Лингвофорум

Офтопами сообщения были в теме Задача о платоновых костях (http://lingvoforum.net/index.php/topic,34331.msg866394.html#msg866394), из которой и вырезано. — Квас.

Цитата: Bhudh от июня 21, 2011, 00:19

Offtop

А почему есть только дифференциальная геометрия кривых и дифференциальная геометрия поверхностей? В высшие размерности она уже не лезет?
И как глубоко тензорное исчисление со всем этим соотносится?

Лезет. Кривые и поверхности в университетском курсе — дань традиции, плюс маломерный случай позволяет, наверно, избежать некоторых технических сложностей при сохранении идеологии. (Есть элементарный учебник дифференциальной геометрии Торпа, в котором как раз сразу рассматривается многомерный случай.)

Другое дело, что естественно эту науку рассматривать не на поверхностях, а на многообразиях. (Кто не знает: многообразие — это поверхность, «вынутая» из пространства.) Размерность же многообразий нет смысла ограничивать, что ясно из самых первых приложений (многообразие как конфигурационное пространство механической системы, размерность многообразия — число степеней свободы).

С тензорным исчислением связано очень и очень тесно. Тензоры — основное население многообразий. Уже самые фундаментальные понятия дифференциальной геометрии выражаются на языке тензоров: векторные поля, риманова метрика.

Практическая работа на многообразиях осуществляется через координаты в картах (карта — это область на многообразии, на которой заданы координаты.) Одна и та же точка может принадлежать разным картам и иметь, соответственно, разные координаты; и другие объекты, связанные с этой точкой, могут по-разному задаваться в координатах. Простейший пример — вектор скорости кривой, который в координатах задаётся набором чисел (здесь — параметрическое задание кривой, проходящей через заданную точку при t = t₀). Понятно, что при изменении координат изменяется параметрическое представление кривой и координаты вектора скорости.

Многие объекты на многообразиях задаются большими или меньшими наборами чисел, преобразующихся при заменах координат по тензорным законом. Отсюда и тензоры. Они допускают инвариантное (не зависящее от координат) определение, принятое в линейной алгебре: тензор есть полилинейное отображение произведений нескольких экземпляров касательного пространства и сопряжённого к нему в ℝ.

Если вдруг надо будет заняться дифференциальной геометрией, можно создать тему «Читаем Дубровина—Новикова—Фоменко вместе». Заодно можно будет познакомиться с другой стороной всеми любимого академика. :)

А кстати, одна научно-популярная книжка этого академика у меня есть.
(Зарывшись в файлы) «Наглядная геометрия».

Цитата: Bhudh от июня 21, 2011, 00:19

Offtop

А почему есть только дифференциальная геометрия кривых и дифференциальная геометрия поверхностей? В высшие размерности она уже не лезет?
И как глубоко тензорное исчисление со всем этим соотносится?

Дифф гем кривых и поверхностей - это теория дифференцируемых многообразий размерностей 1 и 2, изложенная классическим аппаратом 19 века - многообразие задаётся формулой , вкладывающей его в R^2/R^3,  и весь анализ проводится классическим дифференцированием/интегрированием. Достоинство - простота, недостаток - сложность обобщения на высшие размерности.

Тензор (точнее, тензорное поле) - это обобщение понятия производной/первообразной для многообразия (Т.е. представьте, что функция, которую мы хотим дифференцировать, имеет своим доменом не R^2, а тор, к примеру). Точно так же, как внутренние свойства кривых и поверхностей выражаются через производные/интегралы от их параметризаций, свойства многообразий выражаются через заданные на них тензоры.

Очень интересно в этой теории - то, что чисто топологические свойства многообразий удаётся вычислять через их дифференциальную структуру. Упрощённо говоря, представьте формулу, в которой в левой части стоит количество "дырок" в многообразии (так у тора - одна дырка), а справа -  дифференциальное выражение. Примеры таких формул:
(wiki/en) Generalized_Gauss–Bonnet_theorem (http://en.wikipedia.org/wiki/Generalized_Gauss%E2%80%93Bonnet_theorem)
(wiki/ru) Когомологии_де_Рама#Теорема_де_Рама (http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D0%BC%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B8%D0%B8_%D0%B4%D0%B5_%D0%A0%D0%B0%D0%BC%D0%B0#.D0.A2.D0.B5.D0.BE.D1.80.D0.B5.D0.BC.D0.B0_.D0.B4.D0.B5_.D0.A0.D0.B0.D0.BC.D0.B0)

Цитата: svarog от Тензор (точнее, тензорное поле) - это обобщение понятия производной/первообразной для многообразия

Оп-па на...
Матрица преобразований это куда ни шло, а так выходит матрица производных/первообразных по разным переменным?

Цитата: Bhudh от июня 21, 2011, 01:52

Цитата: svarog от Тензор (точнее, тензорное поле) - это обобщение понятия производной/первообразной для многообразия

Оп-па на...
Матрица преобразований это куда ни шло, а так выходит матрица производных/первообразных по разным переменным?

Так и есть  :yes: Только эта матрица меняется от точки к точке.

Цитата: svarog от Только эта матрица меняется от точки к точке.

Ну это естественно, если значения в разных системах координат вычисляются.

http://tube.sfu-kras.ru/video/203 Надо будет посмотреть.  ::)

Цитата: Nekto от Надо будет посмотреть.

Вы об этом:

Цитата: Консультант:   Фоменко А. Т. (доктор физико-математических наук)

?

Кстати, посмотрел. Интересно, но без особых формульных задвигов.

Не, я вообще.  :) Хотя на фамилию Фоменко обратил внимание.
Клип вообще вау-мозги-выносящий!  ;up:
Даже захотелось изучить тензорное исчисление!
Эх, был бы смысл.  :(

Только что-то фраза 36-компонентный тензор вообще не нагугливается...
Чё за фня⁈

 Зато нагугливается (Google) 256-компонентный тензор римановой кривизны в пятимерном пространстве (http://www.google.com/search?q=256-%D0%BA%D0%BE%D0%BC%D0%BF%D0%BE%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%BD%D1%8B%D0%B9+%D1%82%D0%B5%D0%BD%D0%B7%D0%BE%D1%80+%D1%80%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D0%B9+%D0%BA%D1%80%D0%B8%D0%B2%D0%B8%D0%B7%D0%BD%D1%8B+%D0%B2+%D0%BF%D1%8F%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%80%D0%BD%D0%BE%D0%BC+%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B5)  ;D

Цитата: Bhudh от июня 25, 2011, 16:26
Только что-то фраза 36-компонентный тензор вообще не нагугливается...
Чё за фня⁈

Действительно фня, учитывая, что «матрица 6 порядка» вполне себе гуглится.

Цитата: Nekto от июня 25, 2011, 19:30Зато нагугливается 256-компонентный тензор римановой кривизны в пятимерном пространстве  ;D

Ɣоботы зохавовывавоют мир. Уже и тензоры в двоичную систему перевели!

---

Цитата: Квас от Действительно фня, учитывая, что «матрица 6 порядка» вполне себе гуглится.

(Google) "матрица 6 порядка" (http://www.google.ru/search?ie=UTF-8&hl=all&q=%22%D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D0%B0%206%20%D0%BF%D0%BE%D1%80%D1%8F%D0%B4%D0%BA%D0%B0%22)

Цитата: Bhudh от июня 25, 2011, 20:54

Цитата: Квас от Действительно фня, учитывая, что «матрица 6 порядка» вполне себе гуглится.

(Google) "матрица 6 порядка"

А, прошу прощения, «шестого» у меня было словом. :)

"Тридцатишести" я как только не выворачивал.