\theta+\sin^{3}\theta)| \leqslant \sin 2r^3.[/tex]$

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от августа 10, 2011, 21:23

Цитата: RawonaM от августа 10, 2011, 21:21
Что-то мне непонятно вот тут: есть функция $[tex]xy/\sqrt(x^2+y^2)[/tex]$ , в нуле определена как ноль. Вся функция непрерывна. У нее есть частичные производные в нуле, но они не непрерывны. Как это так? Запутался совсем.

А почему нет? Дифференцируемость — более сильное свойство, чем непрерывность.

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от августа 10, 2011, 21:26

Цитата: Квас от августа 10, 2011, 21:23
А почему нет? Дифференцируемость — более сильное понятие, чем непрерывность.

Вы намекаете, что она не дифференцируема?

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от августа 10, 2011, 21:32

Цитата: RawonaM от августа 10, 2011, 21:26
Цитата: Квас от августа 10, 2011, 21:23А почему нет? Дифференцируемость — более сильное понятие, чем непрерывность.
Вы намекаете, что она не дифференцируема?

Конечно, в нуле недифференцируема. Из дифференцируемости следует существование частных производных, а здесь их нет.

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от августа 10, 2011, 21:33

Цитата: Квас от августа 10, 2011, 21:32
Конечно, в нуле недифференцируема. Из дифференцируемости следует существование частных производных, а здесь их нет.

Частные производные есть. Но они не непрерывны.

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от августа 10, 2011, 21:34

В нуле нет, я имею в виду.

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от августа 10, 2011, 21:35

Цитата: Квас от августа 10, 2011, 21:34
В нуле нет, я имею в виду.

Так есть же. По определению есть.

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от августа 10, 2011, 21:49

По определению производной:
$[tex]f_x(0,0)=\lim_{t\to0}\frac{f(0+t,0)-f(0,0)}{t}=0[/tex]$

Так же и вторая.

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от августа 10, 2011, 21:50

Нуль в числители просмотрел: функция же на осях обнуляется.

Ладно, тогда по определению недифференцируема. Потому как предела $[tex]x̄y / (x^2 + y^2)[/tex]$ при (x,y)→(0,0) не существует.

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от августа 10, 2011, 21:53

Цитата: Квас от августа 10, 2011, 21:50
Потому как предела $[tex]x̄y / (x^2 + y^2)[/tex]$ при (x,y)→(0,0) не существует.

У вас не та функция. Должно быть $[tex]x̄y / \sqrt{x^2 + y^2}[/tex]$ (с доопределением в нуле для непрерывности). Так что и предел существует и непрерывна.

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от августа 10, 2011, 22:02

Я не могу понять, как может выглядеть функция, у которой производная что-то там, потом в нуле резко ноль, потом еще что-то там в минусе, при этом нет непрерывности в нуле. Как же будет выглядеть касательная?

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от августа 10, 2011, 22:21

Цитата: RawonaM от августа 10, 2011, 21:53
У вас не та функция. Должно быть $[tex]x̄y / \sqrt{x^2 + y^2}[/tex]$ (с доопределением в нуле для непрерывности). Так что и предел существует и непрерывна.

Это у меня записано выражение
$[tex]\frac{f(h)-f(0)}{|h|}[/tex]$
для h = (x, y).

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от августа 10, 2011, 22:31

Тогда у вас ошибка тут:

Цитата: Квас от августа 10, 2011, 21:50
Ладно, тогда по определению недифференцируема. Потому как предела $[tex]x̄y / (x^2 + y^2)[/tex]$ при (x,y)→(0,0) не существует.

Из того, что не существует предел производной, не следует, что функция недифференцируема.
Если производная непрерывна, то функция дифференцируема, но если производная ненепрерывна, то из этого ничего не следует.

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от августа 10, 2011, 22:34

Пытаюсь таки понять, как вы к этому пришли: $[tex]x̄y / (x^2 + y^2)[/tex]$ , не получается.

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от августа 10, 2011, 22:53

Чушь написал, каюсь. :)

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от августа 10, 2011, 22:59

Ничего, задачка-то непроста оказалась :)

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от августа 10, 2011, 23:01

Предположим, что в нуле наша функция дифференцируема. Это значит, что существуют такие числа A и B, что
$[tex]f(x,y) = Ax + By + o\left(\sqrt{x^2 + y^2}\right)[/tex]$
Из дифференцируемости следует существование частных производных в 0, при этом
$[tex]A=\frac{\partial f}{\partial x}\Bigg|_{x=0,\ y=0}=0,\quad B=\frac{\partial f}{\partial y}\Bigg|_{x=0,\ y=0}=0[/tex]$
Следовательно,
$[tex]f(x,y) = o\left(\sqrt{x^2 + y^2}\right)[/tex]$
Однако
$[tex]\frac{f(x,y)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=\frac{xy}{x^{2}+y^{2}}\not\to0\quad((x,y)\to0).[/tex]$
Полученное противоречие показывает, что исходное предположение неверно, и функция недифференцируема в 0.

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от августа 10, 2011, 23:07

Да, что-то типа этого нужно, только знакомое мне определение дифференцируемости несколько иначе выглядит, а функцию о() я вообще не понимаю.

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от августа 10, 2011, 23:23

Символом o(f) может быть обозначена любая функция αf, где α — бесконечно малая.

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от августа 10, 2011, 23:42

Спасибо Квас, с этой задачей разобрался.

Вот еще такой предел надо посчитать:
$[tex]\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\sqrt{x^2y^2+1}-1}{x^2+y^2}[/tex]$

Я перевел в полярные координаты и вышло $[tex]\inline \frac12sin2\theta[/tex]$ . Это значит, что предела не существует, верно?

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от августа 11, 2011, 00:02

А это точно верно? :-\ Что-то непонятно, как воевать с
$[tex]\sqrt{r^2 \cos \theta \sin \theta + 1}[/tex]$
Я раскладываю по формуле Тейлора:
$[tex]\frac{\sqrt{x^2y^2+1}-1}{x^2+y^2} = \frac 12 \frac{x^2y^2 + o(x^2 y^2)}{x^2+y^2}[/tex]$
(даже если о-символику вы не знаете, формулу Тейлора можно в каком-нибудь другом виде). А отсюда очевидно, что предел существует: например, потому что величина
$[tex] \frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}} [/tex]$
ограничена (единицей).

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от августа 11, 2011, 09:35

Цитата: Квас от августа 11, 2011, 00:02
(даже если о-символику вы не знаете, формулу Тейлора можно в каком-нибудь другом виде).

Формулу Тейлора я теоретически знаю, но я ее уже забыл. Про о() там упоминалось вскользь, я тем более забыл. Там используется метод Лагранжа для записи остатка, что-то типа того.

Цитата: Квас от августа 11, 2011, 00:02
А отсюда очевидно, что предел существует: например, потому что величина
$[tex] \frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}} [/tex]$
ограничена (единицей).

Что-то непонятно это утверждение и как вы получили это выражение. :???

Цитата: Квас от августа 11, 2011, 00:02
Что-то непонятно, как воевать с
$[tex]\sqrt{r^2 \cos \theta \sin \theta + 1}[/tex]$

Ну я вот так сделал:
$[tex]\lim_{r\to0}\frac{\sqrt{r^4sin^2tcos^2t+1}-1}{r^2}=[/tex]$ $[tex]\lim_{r\to0}\frac{\sqrt{sin^2tcos^2t+1/r^4}-1/r^2}{r^2/r^2}=[/tex]$ $[tex]\sqrt{sin^2tcos^2t}}=\frac{|sin2t|}{2}[/tex]$

Разве тут что-то не так?

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от августа 11, 2011, 09:58

Так 1/r⁴ и 1/r² не обнуляются, а в бесконечность уходят.

Цитата: RawonaM от августа 11, 2011, 09:35
Формулу Тейлора я теоретически знаю, но я ее уже забыл.

:negozhe: Формула и ряд Тейлора — важные инструменты анализа, а веке в восемнадцатом на них вся математика держалась. Идеология формулы Тейлора: она позволяет аппроксимировать дифференцируемые функции многочленами.

Если аналитическим методам предпочитаете элементарные, домножайте числитель и знаменатель на сопряжённое.

Цитата: RawonaM от августа 11, 2011, 09:35
Цитата: Квас от августа 11, 2011, 00:02А отсюда очевидно, что предел существует: например, потому что величина
$[tex] \frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}} [/tex]$
ограничена (единицей).
Что-то непонятно это утверждение и как вы получили это выражение. :???

У нас был предел выражения
$[tex]\frac 12 \frac{x^2y^2}{x^2+y^2}+\frac 12 \frac{ o(x^2 y^2)}{x^2+y^2}[/tex]$
Как бороться с первым слагаемым?
$[tex]\frac 12 \frac{x^2y^2}{x^2+y^2} = \frac {y^2}2 \frac{x^2}{x^2+y^2}[/tex]$
Это есть произведение бесконечно малой на ограниченную. Второй множитель ограничен, потому что он неотрицательный и знаменатель больше числителя (значит, меньше 1).

Раз первое слагаемое стремится к 0, то второе тоже, потому что оно даже меньше:
$[tex]\frac 12 \frac{ o(x^2 y^2)}{x^2+y^2} = \frac{ o(x^2 y^2)}{x^2y^2} \frac{x^2 y^2}{x^2+y^2}\to 0 \cdot 0 = 0[/tex]$

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от августа 11, 2011, 10:00

Цитата: Квас от августа 11, 2011, 09:58
Так 1/r⁴ и 1/r² не обнуляются, а в бесконечность уходят.

вот я идиот!! :wall: :wall:

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от августа 11, 2011, 10:02

Цитата: Квас от августа 11, 2011, 09:58
Цитата: RawonaM от августа 11, 2011, 09:35Формулу Тейлора я теоретически знаю, но я ее уже забыл.
:negozhe: Формула и ряд Тейлора — важные инструменты анализа, а веке в восемнадцатом на них вся математика держалась. Идеология формулы Тейлора: она позволяет аппроксимировать дифференцируемые функции многочленами.

Вот, ряд Тейлора по-моему я должен знать. А что такое формула Тейлора?

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от августа 11, 2011, 10:04

Тейлор и маклорен мне к экзамену нужны, так что в любом случае надо возвращаться и освежать.

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от августа 11, 2011, 10:09

Подомножил на сопряженное, ничего толкового не вышло :(

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от августа 11, 2011, 13:18

Цитата: RawonaM от августа 11, 2011, 10:02
А что такое формула Тейлора?

Это представление функции в виде
$[tex]f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^{2}+\ldots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n}+r_{n}(a;x)[/tex]$
где r_n(a;x) — некий остаток. Соль в остатке: по смыслу он должен быть мал. В отличие от ряда Тейлора, в который раскладываются только достаточно «хорошие» функции (аналитические), формула Тейлора справедлива справедлива в весьма общих предположениях: например, достаточно (n+1)-кратной непрерывной дифференцируемости, чтобы была справедлива написанная мной формула с остатком в форме Лагранжа. Для приложений часто бывает достаточно более слабой формы Пеано:
$[tex]r_n (a;x) = o((x-a)^n)[/tex]$

Кстати, в задачах использование о-символики часто основывается на соотношении
$[tex]\frac{o(f)}{f} \to 0. [/tex]$

Вот домножение на сопряжённое:
$[tex] \frac{\sqrt{x^{2}y^{2}+1}-1}{x^{2}+y^{2}}=\frac{x^{2}y^{2}}{x^{2}+y^{2}}\cdot\frac{1}{\sqrt{x^{2}y^{2}+1}} [/tex]$
Второй множитель ни на что не влияет, а первый, как мы убедились, стремится к 0.

Чем формула Тейлора круче: она имеет универсальную применимость, а элементарный подход требует знания особых приёмов для каждой функции. А ну как в числителе вместо довольно приличного выражения стояло бы
$[tex] \sqrt{x^{2}y^{2}+1}-\sqrt[3]{xy^{3}+1} [/tex]$
?

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от августа 12, 2011, 10:53

Цитата: Квас от августа 11, 2011, 13:18
Вот домножение на сопряжённое:
$[tex] \frac{\sqrt{x^{2}y^{2}+1}-1}{x^{2}+y^{2}}=\frac{x^{2}y^{2}}{x^{2}+y^{2}}\cdot\frac{1}{\sqrt{x^{2}y^{2}+1}} [/tex]$
Второй множитель ни на что не влияет, а первый, как мы убедились, стремится к 0.

А как вы знаете, что второй множитель ни на что не влияет?

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от августа 12, 2011, 11:08

Так он стремится к 1.

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от августа 12, 2011, 11:13

А, ну да. :)

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от августа 12, 2011, 13:38

$[tex]f(x,y)=\begin{cases} \frac xy \sin y & y \neq 0 \\ c & y = 0 \end{cases}[/tex]$

Существует ли такой c, при котором функция непрерывна?

Я говорю нет, т.к. $[tex]\lim_{y\to0}\frac xy \sin y=x[/tex]$ .

c должен быть равен х, поэтому при любой константе функция не будет непрерывна. Правильно?

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от августа 12, 2011, 14:00

Абсолютно.

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от августа 13, 2011, 10:04

Цитата: Квас от августа 11, 2011, 13:18
Вот домножение на сопряжённое:
$[tex] \frac{\sqrt{x^{2}y^{2}+1}-1}{x^{2}+y^{2}}=\frac{x^{2}y^{2}}{x^{2}+y^{2}}\cdot\frac{1}{\sqrt{x^{2}y^{2}+1}} [/tex]$
Второй множитель ни на что не влияет, а первый, как мы убедились, стремится к 0.

Разве не должно быть $[tex]=\frac{x^{2}y^{2}}{x^{2}+y^{2}}\cdot\frac{1}{\sqrt{x^{2}y^{2}+1}+1}[/tex]$ ? Единицы не хватает вроде.

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от августа 13, 2011, 10:43

Тьфу! Конечно, не хватает.

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от августа 13, 2011, 10:44

Это ничего не меняет, предел тот же, но для математической точности :)

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 1, 2011, 14:52

Есть задание, найти точки локального минимума и максимума для функции (x-y)·e^xy. Я пытаюсь найти точки где обе частные производные обнуляюся, а потом по значению D=f_xx·f_yy-f_xy² для каждой такой точки. Вышло, что частичные производные обнуляются при x=-y, там получается много писанины всякой, закралось подозрение, что нужно каким-то другим методом решать.

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 1, 2011, 14:53

Кстати, нарисовал функцию в Maxime, выходит такая интересная фигня, что не поймешь, что у нее там есть или нет.

Название: Матан №2
Отправлено: Hellerick от сентября 1, 2011, 15:07

По-моему, ничего у нее нет.

(http://i128.photobucket.com/albums/p170/Hellerick/xminusytimesexpxtimesy.png)

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 1, 2011, 15:09

Какие у вас границы? Я до 500 рисовал, у меня по-другому выглядело.

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 1, 2011, 15:11

Сейчас еще по-третьему выглядит.

Название: Матан №2
Отправлено: Hellerick от сентября 1, 2011, 15:19

Тупо составил в Экселе двумерную табличку со значениями функции. Обнаружил область, где при изменении как икса, так и игрека функция достигает максимума. О, неужели экстремум? — подумал я.

Черт-те с два. Седловина.

Вот, можете сами покрутить:
http://www.livephysics.com/ptools/online-3d-function-grapher.php?ymin=-1.5&xmin=0&zmin=Auto&ymax=0&xmax=1.5&zmax=Auto&f=(x-y)*e^(x*y) (http://www.livephysics.com/ptools/online-3d-function-grapher.php?ymin=-1.5&xmin=0&zmin=Auto&ymax=0&xmax=1.5&zmax=Auto&f=%28x-y%29*e%5E%28x*y%29)

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 1, 2011, 15:26

Теперь уже четвертый вид...
Я не понимаю, это функция оборотень?

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от сентября 1, 2011, 20:42

Я считаю что-то не так? Мэпл даёт стационарную точку
$[tex]x=-\frac{\sqrt2}2,\quad y=\frac{\sqrt2}2[/tex]$

Название: Матан №2
Отправлено: arseniiv от сентября 1, 2011, 20:56

Да, это она и есть седло. Вот её окрестности:

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от сентября 1, 2011, 21:06

Вторые производные тоже нормально считаются. Никаких подводных камней в задаче не обнаружил.

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 1, 2011, 21:21

То ли в максиме баг какой-то, то ли я не понимаю ниче.
plot3d((x-y)*exp(x*y),[x,-1,1],[y,-1,1]);
plot3d((x-y)*exp(x*y),[x,-2,2],[y,-2,2]);
plot3d((x-y)*exp(x*y),[x,-10,10],[y,-10,10]);
plot3d((x-y)*exp(x*y),[x,-100,100],[y,-100,100]);
plot3d((x-y)*exp(x*y),[x,-1000,1000],[y,-1000,1000]);

Все показывают совершенно разные и неузнавабельные функции :)

Касательно своего решения, по-моему я чего-то напутал с производными. Не зря я засомневался.

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 1, 2011, 21:21

Такого зверя как у хеллерика не получилось сделать, он так и не признался что у него за границы.

Название: Матан №2
Отправлено: Bhudh от сентября 1, 2011, 21:34

А как у тебя вообще нарисовались две последние⁈
Мне эта пакисць пишет, что не может написать NN.

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 1, 2011, 21:41

У меня вполне нарисовались. Ломает принтскринить, но если очень надо, сделаю.

Название: Матан №2
Отправлено: Bhudh от сентября 1, 2011, 21:48

Цитата: MaximaMaxima version: 5.15.0
Maxima build date: 17:36 4/20/2008
host type: i686-pc-mingw32
lisp-implementation-type: GNU Common Lisp (GCL)
lisp-implementation-version: GCL 2.6.8

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 1, 2011, 23:35

Цитата: Квас от сентября 1, 2011, 20:42
Мэпл даёт стационарную точку
$[tex]x=-\frac{\sqrt2}2,\quad y=\frac{\sqrt2}2[/tex]$

А $[tex]x=\frac{\sqrt2}2,\quad y=-\frac{\sqrt2}2[/tex]$ не дает?

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от сентября 2, 2011, 00:24

Кстати, нет. Не справился с Нелинейной Системой. ;D Ну да там то же самое должно быть.

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 2, 2011, 08:37

Что-то я не вижу по картинкам как там получается локальный минимум...

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 2, 2011, 08:47

Цитата: RawonaM от сентября 1, 2011, 23:35
А $[tex]x=\frac{\sqrt2}2,\quad y=-\frac{\sqrt2}2[/tex]$ не дает?

В этой точке максимум получается, не?

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 2, 2011, 08:49

Вообще-то похоже на седло в обоих местах.

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 2, 2011, 09:27

Цитата: Bhudh от сентября 1, 2011, 21:48
Цитата: MaximaMaxima version: 5.15.0
Maxima build date: 17:36 4/20/2008
host type: i686-pc-mingw32
lisp-implementation-type: GNU Common Lisp (GCL)
lisp-implementation-version: GCL 2.6.8

ЦитироватьwxWidgets: 2.8.10
Unicode support: yes
Maxima version: 5.22.1
Lisp: GNU Common Lisp (GCL) GCL 2.6.7 (a.k.a. GCL)

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от сентября 2, 2011, 09:33

Седло в обоих случаях. Если одновременно поменять знак у x и y, сама функция тоже только меняет знак.

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 2, 2011, 09:42

Мне еще задано найти абсолютный минимум/максимум в квадрате -1≤x≤1 & -1≤y≤1.
Максима умеет это делать? Я посчитал, но перепроверка себя не помешает :)

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 2, 2011, 11:17

Дана такая задача: найти треугольник с площадью S, у которого сумма квадратов сторон минимальна. Дана подсказка, что стоит рассматривать две стороны и угол между ними.

Я так понимаю, что нужно должны исполняться два условия:
$[tex]S=\frac12 x y \sin \alpha[/tex]$
$[tex]z^2=x^2+y^2-2 x y \cos \alpha[/tex]$

Отсюда нужно как-то избавиться от альфы, чтобы получить функцию с двумя аргументами.
Т.е. у меня функция $[tex]f(x,y)=z^2+x^2+y^2=2x^2+2y^2-2 x y \cos \alpha[/tex]$

А альфа это $[tex]\arcsin \frac{2S}{x y}[/tex]$ .

В общем, что-то получается не то.

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от сентября 2, 2011, 12:11

Цитата: RawonaM от сентября 2, 2011, 09:42
Мне еще задано найти абсолютный минимум/максимум в квадрате -1≤x≤1 & -1≤y≤1.
Максима умеет это делать? Я посчитал, но перепроверка себя не помешает :)

Мэпл даёт $[tex]\pm1[/tex]$ , а всё, что я читал о максиме, уже выветрилось (включая дифференцирование).

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от сентября 2, 2011, 12:16

Цитата: RawonaM от сентября 2, 2011, 11:17
А альфа это

Это ещё бабушка надвое сказала: а вдруг угол тупой?

А условный экстремум знаете?

Название: Матан №2
Отправлено: arseniiv от сентября 2, 2011, 16:43

RawonaM, кстати, для проверки на экстремум лучше строить не график поверхности, а вот такую карту высот (у Математицы аж два вида стандартных):

Название: Матан №2
Отправлено: arseniiv от сентября 2, 2011, 20:20

Забыл продолжить мысль вовремя, пусть хоть не вовремя: ...и, смотря на взаимное расположение линий уровня, легче увидеть, что там с кривизной творится.

Название: Матан №2
Отправлено: Bhudh от сентября 2, 2011, 20:31

Такая же карта высот получается при развороте плоскости xy графика перпендикулярно оси наблюдения.

Название: Матан №2
Отправлено: arseniiv от сентября 2, 2011, 21:32

Там нет линий уровня. :P

Название: Матан №2
Отправлено: Bhudh от сентября 2, 2011, 21:37

Там есть цветная шкала глубин, равнозначная второму варианту.
А первый, возможно, можно как-то смоделировать этими, ну как их?‥сеткой по z, в общем!

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 3, 2011, 17:51

Цитата: Квас от сентября 2, 2011, 12:16
А условный экстремум знаете?

Нет.

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 3, 2011, 18:53

Цитата: arseniiv от сентября 2, 2011, 16:43
RawonaM, кстати, для проверки на экстремум лучше строить не график поверхности, а вот такую карту высот (у Математицы аж два вида стандартных):

Так если на график поверхности посмотреть сверху, то же самое, не? Главное чтобы было покрашено правильно.

Название: Матан №2
Отправлено: Karakurt от сентября 3, 2011, 19:20

Как вычисляется это — (wiki/en) Prince_Rupert's_cube (http://en.wikipedia.org/wiki/Prince_Rupert's_cube) ?

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от сентября 3, 2011, 20:40

Цитата: RawonaM от сентября 2, 2011, 11:17
Отсюда нужно как-то избавиться от альфы, чтобы получить функцию с двумя аргументами.

Думается, лучше избавиться, скажем, от y. Частные производные получаются не очень симпатичные, но производную по x можно разрешить относительно x^2 и подставить во вторую производную; получается решаемое (кажется) тригонометрическое уравнение.

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от сентября 3, 2011, 20:41

Цитата: Karakurt от сентября 3, 2011, 19:20
Как вычисляется это — (wiki/en) Prince_Rupert's_cube ?

Ну, решение надо искать да разбираться. :-\

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 3, 2011, 23:13

Цитата: Квас от сентября 2, 2011, 12:16
А условный экстремум знаете?

Попробовал условным. Чего-то я похоже не догоняю.

Получается так:
$[tex]f(x,y,\alpha)=z^2+x^2+y^2=2x^2+2y^2-2 x y \cos \alpha[/tex]$
$[tex]g(x,y,\alpha)=\frac12 x y \sin \alpha[/tex]$

В точке экстремума существует ламбда такая, что $[tex]\nabla f=\lambda \nabla g[/tex]$

Поэтому $[tex]<4x-2y\cos \alpha, 4y-2x\cos \alpha, 2x y\sin \alpha> = \lambda <y\sin\alpha, x\sin\alpha, x y \cos \alpha>[/tex]$

В частности
$[tex]4x-2y\cos \alpha = \lambda y\sin\alpha[/tex]$
и
$[tex]4y-2x\cos \alpha = \lambda x\sin\alpha[/tex]$

откуда выходит x=y.

Может такое быть?

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 3, 2011, 23:17

Равнобедренный в общем треугольник, а то и скорее равносторонний, т.к. я ведь могу стороны представленные х и у произвольно поменять.

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 4, 2011, 08:52

Да, с если альфа=π/3, то все сходится — точка экстремума. А как точно знать, что это точка минимума? Вдруг это максимум? Вдруг еще другие есть?

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от сентября 4, 2011, 09:13

Если бы другие были, мы бы нашли их, потому что метод Лагранжа — необходимое условие. Там есть и достаточные условия, сразу не вспомню. В принципе, из геометрических соображений ясно, что у функции должен существовать минимум (потому что можно строить треугольники заданной площади со сколь угодно большими сторонами).

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от сентября 4, 2011, 09:19

Достаточное условие есть во втором томе «Курса математического анализа» Кудрявцева. В общем, если второй дифференциал функции Лагранжа положительно или отрицательно определён, то имеем соответственно минимум или максимум.

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от сентября 4, 2011, 09:24

Offtop

Это я скачал новое издание Кудрявцева себе. До чего же выглядит похабно. Убило, что первый абзац без отступа, не говоря о теоремах.

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 4, 2011, 09:26

А и правда, ведь если раздвигать или сдвигать две стороны равностороннего, при этом оставляя площадь прежней, то квадраты сторон увеличатся в обоих случаях, значит это минимум.

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 4, 2011, 11:23

Дана функция f(x,y) и известно, что производная в точке А(1,3) в сторону В(3,3) равна 3, а производная в точке А(1,3) в сторону С(1,7) равна 26. Нужно найти производную в А в сторону D(6,15).

Я решил так: частные производные в точке А получаются f_x(1,3)=26, f_y(1,3)=3, значит grad f(1,3)=<26,3>.

Затем вектор AD=<6-1,15-3>=<5,12>, после нормализации выходит <5/13,12/13>.

Таким образом производная в сторону D получается <26,3>·<5/13,12/13>=26·5/13+3*12/13 ~ 12.77

Ничего я тут не напутал?

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от сентября 4, 2011, 11:36

Цитата: RawonaM от сентября 4, 2011, 11:23
Я решил так: частные производные в точке А получаются f_x(1,3)=26, f_y(1,3)=3

Наоборот. Соответственно, окончательный ответ 327/13 ≈ 25,15.

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 4, 2011, 11:41

Цитата: Квас от сентября 4, 2011, 11:36
Цитата: RawonaM от сентября 4, 2011, 11:23Я решил так: частные производные в точке А получаются f_x(1,3)=26, f_y(1,3)=3
Наоборот.

А точно наоборот? Как раз тут я не был уверен. Почему вы считаете, что так?

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от сентября 4, 2011, 11:48

Цитата: RawonaM от сентября 4, 2011, 11:41
Цитата: Квас от сентября 4, 2011, 11:36
Цитата: RawonaM от сентября 4, 2011, 11:23Я решил так: частные производные в точке А получаются f_x(1,3)=26, f_y(1,3)=3
Наоборот.
А точно наоборот? Как раз тут я не был уверен. Почему вы считаете, что так?

Компьютер не врёт. ;D

От A к B x меняется, а y — нет, то есть это производная по x; вторая — аналогично.

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 4, 2011, 11:56

Цитата: Квас от сентября 4, 2011, 11:48
От A к B x меняется, а y — нет, то есть это производная по x; вторая — аналогично.

Что-то как-то до меня не доходит...) Ну ладно, может как-нибудь осядет.

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 4, 2011, 11:56

Тут у меня какая-то странность получается.
Задача такая: найти точки на поверхности шара с радиусом 1, в которых касательная плоскость параллельна плоскости y=2+3z-2x.

Я делаю так: нам нужно найти точки, в которых нормаль параллельна <-2,-1,3> (нормаль данной плоскости).

grad f=<2x,2y,2z>

Значит существует λ так что
2x=-2λ
2y=-λ
2z=3
x²+y²+z²=1

Получается z=3/2, а из четвертого уравнения выходит, что λ²=-1. Где-то ошибка. Что не так?

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от сентября 4, 2011, 11:59

В последнем уравнении вы λ забыли. Тогда x, y, z выражаются через λ.

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 4, 2011, 12:01

Точно, пасибо :)

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 4, 2011, 12:25

Площадь треугольной пирамиды со прямыми углами между бедрами равна abc/2? Вроде как если взять две такие пирамиды, то будет прямоугольный параллелепипед, неспа?

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от сентября 4, 2011, 12:28

Цитата: RawonaM от сентября 4, 2011, 12:25
Площадь треугольной пирамиды со прямыми углами между бедрами равна abc/2?

В смысле все углы при одной вершине прямые? S = abc/6. Из двух таких параллелепипеда не получится.

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 4, 2011, 13:24

Действительно. Что-то у меня сломалось трехмерное мышление и это печально.
Пришлось собирать из двух бумажек две пирамиды и приставить их основаниями, чтобы убедиться. :(

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 4, 2011, 13:28

С тремя получилось нагляднее, что именно шесть надо, чтобы собрать целый куб. :)

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от сентября 4, 2011, 13:33

Формула, она для всех тетраэдров одинаковая: объём равен шестой части параллелепипеда, «натянутого» на тетраэдр. Интересно, что в общем случае из шести одинаковых тетраэдров параллелепипед сложить не получится.

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 4, 2011, 19:28

Цитата: RawonaM от сентября 3, 2011, 23:13
В частности
$[tex]4x-2y\cos \alpha = \lambda y\sin\alpha[/tex]$
и
$[tex]4y-2x\cos \alpha = \lambda x\sin\alpha[/tex]$

откуда выходит x=y.

А разве можно из этих двух уравнений однозначно вывести, что х=у?

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 4, 2011, 19:48

Поднапрягся, вроде как вывел. :)

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 4, 2011, 20:14

Ну и задание замучился, ей богу! Дана функция f(x,y)=(x+y)³·√(x²+y²)-1+cos(2x-y).
Нужно сказать есть у нее экстремум в (0,0) или нет. Обследование в Максиме показало, что есть максимум. А как доказать?
По идее нам подсказали, что можно взять эпсилон и показать, что в определенном радиусе от нуля принимаются только отрицательные значения, а в нуле нуль. Крутил-крутил, ничего не вышло.

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от сентября 4, 2011, 21:07

Цитата: RawonaM от сентября 4, 2011, 19:28
Цитата: RawonaM от сентября 3, 2011, 23:13В частности
$[tex]4x-2y\cos \alpha = \lambda y\sin\alpha[/tex]$
и
$[tex]4y-2x\cos \alpha = \lambda x\sin\alpha[/tex]$

откуда выходит x=y.
А разве можно из этих двух уравнений однозначно вывести, что х=у?

Первое уравнение умножить на x, второе — на y и вычесть их.

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от сентября 4, 2011, 21:24

Цитата: RawonaM от сентября 4, 2011, 20:14
Ну и задание замучился, ей богу! Дана функция f(x,y)=(x+y)³·√(x²+y²)-1+cos(2x-y).
Нужно сказать есть у нее экстремум в (0,0) или нет. Обследование в Максиме показало, что есть максимум. А как доказать?
По идее нам подсказали, что можно взять эпсилон и показать, что в определенном радиусе от нуля принимаются только отрицательные значения, а в нуле нуль. Крутил-крутил, ничего не вышло.

Да нет у неё экстремума. На прямой y = 2x имеем значения 27x^3 |x|√5, принимаются значения разных знаков в любой окрестности нуля.

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 4, 2011, 21:36

Цитата: Квас от сентября 4, 2011, 21:24
Да нет у неё экстремума. На прямой y = 2x имеем значения 27x^3 |x|√5, принимаются значения разных знаков в любой окрестности нуля.

А-а, точно. А я все думал, с какой стороны подобираться, пробовал и так и сяк, не нашел. Вы сразу увидели, что нужно взять y=2x?
А как же получается, что производные обнуляются?

Название: Матан №2
Отправлено: Bhudh от сентября 4, 2011, 21:41

Offtop

O, anımvm commodvm deanonımıonı portıonalı advertı!

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от сентября 4, 2011, 21:54

Цитата: RawonaM от сентября 4, 2011, 21:36
Вы сразу увидели, что нужно взять y=2x?
А как же получается, что производные обнуляются?

Не, я сначала перешёл к полярным и косинус разложил по формуле Тейлора. Потом гляжу на главный член: а чегой-то он отрицательным должен быть? Там уже было трудно не заметить.

Обнуление производных — необходимое условие.

(К тому же утверждение о производных оставляю на вашей совести, потому что на глазок не вижу, есть тут частные производные в нуле или нет.)

Цитата: RawonaM от сентября 4, 2011, 20:14
Обследование в Максиме показало, что есть максимум. А как доказать?

Хотя технически обследование подвело, должен сказать, что вы действуете как настоящий учёный. :yes: По-моему, со времени начала учёбы у вас сдвиг в методологии произошёл.

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от сентября 4, 2011, 21:56

Offtop

Цитата: Bhudh от сентября 4, 2011, 21:41
O, anımvm commodvm deanonımıonı portıonalı advertı!

Ничё не понял. :)

Название: Матан №2
Отправлено: Bhudh от сентября 4, 2011, 21:57

Offtop

Только заметил частичную деанонимацию, грю.

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от сентября 4, 2011, 22:02

Offtop

Цитата: Bhudh от сентября 4, 2011, 21:57
Только заметил частичную деанонимацию, грю.

~~Ничё не понял.~~
А, вона чего. Это меня arseniiv с путя сбил: предложил какое-нибудь имя в подпись поставить.

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 4, 2011, 22:05

Цитата: Квас от сентября 4, 2011, 21:54
Обнуление производных — необходимое условие.

Я в курсе, просто мне интересно, что же такое происходит, что производные обнуляются, а поверхность каким-то образом куда-то наклонена. На этом курсе мы слишком в детали не углубляемся, это иногда весьма ущербно. Все-таки так если в уме представить что такое производные (т.е. наклон) по одной оси и по другой, оба нуль, но вдруг почему-то функция возрастает по какой-то прямой. Еще меня с самого начала смущало, что мы берем только две частные производные и как будто из них можно все узнать, а разве не может такого быть, чтобы что-то находилось под таким углом к ним, чтобы ничего не было видно по конкретно этим производным? Боюсь я туманно сформулировал, но я и сам уже запутался. Совсем нет времени в это углубляться, а курс слишком практичный и не охватывает детали.

Цитата: Квас от сентября 4, 2011, 21:54
Цитата: RawonaM от сентября 4, 2011, 20:14Обследование в Максиме показало, что есть максимум. А как доказать?
Хотя технически обследование подвело, должен сказать, что вы действуете как настоящий учёный. :yes: По-моему, со времени начала учёбы у вас сдвиг в методологии произошёл.

Вообще-то на самом деле это наоборот — читинг, т.е. самообман :) Ведь когда я буду на экзамене никакой Максимы у меня не будет и задания вообще-то подразумевают решение без подобных средств. Может для перепроверки это хорошо, а если я делаю это перед попыткой вычислить все теоретически — я лишаюсь нужной практики. Конечно, в реальной жизни может алгоритм действия другой, но т.к. цель научиться, а не узнать правду, то возможно эти действия только вредят :)

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от сентября 4, 2011, 22:51

Цитата: RawonaM от сентября 4, 2011, 22:05
Я в курсе, просто мне интересно, что же такое происходит, что производные обнуляются, а поверхность каким-то образом куда-то наклонена.

Может, седло попредставлять себе? Частные производные дают касательную плоскость, но сама-то поверхность не должна с этой плоскостью совпадать: может с обеих сторон идти, близко-близко.

Цитата: RawonaM от сентября 4, 2011, 22:05
Еще меня с самого начала смущало, что мы берем только две частные производные и как будто из них можно все узнать, а разве не может такого быть, чтобы что-то находилось под таким углом к ним, чтобы ничего не было видно по конкретно этим производным?

Не может. Смысл в том, что производная — это всегда линеаризация. В частности, производная Фреше в точке x₀ скалярной функции f векторного аргумента — это линейный функционал l, такой, что
$[tex]f(\mathbf x_0 + \mathbf h) = l(\mathbf h) + o(\mathbf h)[/tex]$
(обозначается l = f'(x₀)). А линейный функционал полностью определяется значениями на базисных векторах. В частности, матрицей производной Фреше в стандартном базисе будет как раз
$[tex]\left(\frac{\partial f}{\partial x_{1}},\ldots,\frac{\partial f}{\partial x_{n}}\right)[/tex]$
Поэтому частных производных достаточно для всего.

Я не предполагаю, что в этом описании всё очевидно: по идее, тут много деталей, которые надо честно проверять.

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от сентября 4, 2011, 22:54

Цитата: RawonaM от сентября 4, 2011, 22:05
Вообще-то на самом деле это наоборот — читинг, т.е. самообман :) Ведь когда я буду на экзамене никакой Максимы у меня не будет и задания вообще-то подразумевают решение без подобных средств. Может для перепроверки это хорошо, а если я делаю это перед попыткой вычислить все теоретически — я лишаюсь нужной практики. Конечно, в реальной жизни может алгоритм действия другой, но т.к. цель научиться, а не узнать правду, то возможно эти действия только вредят :)

Нет-нет, всё вы правильно делаете. На войне как на войне. Какое-то предложение из латинских учебников: «Мы учимся для жизни, а не для школы.» Математика (опосредованно) изучает объективную реальность, поэтому нужно иметь естественно-научный подход: эксперименты, гипотезы и т. д.

Название: Матан №2
Отправлено: arseniiv от сентября 4, 2011, 23:52

Offtop

Цитата: Квас от сентября 4, 2011, 22:02
Это меня arseniiv с путя сбил: предложил какое-нибудь имя в подпись поставить.

Кстати, довольно стабильное сейчас число участников «движения»!

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от сентября 4, 2011, 23:55

Offtop

Если что, с моей стороны действительно де-а-но... Короче,

Цитата: Bhudh от сентября 4, 2011, 21:57
деанонимацию

Название: Матан №2
Отправлено: arseniiv от сентября 5, 2011, 00:08

Offtop

Так ты вроде задолго до этого деа. в специальной теме.

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от сентября 5, 2011, 00:14

Offtop

Цитата: arseniiv от сентября 5, 2011, 00:08
Так ты вроде задолго до этого деа. в специальной теме.

Не помню. Я вообще и не скрываюсь: «светиться» не хотелось бы только перед шефом, но вероятность того, что он пересечётся с ЛФ да ещё сопоставит какие-то факты, исчезающе мала. :)

Название: Матан №2
Отправлено: Bhudh от сентября 5, 2011, 00:20

Offtop

Цитата: arseniiv от деа.

Хорошенькое сокращеньїце! Аж корень потерял!

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 5, 2011, 09:45

Не получилось взять двойной интеграл ни в максиме, ни в мэпл, ни в математике. Все контринтуитивные и хелп дебильный :(

Подскажите, как это делается. Например $[tex]\int_0^{\frac1{\sqrt{2}}} \int_0^x y^2x dy dx[/tex]$ .

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от сентября 5, 2011, 10:01

Когда двойной интеграл сведён к повторному, просто интегрируем последовательно, остальные переменные — как параметры. Например,
$[tex]\int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{2}}}\int_{0}^{x}y^{2}x\, dy\, dx=\int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{2}}}\left(\int_{0}^{x}y^{2}x\, dy\right)dx=\int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{2}}}\frac{y^{3}x}{3}\Bigg|_{y=0}^{y=x}dx=\\=\int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{2}}}\frac{x^{4}}{3}dx=\frac{x^{5}}{15}\Bigg|_{0}^{\frac{1}{\sqrt{2}}}=\frac{1}{60\sqrt{2}}[/tex]$

В мэпле:
int(int(y^2*x,y=0..x),x=0..1/sqrt(2));

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 5, 2011, 10:04

Цитата: Квас от сентября 5, 2011, 10:01
int(int(y^2*x,y=0..x),x=0..1/sqrt(2));

От чёрт, я так и писал, только забыл скобку, и не понял чего он от меня хочет :)

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 5, 2011, 10:04

Спасибо :)

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от сентября 5, 2011, 10:07

Да не за что. :)

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 5, 2011, 10:09

А, я понял, скобку я конечно не забыл, просто там ввод стирает скобку, когда вводишь другую скобку (т.е. вложенная скобка от sqrt удаляет скобку от интеграла). Ненавижу такие «фичи».

Название: Матан №2
Отправлено: Bhudh от сентября 5, 2011, 10:31

:o И правда, уж лучше ввод двух скобок сразу (откр. и закр.), как в Максиме!

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 5, 2011, 11:06

Что-то я совсем все забыл.
Разве не верно, что $[tex](e^{x^2})'=2x e^{x^2}[/tex]$ ?

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 5, 2011, 11:08

Вопрос снят, сорри. Ввожу в максиму и в мэпл e, думаю что за фигня... А нужно ж %е вводить.

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 5, 2011, 11:11

Цитата: Bhudh от сентября 5, 2011, 10:31
:o И правда, уж лучше ввод двух скобок сразу (откр. и закр.), как в Максиме!

Лучше вообще, чтоб человек вводил, что хочет, а не додумывать за него. Я сам ввожу две скобки сразу когда мне нужно. А стирать скобки — так за это вообще расстреливать можно.

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 5, 2011, 11:17

Как грамотно взять $[tex]\int x^3 e^{x^2} dx[/tex]$ ?

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от сентября 5, 2011, 11:18

Цитата: RawonaM от сентября 5, 2011, 11:08
Ввожу в максиму и в мэпл e, думаю что за фигня...

А в мэпле вообще такой константы нет: пользуются функцией exp, а если уж нужно число е, пишут exp(1).

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от сентября 5, 2011, 11:19

Цитата: RawonaM от сентября 5, 2011, 11:17
Как грамотно взять $[tex]\int x^3 e^{x^2} dx[/tex]$ ?

Замена x² = t и по частям.

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 5, 2011, 11:21

Цитата: Квас от сентября 5, 2011, 11:18
Цитата: RawonaM от сентября 5, 2011, 11:08Ввожу в максиму и в мэпл e, думаю что за фигня...
А в мэпле вообще такой константы нет: пользуются функцией exp, а если уж нужно число е, пишут exp(1).

Какой ужас.

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от сентября 5, 2011, 11:24

Цитата: RawonaM от сентября 5, 2011, 11:21
Цитата: Квас от сентября 5, 2011, 11:18
Цитата: RawonaM от сентября 5, 2011, 11:08Ввожу в максиму и в мэпл e, думаю что за фигня...
А в мэпле вообще такой константы нет: пользуются функцией exp, а если уж нужно число е, пишут exp(1).
Какой ужас.

Может быть, чтобы не писали evalf(e^Pi) вместо evalf(exp(Pi)) (evalf — приближённое значение)? Надо полагать, экспоненциальная функция вычисляется быстрее, чем степень. А сама по себе константа e особо и не нужна.

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 5, 2011, 11:31

Цитата: Квас от сентября 5, 2011, 11:19
Цитата: RawonaM от сентября 5, 2011, 11:17Как грамотно взять $[tex]\int x^3 e^{x^2} dx[/tex]$ ?
Замена x² = t и по частям.

А как грамотно взять $[tex]\int x e^x dx[/tex]$ ?

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от сентября 5, 2011, 11:33

Цитата: RawonaM от сентября 5, 2011, 11:31
А как грамотно взять $[tex]\int x e^x dx[/tex]$ ?

По частям:
$[tex] \begin{array}{ll} u = x & du = dx\\ dv = e^x dx & v = e^x \end{array} [/tex]$

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 5, 2011, 11:41

Спасибо. Надо браться серьезно за интегралы, пришло время.

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от сентября 5, 2011, 11:43

Мне помогло прорешать много-много примеров из Демидовича.

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 5, 2011, 20:11

Мэпл не справился с таким интегралом:
int(int(exp(1-x^2-y^2), x = -sqrt(4-y^2) .. 0), y = -2 .. 2)

А я хотел проверить на правильность свой ответ. Перевел в полярные координаты, это у нас получается левый полукруг с радиусом 2, т.е. нужно посчитать:
$[tex]\int_{\pi/2}^{3\pi/2} \int_0^2 e^{1-r^2} r dr d\theta = -\pi/2 (e^{-3}-e) [/tex]$

Правильно?

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от сентября 5, 2011, 21:06

Чёй-то «не справился»? Такой ряд забабахал, с витакерами какими-то. :D

Однако результат ещё можно приближённо вычислить, и с вашим сходится.

Offtop

Кстати, если в мэпле численно считать интеграл, пристало пользоваться «инертной функцией» Int: evalf(Int(...)). Так он сразу считает приближённо, а если поставить int, сначала пытается взять его символьными вычислениями.

Название: Матан №2
Отправлено: Bhudh от сентября 5, 2011, 21:15

Цитата: Maxima $[tex]\[defint:\ lower\ limit\ of\ integration\ must\ be\ real;\ found\ -\sqrt{4-{y}^{2}}\ -\ an\ error.\ To\ debug\ this\ try:\ debugmode(true);\][/tex]$

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 5, 2011, 21:17

В максиме вообще ничего не получилось у меня с двойными интегралами.

Название: Матан №2
Отправлено: Bhudh от сентября 5, 2011, 21:20

А в мапле интегралы с нереальными граничьями берутся?

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от сентября 5, 2011, 21:21

Да почему нереальный-то? Игрек между -2 и 2, подкоренное выражение неотрицательно.

Название: Матан №2
Отправлено: Bhudh от сентября 5, 2011, 21:22

Это Вы Максиме объясните, почему $[tex]-\sqrt{4-{y}^{2}}[/tex]$ нереально. :eat:

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 5, 2011, 22:00

Цитата: Bhudh от сентября 5, 2011, 21:22
Это Вы Максиме объясните, почему $[tex]-\sqrt{4-{y}^{2}}[/tex]$ нереально. :eat:

невещественный, в перекладе.

Цитата: Bhudh от сентября 5, 2011, 21:20
А в мапле интегралы с нереальными граничьями берутся?

Берутся.

Название: Матан №2
Отправлено: Bhudh от сентября 6, 2011, 09:34

Цитата: RawonaM от невещественный, в перекладе.

Это ты кому? Я знаю, что такое $[tex]\mathrm{Re}\ z+\mathrm{Im}\ zi[/tex]$ ...

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 6, 2011, 23:48

У меня какая-то странная странность. Нужно найти интеграл $[tex]\int\int_G\int x z dV[/tex]$ в границах z=0, z=y, x²+y²=1. Если я все правильно понимаю, то это «арбузная долька», лежащая на xy с положительной стороны y.

Интегрируем по z:
$[tex]\int_0^y xy dz=\frac{xy^2}2[/tex]$

Дальше получается так:
$[tex]\int_{-1}^1 \int_0^{\sqrt{1-x^2}} \frac{xy^2}2 dy dx[/tex]$

Либо в полярном виде:
$[tex]\int_0^\pi \int_0^1 \frac{r^3sin^3\theta cos\theta}2 r dr d\theta[/tex]$

Оба получаются 0. Est-ce que c'est logique?

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 6, 2011, 23:55

Впрочем, а чего странного?.. Получается с положительной стороны икса и с отрицательной один и тот же кусок по объему, а вес у них одинаковый по подынтегральной формуле. Наверное все правильно.

Название: Матан №2
Отправлено: arseniiv от сентября 7, 2011, 13:19

Цитата: RawonaM от сентября 6, 2011, 23:48
$[tex]\int\int_G\int x z dV[/tex]$

OMG! $[tex]\iiint_G x z\, dV[/tex]$ или $[tex]\iiint\limits_G x z\, dV[/tex]$ !

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от сентября 7, 2011, 13:52

Да, ноль будет.

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 7, 2011, 13:56

Цитата: arseniiv от сентября 7, 2011, 13:19
Цитата: RawonaM от сентября 6, 2011, 23:48 $[tex]\int\int_G\int x z dV[/tex]$
OMG! $[tex]\iiint_G x z\, dV[/tex]$ или $[tex]\iiint\limits_G x z\, dV[/tex]$ !

технаци? :) Спасибо :)

Название: Матан №2
Отправлено: Bhudh от сентября 7, 2011, 15:15

Offtop

Цитата: \int $[tex]\int[/tex]$

Цитата: \iint $[tex]\iint[/tex]$

Цитата: \iiint $[tex]\iiint[/tex]$

Цитата: \iiiint $[tex]\iiiint[/tex]$

Цитата: \iiiiint $[tex]Oops![/tex]$

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 7, 2011, 16:09

Дана $[tex]f(x,y)=x^{1/5}y^{4/5}[/tex]$ . Почему нельзя высчитать f_x(0,0) просто тупо по формуле и сказать что она равняется $[tex]\frac15 \cdot x^{-4/5}\cdot0=0[/tex]$ ? Написано, что нужно только по определению, ибо х=0.

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 7, 2011, 18:29

Интеграл $[tex]\int\frac{\sin^7\phi}{\cos^3 \phi}d\phi[/tex]$ берется?

Название: Матан №2
Отправлено: arseniiv от сентября 7, 2011, 18:50

$[tex]\varphi[/tex]$ . И вообще, тут уместнее $[tex]t[/tex]$ . Вроде должен браться.

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 7, 2011, 18:55

Цитата: arseniiv от сентября 7, 2011, 18:50
$[tex]\varphi[/tex]$ . И вообще, тут уместнее $[tex]t[/tex]$ .

«Представьте себе, что летят N самолетов. Нет, N мало, представьте M...»

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 7, 2011, 19:43

Надо посчитать объем тела, ограниченного сверху шаром x²+y²+z²=z, а снизу конусом z=√(x²+y²). У меня получилось π/8.
Как быстро проверить результат в мэпле?

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от сентября 7, 2011, 20:08

Цитата: RawonaM от сентября 7, 2011, 16:09
Дана $[tex]f(x,y)=x^{1/5}y^{4/5}[/tex]$ . Почему нельзя высчитать f_x(0,0) просто тупо по формуле и сказать что она равняется $[tex]\frac15 \cdot x^{-4/5}\cdot0=0[/tex]$ ?

(http://lurkmore.ru/images/0/0f/X_a16e0cce.jpg)

Spoiler ⇓⇓⇓

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от сентября 7, 2011, 20:11

Цитата: RawonaM от сентября 7, 2011, 18:29
Интеграл $[tex]\int\frac{\sin^7\phi}{\cos^3 \phi}d\phi[/tex]$ берется?

Можно заменить tg φ = t. Если не перевираю Демидовича, это замена работает в интегралах от функций R(cos φ, sin φ) (R — рациональная функция), если
$[tex] R(-\cos \varphi, -\sin \varphi) = R(\cos \varphi, \sin \varphi). [/tex]$

Цитата: arseniiv от сентября 7, 2011, 18:50
$[tex]\varphi[/tex]$

Эх, нет счастья. В нашей математике должны быть прямые греческие буквы, а Кнут их даже не нарисовал. :wall:

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 7, 2011, 20:13

Цитата: Квас от сентября 7, 2011, 20:08
(http://lurkmore.ru/images/0/0f/X_a16e0cce.jpg)

А-а-а. Это потому что выходит отрицательная степень, что ли?

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 7, 2011, 20:15

Цитата: Квас от сентября 7, 2011, 20:11
Цитата: arseniiv от сентября 7, 2011, 18:50 $[tex]\varphi[/tex]$
Эх, нет счастья. В нашей математике должны быть прямые греческие буквы, а Кнут их даже не нарисовал. :wall:

У нас фи пишут прямой, ибо иначе он с ро путается.

Цитата: Квас от сентября 7, 2011, 20:11
Цитата: RawonaM от сентября 7, 2011, 18:29Интеграл $[tex]\int\frac{\sin^7\phi}{\cos^3 \phi}d\phi[/tex]$ берется?
Можно заменить tg φ = t. Если не перевираю Демидовича, это замена работает в интегралах от функций R(cos φ, sin φ) (R — рациональная функция), если
$[tex] R(-\cos \varphi, -\sin \varphi) = R(\cos \varphi, \sin \varphi). [/tex]$

Что-то у меня не получилось. Впрочем, уже не жизненноважно, т.к. этот интеграл у меня вышел по ошибке, там нужно другой брать :)

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от сентября 7, 2011, 20:16

Цитата: RawonaM от сентября 7, 2011, 20:13
Это потому что выходит отрицательная степень, что ли?

Ага.

Название: Матан №2
Отправлено: arseniiv от сентября 7, 2011, 20:18

Offtop

Цитата: RawonaM от сентября 7, 2011, 18:55
«Представьте себе, что летят N самолетов. Нет, N мало, представьте M...»

:D :E:

Цитата: Квас от сентября 7, 2011, 20:11
Эх, нет счастья. В нашей математике должны быть прямые греческие буквы, а Кнут их даже не нарисовал. :wall:

Как, вроде же были? То ли в $[tex]\LaTeX[/tex]$ , то ли в AMSTeX; ошибаюсь?

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от сентября 7, 2011, 20:31

Offtop

Цитата: arseniiv от сентября 7, 2011, 20:18
Как, вроде же были? То ли в $[tex]\LaTeX[/tex]$ , то ли в AMSTeX; ошибаюсь?

Я пользуюсь пакетом upgreek с опцией Symbolsmallscale (переопределяю \alpha на \upalpha и т. д.). Не то чтобы очень, но куда ни шло. Если чего более человеческое расскажешь, буду очень благодарен.

Offtop

Главное, французы, например, у которых тоже греческие прямые не считают себя обязанными менять традиции: рисуют шрифты, шрифтовые пакеты имеют соответствующие опции. А у нас кроме cm-super практически нет ничего стоящего: пробовал pscyr, но в формулах ужасно комбайнятся буквы с акцентами. Пичаль. :(

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от сентября 7, 2011, 20:43

Цитата: RawonaM от сентября 7, 2011, 19:43
Надо посчитать объем тела, ограниченного сверху шаром x²+y²+z²=z, а снизу конусом z=√(x²+y²). У меня получилось π/8.
Как быстро проверить результат в мэпле?

То, что проекция пересечения на Oxy будет x^2 + y^2 = 1/4, я сам посчитал. Дальше в лоб, целая эпопея получилась (аутпуты в основном опускаю):

Spoiler ⇓⇓⇓

Код Выделить

>solve(x^2+y^2+z^2=z,z); # квадратное уравнение не хочу сам решать
...
> verch := [%][1]; # посмотрел, что первый корень с плюсом
> int(int(int(1,z=sqrt(x^2+y^2)..verch),y=-sqrt(1/4-x^2)..sqrt(1/4-x^2)),x=-1/2..1/2);
Шиш! Последний интеграл не взял.
> evalf(%); # ладно, считай приближённо
Error, (in int/lnpwr) too many levels of recursion (WTF?!)
> evalf(Int(Int(Int(1,z=sqrt(x^2+y^2)..verch),y=-sqrt(1/4-x^2)..sqrt(1/4-x^2)),x=-1/2..1/2)); # ладно, с самого начала считай приближённо
Warning, computation interrupted (Мы на полчаса не договаривались!)
> 1/2*sqrt(1-4*x^2)+1/8*sqrt(1-4*x^2)*Pi/(sqrt(1/(1-4*x^2)))+1/2*sqrt(x^2)*(-1/2*(1-
4*x^2)*sqrt(Pi)/(x^2)+(-1-ln(1-4*x^2)-ln(1/(x^2)))*sqrt(Pi)-1/16*sqrt(Pi)*(1-4*x^2)*(-
16*x^2/(1-4*x^2)-8)/(x^2)-1/2*sqrt(Pi)*(1-4*x^2)*sqrt(1+4*x^2/(1-4*x^2))/(x^2)-
2*sqrt(Pi)*ln(1/2+1/2*sqrt(1+4*x^2/(1-4*x^2))))/(sqrt(Pi)*sqrt(1/(x^2))); 
# подынтегральное выражение
> assume(1-4*x^2>0); # чтобы веселей упрощалось, предположим, что эта штука положительна
> simplify(%%);
 (Это называется «упростил»? :D)
> int(%,x=-1/2..1/2);
Шиш!
> evalf(%);
.3926990817
> evalf(Pi/8);
.3926990818

Нефига потому что тягаться с человеческим интеллектом! 8-)

Зато если лобовая проверка подтвердила, то так оно и есть.

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 7, 2011, 20:47

Да, жесть конечно :)

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от сентября 7, 2011, 20:50

Кратные интегралы, которые заменой решаются — это мэплу тяжело, конечно.

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от сентября 7, 2011, 20:51

Цитата: RawonaM от сентября 7, 2011, 20:15
Цитата: Квас от сентября 7, 2011, 20:11
Цитата: arseniiv от сентября 7, 2011, 18:50 $[tex]\varphi[/tex]$
Эх, нет счастья. В нашей математике должны быть прямые греческие буквы, а Кнут их даже не нарисовал. :wall:
У нас фи пишут прямой, ибо иначе он с ро путается.

«Прямые» в смысле «некурсивные» я имел в виду. Из-за ТеХа у нас теперь все книги по математике выходят с курсивными греческими буквами. :'(

Название: Матан №2
Отправлено: arseniiv от сентября 7, 2011, 21:05

Offtop

Цитата: Квас от сентября 7, 2011, 20:31
Если чего более человеческое расскажешь, буду очень благодарен.

Да вот не помню, было ли такое и где в таком случае читал. :-\

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 8, 2011, 19:28

Мэпл умеет как-то интеллигентно считать линейные интегралы? Или самому нужно все подставлять, а он только чисто интеграл считает?
Мне нужно проверить результат, я не уверен, что понял эти линейные интегралы.
$[tex]\int_C x^2y\,ds[/tex]$ на полукруге x²+y²=4, 0≤y. У меня вышло 16/3.

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 8, 2011, 19:59

Я правильно понимаю, что в интеграле $[tex]\int_C y\,dx+z\,dy+x\,dz[/tex]$ на отрезке (3,4,5) до (3,4,0) первые две части будут нулем?
Т.к. по этим измерениям не движемся, а алгебраически x=3, dx/dt=0 ⇒ dx=0·dt.

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от сентября 8, 2011, 20:01

Цитата: RawonaM от сентября 8, 2011, 19:28
Мэпл умеет как-то интеллигентно считать линейные интегралы?

Старые версии не умеют, а новые я для этого особо не применял. Может, VectorCalculus какое-нибудь.

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 8, 2011, 20:04

И потом, я не пойму, в линейных интегралах направление играет роль или нет?

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от сентября 8, 2011, 20:19

В интегралах первого рода (ds) не играет, второго рода (dx) — играет.

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 8, 2011, 20:20

А в чем между ними разница? Разве они не одно и то же считают?

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от сентября 8, 2011, 20:23

Да ну. Интеграл первого рода — это просто на кривой индуцируется мера, и рассматривается самый обыкновенный интеграл. А в интегральных суммах для интеграла второго рода участвуют величины
$[tex]x_{i+1}-x_{i},[/tex]$
которые меняют знак при изменении порядка точек, то есть при изменении направления обхода.

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 10, 2011, 10:26

Цитата: Квас от сентября 8, 2011, 20:23
Да ну. Интеграл первого рода — это просто на кривой индуцируется мера, и рассматривается самый обыкновенный интеграл. А в интегральных суммах для интеграла второго рода участвуют величины
$[tex]x_{i+1}-x_{i},[/tex]$
которые меняют знак при изменении порядка точек, то есть при изменении направления обхода.

Я имею в виду, результат разве не должен быть один и тот же — линейный интеграл? Что-то я в эту тему не въехал, как-то это плохо в книге объясняется.

Мне нужно посчитать интеграл $[tex]\int_C (e^x\sin y -y^2+x) dx + (e^x cos^y - cos(y^2))dy[/tex]$ на полуокружности x²+y²=x, 0≤y.

Воспользуемся теоремой Грина, посчитаем круговой интеграл на отрезке (0,0)→(1,0) и дальше по дуге назад.

$[tex]\int_0^1 \int_0^{\sqrt{x-x^2}} 2y \,dydx=\frac16[/tex]$

Теперь только отрезок (0,0)→(1,0)
$[tex]\int_0^1 x \,dx=\frac12[/tex]$

Поэтому интеграл на дуге $[tex]-\frac13[/tex]$

Правильно?

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 10, 2011, 22:00

Цитата: Квас от декабря 17, 2010, 16:37
Кстати, анализ без дифуров — деньги на ветер. ;)

Наконец-то мой материальный вклад возвращается в виде дифуров второго порядка. Замучили, нудная это штуковина. Трехмерные интегралы, поверхности и т.п — интереснее.

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от сентября 10, 2011, 22:21

Цитата: RawonaM от сентября 10, 2011, 10:26
Я имею в виду, результат разве не должен быть один и тот же — линейный интеграл?

Нет, ведь единого интеграла по кривой не существует. Есть интеграл первого рода и интеграл второго рода. В частности, при изменении направления обхода кривой первый из них не меняется, а второй меняет знак.

Цитата: RawonaM от сентября 10, 2011, 10:26
Правильно?

Рассуждения верны, с ответом мэпл согласен. (Проверил в лоб:
>X := 0.5+0.5*cos(t); Y := 0.5*sin(t);
>int( (exp(X)*sin(Y) - Y^2 + X)*diff(X,t) + (exp(X)*cos(Y)-cos(Y^2))*diff(Y,t), t = 0..Pi);
>evalf(%);
)

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от сентября 10, 2011, 22:24

Цитата: RawonaM от сентября 10, 2011, 22:00
Цитата: Квас от декабря 17, 2010, 16:37Кстати, анализ без дифуров — деньги на ветер. ;)
Наконец-то мой материальный вклад возвращается в виде дифуров второго порядка. Замучили, нудная это штуковина. Трехмерные интегралы, поверхности и т.п — интереснее.

Интегралы — инструмент. Дифуры — стиль жизни. Очень советую
В. И. Арнольд. Обыкновенные дифференциальные уравнения. (Хорошо гуглится, например вот (http://www.newlibrary.ru/book/arnold_v_i_/obyknovennye__differencialnye_uravnenija.html).)
Выражаясь словами вождя, эта книга меня в своё время перепахала.

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 10, 2011, 22:29

Цитата: Квас от сентября 10, 2011, 22:24
Интегралы — инструмент. Дифуры — стиль жизни.

Так это наверное физикам всяким, а мне-то они зачем пригодиться могут?..

Книгу посмотрю, спасибо.

Название: Матан №2
Отправлено: Bhudh от сентября 10, 2011, 22:30

Цитата: RawonaM от а мне-то они зачем пригодиться могут?..

Пожарное ведро рассчитать.

Spoiler ⇓⇓⇓

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 10, 2011, 22:31

Цитата: Квас от сентября 10, 2011, 22:21
Цитата: RawonaM от сентября 10, 2011, 10:26Я имею в виду, результат разве не должен быть один и тот же — линейный интеграл?
Нет, ведь единого интеграла по кривой не существует. Есть интеграл первого рода и интеграл второго рода. В частности, при изменении направления обхода кривой первый из них не меняется, а второй меняет знак.

Как я понял из вики, интеграл первого рода считается на скалярном поле, а второго — на векторном, правильно?

Цитата: Квас от сентября 10, 2011, 22:21
Цитата: RawonaM от сентября 10, 2011, 10:26Правильно?
Рассуждения верны, с ответом мэпл согласен. (Проверил в лоб:
>X := 0.5+0.5*cos(t); Y := 0.5*sin(t);
>int( (exp(X)*sin(Y) - Y^2 + X)*diff(X,t) + (exp(X)*cos(Y)-cos(Y^2))*diff(Y,t), t = 0..Pi);
>evalf(%);
)

Спасибо, теперь я буду знать как считать линейные интегралы в мэпле :)

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от сентября 10, 2011, 23:18

Цитата: RawonaM от сентября 10, 2011, 22:29
Цитата: Квас от сентября 10, 2011, 22:24Интегралы — инструмент. Дифуры — стиль жизни.
Так это наверное физикам всяким, а мне-то они зачем пригодиться могут?..

Не знаю... :donno: Я вообще не знаю, зачем вам нужен анализ. Но анализ является фундаментом для дифуров: обыкновенных и с частными производными. Матанализ — это язык.

Дифуры важны потому, что ими описывается большАя (думаю, бОльшая) часть законов природы, вовсе не только в физике. Всякое математическое моделирование наиболее эффективно в тех областях, где проблему можно свести к дифференциальным уравнениям или задаче оптимизации.

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от сентября 10, 2011, 23:19

Цитата: RawonaM от сентября 10, 2011, 22:31
Как я понял из вики, интеграл первого рода считается на скалярном поле, а второго — на векторном, правильно?

Ну, можно и так сказать, если на языке полей.

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 10, 2011, 23:25

Цитата: Квас от сентября 10, 2011, 23:18
Дифуры важны потому, что ими описывается большАя (думаю, бОльшая) часть законов природы, вовсе не только в физике.

Даже так...
Ну ничего, я их полюблю, если надо будет. Просто они не вовремя мне попались, я уже неделю непровылазно сижу над матаном, уже подустал, перенасыщение у меня. Думаю сдавать экзамен 22-го числа или отложить. Все-таки материала очень много, а я еще даже не начал готовиться к экзамену как следует.

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 11, 2011, 08:53

Дана функция f(t) дифференцируема и не постоянна. Известно что для любой закрытой кривой на (x,y) верно $[tex]\int_C f(x^ny)(ydx+xdy)=0[/tex]$ . Найти n для которого данное свойство верно.

Мой ответ:
Из данных следует, что поле консервативно. По свойству консервативного поля:
$[tex](f(x^ny)y)_y=(f(x^ny)x)_x[/tex]$
При этом:
$[tex](f(x^ny)y)_y = f'(x^ny)x^n \cdot y + f(x^ny)\cdot1[/tex]$
$[tex](f(x^ny)x)_x = f'(x^ny)y n x^{n-1} \cdot x + f(x^ny)\cdot1[/tex]$

Откуда следует:
$[tex]f'(x^ny)x^n \cdot y = f'(x^ny)y n x^{n-1} \cdot x[/tex]$

Дано что f непостоянная, поэтому f'≠0. Значит:
$[tex]x^n \cdot y = n x^n \cdot y [/tex]$

Теперь тут я думаю. Если x≠0, y≠0, то n=1. А если х или у таки ноль, то что, любой n? Но это же нонсенс. Может нужно сказать, что т.к. это верно на всем xy, то нужно брать то, что верно на всем пространстве, а именно n=1. Правильно?

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от сентября 11, 2011, 09:51

Цитата: RawonaM от сентября 11, 2011, 08:53
Может нужно сказать, что т.к. это верно на всем xy, то нужно брать то, что верно на всем пространстве, а именно n=1. Правильно?

Да, совершенно верно. Потому что n у нас раз и навсегда зафиксировано, а x и y бегают по плоскости.

Цитата: RawonaM от сентября 11, 2011, 08:53
Дано что f непостоянная, поэтому f'≠0. Значит:
$[tex]x^n \cdot y = n x^n \cdot y [/tex]$

Если функция непостоянна, её производная может обращаться в 0. Так что нужно выбрать точку c, такую, что f'(c) ≠ 0. При этом из-за множителей xⁿy нужно потребовать, чтобы c≠0. Всегда ли это можно сделать? Очевидно, да: если f'(t) = 0 при t ≠ 0, то f постоянна как на (-\infty, 0], так и на [0,+\infty), то есть на всей оси.

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 11, 2011, 09:55

Цитата: Квас от сентября 11, 2011, 09:51
Цитата: RawonaM от сентября 11, 2011, 08:53Дано что f непостоянная, поэтому f'≠0. Значит:
$[tex]x^n \cdot y = n x^n \cdot y [/tex]$
Если функция непостоянна, её производная может обращаться в 0. Так что нужно выбрать точку c, такую, что f'(c) ≠ 0. При этом из-за множителей xⁿy нужно потребовать, чтобы c≠0. Всегда ли это можно сделать? Очевидно, да: если f'(t) = 0 при t ≠ 0, то f постоянна как на (-\infty, 0], так и на [0,+\infty), то есть на всей оси.

Действительно, этот момент я не учел.

Мерси :)

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 11, 2011, 17:36

Что-то я не врубаюсь, $[tex]\sec t=\cos^{-1} t=\frac1{\cos t}[/tex]$ , не так ли? В таком случае, почему у них разные интегралы?

Название: Матан №2
Отправлено: Toivo от сентября 11, 2011, 17:40

Разная область определения?

Название: Матан №2
Отправлено: Bhudh от сентября 11, 2011, 17:52

WolframΑ даёт один. Но не тот, что здесь (http://www.lawrencenko.ru/files/calc2-p3-lawrencenko.pdf)... :???

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 11, 2011, 17:59

Допустим у меня есть h(y)dy=f(x)dx.

Какое такое право мне дает взять интеграл с обоих сторон по разным переменным? Что вообще из себя представляет dx?

Название: Матан №2
Отправлено: Bhudh от сентября 11, 2011, 18:05

Ты ж разные значения получишь...

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 11, 2011, 18:17

Мэпл умеет считать дифуры?

Нужно посчитать $[tex](1+e^x)yy'=e^x[/tex]$ , причем y(0)=1.

У меня вышло общее решение $[tex]y(x)=\sqrt{2 \ln(1+e^x) + C}[/tex]$ , а после начального условия $[tex]y(x)=\sqrt{2 \ln(1+e^x) + 1-2\ln2}[/tex]$ . Как проверить?

Название: Матан №2
Отправлено: antbez от сентября 11, 2011, 18:22

Диф-ем и подстановкой, как же ещё!

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от сентября 11, 2011, 19:08

Цитата: RawonaM от сентября 11, 2011, 17:59
Допустим у меня есть h(y)dy=f(x)dx.

Какое такое право мне дает взять интеграл с обоих сторон по разным переменным? Что вообще из себя представляет dx?

Это танцы с бубном: все так делают, но мало кто понимает, какой смысл. :D Точнее говоря, есть некий удобный формализм, затуманивающий смысл дела.

В принципе, если у вас y=y(x), то ваше уравнение является символической записью следующего:
h(y(x))y'(x) = f(x)
Это тождество, его можно проинтегрировать:
$[tex] \int_{x_0}^x h(y(\xi)) y'(\xi)\,d\xi=\int_{x_0}^x f(\xi)\,d\xi [/tex]$
$[tex] \int_{y(x_0)}^{y(x)} h(\zeta) d\zeta=\int_{x_0}^x f(\xi)\,d\xi [/tex]$
Если F и H — первообразные для f и h соответственно, то
$[tex]H(y(x)) - H(y(x_0)) = F(x) - F(x_0)[/tex]$
$[tex]H(y(x)) = F(x) + ( H(y(x_0))- F(x_0))[/tex]$
То есть любое решение на отрезке, содержащем точку x_0, удовлетворяет соотношению
$[tex]H(y(x)) = F(x) + C,[/tex]$
где C — постоянная. Обратное тоже верно (проверяется дифференцированием).

Можете для сравнения посмотреть § 2 в «Обыкновенных дифференциальных уравнениях» Понтрягина (это самый что ни на есть классический учебник). Тщательное обоснование формального интегрирования при решении дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными требует известной въедливости и нудности, само по себе это неочевидно. Хорошо, RawonaM, что у вас глаз не замылился. :)

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от сентября 11, 2011, 19:13

Цитата: RawonaM от сентября 11, 2011, 18:17
Мэпл умеет считать дифуры?

Bien sûr ! Команда dsolve. Неизвестная функция должна прописываться с указанием аргумента, как y(x). Если просто задать одно уравнение, он интеллектуально угадывает, относительно чего решать; в любом случае в качестве второго аргумента можно указать неизвестную функцию (или множество неизвестных функций). Система или начальные условия задаются как множество. Например,

Цитата: RawonaM от сентября 11, 2011, 18:17
Нужно посчитать $[tex](1+e^x)yy'=e^x[/tex]$ , причем y(0)=1.

dsolve({(1+exp(x))*y(x)*diff(y(x),x) = exp(x), y(0) = 1});

Пример начального условия для второго порядка:
dsolve( {diff(y(x),x,x) = x, y(0) = 1, D(y)(0) = 2});

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от сентября 11, 2011, 19:16

Цитата: RawonaM от сентября 11, 2011, 17:36
Что-то я не врубаюсь, $[tex]\sec t=\cos^{-1} t=\frac1{\cos t}[/tex]$ , не так ли? В таком случае, почему у них разные интегралы?

Не может быть!

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 11, 2011, 19:30

Цитата: Квас от сентября 11, 2011, 19:16
Цитата: RawonaM от сентября 11, 2011, 17:36Что-то я не врубаюсь, $[tex]\sec t=\cos^{-1} t=\frac1{\cos t}[/tex]$ , не так ли? В таком случае, почему у них разные интегралы?
Не может быть!

Хотел сфотать, но куда-то потерялся кардридер :(
Цитирую:
$[tex]\int \cos^{-1}u \, du = u \cos^{-1} u - \sqrt{1-u^2} + C[/tex]$
$[tex]\int \sec u \, du = \ln|\sec u + \tan u| + C = \ln|\tan (\pi/4 + u/2)|[/tex]$

Так же различаются интегралы sin^-1 и csc, tan^-1 и cot.

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от сентября 11, 2011, 19:37

Цитата: RawonaM от сентября 11, 2011, 19:30
$[tex]\int \cos^{-1}u \, du = u \cos^{-1} u - \sqrt{1-u^2} + C[/tex]$

Очевидно, это арккосинус.

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 11, 2011, 20:06

Цитата: Квас от сентября 11, 2011, 19:37
Цитата: RawonaM от сентября 11, 2011, 19:30 $[tex]\int \cos^{-1}u \, du = u \cos^{-1} u - \sqrt{1-u^2} + C[/tex]$
Очевидно, это арккосинус.

тьфу, я кажется уже на это попадался!! Ну зачем делать в математике одинаковые обозначения для разных вещей?!!

Название: Матан №2
Отправлено: Alone Coder от сентября 11, 2011, 20:08

Кто-то ещё пишет cos^-1 вместо arccos?

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 11, 2011, 20:09

Цитата: Квас от сентября 11, 2011, 19:08
Это танцы с бубном: все так делают, но мало кто понимает, какой смысл. :D Точнее говоря, есть некий удобный формализм, затуманивающий смысл дела.
[...]
Можете для сравнения посмотреть § 2 в «Обыкновенных дифференциальных уравнениях» Понтрягина (это самый что ни на есть классический учебник). Тщательное обоснование формального интегрирования при решении дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными требует известной въедливости и нудности, само по себе это неочевидно. Хорошо, RawonaM, что у вас глаз не замылился. :)

Спасибо, теперь вроде стало яснее! :)

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 11, 2011, 20:13

Цитата: Alone Coder от сентября 11, 2011, 20:08
Кто-то ещё пишет cos^-1 вместо arccos?

Да все пишут.

Цитата: Квас от сентября 11, 2011, 19:13
dsolve({(1+exp(x))*y(x)*diff(y(x),x) = exp(x), y(0) = 1});

Ух ты, вышло акурат как у меня. Только у мэпла заняло секунд 5, а у меня минут 10 :)

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 11, 2011, 20:16

Цитата: мэпл>dsolve({y/x+diff(y(x), x) = sin(x)})
Error, (in ODEtools/info) y(x) and y cannot both appear in the given ODE.

Вас бедойтед эс?

Название: Матан №2
Отправлено: Alone Coder от сентября 11, 2011, 20:19

Цитата: RawonaM от сентября 11, 2011, 20:13
Цитата: Alone Coder от сентября 11, 2011, 20:08Кто-то ещё пишет cos^-1 вместо arccos?
Да все пишут.

(wiki/en) Inverse_trigonometric_function (http://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_trigonometric_function)

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от сентября 11, 2011, 20:19

Цитата: RawonaM от сентября 11, 2011, 20:16
Цитата: мэпл>dsolve({y/x+diff(y(x), x) = sin(x)})
Error, (in ODEtools/info) y(x) and y cannot both appear in the given ODE.
Вас бедойтед эс?

В первом слагаемом y(x)/x.

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 11, 2011, 20:23

Цитата: Квас от сентября 11, 2011, 20:19
В первом слагаемом y(x)/x.

мерси.

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 11, 2011, 20:24

Меня подбешивает в мапле, что у него формулы вводить надо в самом-самом низу экрана, есть возможность проскроллить его?

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от сентября 11, 2011, 20:45

Действительно... В Classical Worksheet такого нет.

Разве что побольше промптов внизу наставить?

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 11, 2011, 20:53

А как промпты ставить?

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 11, 2011, 20:59

Нужно найти кривую, проходящую через (0,2) у которой производная на всем пространстве $[tex]\frac{2xy^3-16x}{3y^2}[/tex]$ . Методом разделения и интеграции обоих частей находим, что ln|2y³-16|=x²+C. Теперь пытаемся подставить точку (0,2) — выходит ln 0. В чем ошибка? Что тут можно сделать?

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 11, 2011, 21:47

Попалось уравнение, с которым мэпл не справился, да и я не уверен.

$[tex]3e^x\tan y+\frac{2-e^x}{\cos^2y}\frac{dy}{dx}=0[/tex]$

Переносим, раздляем:
$[tex]\frac{1}{\tan y \cos^2y}dy=\frac{-3e^x}{2-e^x}dx[/tex]$

Интегрируем обе стороны:
$[tex]\ln|\tan y|=3\ln|2-e^x|+C[/tex]$

Я так понимаю это не считается решением, верно же?

Пробуем выделить y:
$[tex]\ln|\tan y|=\ln|(2-e^x)^3|+\ln e^C=\ln|e^C(2-e^x)^3|[/tex]$

$[tex]y=\arctan (e^C(2-e^x)^3)[/tex]$

Такое решение считается?

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от сентября 11, 2011, 22:04

Цитата: RawonaM от сентября 11, 2011, 20:53
А как промпты ставить?

Проще всего поставить курсор на последний из них и зажать Enter. :)

Цитата: RawonaM от сентября 11, 2011, 20:59
Нужно найти кривую, проходящую через (0,2) у которой производная на всем пространстве $[tex]\frac{2xy^3-16x}{3y^2}[/tex]$ . Методом разделения и интеграции обоих частей находим, что ln|2y³-16|=x²+C. Теперь пытаемся подставить точку (0,2) — выходит ln 0. В чем ошибка? Что тут можно сделать?

Наверно, при делении вы потеряли решение y=2. ;)

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от сентября 11, 2011, 22:18

Цитата: RawonaM от сентября 11, 2011, 21:47
Я так понимаю это не считается решением, верно же?

В принципе, первый интеграл решением считается (то есть достаточно от производных освободиться). Проверить можно так:
>diff(ln(tan(y(x)))-3*ln(2-exp(x)),x); # дифференцирую первый интеграл
>solve(%, diff(y(x),x)); # разрешаю относительно производной
>solve(3*exp(x)*tan(y(x))+(2-exp(x))/cos(y(x))^2*diff(y(x),x), diff(y(x),x)); # разрешаю исходное уравнение относительно производной
>simplify(%-%%);
0 # ;up:

Конечно, в данном случае несложно выразить y.

Цитата: RawonaM от сентября 11, 2011, 21:47
$[tex]\ln|\tan y|=\ln|(2-e^x)^3|+\ln e^C=\ln|e^C(2-e^x)^3|[/tex]$

Обозначим $[tex]e^C = C_1>0[/tex]$
$[tex]\ln|\tan y|=\ln|C_1(2-e^x)^3|[/tex]$
$[tex]|\tan y|=|C_1(2-e^x)^3|[/tex]$
$[tex]\tan y=\pm C_1(2-e^x)^3[/tex]$
Можно обозначить $[tex]\pm C_1 = C_2[/tex]$ , тогда C_2 может иметь любой знак. Более того, проверка показывает, что если tg y ≡ 0, то функция y (постоянная) является решением, так что C_2 = 0 допустимо. Когда выражаем y, не забываем период тангенса: +πk, k ∈ Z.

Когда вы делите, вы рискуете потерять решения. Поэтому нули знаменателя надо отдельно проверять.

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 11, 2011, 22:36

Цитата: Квас от сентября 11, 2011, 22:04
Цитата: RawonaM от сентября 11, 2011, 20:59Нужно найти кривую, проходящую через (0,2) у которой производная на всем пространстве $[tex]\frac{2xy^3-16x}{3y^2}[/tex]$ . Методом разделения и интеграции обоих частей находим, что ln|2y³-16|=x²+C. Теперь пытаемся подставить точку (0,2) — выходит ln 0. В чем ошибка? Что тут можно сделать?
Наверно, при делении вы потеряли решение y=2. ;)

Я об этом думал. Однако я не знаю, что тут еще можно делать. Подумал, что можно будет найти общее решение, которое будет верно и в тех точках, которые «теряются». А что тут теперь делать можно, ума не приложу. Я заметил, что подынтегральное выражение не определено в y=2 и что производная в (0,2) обнуляется, но что с этим делать я не знаю.

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от сентября 11, 2011, 22:54

А что делать? Писать в ответ y = 2. Даже не нужно писать в решение ваши выкладки с дифуром, потому что в силу единственности решения других подходящих нет.

Чтобы было понятней: у вас дифур
$[tex]y' = \frac{2xy^3-16x}{3y^2}[/tex]$
Левая часть определена и непрерывно дифференцируема в открытой части плоскости {(x,y): y ≠ 0}, поэтому теорема локального существования и единственности выполнена. Вы сужаете область до {(x,y): y ≠ 0, y ≠ 2}, на которой исходное уравнение эквивалентно следующему:
$[tex]\frac{y^3y'}{y^3-8} = \frac{2x}{3}[/tex]$
и находите его явное решение. Полученные интегральные кривые заполняют всю область {(x,y): y ≠ 0, y ≠ 2}; линия y=2 тоже является интегральной кривой, и вместе с предыдущими заполняет всю область {(x,y): y ≠ 0}.

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 11, 2011, 23:45

Цитата: Квас от сентября 11, 2011, 22:18
Цитата: RawonaM от сентября 11, 2011, 21:47 $[tex]\ln|\tan y|=\ln|(2-e^x)^3|+\ln e^C=\ln|e^C(2-e^x)^3|[/tex]$
Обозначим $[tex]e^C = C_1>0[/tex]$
$[tex]\ln|\tan y|=\ln|C_1(2-e^x)^3|[/tex]$
$[tex]|\tan y|=|C_1(2-e^x)^3|[/tex]$
$[tex]\tan y=\pm C_1(2-e^x)^3[/tex]$
Можно обозначить $[tex]\pm C_1 = C_2[/tex]$ , тогда C_2 может иметь любой знак. Более того, проверка показывает, что если tg y ≡ 0, то функция y (постоянная) является решением, так что C_2 = 0 допустимо. Когда выражаем y, не забываем период тангенса: +πk, k ∈ Z.

А куда тут период тангенса притулять? Так можно взять арктангенс с обоих сторон или от этого что-то потеряется?

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от сентября 12, 2011, 00:05

Цитата: RawonaM от сентября 11, 2011, 23:45
А куда тут период тангенса притулять? Так можно взять арктангенс с обоих сторон или от этого что-то потеряется?

Взять арктангенс и дописать +πk, k ∈ Z. Иначе конечно потеряется: дикое множество углов имеют одинаковые тангенсы.

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 12, 2011, 09:02

Цитата: Квас от сентября 11, 2011, 22:54
А что делать? Писать в ответ y = 2. Даже не нужно писать в решение ваши выкладки с дифуром, потому что в силу единственности решения других подходящих нет.

Чтобы было понятней: у вас дифур
$[tex]y' = \frac{2xy^3-16x}{3y^2}[/tex]$
Левая часть определена и непрерывно дифференцируема в открытой части плоскости {(x,y): y ≠ 0}, поэтому теорема локального существования и единственности выполнена. Вы сужаете область до {(x,y): y ≠ 0, y ≠ 2}, на которой исходное уравнение эквивалентно следующему:
$[tex]\frac{y^3y'}{y^3-8} = \frac{2x}{3}[/tex]$
и находите его явное решение. Полученные интегральные кривые заполняют всю область {(x,y): y ≠ 0, y ≠ 2}; линия y=2 тоже является интегральной кривой, и вместе с предыдущими заполняет всю область {(x,y): y ≠ 0}.

Что-то тут мне не все понятно. А точно решение единственное?! Как вообще я должен был догадаться о таком решении?

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 12, 2011, 09:28

Цитата: Квас от сентября 12, 2011, 00:05
Цитата: RawonaM от сентября 11, 2011, 23:45А куда тут период тангенса притулять? Так можно взять арктангенс с обоих сторон или от этого что-то потеряется?
Взять арктангенс и дописать +πk, k ∈ Z. Иначе конечно потеряется: дикое множество углов имеют одинаковые тангенсы.

Прошу пардона за тупые вопросы... Но арктангенс ведь не периодический, зачем же к нему приписывать?

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 12, 2011, 11:37

Решаю $[tex]y''+2y'+y=\frac{3\sqrt{1+x}}{e^x}[/tex]$ , не получается. Где-то вероятно я ошибаюсь, ибо даже у мэпла выходит приличный ответ.

Значит, находим гомогенную часть: $[tex]y_h=C_1 e^{-x}+ C_2 x e^{-x}[/tex]$ .

Методом «вариации параметров»:
Остальное: $[tex]y_p=u(x) e^{-x}+ v(x) x e^{-x}[/tex]$ .

$[tex]u'e^{-x}+v'xe^{-x}=0[/tex]$
$[tex]-u'e^{-x}+v'e^{-x}(x-1)=e^{-x}\cdot3\sqrt{1+x}[/tex]$

Поделим все на e^-x.
$[tex]u'+v'x=0[/tex]$
$[tex]-u'+v'(x-1)=3\sqrt{1+x}[/tex]$

Складываем оба уравнения:
$[tex]v'x+v'(x-1)=3\sqrt{1+x}[/tex]$

Я знаю, что если сейчас поделить на 2х-1, то потеряется решение х=1/2, но другого выхода нет, потом проверим отдельно это значение. Кстати, по методу Крамера этот ответ вроде как тоже теряется.

$[tex]v'=\frac{3\sqrt{1+x}}{2x-1}[/tex]$

$[tex]u'=\frac{-3x\sqrt{1+x}}{2x-1}[/tex]$

Интегралы не берутся. Где ошибка?

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от сентября 12, 2011, 13:59

Цитата: RawonaM от сентября 12, 2011, 09:02
Что-то тут мне не все понятно. А точно решение единственное?! Как вообще я должен был догадаться о таком решении?

Да. Если правая часть уравнения
$[tex]\dot x = v(t,x)[/tex]$
непрерывно дифференцируема в некотором открытом множестве
$[tex]U \subset \mathbb R \times \mathbb R^n,[/tex]$
то есть единственность в том смысле, что два решения, удовлетворяющие начальному условию
$[tex]x(t_0) = x_0,[/tex]$
совпадают на пересечении интервалов определения. Это одна из основных теорем в теории ОДУ.

До решения y=2 вы догадались, найдя формулу общего решения, убедившись, что она не помогает и вспомнив, что потеряли решение при делении. Это кухня. В решение «набело» никто не мешает написать: «заметим, что функция y ≡ 2 является решением ДУ и удовлетворяет начальным условиям; в силу единственности решения других подходящих нет.» А уж как вы додумались — ноу-хау.

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от сентября 12, 2011, 14:03

Цитата: RawonaM от сентября 12, 2011, 09:28
Прошу пардона за тупые вопросы... Но арктангенс ведь не периодический, зачем же к нему приписывать?

Арктангенс не при чём, это тангенс периодический. У вас уравнение вида
tg y = a.
На периоде тангенса (-π/2, π/2) это уравнение имеет единственный корень, который обозначается arctg a. Тангенс принимает одни и те же значения через каждые π, поэтому общее решение имеет вид
y = arctg a + πk, k ∈ Z.

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 12, 2011, 14:27

Цитата: Квас от сентября 12, 2011, 14:03
y = arctg a + πk, k ∈ Z.

А, теперь ясно :)

Цитата: Квас от сентября 12, 2011, 13:59
Да. Если правая часть уравнения
$[tex]\dot x = v(t,x)[/tex]$

А что значит точка?

Цитата: Квас от сентября 12, 2011, 13:59
До решения y=2 вы догадались, найдя формулу общего решения, убедившись, что она не помогает и вспомнив, что потеряли решение при делении. Это кухня. В решение «набело» никто не мешает написать: «заметим, что функция y ≡ 2 является решением ДУ и удовлетворяет начальным условиям; в силу единственности решения других подходящих нет.» А уж как вы додумались — ноу-хау.

Да, действительно. Благодарю :)

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от сентября 12, 2011, 14:32

Цитата: RawonaM от сентября 12, 2011, 11:37
$[tex]u'e^{-x}+v'e^{-x}=0[/tex]$

Тут икса не должно быть во втором слагаемом? Вечно забываю эту систему.

Цитата: RawonaM от сентября 12, 2011, 14:27
А что значит точка?

Да так иногда производную обозначают: в механике и в дифурах.

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 12, 2011, 14:35

Цитата: Квас от сентября 12, 2011, 14:32
Цитата: RawonaM от сентября 12, 2011, 11:37 $[tex]u'e^{-x}+v'e^{-x}=0[/tex]$
Тут икса не должно быть во втором слагаемом? Вечно забываю эту систему.

Должно быть, это опечатка. Дальше решение идет с учетом наличия икса.

А какую систему вы используете?

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от сентября 12, 2011, 14:45

Ага, со знаком вы ошиблись:
$[tex]\frac{d}{dx} \left( x e^{-x} \right) = e^{-x} - xe^{-x}[/tex]$
(второе слагаемого во втором уравнении). Кстати, систему мэпл может решить так:
>solve( {U*exp(-x) + V*x*exp(-x) = 0, U*diff(exp(-x),x) + V*diff(x*exp(-x),x) = 3*sqrt(1+x)*exp(-x)}, {U,V});
Букв много, поэтому вторым аргументом надо указать, относительно чего считать.

Цитата: RawonaM от сентября 12, 2011, 11:37
Я знаю, что если сейчас поделить на 2х-1, то потеряется решение х=1/2, но другого выхода нет, потом проверим отдельно это значение. Кстати, по методу Крамера этот ответ вроде как тоже теряется.

Фактически к делу уже не относится, но всё же: теряется не возможное решение, а одно значение аргумента. Поскольку в исходном выражении есть символ y', то ничего не остаётся как считать y функцией, а x — независимым переменным.

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от сентября 12, 2011, 14:46

Цитата: RawonaM от сентября 12, 2011, 14:35
А какую систему вы используете?

Имею в виду систему, которая используется в методе вариации произвольных постоянных.

Кстати, homogenous по-русски — однородное (уравнение).

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 12, 2011, 14:51

Цитата: Квас от сентября 12, 2011, 14:45
Цитата: RawonaM от сентября 12, 2011, 11:37Я знаю, что если сейчас поделить на 2х-1, то потеряется решение х=1/2, но другого выхода нет, потом проверим отдельно это значение. Кстати, по методу Крамера этот ответ вроде как тоже теряется.
Фактически к делу уже не относится, но всё же: теряется не возможное решение, а одно значение аргумента. Поскольку в исходном выражении есть символ y', то ничего не остаётся как считать y функцией, а x — независимым переменным.

Простите, ничего не понял. Т.е. раз это переменное (-ный?), то его можно терять?

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 12, 2011, 14:53

Цитата: Квас от сентября 12, 2011, 14:45
Ага, со знаком вы ошиблись:
$[tex]\frac{d}{dx} \left( x e^{-x} \right) = e^{-x} - xe^{-x}[/tex]$

А-а, вот блин балда :) Спасибо :) Меня эти минусы в гроб загонят.

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от сентября 12, 2011, 15:19

Цитата: RawonaM от сентября 12, 2011, 14:51
Цитата: Квас от сентября 12, 2011, 14:45
Цитата: RawonaM от сентября 12, 2011, 11:37Я знаю, что если сейчас поделить на 2х-1, то потеряется решение х=1/2, но другого выхода нет, потом проверим отдельно это значение. Кстати, по методу Крамера этот ответ вроде как тоже теряется.
Фактически к делу уже не относится, но всё же: теряется не возможное решение, а одно значение аргумента. Поскольку в исходном выражении есть символ y', то ничего не остаётся как считать y функцией, а x — независимым переменным.
Простите, ничего не понял. Т.е. раз это переменное (-ный?), то его можно терять?

В принципе, изначально вы не знаете, на каких промежутках получатся решения. Рассматривать промежутки, не содержащие фиксированной точки — невелика потеря. Например, если окажется, что решения уходят в бесконечность, подходя к этой точке, то ясно, что не существует решения на интервале, содержащем эту точку (иначе шаг в сторону — и оно должно быть в районе бесконечности).

Может быть, при делении на выражение с иксом достаточно помечать, например, что x ≠ 0 — просто ради приличия. При делении на выражения с игреком следует проверять, не потеряли ли мы решений.

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 12, 2011, 15:24

Цитата: Квас от сентября 12, 2011, 14:45
Кстати, систему мэпл может решить так:
>solve( {U*exp(-x) + V*x*exp(-x) = 0, U*diff(exp(-x),x) + V*diff(x*exp(-x),x) = 3*sqrt(1+x)*exp(-x)}, {U,V});
Букв много, поэтому вторым аргументом надо указать, относительно чего считать.

Надо бы мне попользоваться такой возможностью.

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 12, 2011, 18:33

Цитата: RawonaM от сентября 11, 2011, 21:47
Попалось уравнение, с которым мэпл не справился, да и я не уверен.

$[tex]3e^x\tan y+\frac{2-e^x}{\cos^2y}\frac{dy}{dx}=0[/tex]$

Переносим, раздляем:
$[tex]\frac{1}{\tan y \cos^2y}dy=\frac{-3e^x}{2-e^x}dx[/tex]$

На этом этапе я поделил на tan y. Какие у этого последствия? Допустим я говорю y≠0, дальше что?

Название: Матан №2
Отправлено: arseniiv от сентября 12, 2011, 18:35

Offtop

Цитата: Квас от сентября 12, 2011, 00:05
дикое множество углов имеют одинаковые тангенсы

А я думал, счётное... ;D

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от сентября 12, 2011, 18:49

Цитата: RawonaM от сентября 12, 2011, 18:33
Цитата: RawonaM от сентября 11, 2011, 21:47Попалось уравнение, с которым мэпл не справился, да и я не уверен.

$[tex]3e^x\tan y+\frac{2-e^x}{\cos^2y}\frac{dy}{dx}=0[/tex]$

Переносим, раздляем:
$[tex]\frac{1}{\tan y \cos^2y}dy=\frac{-3e^x}{2-e^x}dx[/tex]$
На этом этапе я поделил на tan y. Какие у этого последствия? Допустим я говорю y≠0, дальше что?

Практически в решении при делении вы записываете рядышком (tg y ≠ 0), а в конце рассматриваете отдельно постоянные функции y, для которых tg y = 0: очевидно, они являются решениями уравнения, то есть к общей формуле добавляется y = πk, k ∈ Z.

С теоретической точки зрения есть такая сложность, что уравнение не разрешено относительно производной. Его можно разрешить и записать в виде
$[tex]\frac{dy}{dx} = -\frac{3e^x\tan y\cos^2y}{2-e^x}[/tex]$
К этому уравнению применима вся теория, но мы немного меняем область: исходное уравнение задано на области {(x,y): cos y ≠ 0}, а новое — на области {(x,y): cos y ≠ 0, x ≠ ln 2}; если же упростить произведение тангенса на косинус — то вообще в области {(x,y): x ≠ ln 2}. Здесь для него выполнена теорема существования и единственности. Его можно решать, деля на тангенс и исключая, таким образом, из области некоторые куски прямых, а потом можно отметить, что эти куски прямых также являются интегральными кривыми. Вообще-то следовало бы выяснить, нельзя ли «склеить» какие-то решения, определённые при x < 2, с решениями, определёнными при x > 2, но при решении задач никто и никогда вопросами склеивания не занимается.

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 12, 2011, 19:04

Цитата: Квас от сентября 12, 2011, 18:49
Практически в решении при делении вы записываете рядышком (tg y ≠ 0), а в конце рассматриваете отдельно постоянные функции y, для которых tg y = 0: очевидно, они являются решениями уравнения, то есть к общей формуле добавляется y = πk, k ∈ Z.

Так тут получается дальше, что если y=0, то y=3ln|2-e^x|+C и непонятно, что с этим делать. Как вы узнали, что tan y = 0 решение?

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 12, 2011, 19:10

А, я кажется понял. Если tg y = 0, то y'=0 и поэтому y=πk решает уравнение.

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от сентября 12, 2011, 19:16

Цитата: RawonaM от сентября 12, 2011, 19:10
А, я кажется понял. Если tg y = 0, то y'=0 и поэтому y=πk решает уравнение.

Совершенно точно. :yes:

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 12, 2011, 22:11

Для функции двух переменных: «направленная» производная ведь всегда лежит на касательной плоскости, правильно я понимаю? Если рассматривать функцию одной переменной на этой линии, то направленная производная функции двух переменных не обязательно совпадает с производной этой функции одной переменной, верно?

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от сентября 12, 2011, 22:16

Не понял вообще. :) Функции числовые? На каких множествах рассматриваете?

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 12, 2011, 22:21

Я банально о дифференцируемых функциях типа z=f(x,y), вещественные числа, представление в виде трехмерного пространства :)

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от сентября 12, 2011, 22:25

Та-ак, понятно. :umnik: Едем дальше. Какие имеются в виду линии («на этой линии») и поверхности? «Направленная производная» — это производная по направлению? Ну так это же число в каждой точке.

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 12, 2011, 22:26

Попробую переформулировать. Допустим у нас в f(0,0) касательная плоскость совпадает с плоскостью xy. Это значит, что все производные по направлению на все 360 градусов будут иметь производную 0? Т.е. все производные по направлению будут 0, т.к. касательные по направлению будет лежать в касательной плоскости.
Теперь вопрос такой: если взять «подфункцию», т.е. какой-то разрез, типа там g(x)=f(x,x), значит ли, что у g в нуле тоже производная ноль?

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от сентября 12, 2011, 22:39

Цитата: RawonaM от сентября 12, 2011, 22:26
Попробую переформулировать. Допустим у нас в f(0,0) касательная плоскость совпадает с плоскостью xy. Это значит, что все производные по направлению на все 360 градусов будут иметь производную 0? Т.е. все производные по направлению будут 0, т.к. касательные по направлению будет лежать в касательной плоскости.
Теперь вопрос такой: если взять «подфункцию», т.е. какой-то разрез, типа там g(x)=f(x,x), значит ли, что у g в нуле тоже производная ноль?

Ну да:
$[tex] \frac{d}{dx}\Bigg|_{x=0}g(x)=\frac{\partial}{\partial x}\Bigg|_{(x,y)=(0,0)}f(x,y)+\frac{\partial}{\partial y}\Bigg|_{(x,y)=(0,0)}f(x,y) [/tex]$
И то же по любому направлению. Но если у f производная не 0, то производная у g может быть разной: для иллюстрации можно представить пересечение наклонной плоскости (график f) с вертикальной плоскостью, вращающейся вокруг оси Oz.

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 12, 2011, 22:44

Цитата: Квас от сентября 12, 2011, 22:39
Но если у f производная не 0, то производная у g может быть разной: для иллюстрации можно представить пересечение наклонной плоскости (график f) с вертикальной плоскостью, вращающейся вокруг оси Oz.

Производная у g будет скалярное умножение градиента f на направление g, верно?

Выходит, что если в двух разных направлениях касательные по направлению (т.е. вырезанных функций одной переменной) не лежат в одной плоскости, то функция f не дифференцируема?

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от сентября 12, 2011, 23:13

Цитата: RawonaM от сентября 12, 2011, 22:44
Производная у g будет скалярное умножение градиента f на направление g, верно?

Ага. На самом деле это и есть производная по направлению вектора — частный случай производной по кривой.

Цитата: RawonaM от сентября 12, 2011, 22:44
Выходит, что если в двух разных направлениях касательные по направлению (т.е. вырезанных функций одной переменной) не лежат в одной плоскости, то функция f не дифференцируема?

Если в трёх. А две пересекающиеся прямые всегда лежат в одной плоскости.

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 12, 2011, 23:17

Цитата: Квас от сентября 12, 2011, 23:13
Цитата: RawonaM от сентября 12, 2011, 22:44Производная у g будет скалярное умножение градиента f на направление g, верно?
Ага. На самом деле это и есть производная по направлению вектора — частный случай производной по кривой.

А если функция недифференцируема в этой точке, их можно высчитывать с помощью градиента? Впрочем, ведь тогда и градиента нет...

Цитата: Квас от сентября 12, 2011, 23:13
Если в трёх. А две пересекающиеся прямые всегда лежат в одной плоскости.

Точно.

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от сентября 12, 2011, 23:20

Цитата: RawonaM от сентября 12, 2011, 23:17
Впрочем, ведь тогда и градиента нет...

Это смотря как его определить. В любом случае, лучше градиент рассматривать для дифференцируемых.

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 12, 2011, 23:24

Что-то мне не дает покоя в этих функциях...

Допустим если в нуле функции |x| говорили, что нет касательной, потому что там много касательных можно провести, то допустим для функции:

f(x,y)=0 | xy≤0
f(x,y)=-1 в остальных случаях

касательная плоскость в нуле однозначна, но ее нет.

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от сентября 12, 2011, 23:37

Это «неправильная» поверхность. Касательные плоскости можно определять для гладких поверхностей

Spoiler ⇓⇓⇓

Если поверхность гладкая, то касательные, проведённые в точке m ко всевозможным дифференцируемым кривым на поверхности, проходящим через m, заметают плоскость — она и называется касательной. А в вашем примере касательные прямые не будут заметать плоскость.

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 12, 2011, 23:46

Цитата: Квас от сентября 12, 2011, 23:37
Если поверхность гладкая, то касательные, проведённые в точке m ко всевозможным дифференцируемым кривым на поверхности, проходящим через m, заметают плоскость — она и называется касательной. А в вашем примере касательные прямые не будут заметать плоскость.

По термину «касательная плоскость/прямая» я понимаю что есть плоскость или прямая, ее берут и прикасаются к функции. Вот мне объяснили про |x| что там такого рода касательная будет «болтаться», поэтому ее однозначно нет, так я вот притуляю плоскость к вышеупомянутой функции, там ничего не болтается, значит по моим ощущениям — касательная плоскость. :)

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от сентября 12, 2011, 23:48

Что-то слишком широкое определение. Тогда и у крестовины касательная плоскость есть.

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 12, 2011, 23:52

Цитата: Квас от сентября 12, 2011, 23:48
Что-то слишком широкое определение. Тогда и у крестовины касательная плоскость есть.

Тогда выходит есть. А почему бы ей не быть?
Нет, ну если понимать касательную плоскость как бесконечное множество касательных прямых на 360 градусов, то конечно у той функции что я задал часть касательных прямых будут проваливаться от нуля в положительную сторону икса, поэтому касательной плоскости нет, ибо она не плоскость получается. Но я почему-то думал, что берется уже готовая плоскость и касается.

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 15, 2011, 08:44

Как это получается, что:
$[tex](\frac x{1-x})'=(\frac 1{1-x})'=\frac 1{(1-x)^2}[/tex]$

Разве они отличаются только константой?

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от сентября 15, 2011, 13:43

Цитата: RawonaM от сентября 15, 2011, 08:44
$[tex](\frac x{1-x})'=(\frac 1{1-x})'=\frac 1{(1-x)^2}[/tex]$

Разве они отличаются только константой?

Да:
$[tex]\frac{x}{1-x}=\frac{1-(1-x)}{1-x}=\frac{1}{1-x}-1[/tex]$

Кстати, в школе на факультативе мы решали интересные (школьникам) примеры на доказательство тождеств с помощью производной. Например,
$[tex]\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}.[/tex]$

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 17, 2011, 08:41

Мне вот непонятно, как получается, что умножение градиента на единичный вектор направления дает производную по этому направлению. Ведь в тот момент когда мы вычислили градиент в определенной точке, все данные о функции потерялись, это всего лишь вектор. Скалярное умножение на единичный вектор направления это всего лишь умножение на косинус угла, поэтому если смотреть сверху на длину вектора градиента помноженного на направление, то это должна быть симметричная фигура вокруг точки, причем ортогонально градиенту всегда будет ноль, разве нет? Как же получается, что он охватывает все производные на 360 градусов?

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от сентября 17, 2011, 09:57

Просто сама производная несёт не много информации. В обычном (достаточно гладком) случае производная по вектору линейно зависит от вектора, то есть является линейным функционалом. А всякий линейный функционал на n-мерном пространстве определяется как раз набором из n чисел.

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 17, 2011, 10:05

Получается, что в любой точке вектора по длине производных выглядят одинаково: типа восьмерка. Правильно?

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от сентября 17, 2011, 10:07

Ну да, получается так.

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 17, 2011, 21:27

Нужно найти область сходимости $[tex]\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^k x^{2k}}{2k+1}[/tex]$ .

Допустим я нахожу с помощью такой проверки: $[tex]\lim_{k \to \infty}\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right| < 1[/tex]$ , что ряд абсолютно сходится при |x|<1. Края проверяю отдельно. Закончилось ли на этом решение или все-таки может быть радиус сходимости условной шире, чем абсолютной?

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от сентября 17, 2011, 22:00

Закончилось, потому что с помощью того же питуаха устанавливаете, что при |x|>1 ряд расходится. А известно, что внутри интервала сходимости (-R,R) ряд сходится абсолютно, а вне его расходится.

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 17, 2011, 22:06

Цитата: Квас от сентября 17, 2011, 22:00
Закончилось, потому что с помощью того же питуаха устанавливаете, что при |x|>1 ряд расходится.

А точно, это я стормозил :)

А вот как попроще найти сумму этого выражения? Я смотрю на эти трюки с умножением на х, дифференциацией, трах-тибидох, интеграция, вуаля получается сумма, и думаю, что не смогу это воспроизвести на экзамене.

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от сентября 17, 2011, 22:14

Да особо стандартных методов нет... Сама соль рядов в том, что они часто не выражаются через элементарные функции (иначе было бы достаточно элементарных функций). В принципе, надо плясать от основных разложений (геометрическая прогрессия, экспонента, логарифм, тригонометрические) и пытаться подогнать коэффициенты: тут как раз может быть полезно ряд продифференцировать или проинтегрировать.

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 17, 2011, 22:22

М-да. Нелегкое это дело. Наверное нужно много решать и с опытом приходит.

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от сентября 17, 2011, 22:26

Ну — много-немного... Порешайте Демидовича, пока не надоест (смотрю, там меньше полсотни номеров) и можете считать себя подкованным. :)

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 17, 2011, 22:28

Так у меня еще куча материала! Какой там надоест. Тут надо считать вероятность что будет на экзамене и какой вес у него, пропорционально этому время распределять. Удельный вес нахождения суммы помноженный на вероятность вообще такого в экзамене не слишком велик, так что нерационально будет потратить на это более нескольких часов.

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 18, 2011, 10:04

Дана фукнция f(x,y)=(x²+y²)·ln(x²+y²), f(0,0)=0
Нужно сказать, дифференцируема ли в (0,0).

По определению в итоге приходим к такому:
$[tex]\frac{(x^2+y^2)\ln(x^2+y^2)-2x\ln(x^2+y^2)-2x-2y\ln(x^2+y^2)-2y}{\sqrt{x^2+y^2}}=\varepsilon(x,y)[/tex]$

И если дифференцируема, то предел при x,y→0,0 должен быть ноль. Переводим в полярные координаты и видно, что предел не нулевой, т.е вывод, что фукнция не дифференцируема. А на самом деле она таки дифференцируема, это можно доказать через существование непрерывных частных производных.

Где я ошибся?

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 18, 2011, 11:45

1^+∞ ведь неопределен, да?

Название: Матан №2
Отправлено: arseniiv от сентября 18, 2011, 12:30

Цитата: RawonaM от сентября 18, 2011, 11:45
1^+∞ ведь неопределен, да?

Если к этому сходится предел, то да (если не путаю). А так будет 1.

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от сентября 18, 2011, 15:37

Цитата: RawonaM от сентября 18, 2011, 10:04
По определению в итоге приходим к такому:

А откуда этот огромный числитель? Ведь
f(0 + Δx, 0 + Δy) = f(Δx, Δy) = ((Δx)²+(Δy)²)·ln((Δx)²+(Δy)²)

Цитата: arseniiv от сентября 18, 2011, 12:30
А так будет 1

:??? 1 в степени символ?

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 18, 2011, 15:43

Цитата: Квас от сентября 18, 2011, 15:37
Цитата: arseniiv от сентября 18, 2011, 12:30А так будет 1
:??? 1 в степени символ?

Придираетесь? :) $[tex]lim_{k \to \infty} 1^k[/tex]$ .

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 18, 2011, 15:47

Цитата: Квас от сентября 18, 2011, 15:37
Цитата: RawonaM от сентября 18, 2011, 10:04По определению в итоге приходим к такому:
А откуда этот огромный числитель? Ведь
f(0 + Δx, 0 + Δy) = f(Δx, Δy) = ((Δx)²+(Δy)²)·ln((Δx)²+(Δy)²)

Не понял. Определение ведь такое: Δf=f_xΔy+f_yΔy+e(x,y)·√((Δx)²+(Δy)²)) (на память написал, мог и подпутать).

Название: Матан №2
Отправлено: arseniiv от сентября 18, 2011, 16:03

Цитата: Квас от сентября 18, 2011, 15:37
:??? 1 в степени символ?

Цитата: RawonaM от сентября 18, 2011, 15:43
Придираетесь? :) $[tex]\lim_{k \to \infty} 1^k[/tex]$ .

Да нет, почему же, всё верно, надо показывать, что значит то или иное. Если мы подополняем $[tex]\mathbb R[/tex]$ двумя значениями $[tex]+\infty[/tex]$ и $[tex]-\infty[/tex]$ , подкорректируем порядок и введём некоторые естественные добавления, только тогда получится $[tex]1^{\pm\infty} = 1[/tex]$ . А так ведь можно дополнять и одной беззнаковой бесконечностью, получая $[tex]\mathbb{RP}^1[/tex]$ . Хотя там то же самое в этом месте будет.

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 18, 2011, 16:05

Цитата: arseniiv от сентября 18, 2011, 16:03
Да нет, почему же, всё верно, надо показывать, что значит то или иное. Если мы подополняем $[tex]\mathbb R[/tex]$ двумя значениями $+\infty$ и $-\infty$, подкорректируем порядок и введём некоторые естественные добавления, только тогда получится $1^{\pm\infty} = 1$.

Extended numbers у нас тоже не принимают, на первом курсе матана (для математиков), если б я написал такое один в степени символ, двояк бы забабахали на месте.

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от сентября 18, 2011, 16:06

Цитата: RawonaM от сентября 18, 2011, 15:47
Не понял. Определение ведь такое: Δf=f_xΔy+f_yΔy+e(x,y)·√((Δx)²+(Δy)²)) (на память написал, мог и подпутать).

А значения частных производных у вас откуда? По формулам не получается, потому что логарифм в нуле не определён. Нужно выделять главную линейную часть приращения. А мне сдаётся, что
$[tex]\frac{ ((\Delta x)^2+(\Delta y)^2)·\ln((\Delta x)^2+(\Delta y)^2)}{\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}}[/tex]$
уже стремится к 0, откуда получается, что функция дифференцируема, а её производная — нулевой функционал.

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 18, 2011, 16:08

Цитата: Квас от сентября 18, 2011, 16:06
А значения частных производных у вас откуда? По формулам не получается, потому что логарифм в нуле не определён.

А значения производных мы посчитали отдельно, тоже по определению.

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от сентября 18, 2011, 16:10

И чему они в нуле равны? Нулям?

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 18, 2011, 16:12

Цитата: Квас от сентября 18, 2011, 16:10
И чему они в нуле равны? Нулям?

Нет, не нулям. Я уже забыл, я пока что на работу ушел. Попробую вспомнить.

А, кажется я производные по формуле посчитал... А в нуле производная ноль, там производные выходят непрерывны. Нельзя было по формуле разве?

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от сентября 18, 2011, 16:13

А как в логарифм ноль подставлять?

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 18, 2011, 16:14

Цитата: Квас от сентября 18, 2011, 16:13
А как в логарифм ноль подставлять?

А на каком этапе его надо было подставлять? Не помню такого. Производные считаются без подстановки, а потом предел этого монстра выше нужно было взять.

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 18, 2011, 16:16

Вот это ж они и есть, производные:
$[tex]f_x = 2x\ln(x^2+y^2)+2x[/tex]$
$[tex]f_y = 2y\ln(x^2+y^2)+2y[/tex]$

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 18, 2011, 16:17

Да, в нуле они равняются нулям, но высчитываются не по формуле, а по определению (пределом).

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от сентября 18, 2011, 16:23

Цитата: RawonaM от сентября 18, 2011, 16:17
Да, в нуле они равняются нулям, но высчитываются не по формуле, а по определению (пределом).

Вот и хорошо. Тогда по прежнему тот огромный числитель непонятно откуда взялся (потому что частные производные надо вычислять именно в нуле), а предел отношения
$[tex]\frac{ ((\Delta x)^2+(\Delta y)^2)·\ln((\Delta x)^2+(\Delta y)^2)}{\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}}[/tex]$
равен 0 — так что никакого противоречия.

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 18, 2011, 16:28

А-а, тогда понятно. А взялся он видимо оттуда, что я подставил f_x(Δx,Δy) и f_y(Δx,Δy) вместо f_y(0,0) и f_x(0,0), остальное сходится. Теперь ясно. Спасибо :)

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 19, 2011, 11:38

Нужно найти объем тела, зажатого между z=2x и z=x²+y².

Значит нужно посчитать интеграл $[tex]\iint_R (2x-x^2-y^2)\, dA[/tex]$ , где R — круг 2x=x²+y².

Теперь, если я делаю два разных перехода в полярные координаты, одна с центром 1;0 (x=1+r cosθ,y=r sinθ), другая с центром 0;0 (x=r cosθ,y=r sinθ), я получаю разные результаты.

Вот:
$[tex]\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \int_0^{2\cos\theta} (2r\cos\theta - r^2)r \,dr \, d\theta = \pi/2[/tex]$

$[tex]\int_{0}^{2\pi} \int_0^{1} (1-r^2)r \,dr \,d\theta = \pi/6[/tex]$

В чем моя ошибка?

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от сентября 19, 2011, 11:46

Где-то в вычислении второго интеграла. А записано всё правильно.

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 19, 2011, 11:50

Цитата: Квас от сентября 19, 2011, 11:46
Где-то в вычислении второго интеграла. А записано всё правильно.

Вычислял максимой, дает этот же результат.
Кстати как в мэпле интегралы численные получить? Он меня сегодня доводил до слез путем писания глупостей. То, что он выдал на этот интеграл в evalf():
.5000000000*cos(.5000000000*Pi)^3*sin(.5000000000*Pi)+.7500000000*cos(.5000000000*Pi)*sin(.5000000000*Pi)+.3750000000*Pi

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от сентября 19, 2011, 11:55

Я посчитал второй интеграл командой

int(int((1-r^2)*r,r=0..1),theta=0..2*Pi);

получилось π/2. Чтобы получить численно, обычно пишут

evalf(Int(...))

Int — «инертная» форма, которая не вычисляется; таким образом, экономится время, потому что программа не пытается вычислить интеграл точно.

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 19, 2011, 11:57

Цитата: Квас от сентября 19, 2011, 11:55
получилось π/2. Чтобы получить численно, обычно пишут

evalf(Int(...))

Тогда выдает не число, а вот это:
Int(cos(t)^4, t = -.5000000000*Pi .. .5000000000*Pi)

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 19, 2011, 11:59

Спасибо, с интегралом разобрался. Действительно ошибся в вычислении.

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от сентября 19, 2011, 12:10

Цитата: RawonaM от сентября 19, 2011, 11:57
Тогда выдает не число, а вот это:
Int(cos(t)^4, t = -.5000000000*Pi .. .5000000000*Pi)

У меня команда
evalf(Int(cos(t)^4,t=-Pi/2..Pi/2));
даёт
1.178097245

А команда
evalf[50](Int(cos(t)^4,t=-Pi/2..Pi/2));
даёт
1.1780972450961724644234912687298135815739385247657

Название: Матан №2
Отправлено: Bhudh от сентября 19, 2011, 12:21

$[tex]\frac{3\,\pi }{8}[/tex]$ , правильно.

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 19, 2011, 12:43

Цитата: Квас от сентября 19, 2011, 12:10
Цитата: RawonaM от сентября 19, 2011, 11:57Тогда выдает не число, а вот это:
Int(cos(t)^4, t = -.5000000000*Pi .. .5000000000*Pi)
У меня команда
evalf(Int(cos(t)^4,t=-Pi/2..Pi/2));
даёт
1.178097245

А у меня — Int(cos(t)^4, t = -.5000000000*Pi .. .5000000000*Pi). :(

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 22, 2011, 10:01

Нужно найти точки, в которых касательная к f(x,y)=x²+2y²+4 проходит через 0,0,0.
Как это делается?

Я нашел общую формулу касательной поверхности — 2x²+4y²-z=0 ⇒ x²+2y²-4=0.
Получается, что для любых x,y выполняющих это равенство, касательная будет проходить через начало? Или я где-то запутался? По картинке ничего такого не видно.

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 22, 2011, 10:11

Похоже я фигню какую-то написал.

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 22, 2011, 10:15

Странно. Другим путем к тому же самому пришел.

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от сентября 22, 2011, 10:17

Ну да, первое уравнение у вас задаёт эллиптический параболоид, а второе — цилиндр над эллипсом. :) Речь о касательной плоскости или касательной прямой? (В принципе, на решение не влияет, но просто уточнить.)

Уравнение касательной плоскости:
$[tex]z - f(x_0, y_0) = f'_x(x_0, y_0)(x-x_0) + f'_y(x_0, y_0)(y-y_0)[/tex]$

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 22, 2011, 10:22

Цитата: Квас от сентября 22, 2011, 10:17
Речь о касательной плоскости или касательной прямой?

Касательная плоскость.
Так правильно вышло? А то я два раза уже решил и два раза запутался. Не догоняю до конца.

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 22, 2011, 10:23

А, теперь я и на картинке вижу эллипс. Поверхность же спускается ниже нуля на минус 4, следовательно есть закрытая кривая, чья касательная проходит через начало.

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от сентября 22, 2011, 10:26

Я не уверен, но кажется, что вы подставляете x₀ = x, y₀ = y. То есть координаты точки касания обозначаете той же буквой, что и координаты переменной точки плоскости.

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 22, 2011, 10:31

Цитата: Квас от сентября 22, 2011, 10:26
Я не уверен, но кажется, что вы подставляете x₀ = x, y₀ = y. То есть координаты точки касания обозначаете той же буквой, что и координаты переменной точки плоскости.

Да, это я сначала так и сделал. Потом понял, что глупость, и переделал заново. На удивление вышло то же самое.

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 22, 2011, 10:33

В итоге все равно нужно подставить 0,0,0 поэтому тут:
$[tex]z - f(x_0, y_0) = f'_x(x_0, y_0)(x-x_0) + f'_y(x_0, y_0)(y-y_0)[/tex]$
Первый раз я подставил нули в x_0 и по ошибке сравнял х с остальными х_0, а второй раз подставил нули в x,y,z уже правильно — результат вышел одинаков.

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от сентября 22, 2011, 10:39

Вот это уравнение правильное:
x²+2y²-4=0.
Касательная плоскость к данной поверхности в любой точке, абсцисса и ордината которой удовлетворяют уравнению, проходит через начало координат.

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 22, 2011, 11:10

Ну значит все нормально я решил, зря я засомневался. Правда по-моему до сих пор до конца не понимаю суть.

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от сентября 22, 2011, 11:14

А какая тут суть? Всё сугубо по формулам, даже думать не надо.

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 22, 2011, 11:16

Цитата: Квас от сентября 22, 2011, 11:14
А какая тут суть? Всё сугубо по формулам, даже думать не надо.

Не, по формулам не интересно. Думать всегда надо :)

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 22, 2011, 22:18

Уопшем, сдал. Фу-у-уф.

Первые полчаса потратил на какой-то странный вопрос, где двадцать первое чувство мне подсказывало, что я делаю что-то не так.
Решил оставить его на потом. Сделал три вопроса, вернулся к этому, решил его оставить и сделать другое вместо него. К форчуну выбора было достаточно: две части по три вопроса, в каждой из них нужно выбрать два. Тьфу-тьфу чтоб не сглазить, но по-моему я сделал все тьфу-тьфу хорошо.

А собственно вопрос, который меня замучил, был таков (надеюсь что правильно помню, бланк нельзя было забирать):
дана функция:
$[tex]f(x,y)=x \sin(\frac1{x^2+y^2})[/tex]$
f(0,0)=0

Сказать непрерывна ли в нуле и дифференцируема ли там же.

Почему меня насторожило, да потому что это половина вопроса (т.е. пункт алеф) и я решил, что не может быть, чтобы это было доказательство дифференцируемости через определение — такое тянет на целый вопрос, а не на половину, а у меня получилось, что функция непрерывна и нельзя просто так опровергнуть дифференцируемость сказав, что она ненепрерывна. И вот у меня появились сомнения, что я таки ошибся в пределе и она вероятно не непрерывна, а доказать дифференцируемость через определение или через существование непрерывных частичных производных казалось кропотной и подверженной ошибкам работе, в общем я решил, что что-то не так. Пришел вот домой, посмотрел график этой функции — мама родная! Я такого страшилища еще не видал. Без сто граммов не поймешь. Зашел еще на форум курса, там уже люди этот вопрос обсуждают и не врубаются.

Потом пункт бет этого вопроса тоже неожиданно застал меня врасплох, хотя вроде как показался совсем легким.
Если все правильно помню, то дело такое: найти плоскость перпендикулярную некой плоскости (уравнение не помню), которая проходит через прямую, которая является пересечением плоскостей x-z=1 и y+2z=4. Как это решать?!!! Я ниче не врубился, тупил по-черному. Вроде казалось бы, возьми уравняй эти уравнения плоскостей и получишь пересечение. А получается вот что:
y+2x=6. Чё с этим теперь делать?!! Это же плоскость, а не прямая! В общем, где-то наверное полчаса потратил на эти два пункта и решил не делать этот вопрос, хотя по началу другие казались сложнее.

Ну было там еще посчитать √e с помощью ряда Тейлора с точностью до второй цифры после запятой, а я очень не люблю эти высчитывания Тейлорами и боялся их делать, потому что это много работы и легко ошибиться, поэтому хотел избежать этого вопроса, но когда начал делать понял, что я зря — тут ведь уже все готовое, ряд Тейлора для е известен, практически в несколько срок можно уложиться. Конечно я все равно запутался, сколько членов надо взять из ряда, чтобы до второй было точно, сначала показалось четыре, но че-то остаток по Лагранжу у меня не такой выходил, так я решил пять взять, уже чтоб надежнее, а там оказалось все четыре точно после запятой. Ну, больше не меньше, не страшно.

Остальные задания были достаточно легкие, вообще возьми подставь просто да реши. Самые «интеллигентные» — где нужно было догадаться, чтобы двойные интегралы поменять местами, иначе интеграл не брался.

Ну что ж, поживем увидим, вроде как летом довольно быстро проверяют. Присоединяю страшную функцию.

П.С. Еще я сегодня подумал, насколько вредны для здоровья такие вот испытания. Нет, я конечно получаю удовольствие от экзаменов, но переживания порой бывают очень сильные, думаю для сердечно-сосудистой системы это не очень хорошо. Раньше у меня такого никогда не было...

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от сентября 22, 2011, 22:48

Я вас поздравляю! :=

Функция ваша непрерывна (произведение ограниченной на бесконечно малую), а насчёт дифференцируемости сразу и не скажешь...

Цитата: RawonaM от сентября 22, 2011, 22:18
Если все правильно помню, то дело такое: найти плоскость перпендикулярную некой плоскости (уравнение не помню), которая проходит через прямую, которая является пересечением плоскостей x-z=1 и y+2z=4. Как это решать?!!!

Вапче-то это называется «аналитическая геометрия», анализом тут не пахнет. Простота вычислений зависит от изощрённости в этой самой аналитике. В случае самых простых рассуждений вас интересует точка на плоскости и два вектора, на которые она натянута, тогда уравнение стандартное (либо можно эти векторы векторно перемножить и получить нормаль, уравнение ещё более привычное). Записываем данную прямую в каноническом виде и получаем точку и первый вектор; второй вектор — нормаль к первой плоскости.

Вариант: всякая плоскость, проходящая через данную прямую, записывается в виде
a(x-z -1) + b(y+2z-4) = 0
(уравнение пучка плоскостей); достаточно подобрать a и b так, чтобы нормаль к первой плоскости была компланарна плоскости из пучка.

В общем, я вас ещё раз поздравляю, это большое дело! :up: Теперь надо отдыхать. :)

Spoiler ⇓⇓⇓

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 22, 2011, 22:58

Цитата: Квас от сентября 22, 2011, 22:48
Простота вычислений зависит от изощрённости в этой самой аналитике. В случае самых простых рассуждений вас интересует точка на плоскости и два вектора, на которые она натянута, тогда уравнение стандартное (либо можно эти векторы векторно перемножить и получить нормаль, уравнение ещё более привычное). Записываем данную прямую в каноническом виде и получаем точку и первый вектор; второй вектор — нормаль к первой плоскости.

Вариант: всякая плоскость, проходящая через данную прямую, записывается в виде
a(x-z -1) + b(y+2z-4) = 0
(уравнение пучка плоскостей); достаточно подобрать a и b так, чтобы нормаль к первой плоскости была компланарна плоскости из пучка.

Ой вы щас прямо совсем непонятно для меня сказали, то ли я уже мозги расслабил. В общем, на форуме курса сказали, что этот вопрос был у нас в домашних заданиях... Открыл свои домашние задания, вах — месяца полтора назад я этот вопрос сам без запинки решил — как щас помню. Правда решение не простое, целую страницу занимает, так что я правильно сделал, что не стал трогать этот вопрос — я бы его не осилил.

Цитата: Квас от сентября 22, 2011, 22:48
В общем, я вас ещё раз поздравляю, это большое дело! :up: Теперь надо отдыхать. :)

Спасибо, но отдыхать еще рано! Во-первых десятого числа пересдаю дискретку, не понравилась мне моя первая оценка, а потом 23-го уже новый семестр начинается и у меня куча «домашнего чтения» на следующий семестр. Отдыхать буду через год :) Нет, ну конечно так интенсивно в ближайший месяц заниматься не буду, но хотя бы на работу буду ходить, а то я по полдня работал в этом семестре.
Завтра думаю поехать в палестинский город какой-нибудь, поддержать народ во время речи Абу-Мазена в ООН.

Цитата: Квас от сентября 22, 2011, 22:48
А ещё какая-нибудь математика вас будет интересовать? :'(

Будет, стопудово :) Вы знаете, я уже несколько жалею, что я не стал делать степень по математике. Мне бы подошло, математика и информатика хорошо сочетаются. Впрочем, информатика часть математики, так что все информатики в какой-то мере математики :)

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от сентября 22, 2011, 23:02

Цитата: RawonaM от сентября 22, 2011, 22:58
Будет, стопудово :)

Это хорошо! Я уже привык к нашим посиделкам. :)

Цитата: RawonaM от сентября 22, 2011, 22:58
Впрочем, информатика часть математики, так что все информатики в какой-то мере математики :)

Я тоже так думаю. :yes:

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 22, 2011, 23:09

Цитата: Квас от сентября 22, 2011, 23:02
Цитата: RawonaM от сентября 22, 2011, 22:58Будет, стопудово :)
Это хорошо! Я уже привык к нашим посиделкам. :)

Интересный вы человек, лично мне бы это быстро надоело, а вам вот нравится :) Не перестаю удивляться и восторгаться вами :)
В очередной раз выражаю благодарность за вашу неизмеримую помощь. Несомненно, мне было бы гораздо тяжелее учиться без вас. Спасибо! :yes:

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от сентября 22, 2011, 23:10

Рад помочь. :) Опять вы мну засмущали. :-[

Название: Матан №2
Отправлено: Bhudh от сентября 22, 2011, 23:37

Цитата: RawonaM от сентября 22, 2011, 22:18Пришел вот домой, посмотрел график этой функции — мама родная! Я такого страшилища еще не видал.

(http://lingvoforum.net/index.php?action=dlattach;topic=36584.0;attach=25632;image)

Н-да...
А вот такой вид ещё интересней!

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от сентября 22, 2011, 23:48

Да это вообще сифилис какой-то. Ужас, нельзя это на ночь показывать.

Название: Матан №2
Отправлено: Bhudh от сентября 22, 2011, 23:59

Я не на ночь, я ночью.

Название: Матан №2
Отправлено: arseniiv от сентября 27, 2011, 18:21

Цитата: Квас от сентября 22, 2011, 22:48
а насчёт дифференцируемости сразу и не скажешь...

Не определена производная в нуле.

Точек маловато на всех этих графиках. Вот как надо: :eat: Сто на сто!

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от октября 4, 2011, 12:52

Так и что? Дихверенцируема али не?

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от октября 9, 2011, 21:39

Получил 98 :smoke:

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от октября 9, 2011, 22:05

Ух ни фига себе! :o

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от октября 9, 2011, 22:10

Сам не ожидал :) Ну что ж, это уравновесило хреновую оценку по линейной алгебре. Хотя может у меня будет еще шанс алгебру пересдать, тогда вообще хорошо будет :)

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от октября 9, 2011, 22:14

Поздравляю! :) :)

Название: Матан №2
Отправлено: Bhudh от октября 9, 2011, 22:16

И я.

Ты не хочешь 3D-chess как дипломную забацать? ;D

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от октября 9, 2011, 22:38

Цитата: Квас от октября 9, 2011, 22:14
Поздравляю! :) :)

Спасибо! :)

Цитата: Квас от октября 9, 2011, 22:14
И я.

Спасибо :)

Цитата: Bhudh от октября 9, 2011, 22:16
Ты не хочешь 3D-chess как дипломную забацать? ;D

3Д или 3П(леер)? :) За дипломную не пройдет, разве что если в нее АИ пихать. Как я могу тягаться с этой областью, когда уже над этим сколько исследований было? Надо что-нибудь новое делать :)

Название: Матан №2
Отправлено: Bhudh от октября 9, 2011, 22:52

Тьфу! :wall:
3П(леер), конечно!

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от ноября 8, 2011, 08:33

Скажите будь ласка, формула $[tex]\sum_{i=0}^n x^i = \frac{1-x^{n+1}}{1-x}[/tex]$ работает на все x или только на 0<x<1?

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от ноября 8, 2011, 09:46

Для |x|<1 (комплексные тоже можно).

Название: Матан №2
Отправлено: Тайльнемер от ноября 8, 2011, 09:53

Нет. Для любого верно. Это же не ряд, а конечная сумма.

Индукция по $[tex]n[/tex]$ .
База индукции. Пусть $[tex]n = 0[/tex]$ . Тогда
$[tex]\sum_{i=0}^0 x^i = x^0 = 1 = \frac{1-x}{1-x}[/tex]$
Шаг индукции. Предположим, верно, что . Тогда
$[tex]\sum_{i=0}^{n} x^i = x^n + \sum_{i=0}^{n-1} x^i = x^n + \frac{1-x^n}{1-x} =[/tex]$
$[tex]= \frac{x^n(1-x) + (1-x^n)}{1-x} = \frac{1-x^{n+1}}{1-x}[/tex]$

Название: Матан №2
Отправлено: Квас от ноября 8, 2011, 09:56

Цитата: Тайльнемер от ноября 8, 2011, 09:53
Это же не ряд, а конечная сумма.

Пардон, не обратил внимания.

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от ноября 8, 2011, 11:21

Данке шён.

Название: Матан №2
Отправлено: arseniiv от ноября 8, 2011, 18:35

Только если вам это нужно со стороны производящих функций последовательностей, забейте на сходимость.

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от июня 23, 2012, 20:52

J'ai besoin d'aide.

$[tex]$1-\frac1{2^x}$^n \ge \frac12[/tex]$

x=?

Название: Матан №2
Отправлено: Тайльнемер от июня 24, 2012, 16:09

Пусть .
монотонно возрастает.
При
При
То же самое будет верно, если вместо $[tex]f(x)[/tex]$ взять $[tex]f(x)^n[/tex]$ для любого нечётного $[tex]n[/tex]$ . Поэтому для нечётных $[tex]n[/tex]$ решением будет промежуток $[tex][x_n^+; +\infty)[/tex]$ , где $[tex]x_n^+ > 0[/tex]$ . А для чётного $[tex]n[/tex]$ левая ветка будет больше нуля и стремиться к $[tex]+\infty[/tex]$ , и решение будет вида $[tex](-\infty; x_n^-]\cup[x_n^+; +\infty)[/tex]$ , где $[tex]x_n^- < 0[/tex]$ .

Найдём эти числа:
$[tex](1-2^{-x_n^\pm})^n=2^{-1}[/tex]$
$[tex]1-2^{-x_n^\pm}=\pm 2^{-1/n}[/tex]$

$[tex]2^{-x_n^+}=1- 2^{-1/n};\quad 2^{-x_n^-}=1+ 2^{-1/n}[/tex]$

$[tex]x_n^+=-\log_2 (1- 2^{-1/n});\quad x_n^-=-\log_2 (1+ 2^{-1/n})[/tex]$

Если я не наошибался...

(Может, ещё как-то упростить можно...)

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от июня 24, 2012, 16:35

Тайльнемер, merci! :)

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от октября 30, 2012, 19:50

Как решать дифуры типа dP/dt=(b-c)P(t) ?

Название: Матан №2
Отправлено: arseniiv от октября 30, 2012, 20:55

Тут же явно переменные разделяются. Перенесите P(t) и dt в противоположные части уравнения и интегрируйте.

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от ноября 5, 2012, 10:42

Спасибо, arseniiv.

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от ноября 5, 2012, 10:44

Вот еще вопрос: даны сферические координаты точек на сфере, как проще всего посчитать угловое расстояние между двумя точками?

Название: Матан №2
Отправлено: Hellerick от ноября 5, 2012, 10:56

(wiki/en) Great-circle_distance (http://en.wikipedia.org/wiki/Great-circle_distance)

Хотя я бы просто пересчитал в декартовы координаты и по хорде нашел угол — чего голову лишний раз ломать?

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от ноября 5, 2012, 11:28

Цитата: Hellerick от ноября 5, 2012, 10:56
Хотя я бы просто пересчитал в декартовы координаты и по хорде нашел угол — чего голову лишний раз ломать?

Эту операцию надо выполнить несколько десятков миллионов раз, нужен наиболее эффективный способ.

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от ноября 5, 2012, 11:29

А входные данные это экваториальные координаты в градусах.

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от ноября 5, 2012, 11:36

Все-таки мне кажется, что должен быть способ из данных двух точек в угловых координатах в градусах найти угловое расстояние в градусах между ними без перехода в радианы, потом в декартовы координаты.

Название: Матан №2
Отправлено: GaLL от ноября 5, 2012, 11:57

Цитата: RawonaM от ноября 5, 2012, 11:36
Все-таки мне кажется, что должен быть способ из данных двух точек в угловых координатах в градусах найти угловое расстояние в градусах между ними без перехода в радианы, потом в декартовы координаты.

Есть способ с координатами в радианах, благодаря сферической версии теоремы косинусов:
(wiki/en) Spherical_law_of_cosines (http://en.wikipedia.org/wiki/Spherical_law_of_cosines)
Если надо найти расстояние между A и B, в качестве C можно взять один из полюсов.

Название: Матан №2
Отправлено: Hellerick от ноября 5, 2012, 12:00

Это фактически в (wiki/en) Great-circle_distance (http://en.wikipedia.org/wiki/Great-circle_distance) и было написано:

(http://upload.wikimedia.org/math/0/3/2/0323f97bf9c66f91fe44c49dc7842552.png)

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от ноября 5, 2012, 12:07

Цитата: GaLL от ноября 5, 2012, 11:57
Если надо найти расстояние между A и B, в качестве C можно взять один из полюсов.

Что-то я не понял как пользоваться этой теоремой. Как в таком случае найти расстояние от С до А и В?

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от ноября 5, 2012, 12:08

Цитата: Hellerick от ноября 5, 2012, 12:00
(http://upload.wikimedia.org/math/0/3/2/0323f97bf9c66f91fe44c49dc7842552.png)

Я пытался применить эту формулу, у меня выходят неправильные результаты (при переходе в декартову систему выходят другие), что-то я делаю не так.

Название: Матан №2
Отправлено: GaLL от ноября 5, 2012, 12:13

Цитата: RawonaM от ноября 5, 2012, 12:07
Что-то я не понял как пользоваться этой теоремой. Как в таком случае найти расстояние от С до А и В?

Расстояние на сфере единичного радиуса от полюса до А равно π/2 минус широта точки А (или плюс, если взять противоположный полюс).

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от ноября 5, 2012, 12:15

Вот как я считываю данные:

Код Выделить

      phi   = ra * dpi/180.0;
      theta = (90.0-dec)*dpi/180;
      x[i] = sinf(theta)*cosf(phi);
      y[i] = sinf(theta)*sinf(phi);
      z[i] = sinf(cosf(theta));
      raa[i] = phi;
      deca[i] = theta;

А вот тут я печатаю для точек p и q:

Код Выделить

  theta = px*qx + py*qy + pz*qz;
  printf("theta: %f, mytheta: %f\n", theta, cosf(pra)*cosf(qra)*cosf(pdec-qdec)+sinf(pra)*sinf(qra));

Цитата: outputtheta: 0.999557, mytheta: 0.937411
theta: 0.999557, mytheta: 0.885613
theta: 0.999562, mytheta: 0.843993
theta: 0.999561, mytheta: 0.700190
theta: 0.999562, mytheta: 0.819516
theta: 0.999562, mytheta: 0.620748
theta: 0.999561, mytheta: 0.996170
theta: 0.999561, mytheta: 0.991670
theta: 0.999566, mytheta: 0.687178
theta: 0.999565, mytheta: 0.543625
theta: 0.999567, mytheta: 0.920863
theta: 0.999567, mytheta: 0.854585
theta: 0.999560, mytheta: 0.976778
theta: 0.999563, mytheta: 0.671846
theta: 0.999563, mytheta: 0.513703
theta: 0.999564, mytheta: 0.942698
theta: 0.999563, mytheta: 0.852605
theta: 0.999563, mytheta: 0.684127
theta: 0.999563, mytheta: 0.562309
theta: 0.999564, mytheta: 0.882153
theta: 0.999563, mytheta: 0.857082
theta: 0.999567, mytheta: 0.972607
theta: 0.999569, mytheta: 0.405220
theta: 0.999569, mytheta: 0.215598
theta: 0.999568, mytheta: 0.205926
theta: 0.999568, mytheta: 0.056741
theta: 0.999569, mytheta: 0.926480

Название: Матан №2
Отправлено: Hellerick от ноября 5, 2012, 12:17

Цитата: RawonaM от ноября 5, 2012, 12:08
Цитата: Hellerick от ноября 5, 2012, 12:00
(http://upload.wikimedia.org/math/0/3/2/0323f97bf9c66f91fe44c49dc7842552.png)
Я пытался применить эту формулу, у меня выходят неправильные результаты (при переходе в декартову систему выходят другие), что-то я делаю не так.

ЦитироватьThis arccosine formula above can have large rounding errors if the distance is small

Она действительно плохо подходит для малых расстояний. Поэтому, когда я рассчитывал картографические проекции, мне приходилось просчитывать именно через декартовы координаты.

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от ноября 5, 2012, 12:19

Понятно, значит похоже надо делать через декартову.

Название: Матан №2
Отправлено: GaLL от ноября 5, 2012, 13:07

Цитата: RawonaM от ноября 5, 2012, 12:15
printf("theta: %f, mytheta: %f\n", theta, cosf(pra)*cosf(qra)*cosf(pdec-qdec)+sinf(pra)*sinf(qra));

Для вычислений лучше не юзать float'ы, так как плохо сохраняют точность. Впрочем, зависит от характера задачи.

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от ноября 5, 2012, 13:09

Цитата: GaLL от ноября 5, 2012, 13:07
Для вычислений лучше не юзать float'ы, так как плохо сохраняют точность. Впрочем, зависит от характера задачи.

Да я в курсе, но почему-то в этом коде уже было так и я не буду это менять.
Мне только надо распараллелить этот код для кластера, просто я подумал было оптимизировать вычисления, не мог понять зачем они в декартову переходят, однако похоже этим вопросом уже до меня задавались.

Название: Матан №2
Отправлено: GaLL от ноября 5, 2012, 13:11

Цитата: RawonaM от ноября 5, 2012, 12:19
Понятно, значит похоже надо делать через декартову.

Тут явно не в этом дело.

Цитировать
theta = px*qx + py*qy + pz*qz;

А почему тета равна просто скалярному произведению векторов?

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от ноября 5, 2012, 13:17

Цитата: GaLL от ноября 5, 2012, 13:11
Цитата: RawonaM от ноября 5, 2012, 12:19Понятно, значит похоже надо делать через декартову.
Тут явно не в этом дело.

Да я тоже так думаю, но сейчас не могу выделить на это время.

Цитата: GaLL от ноября 5, 2012, 13:11
Цитироватьtheta = px*qx + py*qy + pz*qz;
А почему тета равна просто скалярному произведению векторов?

На самом деле theta это не тета, а cos(тета). т.е. настоящая тета там дальше берется арккосинусом.

Название: Матан №2
Отправлено: GaLL от ноября 5, 2012, 13:31

Цитата: RawonaM от ноября 5, 2012, 12:15
printf("theta: %f, mytheta: %f\n", theta, cosf(pra)*cosf(qra)*cosf(pdec-qdec)+sinf(pra)*sinf(qra));

pra и qra отсчитываются от полюса или от экватора?

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от ноября 5, 2012, 13:35

Цитата: GaLL от ноября 5, 2012, 13:31
Цитата: RawonaM от ноября 5, 2012, 12:15printf("theta: %f, mytheta: %f\n", theta, cosf(pra)*cosf(qra)*cosf(pdec-qdec)+sinf(pra)*sinf(qra));
pra и qra отсчитываются от полюса или от экватора?

От полюса, они тут вычисляются:

Код Выделить

      phi   = ra * dpi/180.0;
      theta = (90.0-dec)*dpi/180;
      x[i] = sinf(theta)*cosf(phi);
      y[i] = sinf(theta)*sinf(phi);
      z[i] = sinf(cosf(theta));
      raa[i] = phi;
      deca[i] = theta;

Тут запутано с названиями переменных, по-хорошему надо было по-другому называть, прошу прощения :)

Название: Матан №2
Отправлено: GaLL от ноября 5, 2012, 13:38

Раз от полюса, то должно быть:
sinf(pra)*sinf(qra)*cosf(pdec-qdec)+cosf(pra)*cosf(qra)

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от ноября 5, 2012, 13:47

Цитата: GaLL от ноября 5, 2012, 13:38
Раз от полюса, то должно быть:
sinf(pra)*sinf(qra)*cosf(pdec-qdec)+cosf(pra)*cosf(qra)

Поменял, вот результат:

Цитироватьtheta: 0.999560, mytheta: 0.989693
theta: 0.999563, mytheta: 0.633222
theta: 0.999563, mytheta: 0.428785
theta: 0.999564, mytheta: 0.945083
theta: 0.999563, mytheta: 0.884490
theta: 0.999563, mytheta: 0.586955
theta: 0.999563, mytheta: 0.530499
theta: 0.999564, mytheta: 0.919175
theta: 0.999563, mytheta: 0.857468
theta: 0.999567, mytheta: 0.439090
theta: 0.999569, mytheta: 0.408172
theta: 0.999569, mytheta: 0.270013
theta: 0.999568, mytheta: 0.163122
theta: 0.999568, mytheta: 0.054385
theta: 0.999569, mytheta: 0.987898

Название: Матан №2
Отправлено: GaLL от ноября 5, 2012, 14:08

Цитата: RawonaM от ноября 5, 2012, 12:15
phi = ra * dpi/180.0;
theta = (90.0-dec)*dpi/180;
x = sinf(theta)*cosf(phi);
y = sinf(theta)*sinf(phi);
z = sinf(cosf(theta));

Надо z = cosf(theta);

Название: Матан №2
Отправлено: GaLL от ноября 5, 2012, 14:34

Цитата: Квас от июля 22, 2011, 13:45
Цитата: RawonaM от июля 22, 2011, 13:35
Цитата: Квас от июля 22, 2011, 13:29В обосновании надо быть аккуратным, потому что ряды с общим членом, эквивалентным 1/n, расходятся. Как указано в вики, железобетонно будет через предел.
Так я через предел и нашел. А как еще?

Да мало ли? :donno: Например,
$[tex] \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{(k+1)(k+2)}=\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{k+1}-\frac{1}{k+2}\right)=\\=\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{5}\right)+\ldots=\\ =\frac{1}{2}+\left(-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\right)+\left(-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\right)+\ldots=\frac{1}{2} [/tex]$

Кстати, разложение на элементарные дроби работает и вообще для $[tex]\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{P(x)}, [/tex]$ где P(x) - многочлен k-ой степени с k различными действительными корнями. Это нетрудно показать при помощи алгоритма разложения на элементарные дроби.

Цитировать
Это решение не годится без серьёзных пояснений, потому что производится перегруппировка членов условно сходящегося ряда.

Достаточно записать в таком виде i-ую частичную сумму, там получится
$[tex] \frac{1}{2}-\frac{1}{i+2} [/tex]$
стремящееся к 1/2.

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от ноября 5, 2012, 15:59

Цитата: GaLL от ноября 5, 2012, 14:08
Надо z = cosf(theta);

Действительно, спасибо. Я не перепроверял их алгоритм, а стоило.

Но результат теперь выходит странный:

Цитироватьtheta: 1.000000, mytheta: 0.989693
theta: 0.999999, mytheta: 0.633222
theta: 0.999999, mytheta: 0.428785
theta: 0.999999, mytheta: 0.945083
theta: 0.999998, mytheta: 0.884490
theta: 0.999999, mytheta: 0.586955
theta: 0.999999, mytheta: 0.530499
theta: 0.999999, mytheta: 0.919175
theta: 0.999998, mytheta: 0.857468
theta: 1.000000, mytheta: 0.439090
theta: 1.000000, mytheta: 0.408172
theta: 1.000000, mytheta: 0.270013
theta: 1.000000, mytheta: 0.163122
theta: 1.000000, mytheta: 0.054385
theta: 1.000000, mytheta: 0.987898

Название: Матан №2
Отправлено: GaLL от ноября 5, 2012, 16:27

Это выводятся только те случаи, когда два варианта вычислений сильно расходятся?
Можно попробовать заменить float'ы на double'ы. Или добавить
if (fabs(pra - qra) < eps && fabs(pdec - qdec) < eps)
{ вычислить расстояние через декартовы координаты }
что не отразится значительно на времени работы, если точки лишь изредка расположены близко.

Название: Матан №2
Отправлено: GaLL от ноября 5, 2012, 17:18

А вообще, вычисление синуса и косинуса раньше было гораздо медленнее, чем сложение и умножение вещественных типов данных. Так что здесь ещё надо разбираться, насколько замедляет вычисление расстояния переход к декартовым координатам.
Если требуется вычисление расстояния между всеми парами точек, то выгоднее сначала перевести координаты в декартовы, а потом уже считать все пары расстояний. Если каждая точка встречается в запросах на расстояние в среднем раз 10 и более, то, очевидно, тоже (если конечно они уже все известны заранее).

Кстати, если эти расстояния нужны в программе только для их сравнения друг с другом (т. е. определять, что ближе, что дальше), то можно вместо них использовать евклидовы. :)

Название: Матан №2
Отправлено: RawonaM от ноября 5, 2012, 18:11

Цитата: GaLL от ноября 5, 2012, 16:27
Это выводятся только те случаи, когда два варианта вычислений сильно расходятся?

Да они везде сильно расходятся, это только отрывок вывода.

Цитата: GaLL от ноября 5, 2012, 17:18
Если требуется вычисление расстояния между всеми парами точек, то выгоднее сначала перевести координаты в декартовы, а потом уже считать все пары расстояний. Если каждая точка встречается в запросах на расстояние в среднем раз 10 и более, то, очевидно, тоже (если конечно они уже все известны заранее).

Ну видимо поэтому они так и сделали, наверное.

Лингвофорум

Общий раздел => Наука и техника => Математика => Тема начата: RawonaM от июля 22, 2011, 12:44